2019-2020年高考數(shù)學 常見題型解法歸納反饋訓練 第81講 圓錐曲線常見題型解法【知識要點】 圓錐曲線常見的題型有求圓錐曲線的方程、幾何性質、最值、范圍、直線與圓錐曲線的關系、圓錐曲線與圓錐曲線的關系、軌跡方程、定點定值問題等.【方法講評】題型一求圓錐曲線的方程解題方法一般利用待定系數(shù)法解答.【例1】已知橢圓（）的左、右焦點為，點在橢圓上，且與軸垂直（1）求橢圓的方程；（2）過作直線與橢圓交于另外一點，求面積的最大值 綜上所求：當斜率不存在或斜率存在時：面積取最大值為 【點評】（1）求圓錐曲線的方程，一般利用待定系數(shù)法，先定位，后定量.（2）本題用到了橢圓雙曲線的通徑公式，這個公式很重要，大家要記熟.【反饋檢測1】已知橢圓：（）的離心率為，且橢圓上一點與橢圓的兩個焦點構成的三角形的周長為（1）求橢圓的方程；（2）設直線與橢圓交于、兩點，且以為直徑的圓過橢圓的右頂點，求面積的最大值 題型二圓錐曲線的幾何性質解題方法利用圓錐曲線的幾何性質解答.【例2】已知橢圓的左頂點和上頂點分別為，左、右焦點分別是，在線段上有且只有一個點滿足，則橢圓的離心率的平方為（ ）A B C D 【點評】求值一般利用方程的思想解答，所以本題的關鍵就是找到關于的方程. 【反饋檢測2】已知雙曲線（）的左、右焦點分別為以為直徑的圓被直線截得的弦長為，則雙曲線的離心率為（ ）A3 B2 C D 題型三圓錐曲線的最值問題解題方法一般利用數(shù)形結合和函數(shù)的方法解答.【例3】已知橢圓上任意一點到兩焦點距離之和為，離心率為（1）求橢圓的標準方程；（2）若直線的斜率為，直線與橢圓C交于兩點點為橢圓上一點，求的面積的最大值【解析】（1）由條件得：，解得，所以橢圓的方程為 ，當且僅當，即時取得最大值面積的最大值為2【點評】圓錐曲線的最值問題一般利用函數(shù)和數(shù)形結合解答. 【反饋檢測3】在平面直角坐標系中，直線與拋物線相交于不同的兩點. （）如果直線過拋物線的焦點，求的值； （）在此拋物線上求一點，使得到的距離最小，并求最小值. 題型四圓錐曲線的范圍問題解題方法一般利用函數(shù)、基本不等式、數(shù)形結合等解答.【例4】已知橢圓的中心在坐標原點，對稱軸為坐標軸，焦點在軸上，有一個頂點為，（1）求橢圓的方程；（2）過點作直線與橢圓交于兩點，線段的中點為,求直線的斜率的取值范圍. （1）當直線與軸垂直時，點的坐標為，此時，； （2）當直線的斜率存在且不為零時，設直線方程為, 由方程組 消去， 并整理得， 設, 又有，則 ， ， ， . 且 綜合(1)、(2)可知直線的斜率的取值范圍是： 【點評】利用基本不等式求函數(shù)的最值時，要注意創(chuàng)設情景，保證一正二定三相等.【反饋檢測4】設橢圓中心在原點，焦點在軸上，短軸長為4，點（2，）在橢圓上.（1）求橢圓的方程；（2）設動直線交橢圓于兩點，且，求的面積的取值范圍.（3）過（）的直線:與過（）的直線:的交點（）在橢圓上，直線與橢圓的兩準線分別交于兩點，求的值. 題型五直線與圓錐曲線的關系問題解題方法一般利用判別式、韋達定理、弦長公式、點差法等解答.【例5】已知雙曲線，經(jīng)過點能否作一條直線，使與雙曲線交于、，且點是線段的中點.若存在這樣的直線，求出它的方程，若不存在，說明理由. 這說明直線與雙曲線不相交，故被點平分的弦不存在，即不存在這樣的直線.【點評】（1）這是一道探索性習題，一般方法是假設存在這樣的直線 ，然后驗證它是否滿足題設的條件.本題屬于中點弦問題，應考慮點差法或韋達定理.（2）本題如果忽視對判別式的考察，將得出錯誤的結果，請務必小心.由此題可看到中點弦問題中判斷點的位置非常重要.（1）若中點在圓錐曲線內(nèi)，則被點平分的弦一般存在；（2）若中點在圓錐曲線外，則被點平分的弦可能不存在. 【反饋檢測5】過點(-1,0)作直線與曲線 ：交于兩點，在軸上是否存在一點(,0)，使得是等邊三角形，若存在，求出；若不存在，請說明理由. 題型六圓錐曲線與圓錐曲線的關系問題解題方法一般利用判別式和數(shù)形結合解答.【例6】已知曲線及有公共點,求實數(shù)的取值范圍 【點評】直線與圓錐曲線相交問題，一般可用兩個方程聯(lián)立后，用來處理但用來判斷雙圓錐曲線相交問題是不可靠的解決這類問題：方法1，由“”與直觀圖形相結合；方法2，由“”與根與系數(shù)關系相結合.【反饋檢測6】設橢圓，拋物線.(1)若經(jīng)過的兩個焦點，求的離心率；(2)設，,又為與不在軸上的兩個交點，若的垂心為，且的重心在上，求橢圓和拋物線的方程. 題型七圓錐曲線的定點和定值問題解題方法過定點的問題，一般先求曲線的方程，再證明曲線過定點；定值的問題，就是求值問題，直接求解就可以了.【例7】在直角坐標系中，點到點的距離之和是4，點的軌跡是與軸的負半軸交于點，不過點的直線與軌跡交于不同的兩點和. （I）求軌跡的方程； （II）當時，求與的關系，并證明直線過定點. （2）將，代入曲線C的方程，整理得 因為直線與曲線C交于不同的兩點和，所以設，則 且顯然，曲線與軸的負半軸交于點（-2，0），所以由將、代入上式，整理得所以即經(jīng)檢驗，都符合條件【點評】證明曲線過定點，一般先求曲線的方程，再證明它過定點. 【反饋檢測7】已知橢圓的中心在坐標原點，焦點在軸上，橢圓上的點到焦點距離的最大值為，最小值為（）求橢圓的標準方程；（）若直線與橢圓相交于，兩點（不是左右頂點），且以為直徑的圓過橢圓的右頂點，求證：直線過定點，并求出該定點的坐標 題型八軌跡問題解題方法一般利用直接法、待定系數(shù)法、代入法、消參法解答.【例8】 已知拋物線和點，為拋物線上一點，點在線段上且，當點在該拋物線上移動時，求點的軌跡方程 【點評】點之所以在動，就是因為點在動，所以點是被動點，點是主動點，這種情景，應該利用代入法求軌跡方程. 【反饋檢測8】 已知的頂點，頂點在拋物線上運動，求的重心的軌跡方程 題型九存在性問題解題方法一般先假設存在，再探求，最后檢驗. 【例9】已知中心在原點，焦點在軸上的橢圓的離心率為，且經(jīng)過點，過點的直線與橢圓在第一象限相切于點 . （1）求橢圓的方程；（2）求直線的方程以及點的坐標； （3）是否存過點的直線與橢圓相交于不同的兩點，滿足？若存在，求出直線的方程；若不存在，請說明理由. 因為直線與橢圓相切，所以 整理，得解得所以直線方程為將代入式，可以解得點橫坐標為1，故切點坐標為 （）若存在直線滿足條件，的方程為，代入橢圓的方程得因為直線與橢圓相交于不同的兩點，設兩點的坐標分別為所以所以. 又，因為即，所以.即【點評】存在性問題，一把先假設存在，再探究，最后檢驗.【反饋檢測9】在平面直角坐標系中，已知拋物線：，在此拋物線上一點到焦點的距離是3.（1）求此拋物線的方程；（2）拋物線的準線與軸交于點，過點斜率為的直線與拋物線交于、兩點是否存在這樣的，使得拋物線上總存在點滿足，若存在，求的取值范圍；若不存在，說明理由 高中數(shù)學常見題型解法歸納及反饋檢測第81講：圓錐曲線常見題型解法參考答案 【反饋檢測1答案】（1）；（2）. （2）不妨設的方程（）,則的方程為由得，設， ，同理可得，設，則，當且僅當時等號成立，面積的最大值為【反饋檢測2答案】【反饋檢測2詳細解析】由已知可得圓心到直線的距離 ，故選.【反饋檢測3答案】（）-3；（）4. 【反饋檢測4答案】（1）；（2）；（3）8.【反饋檢測4詳細解析】（1）因為橢圓: （過（2，） ，故可求得2，2 橢圓的方程為 （2）設，當直線斜率存在時設方程為，解方程組得，即，則，即（*），要使，需使，即，所以， 即 將它代入（*）式可得到的距離為將及韋達定理代入可得 （3）點P（）在直線:和：上，故點（）（）在直線上故直線的方程，上設分別是直線與橢圓準線，的交點由和得（4，）由和得（4，）故16又（）在橢圓：,有故.168 【反饋檢測5答案】 令,得，則為正三角形，到直線AB的距離d為. 解得滿足式,此時. 【反饋檢測6答案】（1）；（2）橢圓方程為，拋物線方程為.【反饋檢測6詳細解析】（1）由已知橢圓焦點在拋物線上，可得：，由.(2) 【反饋檢測7答案】（1）；（2）直線過定點，定點坐標為【反饋檢測7詳細解析】（）由題意設橢圓的標準方程為，由已知得：，橢圓的標準方程為 因為以為直徑的圓過橢圓的右焦點，即，解得：，且均滿足，當時，的方程為，直線過定點，與已知矛盾；當時，的方程為，直線過定點所以，直線過定點，定點坐標為【反饋檢測8答案】【反饋檢測8詳細解析】設，由重心公式，得又在拋物線上， 將，代入，得，即所求曲線方程是【反饋檢測9答案】（1）；（2）存在這樣的，且的取值范圍為.【反饋檢測9詳細解析】（1）拋物線準線方程是， ， , 故拋物線的方程是.