2019-2020年高中數(shù)學(xué)知識精要 5.高考數(shù)學(xué)應(yīng)用題的解法教案 新人教A版xx年全國數(shù)學(xué)考試大綱（課標(biāo)版）中，能力要求中指出，能力是指思維能力、運算能力、空間想象能力以及實踐能力和創(chuàng)新意識，其中對實踐能力的界定是：能綜合應(yīng)用所學(xué)數(shù)學(xué)知識、思想和方法解決問題，包括解決在相關(guān)學(xué)科、生產(chǎn)、生活中簡單的數(shù)學(xué)問題；能理解對問題陳述的材料，并對所提供的信息資料進(jìn)行歸納、整理和分類，將實際問題抽象為數(shù)學(xué)問題，建立數(shù)學(xué)模型；應(yīng)用相關(guān)的數(shù)學(xué)方法解決問題并加以驗證，并能用數(shù)學(xué)語言正確地表達(dá)和說明.實踐能力是將客觀事物數(shù)學(xué)化的能力.主要過程是依據(jù)現(xiàn)實的生活背景，提煉相關(guān)的數(shù)量關(guān)系，構(gòu)造數(shù)學(xué)模型，將現(xiàn)實問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，并加以解決.xx年山東數(shù)學(xué)考試說明對實踐能力的界定是：能夠綜合運用所學(xué)知識對問題所提供的信息資料進(jìn)行歸納、整理和分類，將實際問題抽象為數(shù)學(xué)問題；能應(yīng)用相關(guān)的數(shù)學(xué)方法解決問題，并能用數(shù)學(xué)語言正確地表述、說明對實踐能力的考查主要采用解決應(yīng)用問題的形式.命題時要堅持“貼近生活，背景公平，控制難度”的原則，試題設(shè)計要切合中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的實際，考慮學(xué)生的年齡特點和實踐經(jīng)驗，使數(shù)學(xué)應(yīng)用問題的難度符合考生的水平.數(shù)學(xué)應(yīng)用性問題是歷年高考命題的主要題型之一, 高考中一般命制一道解答題和兩道選擇填空題. 由于這類題目文字?jǐn)⑹鲩L，數(shù)學(xué)背景陌生，涉及面又廣，對相當(dāng)一部分學(xué)生來講，連題目都不“敢”去看了，心理失衡，導(dǎo)致在閱讀和理解方面存在著一定困難.解答這類問題的要害是消除心理和語言障礙，深刻理解題意,做好文字語言向數(shù)學(xué)的符號語言的翻譯轉(zhuǎn)化, 自信，冷靜地去讀完題目，保持冷靜，認(rèn)真對待，不能隨意放棄.讀題是翻譯的基礎(chǔ)，讀題時要抓住題目中的關(guān)鍵字、詞、句，弄清題中的已知事項，初步了解題目中講的是什么事情，要求的結(jié)果是什么。在讀題的基礎(chǔ)上，要能復(fù)述題目中的要點，深思題意，很多情況下，可將應(yīng)用題翻譯成圖表形式，形象鮮明地表現(xiàn)出題中各數(shù)量之間的關(guān)系，將文字語言、符號語言、圖表語言轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)語言，這個過程其實就是建模。函數(shù),數(shù)列,不等式，排列組合、概率是較為常見的模型,而三角,立幾,解幾等模型也時有出現(xiàn).一般來說，可采用下列策略建立數(shù)學(xué)模型：（1）雙向推理列式，利用已知條件順向推理，運用所求結(jié)果進(jìn)行逆向搜索；（2）借助常用模型直接列式，平均增長率的問題可建立指、對數(shù)或方程模型，行程、工程、濃度問題可以建立方程（組）或不等式模型，拱橋、炮彈發(fā)射、衛(wèi)星制造問題可建立二次模型，測量問題可建立解三角形模型；計數(shù)問題可建立排列組合問題；機(jī)會大小問題可建立概率模型，優(yōu)化問題可建立線性規(guī)劃模型一、 建構(gòu)函數(shù)模型的應(yīng)用性問題 解答函數(shù)型應(yīng)用題，一般先從建立函數(shù)的解析表達(dá)式入手，通過研究函數(shù)的性質(zhì)獲得解答因此，這類問題的難點一般有兩個：一是解析式的建立，二是數(shù)學(xué)知識的靈活應(yīng)用1某公司為幫助尚有26.8萬元無息貸款沒有償還的殘疾人商店，借出20萬元將該商店改建成經(jīng)營狀況良好的某種消費品專賣店，并約定用該店經(jīng)營的利潤逐步償還債務(wù)(所有債務(wù)均不計利息)已知該種消費品的進(jìn)價為每件40元；該店每月銷售量q（百件）與銷售價p（元件）之間的關(guān)系用右圖中的一條折線（實線）表示；職工每人每月工資為600元，該店應(yīng)交付的其它費用為每月13200元（）若當(dāng)銷售價p為52元件時，該店正好收支平衡，求該店的職工人數(shù)；（）若該店只安排40名職工，則該店最早可在幾年后還清所有債務(wù)，此時每件消費品的價格定為多少元？講解 本題題目的篇幅較長，所給條件零散雜亂，為此，不僅需要劃分段落層次，弄清每一層次獨立的含義和相互間的關(guān)系，更需要抓住矛盾的主要方面由題目的問題找到關(guān)鍵詞“收支平衡”、“還清所有債務(wù)”，不難想到，均與“利潤”相關(guān)從閱讀和以上分析，可以達(dá)成我們對題目的整體理解，明確這是一道函數(shù)型應(yīng)用題為此，首先應(yīng)該建立利潤與職工人數(shù)、月銷售量q、單位商品的銷售價p之間的關(guān)系，然后，通過研究解析式，來對問題作出解答由于銷售量和各種支出均以月為單位計量，所以，先考慮月利潤（）設(shè)該店的月利潤為S元，有職工m名則又由圖可知：所以， 由已知，當(dāng)時，即解得即此時該店有50名職工（）若該店只安排40名職工，則月利潤當(dāng)時，求得時，S取最大值7800元當(dāng)時，求得時，S取最大值6900元綜上，當(dāng)時，S有最大值7800元設(shè)該店最早可在n年后還清債務(wù)，依題意，有解得所以，該店最早可在5年后還清債務(wù)，此時消費品的單價定為55元點評求解數(shù)學(xué)應(yīng)用題必須突破三關(guān)：（1）閱讀理解關(guān)：一般數(shù)學(xué)應(yīng)用題的文字閱讀量都比較大，要通過閱讀審題，找出關(guān)鍵詞、句，理解其意義（2）建模關(guān)：即建立實際問題的數(shù)學(xué)模型，將其轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題（3）數(shù)理關(guān)：運用恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)方法去解決已建立的數(shù)學(xué)模型2某廠生產(chǎn)一種儀器，由于受生產(chǎn)能力和技術(shù)水平的限制，會產(chǎn)生一些次品根據(jù)經(jīng)驗知道，該廠生產(chǎn)這種儀器，次品率P與日產(chǎn)量x（件）之間大體滿足關(guān)系：注：次品率，如表示每生產(chǎn)10件產(chǎn)品，約有1件為次品其余為合格品已知每生產(chǎn)一件合格的儀器可以盈利A元，但每生產(chǎn)一件次品將虧損元，故廠方希望定出合適的日產(chǎn)量（）試將生產(chǎn)這種儀器每天的盈利額T（元）表示為日產(chǎn)量x（件）的函數(shù)；（）當(dāng)日產(chǎn)量為多少時，可獲得最大利潤？講解：（）當(dāng)時，所以，每天的盈利額當(dāng)時，所以，每日生產(chǎn)的合格儀器約有件，次品約有件故，每天的盈利額綜上，日盈利額（元）與日產(chǎn)量（件）的函數(shù)關(guān)系為：（）由（）知，當(dāng)時，每天的盈利額為0當(dāng)時，為表達(dá)方便，令，則故（等號當(dāng)且僅當(dāng)，即時成立）所以，（1）當(dāng)時，（等號當(dāng)且僅當(dāng)時成立）（2） 當(dāng)時，由得，易證函數(shù)在上單調(diào)遞增（證明過程略）所以，所以，即（等號當(dāng)且僅當(dāng)時取得）綜上，若，則當(dāng)日產(chǎn)量為88件時，可獲得最大利潤；若，則當(dāng)日產(chǎn)量為時，可獲得最大利潤點評基本不等式和函數(shù)的單調(diào)性是求解函數(shù)最值問題的兩大重要手段3.某產(chǎn)品生產(chǎn)廠家根據(jù)以往的生產(chǎn)銷售經(jīng)驗得到下面有關(guān)銷售的統(tǒng)計規(guī)律：每生產(chǎn)產(chǎn)品x（百臺），其總成本為G（x）萬元，其中固定成本為2萬元，并且每生產(chǎn)100臺的生產(chǎn)成本為1萬元（總成本=固定成本+生產(chǎn)成本），銷售收入R(x)滿足R(x)=.假定該產(chǎn)品銷售平衡，那么根據(jù)上述統(tǒng)計規(guī)律.（1）要使工廠有盈利，產(chǎn)品x應(yīng)控制在什么范圍？（2）工廠生產(chǎn)多少臺產(chǎn)品時贏利最大？并求此時每臺產(chǎn)品的售價為多少？解：依題意，G（x)=x+2,設(shè)利潤函數(shù)為f(x),則(1)要使工廠有贏利，則有f(x)>0.當(dāng)0x5時，有0.4x2+3.2x2.8>0,得1<x<7,1<x5.當(dāng)x>5時，有8.2x>0,得x<8.2,5<x<8.2.綜上，要使工廠贏利，應(yīng)滿足1<x<8.2.即產(chǎn)品應(yīng)控制在大于100臺小于820臺的范圍內(nèi).（2）0x5時，f(x)=0.4(x4)2+3.6故當(dāng)x=4時，f(x)有最大值3.6.而當(dāng)x>5時f(x)<8.25=3.2所以當(dāng)工廠生產(chǎn)400臺產(chǎn)品時，贏利最大，此時只須求x=4時，每臺產(chǎn)品售價為=2.4（萬元/百臺）=240（元/臺）.4.為處理含有某種雜質(zhì)的污水，要制造一個底寬為2米的無蓋長方體沉淀箱（如圖），污水從A孔流入，經(jīng)沉淀后從B孔流出，設(shè)箱體的長度為a米，高度為b米，已知流出的水中該雜質(zhì)的質(zhì)量分?jǐn)?shù)與a、b的乘積ab成反比，現(xiàn)有制箱材料60平方米，問當(dāng)a、b各為多少米時，經(jīng)沉淀后流出的水中該雜質(zhì)的質(zhì)量分?jǐn)?shù)最?。ˋ、B孔的面積忽略不計）？分析：關(guān)鍵在于理解題意而列出關(guān)系式，找到a與b間的等量關(guān)系.函數(shù)最小值可應(yīng)用重要不等式或利用導(dǎo)數(shù)解決. 解法一：設(shè)經(jīng)沉淀后流出的水中該雜質(zhì)的質(zhì)量分?jǐn)?shù)為y，則由條件y=(k0為比例系數(shù))其中a、b滿足2a+4b+2ab=60 要求y的最小值，只須求ab的最大值.由(a+2)(b+1)=32(a0,b0)且ab=30(a+2b)應(yīng)用重要不等式a+2b=(a+2)+(2b+2)4ab18，當(dāng)且僅當(dāng)a=2b時等號成立將a=2b代入得a=6,b=3.故當(dāng)且僅當(dāng)a=6,b=3時，經(jīng)沉淀后流出的水中該雜質(zhì)的質(zhì)量分?jǐn)?shù)最小.解法二：由2a+4b+2ab=60,得,記(0a30)則要求y的最小值只須求u的最大值.由，令u=0得a=6且當(dāng)0a6時，u0，當(dāng)6u30時u0,在a=6時取最大值，此時b=3.從而當(dāng)且僅當(dāng)a=6，b=3時,y=取最小值.5.運輸一批海鮮，可在汽車、火車、飛機(jī)三種運輸工具中選擇，它們的速度分別為v千米/小時、2v千米/小時、10v千米/小時，每千米的運費分別為a元、b元、c元.且bac,又這批海鮮在運輸過程中的損耗為m元/小時，若使用三種運輸工具分別運輸時各自的總費用（運費與損耗之和）互不相等.試確定使用哪種運輸工具總費用最省.（題中字母均為正的已知量）5.解：設(shè)運輸路程為S（千米），使用汽車、火車、飛機(jī)三種運輸工具運輸時各自的總費用分別為y1(元)、y2(元)、y3(元).則由題意，,由a>b,各字母均為正值，所以y1y2>0，即y2<y1.由y3y2=(cb)S.令y3y2>0,由c>b及每字母都是正值，得c>b+.所以，當(dāng)c>b+時y2<y3,由y2<y1即y2最小，當(dāng)b<a<c<b+時，y3<y2<y1,y3最小.6.已知某海濱浴場的海浪高度y（米）是時間t(0t24，單位小時）的函數(shù)，記作y=f(t)，下表是某日各時的浪高數(shù)據(jù)t03691215182124y1.51.00.51.01.4910.510.991.5經(jīng)長期觀測y=f(t)的曲線可近似地看成函數(shù)y=Acost+b.（1）根據(jù)以上數(shù)據(jù)，求出函數(shù)y=Acost+b的最小正周期T，振幅A及函數(shù)表達(dá)式；（2）依據(jù)規(guī)定，當(dāng)海浪高度高于1米時才對沖浪愛好者開放，請依據(jù)（1）的結(jié)論，判斷一天內(nèi)的上午8：00至晚上20：00之間，有多少時間可供沖浪者進(jìn)行運動.解：（1）由表中數(shù)據(jù)，知T=12，=.由t=0,y=1.5得A+b=1.5.由t=3,y=1.0,得b=1.0.所以，A=0.5,b=1.振幅A=，y=(2)由題意知，當(dāng)y>1時，才可對沖浪者開放.>1, >0.2k,即有12k3<t<13k+3.由0t24,故可令k=0,1,2,得0t<3或9<t<15或21<t24.在規(guī)定時間內(nèi)有6個小時可供沖浪者運動即上午9：00至下午15：00.7.某外商到一開放區(qū)投資72萬美元建起一座蔬菜加工廠，第一年各種經(jīng)費12萬美元，以后每年增加4萬美元，每年銷售蔬菜收入50萬美元.（1）若扣除投資及各種經(jīng)費，則從第幾年開始獲取純利潤？（2）若干年后，外商為開發(fā)新項目，有兩種處理方案：年平均利潤最大時以48萬美元出售該廠；純利潤總和最大時，以16萬元出售該廠，問哪種方案最合算？解：由題意知，每年的經(jīng)費是以12為首項，4為公差的等差數(shù)列，設(shè)純利潤與年數(shù)的關(guān)系為f(n),則f(n)=50n12n+472=2n2+40n72(1)獲純利潤就是要求f(n)>0,2n2+40n72>0，解得2<n<18.由nN知從第三年開始獲利.（2）年平均利潤=402(n+)16.當(dāng)且僅當(dāng)n=6時取等號.故此方案先獲利616+48=144（萬美元），此時n=6,f(n)=2(n10)2+128.當(dāng)n=10時，f(n)|max=128.故第種方案共獲利128+16=144（萬美元）.故比較兩種方案，獲利都是144萬美元，但第種方案只需6年，而第種方案需10年，故選擇第種方案.8.某廠使用兩種零件A、B裝配兩種產(chǎn)品P、Q，該廠的生產(chǎn)能力是月產(chǎn)P產(chǎn)品最多有2500件，月產(chǎn)Q產(chǎn)品最多有1200件；而且組裝一件P產(chǎn)品要4個A、2個B，組裝一件Q產(chǎn)品要6個A、8個B，該廠在某個月能用的A零件最多14000個；B零件最多1xx個.已知P產(chǎn)品每件利潤1000元，Q產(chǎn)品每件xx元，欲使月利潤最大，需要組裝P、Q產(chǎn)品各多少件？最大利潤多少萬元.解：設(shè)分別生產(chǎn)P、Q產(chǎn)品x件、y件，則有設(shè)利潤S=1000x+xxy=1000(x+2y)要使利潤S最大，只需求x+2y的最大值.x+2y=m(2x+3y)+n(x+4y)=x(2m+n)+y(3m+4n) 有x+2y=(2x+3y)+(x+4y)7000+6000.當(dāng)且僅當(dāng)解得時取等號，此時最大利潤Smax=1000(x+2y)=4000000=400(萬元).另外此題可運用“線性規(guī)劃模型”解決.9. 隨著機(jī)構(gòu)改革工作的深入進(jìn)行，各單位要減員增效，有一家公司現(xiàn)有職員人（140<<420，且為偶數(shù)），每人每年可創(chuàng)利萬元.據(jù)評估，在經(jīng)營條件不變的前提下，每裁員1人，則留崗職員每人每年多創(chuàng)利萬元，但公司需付下崗職員每人每年萬元的生活費，并且該公司正常運轉(zhuǎn)所需人數(shù)不得小于現(xiàn)有職員的，為獲得最大的經(jīng)濟(jì)效益，該公司應(yīng)裁員多少人？ 解 設(shè)裁員人，可獲得的經(jīng)濟(jì)效益為萬元,則 =依題意 0<.又140<<420, 70<<210.(1)當(dāng)0<,即70<140時， , 取到最大值;(2)當(dāng)>,即140<<210時， , 取到最大值;OABvt2(1k)t4kt15 綜上所述，當(dāng)70<140時，應(yīng)裁員人；當(dāng)140<<210時，應(yīng)裁員人.在多字母的數(shù)學(xué)問題當(dāng)中，分類求解時需要搞清：為什么分類？對誰分類？如何分類？10.醫(yī)學(xué)上為研究傳染病傳播中病毒細(xì)胞的發(fā)展規(guī)律及其預(yù)防，將病毒細(xì)胞注入一只小白鼠體內(nèi)進(jìn)行實驗，經(jīng)檢測，病毒細(xì)胞的增長數(shù)與天數(shù)的關(guān)系記錄如下表. 已知該種病毒細(xì)胞在小白鼠體內(nèi)的個數(shù)超過108的時候小白鼠將死亡但注射某種藥物，將可殺死其體內(nèi)該病毒細(xì)胞的98%（1）為了使小白鼠在實驗過程中不死亡，第一次最遲應(yīng)在何時注射該種藥物？（精確到天）（2）第二次最遲應(yīng)在何時注射該種藥物，才能維持小白鼠的生命？（精確到天）天數(shù)t病毒細(xì)胞總數(shù)N12345671248163264 已知：lg2=0.3010天數(shù)t病毒細(xì)胞總數(shù)N12345671248163264講解 （1）由題意病毒細(xì)胞關(guān)于時間n的函數(shù)為, 則由兩邊取對數(shù)得 n27.5, 即第一次最遲應(yīng)在第27天注射該種藥物.（2）由題意注入藥物后小白鼠體內(nèi)剩余的病毒細(xì)胞為,再經(jīng)過x天后小白鼠體內(nèi)病毒細(xì)胞為,由題意108，兩邊取對數(shù)得， 故再經(jīng)過6天必須注射藥物，即第二次應(yīng)在第33天注射藥物本題反映的解題技巧是“兩邊取對數(shù)”，這對實施指數(shù)運算是很有效的.11.在一很大的湖岸邊（可視湖岸為直線）停放著一只小船，由于纜繩突然斷開，小船被風(fēng)刮跑，其方向與湖岸成15角，速度為2.5km/h，同時岸邊有一人,從同一地點開始追趕小船，已知他在岸上跑的速度為4km/h，在水中游的速度為2km/h.,問此人能否追上小船.若小船速度改變，則小船能被人追上的最大速度是多少？講解: 不妨畫一個圖形,將文字語言翻譯為圖形語言, 進(jìn)而想法建立數(shù)學(xué)模型.設(shè)船速為v，顯然時人是不可能追上小船，當(dāng)km/h時，人不必在岸上跑，而只要立即從同一地點直接下水就可以追上小船，因此只要考慮的情況，由于人在水中游的速度小于船的速度，人只有先沿湖岸跑一段路后再游水追趕，當(dāng)人沿岸跑的軌跡和人游水的軌跡以及船在水中漂流的軌跡組成一個封閉的三角形時，人才能追上小船。設(shè)船速為v，人追上船所用時間為t，人在岸上跑的時間為，則人在水中游的時間為，人要追上小船，則人船運動的路線滿足如圖所示的三角形.由余弦是理得即整理得.要使上式在（0，1）范圍內(nèi)有實數(shù)解，則有且解得. 故當(dāng)船速在內(nèi)時，人船運動路線可物成三角形，即人能追上小船，船能使人追上的最大速度為，由此可見當(dāng)船速為2.5km/h時, 人可以追上小船.涉及解答三角形的實際應(yīng)用題是近年高考命題的一個冷點, 復(fù)課時值得關(guān)注.有一個受到污染的湖泊，其湖水的容積為V立方米，每天流出湖泊的水量都是r立方米，現(xiàn)假設(shè)下雨和蒸發(fā)正好平衡，且污染物質(zhì)與湖水能很好地混合，用g(t)表示某一時刻t每立方米湖水所含污染物質(zhì)的克數(shù)，我們稱為在時刻t時的湖水污染質(zhì)量分?jǐn)?shù)，已知目前污染源以每天p克的污染物質(zhì)污染湖水，湖水污染質(zhì)量分?jǐn)?shù)滿足關(guān)系式g(t)= +g(0)- e(p0),其中，g(0)是湖水污染的初始質(zhì)量分?jǐn)?shù).（1）當(dāng)湖水污染質(zhì)量分?jǐn)?shù)為常數(shù)時，求湖水污染的初始質(zhì)量分?jǐn)?shù)； （2）求證：當(dāng)g(0)< 時，湖泊的污染程度將越來越嚴(yán)重； （3）如果政府加大治污力度，使得湖泊的所有污染停止，那么需要經(jīng)過多少天才能使湖水的污染水平下降到開始時污染水平的5%？ 講解（1）g(t)為常數(shù), 有g(shù)(0)-=0, g(0)= .(2) 我們易證得0<t1<t2, 則g(t1)-g(t2)=g(0)- e-g(0)- e=g(0)- e-e=g(0)- ,g(0)<0,t1<t2,e>e,g(t1)<g(t2).故湖水污染質(zhì)量分?jǐn)?shù)隨時間變化而增加，污染越來越嚴(yán)重.(3)污染停止即P=0，g(t)=g(0)e,設(shè)經(jīng)過t天能使湖水污染下降到初始污染水平5%即g(t)=5% g(0)=e，t= ln20，故需要 ln20天才能使湖水的污染水平下降到開始時污染水平的5%.12某租賃公司擁有汽車100輛，當(dāng)每輛車的月租金為3000元時，可全部租出當(dāng)每輛車的月租金每增加50元時，未租出的車將會增加一輛，租出的車每輛每月需要維護(hù)費150元，未租出的車每輛每月需要維護(hù)費50元（）當(dāng)每輛車的月租金定為3600元時，能租出多少輛車？（）當(dāng)每輛車的月租金定為多少元時，租賃公司的月收益最大？最大月收益是多少？講解：（）當(dāng)每輛車的月租金定為3600元時，未租出的車輛數(shù)為，所以這時租出了88輛車（）設(shè)每輛車的月租金定為x元，則租賃公司的月收益為：整理得：所以，當(dāng)時，最大，最大值為307050即當(dāng)每輛車的月租金定為4050元時，租賃公司的月收益最大，最大月收益是307050元點評：實際問題的最值要注意自變量的取值范圍13.某機(jī)床廠今年年初用98萬元購進(jìn)一臺數(shù)控機(jī)床，并立即投入生產(chǎn)使用，計劃第一年維修、保養(yǎng)費用12萬元，從第二年開始，每年所需維修、保養(yǎng)費用比上一年增加4萬元，該機(jī)床使用后，每年的總收入為50萬元，設(shè)使用x年后數(shù)控機(jī)床的盈利額為y萬元.（1）寫出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）從第幾年開始，該機(jī)床開始盈利（盈利額為正值）； (3 ) 使用若干年后，對機(jī)床的處理方案有兩種： (i )當(dāng)年平均盈利額達(dá)到最大值時，以30萬元價格處理該機(jī)床； (ii )當(dāng)盈利額達(dá)到最大值時，以12萬元價格處理該機(jī)床，問用哪種方案處理較為合算？請說明你的理由.講解 本例兼顧應(yīng)用性和開放性, 是實際工作中經(jīng)常遇到的問題. （1） =. （2）解不等式 0,得 x.xN， 3 x 17.故從第3年工廠開始盈利.（3）(i) 40當(dāng)且僅當(dāng)時，即x=7時，等號成立.到xx年，年平均盈利額達(dá)到最大值，工廠共獲利127+30=114萬元.(ii)y=-2x2+40x-98= -2（x-10）2 +102，當(dāng)x=10時，ymax=102.故到xx年，盈利額達(dá)到最大值，工廠共獲利102+12=114萬元.解答函數(shù)型最優(yōu)化實際應(yīng)用題，二、三元均值不等式是常用的工具.二、建構(gòu)不等關(guān)系的應(yīng)用性問題不等式應(yīng)用題，多以函數(shù)面目出現(xiàn)，以最優(yōu)化的形式展現(xiàn)，解答這一類問題，不僅需要不等式的相關(guān)知識（不等式的性質(zhì)、解不等式、均值不等式等），而且往往涉及函數(shù)、數(shù)列、幾何等多方面知識，綜合性強，難度可大可小，是高考和各地模擬題的命題熱點1. 某人上午7時乘摩托艇以勻速V千米/小時（4V20）從A港出發(fā)前往50千米處的B港，然后乘汽車以勻速W千米/小時（30W100）自B港向300千米處的C市駛?cè)?，在同一天?6時至21時到達(dá)C市, 設(shè)汽車、摩托艇所需的時間分別是x小時、y小時，若所需經(jīng)費元，那么V、W分別為多少時，所需經(jīng)費最少？并求出這時所花的經(jīng)費.講解: 題中已知了字母, 只需要建立不等式和函數(shù)模型進(jìn)行求解.由于又,則z最大時P最小.作出可行域，可知過點（10，4）時, z有最大值38， P有最小值93，這時V=12.5，W=30.視這是整體思維的具體體現(xiàn), 當(dāng)中的換元法是數(shù)學(xué)解題的常用方法.甲乙丙維生素A（單位/千克）600700400維生素B（單位/千克）800400500成本（元/千克）11942. 某商場經(jīng)過市場調(diào)查分析后得知，xx年從年初開始的前n個月內(nèi)，對某種商品需求的累計數(shù)（萬件）近似地滿足下列關(guān)系： （）問這一年內(nèi)，哪幾個月需求量超過1.3萬件？（）若在全年銷售中，將該產(chǎn)品都在每月初等量投放市場，為了保證該商品全年不脫銷，每月初至少要投放多少件商品？（精確到件）講解：（）首先，第n個月的月需求量 ， 當(dāng)時， 令，即 ，解得：， nN， n = 5 ，6 即這一年的5、6兩個月的需求量超過1.3萬件（）設(shè)每月初等量投放商品a萬件，要使商品不脫銷，對于第n個月來說，不僅有本月投放市場的a萬件商品，還有前幾個月未銷售完的商品所以，需且只需：， 又 即每月初至少要投放11112件商品，才能保證全年不脫銷點評：實際問題的解答要注意其實際意義本題中的最小值，不能用四舍五入的方法得到，否則，不符合題意3已知甲、乙、丙三種食物的維生素A、B含量及成本如下表，若用甲、乙、丙三種食物各x千克，y千克，z千克配成100千克混合食物，并使混合食物內(nèi)至少含有56000單位維生素A和63000單位維生素B. （）用x，y表示混合食物成本c元； （）確定x，y，z的值，使成本最低講解：（）由題，又，所以，（）由得，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立所以，當(dāng)x=50千克，y=20千克，z=30千克時，混合物成本最低，為850元點評：本題為線性規(guī)劃問題，用解析幾何的觀點看，問題的解實際上是由四條直線所圍成的區(qū)域上使得最大的點不難發(fā)現(xiàn)，應(yīng)在點M（50，20）處取得三、建構(gòu)數(shù)列模型的應(yīng)用性問題數(shù)列作為特殊的函數(shù)，在高中數(shù)學(xué)中占有相當(dāng)重要的位置，涉及實際應(yīng)用的問題廣泛而多樣，如：增長率、銀行信貸等解答這一類問題，要充分應(yīng)用觀察、歸納、猜想的手段，注意其間的遞推關(guān)系，建立出等差、等比、或遞推數(shù)列的模型建立數(shù)列的遞推關(guān)系來解題將有可能成為高考命題革新的一個方向1某縣位于沙漠邊緣，當(dāng)?shù)鼐用衽c風(fēng)沙進(jìn)行著艱苦的斗爭，到xx年底全縣的綠地已占全縣總面積的30%從xx年起，市政府決定加大植樹造林、開辟綠地的力度，則每年有16%的原沙漠地帶變成了綠地，但同時，原有綠地的4%又被侵蝕，變成了沙漠（）在這種政策之下，是否有可能在將來的某一年，全縣綠地面積超過80%？（）至少在多少年底，該縣的綠地面積才能超過全縣總面積的60%？講解：本題為實際問題，首先應(yīng)該讀懂題意，搞清研究對象，然后把它轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題不難看出，這是一道數(shù)列型應(yīng)用問題因此，我們可以設(shè)：全縣面積為1，記xx年底的全縣綠地面積占總面積的百分比為，經(jīng)過n年后全縣綠地面積占總面積的百分比為，則我們所要回答的問題就是：（）是否存在自然數(shù)，使得>80% ？（）求使得>60%成立的最小的自然數(shù).為了解決這些問題，我們可以根據(jù)題意，列出數(shù)列的相鄰項之間的函數(shù)關(guān)系，然后由此遞推公式出發(fā)，設(shè)法求出這個數(shù)列的通項公式由題可知：，所以，當(dāng)時，兩式作差得：又，所以，數(shù)列是以為首項，以為公比的等比數(shù)列所以， 由上式可知：對于任意，均有即全縣綠地面積不可能超過總面積的80%（）令，得，由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可知：隨的增大而單調(diào)遞減，因此，我們只需從開始驗證，直到找到第一個使得的自然數(shù)即為所求驗證可知：當(dāng)時，均有，而當(dāng)時，由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可知：當(dāng)時，均有所以，從xx年底開始，5年后，即xx年底，全縣綠地面積才開始超過總面積的60%點評：（）中，也可通過估值的方法來確定的值2. 某鐵路指揮部接到預(yù)報，24小時后將有一場超歷史記錄的大暴雨，為確保萬無一失，指揮部決定在24小時內(nèi)筑一道歸時堤壩以防山洪淹沒正在緊張施工的遂道工程。經(jīng)測算，其工程量除現(xiàn)有施工人員連續(xù)奮戰(zhàn)外，還需要20輛翻斗車同時作業(yè)24小時。但是，除了有一輛車可以立即投入施工外，其余車輛需要從各處緊急抽調(diào)，每隔20分鐘有一輛車到達(dá)并投入施工，而指揮部最多可組織25輛車。問24小時內(nèi)能否完成防洪堤壩工程？并說明理由.講解: 引入字母, 構(gòu)建等差數(shù)列和不等式模型.由20輛車同時工作24小時可完成全部工程可知，每輛車，每小時的工作效率為，設(shè)從第一輛車投入施工算起，各車的工作時間為a1，a2，, a25小時，依題意它們組成公差（小時）的等差數(shù)列，且，化簡可得. 解得.可見a1的工作時間可以滿足要求，即工程可以在24小時內(nèi)完成.3. 某學(xué)校為了教職工的住房問題，計劃征用一塊土地蓋一幢總建筑面積為A(m2)的宿舍樓.已知土地的征用費為2388元/m2，且每層的建筑面積相同，土地的征用面積為第一層的2.5倍.經(jīng)工程技術(shù)人員核算，第一、二層的建筑費用相同都為445元/m2，以后每增高一層，其建筑費用就增加30元/m2.試設(shè)計這幢宿舍樓的樓高層數(shù)，使總費用最少，并求出其最少費用.（總費用為建筑費用和征地費用之和）.講解: 想想看, 需要引入哪些字母? 怎樣建構(gòu)數(shù)學(xué)模型?設(shè)樓高為n層，總費用為y元，則征地面積為，征地費用為元，樓層建筑費用為445+445+（445+30）+（445+302）+445+30（n2） 元，從而（元）當(dāng)且僅當(dāng) , n=20（層）時，總費用y最少.故當(dāng)這幢宿舍樓的樓高層數(shù)為20層時, 最少總費用為1000A元.5某人計劃年初向銀行貸款10萬元用于買房他選擇10年期貸款，償還貸款的方式為：分10次等額歸還，每年一次，并從借后次年年初開始?xì)w還，若10年期貸款的年利率為4，且每年利息均按復(fù)利計算（即本年的利息計入次年的本金生息），問每年應(yīng)還多少元（精確到1元）？講解：作為解決這個問題的第一步，我們首先需要明確的是：如果不考慮其它因素，同等款額的錢在不同時期的價值是不同的比如說：現(xiàn)在的10元錢，其價值應(yīng)該大于1年后的10元錢原因在于：現(xiàn)在的10元錢，在1年的時間內(nèi)要產(chǎn)生利息在此基礎(chǔ)上，這個問題，有兩種思考的方法：法1如果注意到按照貸款的規(guī)定，在貸款全部還清時，10萬元貸款的價值，與這個人還款的價值總額應(yīng)該相等則我們可以考慮把所有的款項都轉(zhuǎn)化到同一時間（即貸款全部付清時）去計算10萬元，在10年后（即貸款全部付清時）的價值為元設(shè)每年還款x元則第1次償還的x元，在貸款全部付清時的價值為；第2次償還的x元，在貸款全部付清時的價值為；第10次償還的x元，在貸款全部付清時的價值為元于是：105(1+4)10= x(1+4)9+x(14)8x(14)7+x由等比數(shù)列求和公式可得：其中所以，法2從另一個角度思考，我們可以分步計算考慮這個人在每年還款后還欠銀行多少錢仍然設(shè)每年還款x元則第一年還款后，欠銀行的余額為：元；如果設(shè)第k年還款后，欠銀行的余額為元，則不難得出：105(1+4)10x(1+4)9x(14)8x(14)7x另一方面，按道理，第10次還款后，這個人已經(jīng)把貸款全部還清了，故有由此布列方程，得到同樣的結(jié)果點評：存、貸款問題為典型的數(shù)列應(yīng)用題，解決問題的關(guān)鍵在于：1分清單利、復(fù)利（即等差與等比）；2尋找好的切入點（如本題的兩種不同的思考方法），恰當(dāng)轉(zhuǎn)化3.一般來說，數(shù)列型應(yīng)用題的特點是：與n有關(guān)6. 某城市xx年末汽車保有量為30萬輛，預(yù)計此后每年報廢上一年末汽車保有量的6%，并且每年新增汽車數(shù)量相同.為保護(hù)城市環(huán)境，要求該城市汽車保有量不超過60萬輛，那么每年新增汽車數(shù)量不應(yīng)超過多少輛?講解 設(shè)xx年末汽車保有量為萬輛，以后各年末汽車保有量依次為萬輛，萬輛，每年新增汽車萬輛，則 ，所以，當(dāng)時，兩式相減得：（1）顯然，若，則，即，此時（2）若，則數(shù)列為以為首項，以為公比的等比數(shù)列，所以，.（i）若，則對于任意正整數(shù)，均有，所以，此時，（ii）當(dāng)時，則對于任意正整數(shù)，均有，所以，由，得，要使對于任意正整數(shù)，均有恒成立，即 對于任意正整數(shù)恒成立，解這個關(guān)于x的一元一次不等式 , 得,上式恒成立的條件為：，由于關(guān)于的函數(shù)單調(diào)遞減，所以，. 本題是xx年全國高考題，上面的解法不同于參考答案，其關(guān)鍵是化歸為含參數(shù)的不等式恒成立問題，其分離變量后又轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題.7現(xiàn)有流量均為300的兩條河流A、B會合于某處后，不斷混合，它們的含沙量分別為2和0.2假設(shè)從匯合處開始，沿岸設(shè)有若干個觀測點，兩股水流在流經(jīng)相鄰兩個觀測點的過程中，其混合效果相當(dāng)于兩股水流在1秒鐘內(nèi)交換100的水量，即從A股流入B股100水，經(jīng)混合后，又從B股流入A股100水并混合問：從第幾個觀測點開始，兩股河水的含沙量之差小于0.01（不考慮泥沙沉淀）？講解：本題的不等關(guān)系為“兩股河水的含沙量之差小于0.01”但直接建構(gòu)這樣的不等關(guān)系較為困難為表達(dá)方便，我們分別用來表示河水在流經(jīng)第n個觀測點時，A水流和B水流的含沙量則2，0.2，且（）由于題目中的問題是針對兩股河水的含沙量之差，所以，我們不妨直接考慮數(shù)列由（）可得：所以，數(shù)列是以為首項，以為公比的等比數(shù)列所以，由題，令< 0.01，得所以，由得，所以，即從第9個觀測點開始，兩股水流的含沙量之差小于0.01點評：本題為數(shù)列、不等式型綜合應(yīng)用問題，難點在于對題意的理解8.為促進(jìn)個人住房商品化的進(jìn)程，我國xx年元月公布了個人住房公積金貸款利率和商業(yè)性貸款利率如下：貸款期 (年數(shù))公積金貸款 月利率()商業(yè)性貸款 月利率()11121314154.3654.4554.5454.6354.7255.0255.0255.0255.0255.025 汪先生家要購買一套商品房，計劃貸款25萬元，其中公積金貸款10萬元，分十二年還清；商業(yè)貸款15萬元，分十五年還清每種貸款分別按月等額還款，問： (1)汪先生家每月應(yīng)還款多少元? (2)在第十二年底汪先生家還清了公積金貸款，如果他想把余下的商業(yè)貸款也一次性還清；那么他家在這個月的還款總數(shù)是多少? (參考數(shù)據(jù)：1.0044551441.8966，1.0050251442.0581，1.0050251802.4651) 講解 設(shè)月利率為r，每月還款數(shù)為a元，總貸款數(shù)為A元，還款期限為n月第1月末欠款數(shù)A(1r)a第2月末欠款數(shù)A(1r)a(1r)a A(1r)2a (1r)a 第3月末欠款數(shù)A(1r)2a (1r)a(1r)aA(1r)3a (1r)2a(1r)a第n月末欠款數(shù) 得：對于12年期的10萬元貸款，n144，r4.455對于15年期的15萬元貸款，n180，r5.025由此可知，汪先生家前12年每月還款942.371268.222210.59元，后3年每月還款1268.22元(2)至12年末，汪先生家按計劃還款以后還欠商業(yè)貸款其中A150000，a1268.22，r5.025 X41669.53 再加上當(dāng)月的計劃還款數(shù)2210.59元，當(dāng)月共還款43880.12元 需要提及的是，本題的計算如果不許用計算器，就要用到二項展開式進(jìn)行估算，這在xx年全國高考第（12）題中得到考查.四、建立解析幾何模型解應(yīng)用題解決圓錐曲線應(yīng)用問題時，要善于抓住問題的實質(zhì)，通過建立數(shù)學(xué)模型，實現(xiàn)應(yīng)用性問題向數(shù)學(xué)問題的順利轉(zhuǎn)化；要注意認(rèn)真分析數(shù)量間的關(guān)系，緊扣圓錐曲線概念，充分利用曲線的幾何性質(zhì)，確定正確的問題解決途徑，靈活運用解析幾何的常用數(shù)學(xué)方法，求得最終完整的解答.1. （xx年春季北京，文18）2003年10月15日9時，“神舟”五號載人飛船發(fā)射升空，于9時9分50秒準(zhǔn)確進(jìn)入預(yù)定軌道，開始巡天飛行.該軌道是以地球的中心F2為一個焦點的橢圓.選取坐標(biāo)系如圖所示，橢圓中心在原點.近地點A距地面200 km，遠(yuǎn)地點B距地面350 km.已知地球半徑R=6371 km.（如下圖）（1）求飛船飛行的橢圓軌道的方程；（2）飛船繞地球飛行了十四圈后，于16日5時59分返回艙與推進(jìn)艙分離，結(jié)束巡天飛行，飛船共巡天飛行了約6105 km，問飛船巡天飛行的平均速度是多少?（結(jié)果精確到1 km/s）（注：km/s即千米/秒）解：（1）設(shè)橢圓的方程為+=1.由題設(shè)條件得ac=|OA|OF2|=|F2A|=6371+200=6571，a+c=|OB|+|OF2|=|F2B|=6371+350=6721.解得a=6646，c=75，所以a2=44169316，b2=a2c2=（a+c）（ac）=67216571=44163691.所求橢圓的方程為+=1.（注：由6645.5768得橢圓的方程為+ =1，也是正確的）（2）從15日9時到16日6時共21個小時，即213600 s.減去開始的9分50 s，即960+50=590（s），再減去最后多計的1分鐘，共減去590+60= 650（s），得飛船巡天飛行的時間是213600650=74950（s），平均速度是8（km/s）.所以飛船巡天飛行的平均速度是8 km/s.2.某工程要挖一個橫斷面為半圓的柱形的坑，挖出的土只能沿道路AP、BP運到P處（如下圖所示）.已知PA=100 m，PB=150 m，APB=60，試說明怎樣運土最省工.剖析：首先抽象為數(shù)學(xué)問題，半圓中的點可分為三類：（1）沿AP到P較近；（2）沿BP到P較近；（3）沿AP、BP到P同樣遠(yuǎn).顯然，第三類點是第一、二類的分界點，設(shè)M是分界線上的任意一點.則有|MA|+|PA|=|MB|+|PB|.于是|MA|MB|=|PB|PA|=150100=50.從而發(fā)現(xiàn)第三類點M滿足性質(zhì)：點M到點A與點B的距離之差等于常數(shù)50，由雙曲線定義知，點M在以A、B為焦點的雙曲線的右支上，故問題轉(zhuǎn)化為求此雙曲線的方程.解：以AB所在直線為x軸，線段AB的中點為原點建立直角坐標(biāo)系xOy，設(shè)M（x，y）是沿AP、BP運土同樣遠(yuǎn)的點，則|MA|+|PA|=|MB|+|PB|，|MA|MB|=|PB|PA|=50.在PAB中，由余弦定理得|AB|2=|PA|2+|PB|22|PA|PB|cos60=17500，且50|AB|.由雙曲線定義知M點在以A、B為焦點的雙曲線右支上，設(shè)此雙曲線方程為=1（a0，b0）. 解之得.M點軌跡是=1（x25）在半圓內(nèi)的一段雙曲線弧.于是運土?xí)r將雙曲線左側(cè)的土沿AP運到P處，右側(cè)的土沿BP運到P處最省工.評述：（1）本題是不等量與等量關(guān)系問題，涉及到分類思想，通過建立直角坐標(biāo)系，利用點的集合性質(zhì)，構(gòu)造圓錐曲線模型（即分界線）從而確定出最優(yōu)化區(qū)域.（2）應(yīng)用分類思想解題的一般步驟：確定分類的對象；進(jìn)行合理的分類；逐類逐級討論；歸納各類結(jié)果.3. 根據(jù)我國汽車制造的現(xiàn)實情況，一般卡車高3 m，寬1.6 m.現(xiàn)要設(shè)計橫斷面為拋物線型的雙向二車道的公路隧道，為保障雙向行駛安全，交通管理規(guī)定汽車進(jìn)入隧道后必須保持距中線0.4 m的距離行駛.已知拱口AB寬恰好是拱高OC的4倍，若拱寬為a m，求能使卡車安全通過的a的最小整數(shù)值.剖析：根據(jù)問題的實際意義，卡車通過隧道時應(yīng)以卡車沿著距隧道中線0.4 m到2 m間的道路行駛為最佳路線，因此，卡車能否安全通過，取決于距隧道中線2 m（即在橫斷面上距拱口中點2 m）處隧道的高度是否夠3 m，據(jù)此可通過建立坐標(biāo)系，確定出拋物線的方程后求得.解：如下圖，以拱口AB所在直線為x軸，以拱高OC所在直線為y軸建立直角坐標(biāo)系，由題意可得拋物線的方程為x2=2p（y），點A（，0）在拋物線上，（）2=2p（0），得p=.拋物線方程為x2=a（y）.取x=1.6+0.4=2，代入拋物線方程，得22=a（y），y=.由題意，令y3，得3，a0，a212a160.a6+2.又aZ，a應(yīng)取14，15，16，.答：滿足本題條件使卡車安全通過的a的最小正整數(shù)為14 m.評述： 本題的解題過程可歸納為兩步：一是根據(jù)實際問題的意義，確定解題途徑，得到距拱口中點2 m處y的值；二是由y3通過解不等式，結(jié)合問題的實際意義和要求得到a的值，值得注意的是這種思路在與最佳方案有關(guān)的應(yīng)用題中是常用的.4.（xx年上海）如下圖，某隧道設(shè)計為雙向四車道，車道總寬22 m，要求通行車輛限高4.5 m，隧道全長2.5 km，隧道的拱線近似地看成半個橢圓形狀.（1）若最大拱高h(yuǎn)為6 m，則隧道設(shè)計的拱寬l是多少？（2）若最大拱高h(yuǎn)不小于6 m，則應(yīng)如何設(shè)計拱高h(yuǎn)和拱寬l，才能使半個橢圓形隧道的土方工程量最??？（半個橢圓的面積公式為S=lh，柱體體積為底面積乘以高.本題結(jié)果均精確到0.1 m）（1）解：如下圖建立直角坐標(biāo)系，則點P（11，4.5），橢圓方程為+=1.將b=h=6與點P坐標(biāo)代入橢圓方程，得a=，此時l=2a=33.3.因此隧道的拱寬約為33.3 m.（2）解法一：由橢圓方程+=1，得+=1.因為+，即ab99，且l=2a，h=b，所以S=lh=.當(dāng)S取最小值時，有=，得a=11，b=.此時l=2a=2231.1，h=b6.4.故當(dāng)拱高約為6.4 m、拱寬約為31.1 m時，土方工程量最小.解法二：由橢圓方程+=1，得+=1.于是b2=.a2b2=（a2121+242）（2+242）=81121，即ab99，當(dāng)S取最小值時，有a2121=.得a=11，b=，以下同解法一.5.A、B、C是我方三個炮兵陣地,A在B的正東,相距6千米,C在B的北偏西相距4千米,P為敵炮陣地,某時刻,A發(fā)現(xiàn)P處的某種信號,由于B、C兩地比A地距P地遠(yuǎn),因此4秒后,B、C才同時發(fā)現(xiàn)這一信號(設(shè)該信號的傳播速度為1千米/秒) 建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系,確定P的位置(即求出P的坐標(biāo)); A若炮擊P地,求炮擊的方向.解：如下圖，以直線BA為x軸，線段BA的中垂線為y軸建立坐標(biāo)系，則B（3，0）、A（3，0）、C（5，2）.因為|PB|=|PC|，所以點P在線段BC的垂直平分線上.因為kBC=，BC中點D（4，），所以直線PD的方程為y=（x+4）. 又|PB|PA|=4，故P在以A、B為焦點的雙曲線右支上.設(shè)P（x，y），則雙曲線方程為=1（x0）. 聯(lián)立，得x=8，y=5，所以P（8，5）.因此kPA=.故炮擊的方位角為北偏東30. 6. 中國跳水運動員進(jìn)行10 m跳臺跳水訓(xùn)練時，身體（看成一點）在空中的運動路線為如下圖所示坐標(biāo)系下經(jīng)過原點O的一條拋物線（圖中標(biāo)出的數(shù)據(jù)為已知條件）.在跳某個規(guī)定動作時，正常情況下，該運動員在空中的最高處距水面10 m，入水處距池邊的距離為4 m，同時，運動員在距水面高度為5 m或5 m以上時，必須完成規(guī)定的翻騰動作，并調(diào)整好入水姿勢，否則就會出現(xiàn)失誤.（1）求這條拋物線的解析式.（2）在某次試跳中，測得運動員在空中的運動路線是（1）中的拋物線，且運動員在空中調(diào)整好入水姿勢時，距池邊的水平距離為3m，問此次跳水會不會失誤？并通過計算說明理由.（3）要使此次跳水不至于失誤，該運動員按（1）中拋物線運行，且運動員在空中調(diào)整好入水姿勢時，距池邊的水平距離至多應(yīng)為多少？解：（1）在給定的直角坐標(biāo)系下，設(shè)最高點為A，入水點為B，拋物線的解析式為y=ax2+bx+c.由題意知，O、B兩點的坐標(biāo)依次為（0，0）、（2，10），且頂點A的縱坐標(biāo)為，所以有解之得或拋物線對稱軸在y軸右側(cè)，0.又拋物線開口向下，a0.b0，后一組解舍去.a=，b=，c=0.拋物線的解析式為y=x2+x.（2）當(dāng)運動員在空中距池邊的水平距離為3m時，即x=32=時，y=（）（）2+=，此時運動員距水面的高為10=5.因此，此次跳水會出現(xiàn)失誤.（3）當(dāng)運動員在x軸上方，即y0的區(qū)域內(nèi)完成動作并做好入水姿勢時，當(dāng)然不會失誤，但很難做到.當(dāng)y0時，要使跳水不出現(xiàn)失誤，則應(yīng)有|y|105，即y5.有x2x5，解得2x2+.運動員此時距池邊的距離至多為2+2+=4+m.7.1998年12月19日，太原衛(wèi)星發(fā)射中心為摩托羅拉公司（美國）發(fā)射了兩顆“銥星”系統(tǒng)通信衛(wèi)星.衛(wèi)星運行的軌道是以地球中心為一個焦點的橢圓，近地點為m km，遠(yuǎn)地點為 n km，地球的半徑為R km，則通信衛(wèi)星運行軌道的短軸長等于A.2 B.2mnC. D.mn解析：由題意 c=，2b=2=2.答案：A8.如下圖，花壇水池中央有一噴泉，水管OP=1 m，水從噴頭P噴出后呈拋物線狀先向上至最高點后落下，若最高點距水面2 m，P距拋物線對稱軸1 m，則在水池直徑的下列可選值中，最合算的是A.2.5 m B.4 m C.5 m D.6 m解析：以O(shè)為原點，OP所在直線為y軸建立直角坐標(biāo)系（如下圖），則拋物線方程可設(shè)為y=a（x1）2+2，P點坐標(biāo)為（0，1），1=a+2.a=1.y=（x1）2+2.令y=0，得（x1）2=2，x=1.水池半徑OM=+12.414（m）.因此水池直徑約為2|OM|=4.828（m）.答案：C9.一個酒杯的軸截面是拋物線的一部分，它的方程是x2=2y（0y20）.在杯內(nèi)放入一個玻璃球，要使球觸及酒杯底部，則玻璃球的半徑r的范圍為_.解析：玻璃球的軸截面的方程為x2+（yr）2=r2，由得y2+2（1r）y=0，由=4（1r）2=0，得r=1.答案：0r110.河上有一拋物線型拱橋，當(dāng)水面距拱頂5 m時，水面寬為8 m，一小船寬4 m，高2 m，載貨后船露出水面上的部分高 m，問水面上漲到與拋物線拱頂相距_m時，小船不能通航.解析：建立直角坐標(biāo)系，設(shè)拋物線方程為x2=2py（p>0）.將點（4，5）代入求得p=.x2=y.將點（2，y1）代入方程求得y1=.+|y1|=+=2（m）.答案：211.下圖是一種加熱水和食物的太陽灶，上面裝有可旋轉(zhuǎn)的拋物面形的反光鏡，鏡的軸截面是拋物線的一部分，盛水和食物的容器放在拋物線的焦點處，容器由若干根等長的鐵筋焊接在一起的架子支撐.已知鏡口圓的直徑為12 m，鏡深2 m，（1）建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求拋物線的方程和焦點的位置；（2）若把盛水和食物的容器近似地看作點，試求每根鐵筋的長度.解：（1）如下圖，在反光鏡的軸截面內(nèi)建立直角坐標(biāo)系，使反光鏡的頂點（即拋物線的頂點）與原點重合，x軸垂直于鏡口直徑.由已知，得A點坐標(biāo)是（2，6），設(shè)拋物線方程為y2=2px（p0），則36=2p2，p=9.所以所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是y2=18x，焦點坐標(biāo)是F（，0）.（2）盛水的容器在焦點處，A、F兩點間的距離即為每根鐵筋長.|AF|=（或|AF|=+2=）.故每根鐵筋的長度是6.5 m.12.有一種電影放映機(jī)的放映燈泡的玻璃上鍍鋁，只留有一個透明窗用作通光孔，它的反射面是一種曲線旋轉(zhuǎn)而成的曲面的一部分，燈絲定在某個地方發(fā)出光線反射到卡門上，并且這兩物體間距離為4.5 cm，燈絲距頂面距離為2.8 cm，為使卡門處獲得最強烈的光線，在加工這種燈泡時，應(yīng)使用何種曲線可使效果最佳?試求這個曲線方程.分析：由于光線從燈絲發(fā)出，反射到卡門上光線應(yīng)交于一點，這就是光線聚焦，只要把燈絲、卡門安在橢圓的2個焦點上，反射面采用旋轉(zhuǎn)橢球面就可以使光線經(jīng)反射后聚焦于卡門處，因而可獲得強光.解：采用橢圓旋轉(zhuǎn)而成的曲面，如下圖建立直角坐標(biāo)系，中心截口BAC是橢圓的一部分，設(shè)其方程為+=1，燈絲距頂面距離為p，由于BF1F2為直角三角形，因而，|F2B|2=|F1B|2+|F1F2|2=p2+4c2，由橢圓性質(zhì)有|F1B|+|F2B|=2a，所以a=（p+），a= （2.8+）4.05 cm，b=3.37 m.所求方程為+=1.13.某大橋在漲水時有最大跨度的中央橋孔如圖所示，已知上部呈拋物線形，跨度為20 m，拱頂距水面6 m，橋墩高出水面4 m，現(xiàn)有一貨船欲過此孔，該貨船水下寬度不超過18 m，目前吃水線上部分中央船體高5 m，寬16 m，且該貨船在現(xiàn)在狀況下還