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2019-2020年高考數(shù)學二輪復習 第一部分 微專題強化練 專題29 坐標系與參數(shù)方程（含解析） 一、填空題 1．(xx北京理，11)在極坐標系中，點到直線ρ(cos θ＋sin θ)＝6的距離為________． [答案]　1 [解析]　考查極坐標與直角坐標的互化；點到直線距離． 先把點極坐標化為直角坐標(1，)，再把直線的極坐標方程ρ＝6化為直角坐標方程x＋y－6＝0，利用點到直線距離公式d＝＝1. 2．(xx湖南理，11)在平面直角坐標系中，傾斜角為的直線l與曲線C：(α為參數(shù))交于A，B兩點，且|AB|＝2.以坐標原點O為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，則直線l的極坐標方程是________． [答案]　ρsin(θ－)＝－ [解析]　曲線C的普通方程為(x－2)2＋(y－1)2＝1，設直線l的方程為y＝x＋b，因為弦長|AB|＝2，所以直線l過圓心(2,1)，所以直線l的方程為y＝x－1，化為極坐標方程為ρsinθ＝ρcosθ－1，即ρsin(θ－)＝－. 3．在直角坐標系xOy中，橢圓C的參數(shù)方程為(φ為參數(shù)，a>b>0)，在極坐標系(與直角坐標系xOy取相同的長度單位，且以原點O為極點，以x軸正半軸為極軸)中，直線l 與圓O的極坐標方程分別為ρsin(θ＋)＝m(m為非零常數(shù))與ρ＝b.若直線l經(jīng)過橢圓C的焦點，且與圓O相切，則橢圓C的離心率為________． [答案]　 [解析]　橢圓標準方程為＋＝1(a>b>0)，直線l的普通方程為x＋y－m＝0，圓O的普通方程為＝b，即x2＋y2＝b2. 若l過右焦點(c,0)，則c－m＝0且＝b，∴c＝b，c2＝2b2，c2＝2(a2－c2) ∴＝，同理l過左焦點(－c,0)時，也求得e＝. 4．在直角坐標平面內(nèi)，以坐標原點O為極點，x軸的非負半軸為極軸建立極坐標系，已知點M的極坐標為(4，)，曲線C的參數(shù)方程為(α為參數(shù))，則點M到曲線C上的點的距離的最小值為________． [答案]　5－ [解析]　依題意，點M的直角坐標是(4,4)，曲線C：(x－1)2＋y2＝2，圓心C(1,0)，|CM|＝＝5>，因此所求的距離的最小值是5－. 5．(xx湖北理，16)在直角坐標系xOy中，以O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系．已知直線l的極坐標方程為ρ(sin θ－3cos θ)＝0，曲線C的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，l與C相交于A，B兩點，則|AB|＝________. [答案]　2 [解析]　考查極坐標方程與直角坐標方程，參數(shù)方程與普通方程的互化及兩點間的距離公式． 由極坐標與直角坐標的關系可得直線l的直角坐標方程為y＝3x；① 由曲線C的參數(shù)方程可得其直角坐標方程為y2－x2＝4；② 聯(lián)立①②可解得直線l與曲線C的交點坐標A(，)， B(－，－)或A(－，－)，B(，)， 因此可解得|AB|＝2. 故本題正確答案為2. 二、解答題 6．(文)(xx福建理，21)在平面直角坐標系xOy中，圓C的參數(shù)方程為(t為參數(shù))．在極坐標系(與平面直角坐標系xOy取相同的長度單位，且以原點O為極點，以x軸非負半軸為極軸)中，直線l的方程為ρsin ＝m(m∈R)． (1)求圓C的普通方程及直線l的直角坐標方程； (2)設圓心C到直線l的距離等于2，求m的值． [解析]　考查1.參數(shù)方程和普通方程的互化；2.極坐標方程和直角坐標方程的互化；3.點到直線距離公式． (1)將圓的參數(shù)方程通過移項平方消去參數(shù)得(x－1)2＋(y＋2)2＝9，利用x＝ρcos θ，y＝ρsin θ， 將直線的極坐標方程化為直角坐標方程；(2)利用點到直線距離公式求解． (1)消去參數(shù)t，得到圓C的普通方程為(x－1)2＋(y＋2)2＝9， 由ρsin(θ－)＝m，得ρsin θ－ρcos θ－m＝0， 所以直線l的直角坐標方程為x－y＋m＝0. (2)依題意，圓心C到直線l的距離等于2， 即＝2， 解得m＝－32. (理)(xx太原市模擬)已知平面直角坐標系xOy中，過點P(－1，－2)的直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，以原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C的極坐標方程為ρsinθtanθ＝2a(a>0)，直線l與曲線C相交于不同的兩點M，N. (1)求曲線C和直線l的普通方程； (2)若|PM|＝|MN|，求實數(shù)a的值． [解析]　(1)∵(t為參數(shù))． ∴直線l的普通方程為x－y－1＝0， ∵ρsinθtanθ＝2a，∴ρ2sin2θ＝2aρcosθ， 由得曲線C的普通方程為y2＝2ax； (2)∵y2＝2ax，∴x≥0，設直線l上點M，N對應的參數(shù)分別是t1，t2(t1>0，t2>0)，則|PM|＝t1，|PN|＝t2， ∵|PM|＝|MN|，∴|PM|＝|PN|，∴t2＝2t1， 將代入y2＝2ax得t2－2(a＋2)t＋4(a＋2)＝0， ∴ 又∵t2＝2t1，∴a＝. 7．(文)在平面直角坐標系xOy中，橢圓C方程為(φ為參數(shù))． (1)求過橢圓的右焦點，且與直線m：(t為參數(shù))平行的直線l的普通方程． (2)求橢圓C的內(nèi)接矩形ABCD面積的最大值． [分析]　(1)由直線l與直線m平行可得l的斜率，將橢圓C的方程消參可得普通方程求出焦點坐標(也可直接由參數(shù)方程求)可得l方程． (2)用參數(shù)方程表示面積轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)最值求解． [解析]　(1)由C的參數(shù)方程可知，a＝5，b＝3，∴c＝4， ∴右焦點F2(4,0)，將直線m的參數(shù)方程化為普通方程：x－2y＋2＝0，所以k＝，于是所求直線方程為x－2y－4＝0. (2)由橢圓的對稱性，取橢圓在第一象限部分(令0≤φ≤)，則S＝4|xy|＝60sinφcosφ＝30sin2φ，∴當2φ＝時，Smax＝30， 即矩形面積的最大值為30. (理)在平面直角坐標xOy中，已知直線l的參數(shù)方程(t為參數(shù))，直線l與拋物線y2＝4x相交于A、B兩點，求線段AB的長． [解析]　解法1：將l的方程化為普通方程得l：x＋y＝3， ∴y＝－x＋3，代入拋物線方程y2＝4x并整理得x2－10x＋9＝0，∴x1＝1，x2＝9. ∴交點A(1,2)，B(9，－6)， 故|AB|＝＝8. 解法2：將l的參數(shù)方程代入y2＝4x中得， (2＋t)2＝4(1－t)， 解之得t1＝0，t2＝－8， ∴|AB|＝|t1－t2|＝8. 8．(xx商丘市二模)已知極坐標系的極點在直角坐標系的原點處，極軸與x軸的正半軸重合，直線l的極坐標方程為：ρsin＝，曲線C的參數(shù)方程為： (1)寫出直線l的直角坐標方程； (2)求曲線C上的點到直線l的距離的最大值． [解析]　(1)∵ρsin＝， ∴ρ＝， ∴y－x＝，即l：x－y＋1＝0. (2)解法一：由已知可得，曲線上的點的坐標為(2＋2cosα，2sinα)， 所以，曲線C上的點到直線l的距離 d＝＝≤. 所以最大距離為. 解法二：曲線C為以(2,0)為圓心，2為半徑的圓．圓心到直線的距離為， 所以，最大距離為＋2＝. 9．(文)(xx唐山市二模)在極坐標系中，曲線C：ρ＝2acosθ(a>0)，l：ρcos＝，C與l有且僅有一個公共點． (1)求a； (2)O為極點，A，B為C上的兩點，且∠AOB＝，求|OA|＋|OB|的最大值． [解析]　(1)曲線C是以(a,0)為圓心，以a為半徑的圓； l的直角坐標方程為x＋y－3＝0. 由直線l與圓C相切可得＝a，解得a＝1. (2)不妨設A的極角為θ，B的極角為θ＋， 則|OA|＋|OB|＝2cosθ＋2cos ＝3cosθ－sinθ＝2cos， 當θ＝－時，|OA|＋|OB|取得最大值2. (理)(xx石家莊市一模)已知曲線C1的參數(shù)方程為(θ為參數(shù))，以坐標原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C2的極坐標方程為ρ＝2. (1)分別寫出C1的普通方程，C2的直角坐標方程． (2)已知M，N分別為曲線C1的上、下頂點，點P為曲線C2上任意一點，求|PM|＋|PN|的最大值． [解析]　(1)曲線C1的普通方程為＋＝1， 曲線C2的直角坐標方程為x2＋y2＝4. (2)法一：由曲線C2：x2＋y2＝4，可得其參數(shù)方程為，所以P點坐標為(2cosα，2sinα)，由題意可知M(0，)，N(0，－)． 因此|PM|＋|PN|＝＋ ＝＋ (|PM|＋|PN|)2＝14＋2. 所以當sinα＝0時，(|PM|＋|PN|)2有最大值28， 因此|PM|＋|PN|的最大值為2. 法二：設P點坐標為(x，y)，則x2＋y2＝4， 由題意可知M(0，)，N(0，－)． 因此|PM|＋|PN|＝＋ ＝＋ (|PM|＋|PN|)2＝14＋2. 所以當y＝0時，(|PM|＋|PN|)2有最大值28， 因此|PM|＋|PN|的最大值為2. 10．(文)(xx新課標Ⅰ理，23)已知曲線C：＋＝1，直線l：(t為參數(shù))． (1)寫出曲線C的參數(shù)方程，直線l的普通方程； (2)過曲線C上任意一點P作與l夾角為30的直線，交l于點A，求|PA|的最大值與最小值． [解析]　(1)曲線C的參數(shù)方程為(θ為參數(shù)) 直線l的普通方程為：2x＋y－6＝0. (2)曲線C上任意一點P(2cosθ，3sinθ)到l的距離為 d＝|4cosθ＋3sinθ－6|. 則|PA|＝＝|5sin(θ＋α)－6|，其中α為銳角，且tanα＝. 當sin(θ＋α)＝－1時，|PA|取得最大值，最大值為. 當sin(θ＋α)＝1時，|PA|取得最小值，最小值為. (理)(xx太原市一模)在直角坐標系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為(其中θ為參數(shù))，點M是曲線C1上的動點，點P在曲線C2上，且滿足＝2. (1)求曲線C2的普通方程； (2)以原點O為原點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，射線θ＝與曲線C1、C2分別交于A、B兩點，求|AB|. [解析]　(1)設P(x，y)，M(x′，y′)， ∵＝2，∴ ∵點M在曲線C1上，∴ ∴(x′－1)2＋y′2＝3， 將x′＝，y′＝代入得， 曲線C2的普通方程為(x－2)2＋y2＝12； (2)∵曲線C1的直角坐標方程為(x－1)2＋y2＝3， ∴曲線C1的極坐標方程為ρ2－2ρcosθ－2＝0， 將θ＝代入得ρ＝2，∴A的極坐標為， 曲線C2的極坐標方程為ρ2－4ρcosθ－8＝0， 將θ＝代入得ρ＝4，∴B的極坐標為， ∴|AB|＝4－2＝2. 11．(文)在平面直角坐標系中，曲線C1的參數(shù)方程為(a＞b＞0，φ為參數(shù))，以O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C2是圓心在極軸上且經(jīng)過極點的圓，已知曲線C1上的點M(2，)對應的參數(shù)φ＝，θ＝與曲線C2交于點D(，) (1)求曲線C1、C2的方程； (2)A(ρ1，θ)，Β(ρ2，θ＋)是曲線C1上的兩點，求＋的值． [解析]　(1)將M(2，)及對應的參數(shù)φ＝，代入得 所以所以C1的方程為＋＝1. 設圓C2的半徑R，則圓C2的方程為：ρ＝2Rcosθ，將點D(，)代入得R＝1， ∴圓C2的方程為：ρ＝2cosθ(或(x－1)2＋y2＝1)． (2)曲線C1的極坐標方程為：＋＝1，將A(ρ1，θ)，Β(ρ2，θ＋)代入得：＋＝1，＋＝1 所以＋＝(＋)＋(＋)＝＋＝ 即＋的值為. (理)在直角坐標系xOy中，過點P(，)作傾斜角為α的直線l與曲線C：x2＋y2＝1相交于不同的兩點M、N. (1)寫出直線l的參數(shù)方程； (2)求＋的取值范圍． [解析]　(1)(t為參數(shù))． (2)將(t為參數(shù))代入x2＋y2＝1中，消去x，y得，t2＋(cosα＋3sinα)t＋2＝0， 由Δ＝(cosα＋3sinα)2－8＝12sin2(α＋)－8>0 ?sin(α＋)>， ＋＝＋＝－ ＝ ＝sin(α＋)∈(，]． [方法點撥]　1.在將參數(shù)方程化為普通方程時，為消去參數(shù)，常用的方法是加、減消元、代入消元、平方相加等，要注意觀察參數(shù)方程特點，選擇恰當?shù)南ǎ? 2．在橢圓的參數(shù)方程(φ為參數(shù))中，可直接求得c＝；在圓的參數(shù)方程(α為參數(shù))中可直接由參數(shù)方程得圓心(x0，y0)，半徑r；在直線的參數(shù)方程(t為參數(shù))中，也可以直接得到直線的斜率k＝. 3．給出曲線的極坐標方程，討論曲線的位置關系或求相交弦等，一般先化為直角坐標方程再求解． 4．一般地給出極坐標方程，求兩曲線交點的極坐標，可先化為直角坐標方程，求出交點的直角坐標，再化為極坐標． 5．在參數(shù)方程(t為參數(shù))中，設M(x0，y0)，N(x，y)，則MN＝t，|MN|＝|t|.(其中MN表示有向線段的數(shù)量)