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2019-2020年高考數(shù)學(xué)5月模擬試卷 理（含解析） 一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的. 1．（5分）已知集合M={1，2}，N={2，3}，P={x|x=a+b，a∈M，b∈N}，P中元素個(gè)數(shù)為（） A． 2 B． 3 C． 4 D． 5 2．（5分）已知復(fù)數(shù)z滿(mǎn)足（4+3i）z=25（i是虛數(shù)單位），則z的虛部為（） A． ﹣3 B． 3 C． ﹣ D． 3．（5分）已知雙曲線(xiàn)﹣=1（a＞0，b＞0）的漸近線(xiàn)方程為y=2x，則其離心率為（） A． 5 B． C． D． 4．（5分）已知向量，若與平行，則實(shí)數(shù)x的值是（） A． ﹣2 B． 0 C． 1 D． 2 5．（5分）如圖給出的是計(jì)算的值的程序框圖，其中判斷框內(nèi)應(yīng)填入的是（） A． i≤xx？ B． i≤xx？ C． i≤xx？ D． i≤xx？ 6．（5分）某班有34位同學(xué)，座位號(hào)記為01，02，…34，用如圖的隨機(jī)數(shù)表選取5組數(shù)作為參加青年志愿者活動(dòng)的五位同學(xué)的座號(hào)．選取方法是從隨機(jī)數(shù)表第一行的第6列和第7列數(shù)字開(kāi)始，由左到右依次選取兩個(gè)數(shù)字，則選出來(lái)的第4個(gè)志愿者的座號(hào)是（） A． 23 B． 09 C． 02 D． 16 7．（5分）等比數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù)，若a2?a9=9，則log3a1+log3a2+…+log3a10=（） A． 12 B． 10 C． 8 D． 2+log35 8．（5分）已知l，m是兩條不同的直線(xiàn)，α，β是兩個(gè)不同的平面，下列命題為真命題的序號(hào)是（） ①若l?α，m?α，l∥β，m∥β，則α∥β； ②若l?α，l∥β，α∩β=m，則l∥m； ③若l∥α，α∥β，則l∥β； ④若l⊥α，l∥m，α∥β，則m⊥β． A． ①④ B． ①③ C． ②④ D． ②③ 9．（5分）已知在△ABC中，∠A、∠B、∠C的對(duì)邊分別為a、b、c，且a2+b2﹣c2﹣ab=0，若△ABC的面積為c，則ab的最小值為（） A． 24 B． 12 C． 6 D． 4 10．（5分）若對(duì)任意的正實(shí)數(shù)t，函數(shù)f（x）=（x﹣t）3+（x﹣lnt）3﹣3ax在R上都是增函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（） A． B． C． D． （﹣∞，2] 二、填空題：本大題共5小題，每小題4分，共20分．把答案填在答題卡中的橫線(xiàn)上. 11．（4分）二項(xiàng)式的展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)為． 12．（4分）已知圓C：x2+y2﹣6y+8=0，若直線(xiàn)y=kx與圓C相切，且切點(diǎn)在第二象限，則實(shí)數(shù)k=． 13．（4分）若不等式組表示的平面區(qū)域?yàn)镸，不等式y(tǒng)≥x表示的平面區(qū)域?yàn)镹．現(xiàn)隨機(jī)向區(qū)域M內(nèi)撒下一粒豆子，則豆子落在區(qū)域N內(nèi)的概率為． 14．（4分）已知函數(shù)f（x）=，有下列四個(gè)結(jié)論： ①函數(shù)f（x）在區(qū)間[﹣，]上是增函數(shù)： ②點(diǎn)（，0）是函數(shù)f（x）圖象的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心； ③函數(shù)f（x）的圖象可以由函數(shù)y=sin2x的圖象向左平移得到； ④若x∈[0，]，則函數(shù)f（x）的值域?yàn)閇0，]． 則所有正確結(jié)論的序號(hào)是． 15．（4分）計(jì)算Cn1+2?Cn22+…+n?Cnn2n﹣1=n（1+2）n﹣1，可以采用以下方法： 構(gòu)造恒等式Cn0+Cn12x+Cn222x2+…+Cnn2nxn=（1+2x）n， 兩邊對(duì)x求導(dǎo)，得Cn12+2?Cn222x+…+n?Cnn2nxn﹣1=2n（1+2x）n﹣1， 在上式中令x=1，得Cn1+2?Cn22+…+n?Cnn2n﹣1=n（1+2）n﹣1=n?3n﹣1， 類(lèi)比上述計(jì)算方法，計(jì)算Cn12+22Cn222+32Cn323+…+n2Cnn2n=． 三、解答題：本大題共5小題，共80分．解答寫(xiě)在答題卡相應(yīng)位置，應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟． 16．（13分）甲、乙、丙三人參加某次招聘會(huì)，若甲應(yīng)聘成功的概率為，乙、丙應(yīng)聘成功的概率均為（0＜t＜3），且三人是否應(yīng)聘成功是相互獨(dú)立的． （Ⅰ）若甲、乙、丙都應(yīng)聘成功的概率是，求t的值； （Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，設(shè)ξ表示甲、乙兩人中被聘用的人數(shù)，求ξ的數(shù)學(xué)期望． 17．（13分）已知函數(shù)f（x）=，方程f（x）=在（0，+∞）上的解按從小到達(dá)的順序排成數(shù)列{an}（n∈N*）． （1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式； （2）設(shè)bn=，數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Sn，求Sn的表達(dá)式． 18．（13分）如圖1，直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠ABC=90，CD=2AB=4，BC=2．AE∥BC交CD于點(diǎn)E，點(diǎn)G，H分別在線(xiàn)段DA，DE上，且GH∥AE．將圖1中的△AED沿AE翻折，使平面ADE⊥平面ABCE（如圖2所示），連結(jié)BD、CD，AC、BE． （Ⅰ）求證：平面DAC⊥平面DEB； （Ⅱ）當(dāng)三棱錐B﹣GHE的體積最大時(shí)，求直線(xiàn)BG與平面BCD所成角的正弦值． 19．（13分）已知?jiǎng)訄AQ過(guò)定點(diǎn)A（2，0）且與y軸截得的弦MN的長(zhǎng)為4． （Ⅰ）求動(dòng)圓圓心Q的軌跡C的方程； （Ⅱ）已知點(diǎn)P（﹣2，1），動(dòng)直線(xiàn)l和坐標(biāo)軸不垂直，且與軌跡C相交于A，B兩點(diǎn)，試問(wèn)：在x軸上是否存在一定點(diǎn)G，使直線(xiàn)l過(guò)點(diǎn)G，且使得直線(xiàn)PA，PG，PB的斜率依次成等差數(shù)列？若存在，請(qǐng)求出定點(diǎn)G的坐標(biāo)；否則，請(qǐng)說(shuō)明理由． 20．（14分）已知函數(shù)f（x）=ex（sinx+cosx）+a，g（x）=（a2﹣a+10）ex（a∈R且a為常數(shù)）． （Ⅰ）若曲線(xiàn)y=f（x）在（0，f（0））處的切線(xiàn)過(guò)點(diǎn)（1，2），求實(shí)數(shù)a的值； （Ⅱ）若存在實(shí)數(shù)x1，x2∈[0，π]，使得g（x2）＜f（x1）+13﹣e成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍； （Ⅲ）判斷函數(shù)φ（x）=+1+lnx（b＞1）在（0，+∞）上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，并說(shuō)明理由． 本題設(shè)有三個(gè)選答題，每小題7分，請(qǐng)考生任選2個(gè)小題作答，滿(mǎn)分14分．如果多做，則按所做的前兩題記分．作答時(shí)，先用2B鉛筆在答題卡上把所選題目對(duì)應(yīng)的題號(hào)涂黑，并將所選題號(hào)填入括號(hào)中． 21．（7分）已知線(xiàn)性變換T1是按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90的旋轉(zhuǎn)變換，其對(duì)應(yīng)的矩陣為M，線(xiàn)性變換T2：對(duì)應(yīng)的矩陣為N． （Ⅰ）寫(xiě)出矩陣M、N； （Ⅱ）若直線(xiàn)l在矩陣NM對(duì)應(yīng)的變換作用下得到方程為y=x的直線(xiàn)，求直線(xiàn)l的方程． 22．（7分）已知曲線(xiàn)C的方程為=1，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐 標(biāo)系，直線(xiàn)l的極坐標(biāo)方程為． （Ⅰ）求直線(xiàn)l的直角坐標(biāo)方程； （Ⅱ）已知M是曲線(xiàn)C上任意一點(diǎn)，求點(diǎn)M到直線(xiàn)l距離的最小值． 23．已知函數(shù)f（x）=|x﹣2|﹣3． （Ⅰ）若f（x）＜0，求x的取值范圍； （Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，求g（x）=3的最大值． 福建省龍巖市xx高考數(shù)學(xué)模擬試卷（理科）（5月份） 參考答案與試題解析 一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的. 1．（5分）已知集合M={1，2}，N={2，3}，P={x|x=a+b，a∈M，b∈N}，P中元素個(gè)數(shù)為（） A． 2 B． 3 C． 4 D． 5 考點(diǎn)： 集合中元素個(gè)數(shù)的最值． 專(zhuān)題： 集合． 分析： 直接求出結(jié)合P，然后推出結(jié)果即可． 解答： 解：集合M={1，2}，N={2，3}， P={x|x=a+b，a∈M，b∈N}={3，4，5}， P中元素個(gè)數(shù)為5． 故選：B． 點(diǎn)評(píng)： 本題考查結(jié)合的基本概念，基本知識(shí)的考查． 2．（5分）已知復(fù)數(shù)z滿(mǎn)足（4+3i）z=25（i是虛數(shù)單位），則z的虛部為（） A． ﹣3 B． 3 C． ﹣ D． 考點(diǎn)： 復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算． 專(zhuān)題： 數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)． 分析： 直接利用復(fù)數(shù)的乘除運(yùn)算法則化簡(jiǎn)，求出復(fù)數(shù)的虛部即可． 解答： 解：復(fù)數(shù)z滿(mǎn)足（4+3i）z=25 則：z===4﹣3i． 復(fù)數(shù)的虛部為﹣3． 故選：A． 點(diǎn)評(píng)： 本題考查復(fù)數(shù)的基本運(yùn)算，復(fù)數(shù)的基本概念． 3．（5分）已知雙曲線(xiàn)﹣=1（a＞0，b＞0）的漸近線(xiàn)方程為y=2x，則其離心率為（） A． 5 B． C． D． 考點(diǎn)： 雙曲線(xiàn)的簡(jiǎn)單性質(zhì)． 專(zhuān)題： 圓錐曲線(xiàn)的定義、性質(zhì)與方程． 分析： 根據(jù)雙曲線(xiàn)漸近線(xiàn)的方程，確定a，b的關(guān)系，進(jìn)而利用離心率公式求解． 解答： 解：∵雙曲線(xiàn)﹣=1（a＞0，b＞0）的漸近線(xiàn)方程為y=x， ∴，即b=2a， ∴， ∴離心率e=． 故選：D． 點(diǎn)評(píng)： 本題主要考查雙曲線(xiàn)的性質(zhì)，要求熟練掌握雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程和離心率的公式． 4．（5分）已知向量，若與平行，則實(shí)數(shù)x的值是（） A． ﹣2 B． 0 C． 1 D． 2 考點(diǎn)： 平面向量共線(xiàn)（平行）的坐標(biāo)表示；平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算． 專(zhuān)題： 計(jì)算題． 分析： 由題意分別可得向量與的坐標(biāo)，由向量平行的充要條件可建立關(guān)于x的方程，解之即可． 解答： 解：由題意可得=（3，x+1），=（﹣1，1﹣x）， 因?yàn)榕c平行，所以3（1﹣x）﹣（x+1）（﹣1）=0， 解得x=2 故選D 點(diǎn)評(píng)： 本題為向量平行的問(wèn)題，熟練應(yīng)用向量平行的充要條件是解決問(wèn)題的關(guān)鍵，屬基礎(chǔ)題． 5．（5分）如圖給出的是計(jì)算的值的程序框圖，其中判斷框內(nèi)應(yīng)填入的是（） A． i≤xx？ B． i≤xx？ C． i≤xx？ D． i≤xx？ 考點(diǎn)： 程序框圖． 專(zhuān)題： 圖表型；算法和程序框圖． 分析： 根據(jù)流程圖寫(xiě)出每次循環(huán)i，S的值，和比較即可確定退出循環(huán)的條件，得到答案． 解答： 解：根據(jù)流程圖，可知 第1次循環(huán)：i=2，S=； 第2次循環(huán)：i=4，S=； … 第1008次循環(huán)：i=xx，S=； 此時(shí)，設(shè)置條件退出循環(huán)，輸出S的值． 故判斷框內(nèi)可填入i≤xx． 故選：B． 點(diǎn)評(píng)： 本題主要考察循環(huán)結(jié)構(gòu)的程序框圖和算法，屬于基礎(chǔ)題． 6．（5分）某班有34位同學(xué)，座位號(hào)記為01，02，…34，用如圖的隨機(jī)數(shù)表選取5組數(shù)作為參加青年志愿者活動(dòng)的五位同學(xué)的座號(hào)．選取方法是從隨機(jī)數(shù)表第一行的第6列和第7列數(shù)字開(kāi)始，由左到右依次選取兩個(gè)數(shù)字，則選出來(lái)的第4個(gè)志愿者的座號(hào)是（） A． 23 B． 09 C． 02 D． 16 考點(diǎn)： 簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣． 專(zhuān)題： 概率與統(tǒng)計(jì)． 分析： 根據(jù)隨機(jī)數(shù)表，依次進(jìn)行選擇即可得到結(jié)論． 解答： 解：從隨機(jī)數(shù)表第1行的第6列和第7列數(shù)字開(kāi)始由左到右依次選取兩個(gè)數(shù)字中小于34的編號(hào)依次為21，32，09，16，其中第4個(gè)為16． 故選：D 點(diǎn)評(píng)： 本題主要考查簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的應(yīng)用，正確理解隨機(jī)數(shù)法是解決本題的關(guān)鍵，比較基礎(chǔ)． 7．（5分）等比數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù)，若a2?a9=9，則log3a1+log3a2+…+log3a10=（） A． 12 B． 10 C． 8 D． 2+log35 考點(diǎn)： 等比數(shù)列的前n項(xiàng)和． 專(zhuān)題： 計(jì)算題；等差數(shù)列與等比數(shù)列． 分析： 利用等比數(shù)列和對(duì)數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合題設(shè)條件導(dǎo)出log3a1+log3a2+…+log3a10=log3（a1?a2?a3…a10）=log3（a2?a9）5，由此能夠求出其結(jié)果． 解答： 解：∵等比數(shù)列{an}中，每項(xiàng)均是正數(shù)，且a2?a9=9， ∴l(xiāng)og3a1+log3a2+…+log3a10=log3（a1?a2?a3…a10） =log3（a2?a9）5 =log3310 =10． 故選：B． 點(diǎn)評(píng)： 本題考查等比數(shù)列的性質(zhì)和應(yīng)用，解題時(shí)要注意等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和對(duì)數(shù)性質(zhì)的合理運(yùn)用． 8．（5分）已知l，m是兩條不同的直線(xiàn)，α，β是兩個(gè)不同的平面，下列命題為真命題的序號(hào)是（） ①若l?α，m?α，l∥β，m∥β，則α∥β； ②若l?α，l∥β，α∩β=m，則l∥m； ③若l∥α，α∥β，則l∥β； ④若l⊥α，l∥m，α∥β，則m⊥β． A． ①④ B． ①③ C． ②④ D． ②③ 考點(diǎn)： 命題的真假判斷與應(yīng)用． 專(zhuān)題： 空間位置關(guān)系與距離． 分析： ①由已知可得：α∥β或相交，即可判斷出正誤； ②利用線(xiàn)面平行的性質(zhì)定理即可判斷出正誤； ③利用線(xiàn)面面面平行的性質(zhì)定理即可判斷出正誤； ④利用面面線(xiàn)面的平行與垂直的性質(zhì)定理即可判斷出． 解答： 解：①若l?α，m?α，l∥β，m∥β，則α∥β或相交，因此不正確； ②若l?α，l∥β，α∩β=m，∴m?β，l?β，m?α，m?α，∴l(xiāng)∥m，因此正確； ③若l∥α，α∥β，則l∥β或l?β，因此不正確； ④若l⊥α，α∥β，∴l(xiāng)⊥β，又l∥m，∴m⊥β，則m⊥β，正確． 故選：C． 點(diǎn)評(píng)： 本題考查了線(xiàn)面面面平行與垂直的判定與性質(zhì)定理、簡(jiǎn)易邏輯的判定方法，考查了推理能力，屬于中檔題． 9．（5分）已知在△ABC中，∠A、∠B、∠C的對(duì)邊分別為a、b、c，且a2+b2﹣c2﹣ab=0，若△ABC的面積為c，則ab的最小值為（） A． 24 B． 12 C． 6 D． 4 考點(diǎn)： 余弦定理；正弦定理． 專(zhuān)題： 解三角形． 分析： 由題意和余弦定理可得C的值，進(jìn)而由面積公式可得c和ab的關(guān)系，代入已知式子由基本不等式可得ab的不等式，解不等式可得． 解答： 解：∵a2+b2﹣c2﹣ab=0，∴a2+b2﹣c2=ab， ∴由余弦定理可得cosC==， ∵C∈（0，π），∴C=， ∵△ABC的面積為c，∴absinC=c， ∴ab?=c，∴c=ab， 代入已知式子可得a2+b2﹣（ab）2﹣ab=0， ∴（ab）2+ab=a2+b2≥2ab， 整理可得（ab）2﹣4ab≥0， 解關(guān)于ab的不等式可得ab≥4，或ab≤0（舍去） 當(dāng)且僅當(dāng)a=b=2時(shí)取到等號(hào)， ∴ab的最小值為4， 故選：D． 點(diǎn)評(píng)： 本題考查解三角形，涉及余弦定理和三角形的面積公式以及基本不等式和不等式的解法，屬中檔題． 10．（5分）若對(duì)任意的正實(shí)數(shù)t，函數(shù)f（x）=（x﹣t）3+（x﹣lnt）3﹣3ax在R上都是增函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（） A． B． C． D． （﹣∞，2] 考點(diǎn)： 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性． 專(zhuān)題： 綜合題；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用． 分析： 利用f（x）=（x﹣t）3+（x﹣lnt）3﹣3ax在R上都是增函數(shù)，可得f′（x）=3（x﹣t）2+3（x﹣lnt）2﹣3a≥0在R上恒成立，分離參數(shù)a≤（x﹣t）2+（x﹣lnt）2，再求出右邊的最小值，即可得出結(jié)論． 解答： 解：∵f（x）=（x﹣t）3+（x﹣lnt）3﹣3ax在R上都是增函數(shù)， ∴f′（x）=3（x﹣t）2+3（x﹣lnt）2﹣3a≥0在R上恒成立， ∴a≤（x﹣t）2+（x﹣lnt）2， （x﹣t）2+（x﹣lnt）2=2（x﹣）2+≥， 令y=t﹣lnt，則y′=1﹣， ∴（0，1）上，y′＜0，（1，+∞）上，y′＞0， ∴t=1時(shí)，ymin=1， ∴的最小值為， ∴a≤， 故選：A． 點(diǎn)評(píng)： 本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的綜合運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性，正確分離參數(shù)求最值是關(guān)鍵． 二、填空題：本大題共5小題，每小題4分，共20分．把答案填在答題卡中的橫線(xiàn)上. 11．（4分）二項(xiàng)式的展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)為7． 考點(diǎn)： 二項(xiàng)式定理． 專(zhuān)題： 計(jì)算題． 分析： 利用二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式求出第r+1項(xiàng)，令x的指數(shù)為0得常數(shù)項(xiàng)． 解答： 解：展開(kāi)式的通項(xiàng)是= 令解得r=6 故展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)為=7 故答案為7 點(diǎn)評(píng)： 本題考查二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式是解決二項(xiàng)展開(kāi)式的特定項(xiàng)問(wèn)題的工具． 12．（4分）已知圓C：x2+y2﹣6y+8=0，若直線(xiàn)y=kx與圓C相切，且切點(diǎn)在第二象限，則實(shí)數(shù)k=﹣2． 考點(diǎn)： 圓的切線(xiàn)方程． 專(zhuān)題： 計(jì)算題；直線(xiàn)與圓． 分析： 求出圓的圓心和半徑，運(yùn)用直線(xiàn)和圓相切的條件：d=r，由點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式計(jì)算即可得到k，結(jié)合切點(diǎn)在第二象限，進(jìn)而得到k的值． 解答： 解：圓C：x2+y2﹣6y+8=0的圓心為（0，3），半徑為r=1， 直線(xiàn)y=kx與圓C相切，即有 d==1， 解得k=2． 由于切點(diǎn)在第二象限，則k=﹣2． 故答案為：． 點(diǎn)評(píng)： 本題考查直線(xiàn)和圓的位置關(guān)系：相切，主要考查直線(xiàn)和圓相切的條件：d=r，注意點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式的運(yùn)用，屬于中檔題． 13．（4分）若不等式組表示的平面區(qū)域?yàn)镸，不等式y(tǒng)≥x表示的平面區(qū)域?yàn)镹．現(xiàn)隨機(jī)向區(qū)域M內(nèi)撒下一粒豆子，則豆子落在區(qū)域N內(nèi)的概率為． 考點(diǎn)： 幾何概型；簡(jiǎn)單線(xiàn)性規(guī)劃． 專(zhuān)題： 概率與統(tǒng)計(jì)． 分析： 畫(huà)出區(qū)域M，N表示的圖形，利用幾何概型公式，只要求出兩個(gè)區(qū)域的面積即可． 解答： 解：由題意，區(qū)域M，N表示的圖形如圖 其中區(qū)域M是COE，區(qū)域N表示是區(qū)域OCD，由幾何概型公式可得豆子落在區(qū)域N內(nèi)的概率為： ==； 故答案為：． 點(diǎn)評(píng)： 本題考查幾何概型，將基本事件“幾何化”，實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題，將隨機(jī)事件的概率抽象為幾何概型是研究的關(guān)鍵． 14．（4分）已知函數(shù)f（x）=，有下列四個(gè)結(jié)論： ①函數(shù)f（x）在區(qū)間[﹣，]上是增函數(shù)： ②點(diǎn)（，0）是函數(shù)f（x）圖象的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心； ③函數(shù)f（x）的圖象可以由函數(shù)y=sin2x的圖象向左平移得到； ④若x∈[0，]，則函數(shù)f（x）的值域?yàn)閇0，]． 則所有正確結(jié)論的序號(hào)是①②． 考點(diǎn)： 正弦函數(shù)的圖象． 專(zhuān)題： 三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)． 分析： 畫(huà)出函數(shù)的圖象，①根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性即可求出單調(diào)增區(qū)間； ②根據(jù)函數(shù)的對(duì)稱(chēng)中心即可求出函數(shù)f（x）的對(duì)稱(chēng)中心； ③根據(jù)函數(shù)圖象的平移即可得到結(jié)論； ④根據(jù)函數(shù)單調(diào)性和定義域即可求出值域，進(jìn)而得到正確結(jié)論的個(gè)數(shù) 解答： 解：∵f（x）=，畫(huà)出函數(shù)的圖象如圖所示 ∴函數(shù)f（x）的增區(qū)間為{x|﹣+2kπ≤2x+≤+2kπ，k∈z} 即{x|﹣π+kπ≤x≤+kπ，k∈z}， ∴區(qū)間[﹣，]是函數(shù)f（x）一個(gè)增函數(shù)：故①正確， ∴函數(shù)f（x）圖象的對(duì)稱(chēng)中心為2x+=kπ，即x=kπ﹣， 當(dāng)k=1時(shí)，x=， ∴點(diǎn)（，0）是函數(shù)f（x）圖象的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心，故②正確， 對(duì)于③函數(shù)f（x）的圖象可以由函數(shù)y=sin2x的圖象向左平移得到，故③錯(cuò)誤； 對(duì)于④x∈[0，]，則函數(shù)f（x）的值域?yàn)閇﹣1，]，故④錯(cuò)誤． 故答案為：①② 點(diǎn)評(píng)： 本題考查了正弦函數(shù)的單調(diào)性及對(duì)稱(chēng)性，同時(shí)要求學(xué)生掌握三角函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)（單調(diào)性，周期性，奇偶性，對(duì)稱(chēng)性等）． 15．（4分）計(jì)算Cn1+2?Cn22+…+n?Cnn2n﹣1=n（1+2）n﹣1，可以采用以下方法： 構(gòu)造恒等式Cn0+Cn12x+Cn222x2+…+Cnn2nxn=（1+2x）n， 兩邊對(duì)x求導(dǎo)，得Cn12+2?Cn222x+…+n?Cnn2nxn﹣1=2n（1+2x）n﹣1， 在上式中令x=1，得Cn1+2?Cn22+…+n?Cnn2n﹣1=n（1+2）n﹣1=n?3n﹣1， 類(lèi)比上述計(jì)算方法，計(jì)算Cn12+22Cn222+32Cn323+…+n2Cnn2n=2n（2n+1）3n﹣2． 考點(diǎn)： 類(lèi)比推理． 專(zhuān)題： 綜合題；推理和證明． 分析： 構(gòu)造恒等式Cn0+Cn12x+Cn222x2+…+Cnn2nxn=（1+2x）n，兩邊對(duì)x求導(dǎo)，得Cn12+2?Cn222x+…+n?Cnn2nxn﹣1=2n（1+2x）n﹣1，兩邊同乘以x，得Cn12x+2?Cn222x2+…+n?Cnn2nxn=2nx（1+2x）n﹣1，再兩邊對(duì)x求導(dǎo)，x=1，得結(jié)論． 解答： 解：構(gòu)造恒等式Cn0+Cn12x+Cn222x2+…+Cnn2nxn=（1+2x）n， 兩邊對(duì)x求導(dǎo)，得Cn12+2?Cn222x+…+n?Cnn2nxn﹣1=2n（1+2x）n﹣1， 兩邊同乘以x，得Cn12x+2?Cn222x2+…+n?Cnn2nxn=2nx（1+2x）n﹣1， 再兩邊對(duì)x求導(dǎo)，得Cn12+22?Cn222x+…+n2?Cnn2nxn﹣1=2n（2n+1）（1+2x）n﹣2， 在上式中令x=1，得Cn12+22Cn222+32Cn323+…+n2Cnn2n=2n（2n+1）3n﹣2． 故答案為：2n（2n+1）3n﹣2 點(diǎn)評(píng)： 歸納推理的一般步驟是：（1）通過(guò)觀察個(gè)別情況發(fā)現(xiàn)某些相同性質(zhì)；（2）從已知的相同性質(zhì)中推出一個(gè)明確表達(dá)的一般性命題（猜想）． 三、解答題：本大題共5小題，共80分．解答寫(xiě)在答題卡相應(yīng)位置，應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟． 16．（13分）甲、乙、丙三人參加某次招聘會(huì)，若甲應(yīng)聘成功的概率為，乙、丙應(yīng)聘成功的概率均為（0＜t＜3），且三人是否應(yīng)聘成功是相互獨(dú)立的． （Ⅰ）若甲、乙、丙都應(yīng)聘成功的概率是，求t的值； （Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，設(shè)ξ表示甲、乙兩人中被聘用的人數(shù)，求ξ的數(shù)學(xué)期望． 考點(diǎn)： 離散型隨機(jī)變量的期望與方差；離散型隨機(jī)變量及其分布列． 專(zhuān)題： 概率與統(tǒng)計(jì)． 分析： （I）利用相互獨(dú)立事件概率計(jì)算公式可得：，解出即可； （Ⅱ）由（Ⅰ）得乙應(yīng)聘成功的概率均為．ξ可取0，1，2．利用相互獨(dú)立與互斥事件的概率計(jì)算公式、數(shù)學(xué)期望計(jì)算公式即可得出． 解答： 解：（Ⅰ）依題意， ∴t=2． （Ⅱ）由（Ⅰ）得乙應(yīng)聘成功的概率均為． ξ可取0，1，2． ， ，， ∴． 點(diǎn)評(píng)： 本題考查了相互獨(dú)立與互斥事件的概率計(jì)算公式、隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望計(jì)算公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題． 17．（13分）已知函數(shù)f（x）=，方程f（x）=在（0，+∞）上的解按從小到達(dá)的順序排成數(shù)列{an}（n∈N*）． （1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式； （2）設(shè)bn=，數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Sn，求Sn的表達(dá)式． 考點(diǎn)： 數(shù)列的求和；數(shù)列遞推式． 專(zhuān)題： 等差數(shù)列與等比數(shù)列． 分析： （1）方程f（x）=化為，可得=0，x∈（0，+∞），于是2x﹣=kπ，解得即可得出； （2）bn=，利用“裂項(xiàng)求和”即可得出． 解答： 解：（1）方程f（x）=化為，∴=0，x∈（0，+∞）， ∴2x﹣=kπ，解得x=，k∈Z． ∴an=．（n∈N*）． （2）bn===， ∴Sn=π = =． 點(diǎn)評(píng)： 本題考查了兩角和差公式、數(shù)列“裂項(xiàng)求和”，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題． 18．（13分）如圖1，直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠ABC=90，CD=2AB=4，BC=2．AE∥BC交CD于點(diǎn)E，點(diǎn)G，H分別在線(xiàn)段DA，DE上，且GH∥AE．將圖1中的△AED沿AE翻折，使平面ADE⊥平面ABCE（如圖2所示），連結(jié)BD、CD，AC、BE． （Ⅰ）求證：平面DAC⊥平面DEB； （Ⅱ）當(dāng)三棱錐B﹣GHE的體積最大時(shí)，求直線(xiàn)BG與平面BCD所成角的正弦值． 考點(diǎn)： 直線(xiàn)與平面所成的角；棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積；平面與平面垂直的判定． 專(zhuān)題： 空間位置關(guān)系與距離；空間角；空間向量及應(yīng)用． 分析： （Ⅰ）根據(jù)折疊前后的邊角關(guān)系可知道DE⊥底面ABCE，底面ABCE為正方形，從而得到AC⊥DE，AC⊥BE，根據(jù)線(xiàn)面垂直的判定定理即可得到AC⊥DBE，再根據(jù)面面垂直的判定定理得出平面DAC⊥平面DEB； （Ⅱ）根據(jù)已知條件知道三直線(xiàn)EA，EC，ED兩兩垂直，從而分別以這三直線(xiàn)為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，求出一些點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)EH=x，從而表示出HG=2﹣x，三棱錐B﹣GHE的高為AB=2，從而可表示出三棱錐B﹣GHE的體積V=，從而看出x=1時(shí)V最大，這時(shí)G為AD中點(diǎn)．從而可求G點(diǎn)坐標(biāo)，求出向量坐標(biāo)，可設(shè)平面BCD的法向量為={x，y，z}，根據(jù)即可求出，設(shè)直線(xiàn)BG與平面BCD所成角為θ，而根據(jù)sinθ=求出sinθ． 解答： 解：（Ⅰ）證明：∵AB∥CD，∠ABC=90，CD=2AB=4； 又AE∥BC交CD于點(diǎn)E； ∴四邊形ABCE是邊長(zhǎng)為2的正方形； ∴AC⊥BE，DE⊥AE； 又∵平面ADE⊥平面ABCE，平面ADE∩平面ABCE=AE； ∴DE⊥平面ABCE； ∵AC?平面ABCE，∴AC⊥DE； 又DE∩BE=E； ∴AC⊥平面DBE； ∵AC?平面DAC； ∴平面DAC⊥平面DEB； （Ⅱ）由（Ⅰ）知DE⊥平面ABCE，AE⊥EC； 以E為原點(diǎn)，的方向?yàn)閤軸，y軸，z軸的正方向建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則： A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），D（0，0，2）； 設(shè)EH=x，則GH=DH=2﹣x（0＜x＜2）； ∵AB∥CE，∴AB⊥面DAE； ∴=； ∵0＜x＜2，∴x=1時(shí)，三棱錐B﹣GHE體積最大，此時(shí)，H為ED中點(diǎn)； ∵GH∥AE，∴G也是AD的中點(diǎn)，∴G（1，0，1），； 設(shè)是面BCD的法向量； 則 令y=1，得； 設(shè)BG與面BCD所成角為θ； 則=； ∴BG與平面BCD所成角的正弦值為． 點(diǎn)評(píng)： 考查對(duì)折疊前后圖形的觀察能力，面面垂直的性質(zhì)定理，線(xiàn)面垂直的性質(zhì)，線(xiàn)面垂直的判定定理，以及建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量解決線(xiàn)面角問(wèn)題的方法，棱錐的體積公式，兩非零向量垂直的充要條件，平面法向量的概念及求法，直線(xiàn)和平面所成角的概念，直線(xiàn)和平面所成角與直線(xiàn)和平面法向量夾角的關(guān)系，向量夾角余弦的坐標(biāo)公式． 19．（13分）已知?jiǎng)訄AQ過(guò)定點(diǎn)A（2，0）且與y軸截得的弦MN的長(zhǎng)為4． （Ⅰ）求動(dòng)圓圓心Q的軌跡C的方程； （Ⅱ）已知點(diǎn)P（﹣2，1），動(dòng)直線(xiàn)l和坐標(biāo)軸不垂直，且與軌跡C相交于A，B兩點(diǎn)，試問(wèn)：在x軸上是否存在一定點(diǎn)G，使直線(xiàn)l過(guò)點(diǎn)G，且使得直線(xiàn)PA，PG，PB的斜率依次成等差數(shù)列？若存在，請(qǐng)求出定點(diǎn)G的坐標(biāo)；否則，請(qǐng)說(shuō)明理由． 考點(diǎn)： 直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的綜合問(wèn)題． 專(zhuān)題： 綜合題；圓錐曲線(xiàn)的定義、性質(zhì)與方程． 分析： （Ⅰ）根據(jù)動(dòng)圓Q過(guò)定點(diǎn)A（2，0）且與y軸截得的弦MN的長(zhǎng)為4，建立方程，即可求動(dòng)圓圓心Q的軌跡C的方程； （Ⅱ）設(shè)直線(xiàn)的方程為x=ny+m，代入y2=4x，利用韋達(dá)定理，結(jié)合kPA+kPB=2kPG，即可得出結(jié)論． 解答： 解：（Ⅰ）設(shè)Q（x，y），根據(jù)題意得，…（2分） 整理得y2=4x，所以動(dòng)圓圓心Q的軌跡C的方程是y2=4x．…（4分） （Ⅱ）設(shè)存在符合題意的定點(diǎn)G． 設(shè)直線(xiàn)的方程為x=ny+m（n≠0且n∈R），則G（m，0）．…（5分） 將x=m+ny代入y2=4x，整理得y2﹣4ny﹣4m=0． 由題意得△=16n2+16m＞0，即n2+m＞0． 設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則y1+y2=4n，y1y2=﹣4m， ，，， 由題意得kPA+kPB=2kPG，即kPA+kPB﹣2kPG=0， 所以，…（7分） 即…（9分） 把y1+y2=4n，y1y2=﹣4m代入上式， 整理得（m﹣2）n=（m+2）（2﹣m），…（11分） 又因?yàn)閚∈R，所以，解得m=2． 所以存在符合題意的定點(diǎn)G，且點(diǎn)G的坐標(biāo)為（2，0）．…（13分） 點(diǎn)評(píng)： 本題考查拋物線(xiàn)方程，考查直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的位置關(guān)系，考查韋達(dá)定理的運(yùn)用，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題． 20．（14分）已知函數(shù)f（x）=ex（sinx+cosx）+a，g（x）=（a2﹣a+10）ex（a∈R且a為常數(shù)）． （Ⅰ）若曲線(xiàn)y=f（x）在（0，f（0））處的切線(xiàn)過(guò)點(diǎn)（1，2），求實(shí)數(shù)a的值； （Ⅱ）若存在實(shí)數(shù)x1，x2∈[0，π]，使得g（x2）＜f（x1）+13﹣e成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍； （Ⅲ）判斷函數(shù)φ（x）=+1+lnx（b＞1）在（0，+∞）上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，并說(shuō)明理由． 考點(diǎn)： 利用導(dǎo)數(shù)研究曲線(xiàn)上某點(diǎn)切線(xiàn)方程；函數(shù)零點(diǎn)的判定定理；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性． 專(zhuān)題： 導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用． 分析： （Ⅰ）求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，由f（0）=列式求得a的值； （Ⅱ）把存在實(shí)數(shù)x1，x2∈[0，π]，使得g（x2）＜f（x1）+13﹣e成立，轉(zhuǎn)化為，然后利用導(dǎo)數(shù)分別求出g（x）min和f（x）max，代入 ，求解關(guān)于a的不等式得答案； （Ⅲ）由φ（x）=0，得，轉(zhuǎn)化為，分別構(gòu)造函數(shù)h（x）=1﹣x﹣xlnx，，利用導(dǎo)數(shù)分別求得h（x）的最大值和t（x）的最小值，由t（x）＞h（x）max，判斷函數(shù)φ（x）在（0，+∞）上沒(méi)有零點(diǎn)． 解答： 解：（Ⅰ）由f（x）=ex（sinx+cosx）+a，得 f（x）=ex（sinx+cosx）+ex（cosx﹣sinx）=2excosx， 又曲線(xiàn)y=f（x）在（0，f（0））處的切線(xiàn)過(guò)點(diǎn)（1，2），得f（0）=， 即2=1﹣a，解得a=﹣1； （Ⅱ）存在實(shí)數(shù)x1，x2∈[0，π]，使得g（x2）＜f（x1）+13﹣e成立， 即， 由（Ⅰ）知f（x）=2excosx=0在x∈[0，π]上的解為， 函數(shù)f（x）在上遞增，在上遞減，∴， 又a2﹣a+10＞0恒成立，g（x）=（a2﹣a+10）ex在[0，π]上遞增，， 故，得a2﹣2a﹣3＜0， 實(shí)a的取值范圍是（﹣1，3）； （Ⅲ）由（x＞0），得 ，化為， 令h（x）=1﹣x﹣xlnx，則h（x）=﹣2﹣lnx， 由h（x）=﹣2﹣lnx=0，得x=e﹣2， 故h（x）在上遞增，在上遞減，． 再令， ∵b＞1，∴函數(shù)在（0，+∞）上遞增，． 知t（x）＞h（x）max，由此判斷函數(shù)φ（x）在（0，+∞）上沒(méi)有零點(diǎn)， 故φ（x）零點(diǎn)個(gè)數(shù)為0． 點(diǎn)評(píng)： 本題主要考查基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)、導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算及導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用、存在量詞等基礎(chǔ)知識(shí)；考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力以及應(yīng)用意識(shí)，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、分類(lèi)與整合思想、函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想等，是壓軸題． 本題設(shè)有三個(gè)選答題，每小題7分，請(qǐng)考生任選2個(gè)小題作答，滿(mǎn)分14分．如果多做，則按所做的前兩題記分．作答時(shí)，先用2B鉛筆在答題卡上把所選題目對(duì)應(yīng)的題號(hào)涂黑，并將所選題號(hào)填入括號(hào)中． 21．（7分）已知線(xiàn)性變換T1是按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90的旋轉(zhuǎn)變換，其對(duì)應(yīng)的矩陣為M，線(xiàn)性變換T2：對(duì)應(yīng)的矩陣為N． （Ⅰ）寫(xiě)出矩陣M、N； （Ⅱ）若直線(xiàn)l在矩陣NM對(duì)應(yīng)的變換作用下得到方程為y=x的直線(xiàn)，求直線(xiàn)l的方程． 考點(diǎn)： 幾種特殊的矩陣變換． 專(zhuān)題： 矩陣和變換． 分析： （Ⅰ）通過(guò)變換的特征即得結(jié)論； （Ⅱ）由（I）得，通過(guò)題意可得，利用x′=y′計(jì)算即可． 解答： 解：（Ⅰ）通過(guò)題意，易得M=，N=； （Ⅱ）由（I）得， 由=， 得， 由題意得x′=y′得3x=﹣2y， ∴直線(xiàn)l的方程為3x+2y=0． 點(diǎn)評(píng)： 本題主要考查矩陣與變換等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力及化歸與轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題． 22．（7分）已知曲線(xiàn)C的方程為=1，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐 標(biāo)系，直線(xiàn)l的極坐標(biāo)方程為． （Ⅰ）求直線(xiàn)l的直角坐標(biāo)方程； （Ⅱ）已知M是曲線(xiàn)C上任意一點(diǎn)，求點(diǎn)M到直線(xiàn)l距離的最小值． 考點(diǎn)： 簡(jiǎn)單曲線(xiàn)的極坐標(biāo)方程． 專(zhuān)題： 計(jì)算題；直線(xiàn)與圓；圓錐曲線(xiàn)的定義、性質(zhì)與方程． 分析： （Ⅰ）由x=ρcosθ，y=ρsinθ可得直線(xiàn)l的直角坐標(biāo)方程； （Ⅱ）設(shè)，M到l的距離為d，運(yùn)用點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式，結(jié)合兩角差的余弦公式，以及余弦函數(shù)的值域，即可得到最小值． 解答： 解：（Ⅰ）由，x=ρcosθ，y=ρsinθ， 得x+y﹣4=0， ∴直線(xiàn)l的直角坐標(biāo)方程為x+y﹣4=0． （Ⅱ）設(shè)，M到l的距離為d， 則d===， 其中， 當(dāng)cos（θ﹣φ）=1時(shí)，d有最小值， ∴M到直線(xiàn)l的距離的最小值為． 點(diǎn)評(píng)： 本題考查參數(shù)方程、極坐標(biāo)方程和普通方程的互化，考查點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式的運(yùn)用，同時(shí)考查余弦函數(shù)的值域，屬于中檔題． 23．已知函數(shù)f（x）=|x﹣2|﹣3． （Ⅰ）若f（x）＜0，求x的取值范圍； （Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，求g（x）=3的最大值． 考點(diǎn)： 分段函數(shù)的應(yīng)用；函數(shù)的最值及其幾何意義；二維形式的柯西不等式． 專(zhuān)題： 函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；不等式的解法及應(yīng)用． 分析： （Ⅰ）運(yùn)用絕對(duì)值不等式的解集，即可得到所求范圍； （Ⅱ）由柯西不等式，即可得到最大值，注意等號(hào)成立的條件． 解答： 解：（Ⅰ）由f（x）＜0?|x﹣2|＜3?﹣3＜x﹣2＜3?﹣1＜x＜5， 所以x的取值范圍是（﹣1，5）． （Ⅱ）由（Ⅰ）知， 由柯西不等式可得， （32+42）[（）2+（）2]≥（3+4）2， 所以g（x）≤=5． 當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)， g（x）取最大值5． 點(diǎn)評(píng)： 本題考查絕對(duì)值函數(shù)的性質(zhì)和運(yùn)用，主要考查絕對(duì)值不等式的解法和柯西不等式的運(yùn)用：求最值，注意等號(hào)成立的條件，屬于中檔題．