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2019-2020年高三數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí) 專題十三 排列、組合與二項(xiàng)式定理（含解析） 抓住2個(gè)高考重點(diǎn) 重點(diǎn)1 排列與組合 1．兩個(gè)原理的應(yīng)用 如果完成一件事情有類辦法，這類辦法彼此之間是相互獨(dú)立的，無(wú)論哪一類辦法中的哪一種方法都能完成這件事情，求完成這件事情的方法種數(shù)就用分類加法計(jì)數(shù)原理；如果完成一件事情要分成個(gè)步驟，各個(gè)步驟都是不可或缺的，依次完成所有的步驟才能完成這件事情，而完成每一個(gè)步驟各有若干種不同的方法，求完成這件事情的方法種數(shù)就用分步乘法計(jì)數(shù)原理． 從思想方法的角度看，分類加法計(jì)數(shù)原理的運(yùn)用是將問(wèn)題進(jìn)行“分類”思考，分步乘法計(jì)數(shù)原理是將問(wèn)題進(jìn)行“分步”思考，這兩種思想方法貫穿于解決這類應(yīng)用問(wèn)題的始終． （1）在處理具體的應(yīng)用問(wèn)題時(shí)，首先必須弄清楚是“分類”還是“分步”，其次要搞清楚“分類”和“分步’’的具體標(biāo)準(zhǔn)分別是什么．選擇合理、簡(jiǎn)潔的標(biāo)準(zhǔn)處理問(wèn)題，可以避免計(jì)數(shù)的重復(fù)或遺漏． （2）對(duì)于一些比較復(fù)雜的問(wèn)題，既要運(yùn)用分類加法計(jì)數(shù)原理，又要運(yùn)用分步乘法計(jì)數(shù)原理時(shí)，我們可以恰當(dāng)?shù)禺嫵鍪疽鈭D或列出表格，使問(wèn)題的分析更直觀、清晰． 2．排列組合應(yīng)用題 （1）排列問(wèn)題常見(jiàn)的限制條件及對(duì)策 ①對(duì)于有特殊元素或特殊位置的排列，一般采用直接法，即先排特殊元素或特殊位置． ②相鄰排列問(wèn)題，通常采用“捆綁”法，即可以把相鄰元素看作一個(gè)整體參與其他元素排列． ③對(duì)于元素不相鄰的排列，通常采用“插空”的方法. ④對(duì)于元素有順序限制的排列，可以先不考慮順序限制進(jìn)行排列，然后再根據(jù)規(guī)定順序的實(shí)情求結(jié)果． 求解有約束條件的排列問(wèn)題，通常有正向思考和逆向思考兩種思路．正向思考時(shí)，通過(guò)分步、分類設(shè)法將問(wèn)題分解；逆向思考時(shí)，用集合的觀點(diǎn)看，就是先從問(wèn)題涉及的集合在全集中的補(bǔ)集入手，使問(wèn)題簡(jiǎn)化． （2）組合問(wèn)題常見(jiàn)的問(wèn)題及對(duì)策 ①在解組合應(yīng)用題時(shí)，常會(huì)遇到“至少”、“最多”等詞，要仔細(xì)審題，理解其含義. ②有關(guān)幾何圖形的組合問(wèn)題，一定要注意圖形自身對(duì)其構(gòu)成元素的限制，解決這類問(wèn)題常用間接法（或排除法）． ③分組、分配問(wèn)題二者是有區(qū)別的，前者組與組之間只要元素個(gè)數(shù)相同，是不可區(qū)分的，而后者即使兩組元素個(gè)數(shù)相同，但因元素不同，仍然是可區(qū)分的． （3）解排列、組合的應(yīng)用題，要注意四點(diǎn) ①仔細(xì)審題，判斷是組合問(wèn)題還是排列問(wèn)題．要按元素的性質(zhì)分類，按事件發(fā)生的過(guò)程進(jìn)行分步．． ②深入分析，嚴(yán)密周詳．注意分清是乘還是加，既不少也不多，辯證思維，多角度分析，全面考慮，積極運(yùn)用邏輯推理能力，同時(shí)盡可能地避免出錯(cuò)． ③對(duì)于附有條件的比較復(fù)雜的排列、組合應(yīng)用題，要周密分析，設(shè)計(jì)出合理的方案，把復(fù)雜問(wèn)題分解成若干簡(jiǎn)單的基本問(wèn)題后應(yīng)用加法原理或乘法原理來(lái)解決. ④由于排列、組合問(wèn)題的結(jié)果一般數(shù)目較大，不易直接驗(yàn)證，因此在檢查結(jié)果時(shí)，應(yīng)著重檢查所設(shè)計(jì)的解決問(wèn)題的方案是否完備，有無(wú)重復(fù)或遺漏，也可采用多種不同的方案求解，看結(jié)果是否相同，在對(duì)排列、組合問(wèn)題分類時(shí)，分類標(biāo)準(zhǔn)應(yīng)統(tǒng)一，否則易出現(xiàn)遺漏或重復(fù)． [高考?？冀嵌萞 角度1 用數(shù)字2,3組成四位數(shù)，且數(shù)字2,3至少都出現(xiàn)一次，這樣的四位數(shù)共有______個(gè).（用數(shù)字作答） 解析：本題主要考查分步乘法計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用．因?yàn)樗奈粩?shù)的每個(gè)數(shù)位上都有兩種可能性，其中四個(gè)數(shù)字全是2或3的情況不合題意，所以符合題意的四位數(shù)有個(gè) （間接法） 點(diǎn)評(píng)：如果用直接法，分類會(huì)很復(fù)雜。 角度2某臺(tái)小型晚會(huì)由6個(gè)節(jié)目組成，演出順序有如下要求：節(jié)目甲必須排在前兩位，節(jié)目乙不能排在第一位，節(jié)目丙必須排在最后一位，該臺(tái)晚會(huì)節(jié)目演出順序的編排方案共有（ B ） A. 36種 B. 42種 C. 48種 D. 54種 解析：分兩類考慮：一類為甲排在第一位共有種， 另一類甲排在第二位共有種，故編排方案共有種，故選B. 點(diǎn)評(píng)：本題主要考查排列組合基礎(chǔ)知識(shí)，考查分類與分步計(jì)數(shù)原理. 重點(diǎn)2 二項(xiàng)式定理 1.二項(xiàng)式定理的通項(xiàng)：在二項(xiàng)展開(kāi)式中， 叫做二項(xiàng)式的通項(xiàng)，是展開(kāi)式的第項(xiàng) 2.要正確區(qū)分二項(xiàng)式系數(shù)和展開(kāi)式各項(xiàng)系數(shù). [高考?？冀嵌萞 角度1 的展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)的和為2，則該展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)為（ ） A. B. C. D. 解析：令得，故二項(xiàng)式即，二項(xiàng)式的通項(xiàng)為，故知該展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)為，故選D 角度2在的二項(xiàng)展開(kāi)式中，的系數(shù)為（ ） A． 　　　B． 　　　C． 　　　　D． 解析：由二項(xiàng)式定理得，，令，則的系數(shù)為.故選C 突破3個(gè)高考難點(diǎn) 難點(diǎn)1 裝錯(cuò)信封問(wèn)題的求解 對(duì)于裝錯(cuò)信封問(wèn)題，在元素個(gè)數(shù)不多的情況下，可以具體地進(jìn)行操作，以找出其中的方法數(shù)，這也是近年來(lái)高考考查計(jì)數(shù)問(wèn)題的一個(gè)命題趨勢(shì).在具體操作中可以在兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的指導(dǎo)下，給所安排的元素確定具體位置，在逐步縮小位置個(gè)數(shù)的情況下解決問(wèn)題． 典例 某中學(xué)高三年級(jí)共有12個(gè)班級(jí)，在即將進(jìn)行的月考中，擬安排12位班主任老師監(jiān)考，每班1人，要求有且只有8個(gè)班級(jí)是自己的班主任老師監(jiān)考，則不同的監(jiān)考安排方案共有（ ） A．4 455 種 B．495 種 C．4 950 種 D．7 425種 解析：從12位老師中選出8位，他們各自監(jiān)考自己的班級(jí)，方法數(shù)是，剩下的4位老師都不監(jiān)考自己的班級(jí)，記4位老師分別為甲、乙、丙、丁，他們各自的班級(jí)分別為A、B、C、D，則甲只能在B、C、D中選一個(gè)，有3種方法，假設(shè)甲在B，此時(shí)若乙在A，則丙、丁只能互換班級(jí)，若乙在C、D之一，也各有1種方法．甲在C、D時(shí)也分別有3種方法，故這時(shí)的安排方法數(shù)是．根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，監(jiān)考安排方案共有 種． 故選A 點(diǎn)評(píng)： 題中的4位班主任都不監(jiān)考自己的班級(jí)，也是問(wèn)題“一個(gè)人寫了n封信和n個(gè)對(duì)應(yīng)的信封，所有的信都不裝入對(duì)應(yīng)信封”的特例，其方法數(shù)的計(jì)算公式為，題中的情況按照這個(gè)公式進(jìn)行計(jì)算，得 難點(diǎn)2 突破涂色問(wèn)題 涂色問(wèn)題是由兩個(gè)基本原理和排列組合知識(shí)的綜合運(yùn)用產(chǎn)生的一類問(wèn)題，這類問(wèn)題通常沒(méi)有固定的方法可循，只能按照題目的實(shí)際情況，結(jié)合兩個(gè)基本原理和排列組合的知識(shí)靈活處理．其難點(diǎn)是對(duì)相鄰區(qū)域顏色不同的處理，破解的方法是根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理逐塊涂色，同時(shí)考慮所用的顏色數(shù)目． 典例 如圖，一個(gè)地區(qū)分為5個(gè)行政區(qū)域，現(xiàn)給地圖著色，要求相鄰區(qū)域不得使用同一種顏色．現(xiàn)在有4種顏色可供選擇，則不同的著色方法共有___________種（以數(shù)字作答） 解析：方法一：（以位置為主考慮） 第一步涂①，有4種方法，第二步涂②，有3種方法，第三步涂③，有2種方法， 第四步涂④時(shí)分兩類：第一類用余下的顏色，有1種方法，第五步涂⑤，有1種方法； 第二類與區(qū)域②同色，有1種方法，第五步涂⑤，有2種方法， 所以共有 種 方法二：（以顏色為主考慮）分兩類： （1）取4色：將②④或③⑤視為一個(gè)位置計(jì)四個(gè)位置，著色方法有種； （2）取3色：將② ④ ，③ ⑤ 看成兩個(gè)元素，著色方法有種． 所以共有著色方法種． 典例 2 如圖，用6種不同的顏色給圖中的4個(gè)格子涂色，每個(gè)格子涂一種顏色，要求最多使用3種顏色且相鄰的兩個(gè)格子顏色不同，則不同的涂色方法共有_________種（用數(shù)字作答）． 解析：（以顏色為主考慮） 若用2種顏色，1，3與2，4分別涂1種顏色，有 若用3種顏色，則還有兩個(gè)格子涂一種顏色，可以是1，3，1，4，共三類有 所以共有 種 難點(diǎn)3 解決兩個(gè)二項(xiàng)式相乘問(wèn)題 求解兩個(gè)二項(xiàng)式乘積中一些特定項(xiàng)或特定項(xiàng)的系數(shù)既是高考中的一個(gè)熱點(diǎn)問(wèn)題，也是一個(gè)難點(diǎn)問(wèn)題，化解這個(gè)難點(diǎn)的方法是用好多項(xiàng)式的乘法規(guī)則弄清楚這些特定項(xiàng)的構(gòu)成規(guī)律在加以解決。 典例1 展開(kāi)式中的系數(shù)為_(kāi)___________ 解析：依題意，只須計(jì)算中的常數(shù)項(xiàng)與中的含項(xiàng)積的系數(shù)，中含項(xiàng)與中含項(xiàng)的積的系數(shù)，中含項(xiàng)與中的常數(shù)項(xiàng)的積的系數(shù)，然后相加即得. 因此， 典例2 展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為_(kāi)____4246_______ 解析：第一個(gè)展開(kāi)式中的指數(shù)依次是， 第二個(gè)展開(kāi)式中的指數(shù)依次是 根據(jù)多項(xiàng)式乘法規(guī)則，常數(shù)項(xiàng)只能是第一個(gè)展開(kāi)式中的指數(shù)是的項(xiàng)與第二個(gè)展開(kāi)式中的指數(shù)是對(duì)應(yīng)項(xiàng)的乘積，根據(jù)二項(xiàng)式定理中的通項(xiàng)公式，得所求常數(shù)項(xiàng)為 規(guī)避2個(gè)易失分點(diǎn) 易失分點(diǎn)1 實(shí)際問(wèn)題意義不清，計(jì)算重復(fù)、遺漏 典例 有20個(gè)零件，其中16個(gè)一等品，4個(gè)二等品，若從20個(gè)零件中任意取3個(gè)，那么至少有1個(gè)一等品的不同取法有________種. 易失分提示:由于對(duì)實(shí)際問(wèn)題中“至少有1個(gè)一等品”意義理解不明，可能導(dǎo)致下面錯(cuò)誤的解法： 按分步原理，第一步確保1個(gè)一等品，有種取法；第二步從余下的19個(gè)零件中任意取2個(gè)，有種不同的取法，故共有種取法．實(shí)際上這種解法是錯(cuò)誤的，我們作如下分析： 第一步取出1個(gè)一等品，那么第二步就有3種可能：（1）取出的2個(gè)都是二等品，這時(shí)的取法有種；（2）取出1個(gè)一等品，1個(gè)二等品，因?yàn)槿〕?個(gè)一等品是分步完成的，這2個(gè)一等品的取法就有了先后順序，而實(shí)際上這2個(gè)一等品是沒(méi)有先后順序的，因此這時(shí)的取法就產(chǎn)生了重復(fù)，即這時(shí)的取法有種； （3）取出的2個(gè)都是一等品，這時(shí)我們?nèi)〕龅?個(gè)都是一等品了，實(shí)際的取法種數(shù)應(yīng)是種． 解析：方法一 將“至少有1個(gè)是一等品的不同取法”分三類：“恰有1個(gè)一等品”，“恰有2個(gè)一等品”，“恰有3個(gè)一等品”，有分類計(jì)數(shù)原理得種 方法二：考慮其對(duì)立事件“3個(gè)都是二等品”，利用間接法可得符合條件的取法為 種 易失分點(diǎn)2 二項(xiàng)式系數(shù)與展開(kāi)式各項(xiàng)系數(shù)相混淆 典例1 已知展開(kāi)式中，各項(xiàng)系數(shù)的和與其各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和的比值為64，則等于（ ） A． B． C． D． 易失分提示：誤將展開(kāi)式各項(xiàng)系數(shù)與二項(xiàng)式系數(shù)概念分銷，從而導(dǎo)致解題錯(cuò)誤. 解析：令，可得展開(kāi)式各項(xiàng)系數(shù)和為，又二項(xiàng)式系數(shù)和為，所以，故選C