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2019-2020年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第三篇 方法應(yīng)用篇 專題3.2 換元法（練）理 1.練高考 1. 【xx課標(biāo)3，理11】已知函數(shù)有唯一零點(diǎn)，則a= A． B． C． D．1 【答案】C 【解析】函數(shù)的零點(diǎn)滿足， 設(shè)，則， 當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，函數(shù) 單調(diào)遞減， 當(dāng)時(shí)，，函數(shù) 單調(diào)遞增， 當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值， 設(shè) ，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值 ， 2. 【xx課標(biāo)1，理11】設(shè)x、y、z為正數(shù)，且，則 A．2x<3y<5z B．5z<2x<3y C．3y<5z<2x D．3y<2x<5z 【答案】D 【解析】令，則，， ∴，則， ，則，故選D. 3. 【xx浙江，15】已知向量a，b滿足則的最小值是________，最大值是_______． 【答案】4， 【解析】 4.【xx課標(biāo)II，理】已知函數(shù)，且。 (1)求； (2)證明：存在唯一的極大值點(diǎn)，且。 【答案】(1)； (2)證明略。 【解析】 （2）由（1）知 ，。 設(shè)，則。 當(dāng) 時(shí)， ；當(dāng) 時(shí)， ， 所以 在 單調(diào)遞減，在 單調(diào)遞增。 5.【xx課標(biāo)3，理21】已知函數(shù) . （1）若 ，求a的值； （2）設(shè)m為整數(shù)，且對(duì)于任意正整數(shù)n ，求m的最小值. 【答案】(1) ； (2) 【解析】 試題分析：(1)由原函數(shù)與導(dǎo)函數(shù)的關(guān)系可得x=a是在的唯一最小值點(diǎn)，列方程解得 ； (2)利用題意結(jié)合(1)的結(jié)論對(duì)不等式進(jìn)行放縮，求得，結(jié)合可知實(shí)數(shù) 的最小值為 6.【xx高考山東理數(shù)】平面直角坐標(biāo)系中，橢圓C： 的離心率是，拋物線E：的焦點(diǎn)F是C的一個(gè)頂點(diǎn). （I）求橢圓C的方程； （II）設(shè)P是E上的動(dòng)點(diǎn)，且位于第一象限，E在點(diǎn)P處的切線與C交與不同的兩點(diǎn)A，B，線段AB的中點(diǎn)為D，直線OD與過P且垂直于x軸的直線交于點(diǎn)M. （i）求證：點(diǎn)M在定直線上; （ii）直線與y軸交于點(diǎn)G，記的面積為，的面積為，求的最大值及取得最大值時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo). 【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）（i）見解析；（ii）的最大值為，此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為 【解析】 （Ⅰ）由題意知，可得：. 因?yàn)閽佄锞€的焦點(diǎn)為，所以， 所以橢圓C的方程為. （Ⅱ）（i）設(shè)，由可得， 所以直線的斜率為， 因此直線的方程為，即. 設(shè)，聯(lián)立方程 得， 由，得且， 因此, 將其代入得， 因?yàn)椋灾本€方程為. 聯(lián)立方程，得點(diǎn)的縱坐標(biāo)為， 即點(diǎn)在定直線上. （ii）由（i）知直線方程為， 令得，所以， 又， 所以， ， 所以， 令，則， 當(dāng)，即時(shí)，取得最大值，此時(shí)，滿足， 所以點(diǎn)的坐標(biāo)為，因此的最大值為，此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為. 2.練模擬 1.已知函數(shù)，其在區(qū)間上單調(diào)遞增，則的取值范圍為（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】令，則，在區(qū)間上單調(diào)遞增，轉(zhuǎn)化為在上單調(diào)遞增，又，當(dāng)時(shí)，在恒成立，必有，可求得；當(dāng)時(shí)，在恒成立，必有，與矛盾，所以此時(shí)不存在.故選C. 2.不等式的解集為（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】原不等式等價(jià)于,設(shè)解得.即,故選C. 3.【xx屆內(nèi)蒙古赤峰市高三上學(xué)期期末】若,且,則__________． 【答案】 【解析】令，則. ∵ ∴ ∴原式可化為，即 ∴，即 ∴ ∴ 故答案為. 4.點(diǎn)在橢圓上，則點(diǎn)到直線的最大距離和最小距離分別為 . 【答案】，． 【解析】由于點(diǎn)在橢圓上，可設(shè)，則， 即，所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，． 5.【xx屆上海市長寧、嘉定區(qū)高三一模】已知函數(shù)． （1）求證：函數(shù)是偶函數(shù)； （2）設(shè)，求關(guān)于的函數(shù)在時(shí)的值域的表達(dá)式； （3）若關(guān)于的不等式在時(shí)恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍． 【答案】（1）見解析（2）（3）． 【解析】試題分析：（1）判斷定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，計(jì)算判斷其與的關(guān)系； （2）令，故，換元得，轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)，分類討論求其最值即可；（3））由，得，即恒成立，求其最值即可. 試題解析： （1）函數(shù)的定義域?yàn)椋瑢?duì)任意， ， 所以，函數(shù)是偶函數(shù)． （2）， 令，因?yàn)椋?，故? 原函數(shù)可化為， ， 圖像的對(duì)稱軸為直線， 當(dāng)時(shí)，函數(shù)在時(shí)是增函數(shù)，值域?yàn)椋? 當(dāng)時(shí)，函數(shù)在時(shí)是減函數(shù)，在時(shí)是增函數(shù)，值域?yàn)椋? 綜上， （3）由，得， 當(dāng)時(shí)， ，所以，所以， 所以， 恒成立． 令，則， ， 由，得，所以， ． 所以， ，即的取值范圍為． 3.練原創(chuàng) 1．若f(ln x)＝3x＋4，則f(x)的表達(dá)式為( ) A．f(x)＝3ln x B．f(x)＝3ln x＋4 C．f(x)＝3ex D．f(x)＝3ex＋4 【答案】D 【解析】令ln x＝t，則x＝et，故f(t)＝3et＋4，得f(x)＝3ex＋4，故選D. 2．已知點(diǎn)A是橢圓＋＝1上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P在線段OA的延長線上，且＝48，則點(diǎn)P的橫坐標(biāo)的最大值為( ) A．18 B．15 C．10 D. 【答案】C 3.已知在數(shù)列中，，當(dāng)時(shí)，其前項(xiàng)和滿足. (Ⅰ) 求的表達(dá)式；(Ⅱ) 設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和．證明 【答案】 (1);(2)見解析. 【解析】(1)當(dāng)時(shí)，代入，得， 由于，所以 令=，則=2， 所以是首項(xiàng)為，公差為2的等差數(shù)列 ∴，即，所以 (2) ∴所以 4. 已知函數(shù)． （1）求證：函數(shù)的圖象與軸恒有公共點(diǎn)；（2）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的定義域； （3）若存在使關(guān)于的方程有四個(gè)不同的實(shí)根，求實(shí)數(shù)的取值范圍． 【答案】（1）．(2)當(dāng)時(shí)，；時(shí)， （3）. 【解析】（1）圖象與軸恒有公共點(diǎn)． (2)要使函數(shù)有意義，需滿足，即， 當(dāng)時(shí)，；時(shí)， （3）時(shí)，，令，是偶函數(shù)，只要討論時(shí)函數(shù)圖象與函數(shù)圖象有兩個(gè)公共點(diǎn)即可，以下只討論時(shí)的情形圖象恒過點(diǎn)，函數(shù)圖象對(duì)稱軸， ①時(shí)，根據(jù)函數(shù)圖象，與圖象只有一個(gè)公共點(diǎn)，不符題意，舍去； ②且時(shí)，單調(diào)遞減，最大值為，圖象與無交點(diǎn)，不符題意，舍去； ③且時(shí)，只要最大值即可，解得； 綜上.