2019-2020年高三數(shù)學(xué)第二輪復(fù)習(xí)教案函數(shù)問題的題型與方法一人教版一、考試內(nèi)容映射、函數(shù)、函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)的奇偶性；反函數(shù)、互為反函數(shù)的函數(shù)圖象間的關(guān)系；指數(shù)概念的擴(kuò)充、有理指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)、指數(shù)函數(shù)；對數(shù)、對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)、對數(shù)函數(shù)函數(shù)的應(yīng)用舉例。二、考試要求1了解映射的概念，理解函數(shù)的概念2了解函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性的概念，掌握判斷一些簡單函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性的方法，并能利用函數(shù)的性質(zhì)簡化函數(shù)圖象的繪制過程。3了解反函數(shù)的概念及互為反函數(shù)的函數(shù)圖象間的關(guān)系，會求一些簡單函數(shù)的反函數(shù)。4理解分?jǐn)?shù)指數(shù)的概念，掌握有理指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)，掌握指數(shù)函數(shù)的概念、圖象和性質(zhì)。5理解對數(shù)的概念，掌握對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，掌握對數(shù)函數(shù)的概念、圖象和性質(zhì)。6能夠運(yùn)用函數(shù)的性質(zhì)、指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)解決某些簡單的實(shí)際問題。三、函數(shù)的概念型問題函數(shù)概念的復(fù)習(xí)當(dāng)然應(yīng)該從函數(shù)的定義開始函數(shù)有二種定義，一是變量觀點(diǎn)下的定義，一是映射觀點(diǎn)下的定義復(fù)習(xí)中不能僅滿足對這兩種定義的背誦，而應(yīng)在判斷是否構(gòu)成函數(shù)關(guān)系，兩個(gè)函數(shù)關(guān)系是否相同等問題中得到深化，更應(yīng)在有關(guān)反函數(shù)問題中正確運(yùn)用具體要求是：1深化對函數(shù)概念的理解，明確函數(shù)三要素的作用，并能以此為指導(dǎo)正確理解函數(shù)與其反函數(shù)的關(guān)系2系統(tǒng)歸納求函數(shù)定義域、值域、解析式、反函數(shù)的基本方法在熟練有關(guān)技能的同時(shí)，注意對換元、待定系數(shù)法等數(shù)學(xué)思想方法的運(yùn)用3通過對分段定義函數(shù)，復(fù)合函數(shù)，抽象函數(shù)等的認(rèn)識，進(jìn)一步體會函數(shù)關(guān)系的本質(zhì)，進(jìn)一步樹立運(yùn)動變化，相互聯(lián)系、制約的函數(shù)思想，為函數(shù)思想的廣泛運(yùn)用打好基礎(chǔ)本部分內(nèi)容的重點(diǎn)是不僅從認(rèn)識上，而且從處理函數(shù)問題的指導(dǎo)上達(dá)到從三要素總體上把握函數(shù)概念的要求，對確定函數(shù)三要素的常用方法有個(gè)系統(tǒng)的認(rèn)識，對于給出解析式的函數(shù)，會求其反函數(shù)本部分的難點(diǎn)首先在于克服“函數(shù)就是解析式”的片面認(rèn)識，真正明確不僅函數(shù)的對應(yīng)法則，而且其定義域都包含著對函數(shù)關(guān)系的制約作用，并真正以此作為處理問題的指導(dǎo)其次在于確定函數(shù)三要素、求反函數(shù)等課題的綜合性，不僅要用到解方程，解不等式等知識，還要用到換元思想、方程思想等與函數(shù)有關(guān)概念的結(jié)合函數(shù)的概念是復(fù)習(xí)函數(shù)全部內(nèi)容和建立函數(shù)思想的基礎(chǔ)，不能僅滿足會背誦定義，會做一些有關(guān)題目，要從聯(lián)系、應(yīng)用的角度求得理解上的深度，還要對確定函數(shù)三要素的類型、方法作好系統(tǒng)梳理，這樣才能進(jìn)一步為綜合運(yùn)用打好基礎(chǔ)復(fù)習(xí)的重點(diǎn)是求得對這些問題的系統(tǒng)認(rèn)識，而不是急于做過難的綜合題深化對函數(shù)概念的認(rèn)識例1下列函數(shù)中，不存在反函數(shù)的是（ ） 分析：處理本題有多種思路分別求所給各函數(shù)的反函數(shù)，看是否存在是不好的，因?yàn)檫^程太繁瑣從概念看，這里應(yīng)判斷對于給出函數(shù)值域內(nèi)的任意值，依據(jù)相應(yīng)的對應(yīng)法則，是否在其定義域內(nèi)都只有惟一確定的值與之對應(yīng)，因此可作出給定函數(shù)的圖象，用數(shù)形結(jié)合法作判斷，這是常用方法，請讀者自己一試此題作為選擇題還可采用估算的方法對于D，y=3是其值域內(nèi)一個(gè)值，但若y=3，則可能x=2(21)，也可能x=-1(-1-1)依據(jù)概念，則易得出D中函數(shù)不存在反函數(shù)于是決定本題選D說明：不論采取什么思路，理解和運(yùn)用函數(shù)與其反函數(shù)的關(guān)系是這里解決問題的關(guān)鍵由于函數(shù)三要素在函數(shù)概念中的重要地位，那么掌握確定函數(shù)三要素的基本方法當(dāng)然成了函數(shù)概念復(fù)習(xí)中的重要課題系統(tǒng)小結(jié)確定函數(shù)三要素的基本類型與常用方法1求函數(shù)定義域的基本類型和常用方法由給定函數(shù)解析式求其定義域這類問題的代表，實(shí)際上是求使給定式有意義的x的取值范圍它依賴于對各種式的認(rèn)識與解不等式技能的熟練這里的最高層次要求是給出的解析式還含有其他字例2已知函數(shù)定義域?yàn)?0，2)，求下列函數(shù)的定義域：分析：x的函數(shù)f(x)是由u=x與f(u)這兩個(gè)函數(shù)復(fù)合而成的復(fù)合函數(shù)，其中x是自變量，u是中間變量由于f(x)，f(u)是同一個(gè)函數(shù)，故(1)為已知0u2，即0x2求x的取值范圍解：(1)由0x2， 得 說明：本例(1)是求函數(shù)定義域的第二種類型，即不給出f(x)的解析式，由f(x)的定義域求函數(shù)fg(x)的定義域關(guān)鍵在于理解復(fù)合函數(shù)的意義，用好換元法(2)是二種類型的綜合求函數(shù)定義域的第三種類型是一些數(shù)學(xué)問題或?qū)嶋H問題中產(chǎn)生的函數(shù)關(guān)系，求其定義域，后面還會涉及到2求函數(shù)值域的基本類型和常用方法函數(shù)的值域是由其對應(yīng)法則和定義域共同決定的其類型依解析式的特點(diǎn)分可分三類：(1)求常見函數(shù)值域；(2)求由常見函數(shù)復(fù)合而成的函數(shù)的值域；(3)求由常見函數(shù)作某些“運(yùn)算”而得函數(shù)的值域 3求函數(shù)解析式舉例例3已知xy0，并且4x-9y=36由此能否確定一個(gè)函數(shù)關(guān)系y=f(x)？如果能，求出其解析式、定義域和值域；如果不能，請說明理由分析： 4x-9y=36在解析幾何中表示雙曲線的方程，僅此當(dāng)然不能確定一個(gè)函數(shù)關(guān)系y=f(x)，但加上條件xy0呢？所以因此能確定一個(gè)函數(shù)關(guān)系y=f(x)其定義域?yàn)?-，-3)(3，+)且不難得到其值域?yàn)?-，0)(0，)說明：本例從某種程度上揭示了函數(shù)與解析幾何中方程的內(nèi)在聯(lián)系任何一個(gè)函數(shù)的解析式都可看作一個(gè)方程，在一定條件下，方程也可轉(zhuǎn)化為表示函數(shù)的解析式求函數(shù)解析式還有兩類問題：(1)求常見函數(shù)的解析式由于常見函數(shù)(一次函數(shù)，二次函數(shù)，冪函數(shù)，指數(shù)函數(shù)，對數(shù)函數(shù)，三角函數(shù)及反三角函數(shù))的解析式的結(jié)構(gòu)形式是確定的，故可用待定系數(shù)法確定其解析式這里不再舉例(2)從生產(chǎn)、生活中產(chǎn)生的函數(shù)關(guān)系的確定這要把有關(guān)學(xué)科知識，生活經(jīng)驗(yàn)與函數(shù)概念結(jié)合起來，舉例也宜放在函數(shù)復(fù)習(xí)的以后部分四、函數(shù)與方程的思想方法函數(shù)思想，是指用函數(shù)的概念和性質(zhì)去分析問題、轉(zhuǎn)化問題和解決問題。方程思想，是從問題的數(shù)量關(guān)系入手，運(yùn)用數(shù)學(xué)語言將問題中的條件轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型（方程、不等式、或方程與不等式的混合組），然后通過解方程（組）或不等式（組）來使問題獲解。有時(shí)，還實(shí)現(xiàn)函數(shù)與方程的互相轉(zhuǎn)化、接軌，達(dá)到解決問題的目的。方程思想是：實(shí)際問題數(shù)學(xué)問題代數(shù)問題方程問題。函數(shù)和多元方程沒有什么本質(zhì)的區(qū)別，如函數(shù)yf(x)，就可以看作關(guān)于x、y的二元方程f(x)y0?？梢哉f，函數(shù)的研究離不開方程。列方程、解方程和研究方程的特性，都是應(yīng)用方程思想時(shí)需要重點(diǎn)考慮的。函數(shù)描述了自然界中數(shù)量之間的關(guān)系，函數(shù)思想通過提出問題的數(shù)學(xué)特征，建立函數(shù)關(guān)系型的數(shù)學(xué)模型，從而進(jìn)行研究。一般地，函數(shù)思想是構(gòu)造函數(shù)從而利用函數(shù)的性質(zhì)解題，經(jīng)常利用的性質(zhì)是：f(x)、f(x)的單調(diào)性、奇偶性、周期性、最大值和最小值、圖像變換等，要求我們熟練掌握的是一次函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)的具體特性。在解題中，善于挖掘題目中的隱含條件，構(gòu)造出函數(shù)解析式和妙用函數(shù)的性質(zhì)，是應(yīng)用函數(shù)思想的關(guān)鍵。對所給的問題觀察、分析、判斷比較深入、充分、全面時(shí)，才能產(chǎn)生由此及彼的聯(lián)系，構(gòu)造出函數(shù)原型。另外，方程問題、不等式問題和某些代數(shù)問題也可以轉(zhuǎn)化為與其相關(guān)的函數(shù)問題，即用函數(shù)思想解答非函數(shù)問題。 (一)函數(shù)的性質(zhì)函數(shù)的性質(zhì)是研究初等函數(shù)的基石，也是高考考查的重點(diǎn)內(nèi)容在復(fù)習(xí)中要肯于在對定義的深入理解上下功夫復(fù)習(xí)函數(shù)的性質(zhì)，可以從“數(shù)”和“形”兩個(gè)方面，從理解函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性的定義入手，在判斷和證明函數(shù)的性質(zhì)的問題中得以鞏固，在求復(fù)合函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、函數(shù)的最值及應(yīng)用問題的過程中得以深化具體要求是：1正確理解函數(shù)單調(diào)性和奇偶性的定義，能準(zhǔn)確判斷函數(shù)的奇偶性，以及函數(shù)在某一區(qū)間的單調(diào)性，能熟練運(yùn)用定義證明函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性2從數(shù)形結(jié)合的角度認(rèn)識函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性，深化對函數(shù)性質(zhì)幾何特征的理解和運(yùn)用，歸納總結(jié)求函數(shù)最大值和最小值的常用方法3培養(yǎng)學(xué)生用運(yùn)動變化的觀點(diǎn)分析問題，提高學(xué)生用換元、轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想方法解決問題的能力這部分內(nèi)容的重點(diǎn)是對函數(shù)單調(diào)性和奇偶性定義的深入理解函數(shù)的單調(diào)性只能在函數(shù)的定義域內(nèi)來討論函數(shù)y=f(x)在給定區(qū)間上的單調(diào)性，反映了函數(shù)在區(qū)間上函數(shù)值的變化趨勢，是函數(shù)在區(qū)間上的整體性質(zhì)，但不一定是函數(shù)在定義域上的整體性質(zhì)函數(shù)的單調(diào)性是對某個(gè)區(qū)間而言的，所以要受到區(qū)間的限制對函數(shù)奇偶性定義的理解，不能只停留在f(-x)=f(x)和f(-x)=-f(x)這兩個(gè)等式上，要明確對定義域內(nèi)任意一個(gè)x，都有f(-x)=f(x)，f(-x)=-f(x)的實(shí)質(zhì)是：函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱這是函數(shù)具備奇偶性的必要條件稍加推廣，可得函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x=a對稱的充要條件是對定義域內(nèi)的任意x，都有f(x+a)=f(a-x)成立函數(shù)的奇偶性是其相應(yīng)圖象的特殊的對稱性的反映這部分的難點(diǎn)是函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性的綜合運(yùn)用根據(jù)已知條件，調(diào)動相關(guān)知識，選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ń鉀Q問題，是對學(xué)生能力的較高要求1對函數(shù)單調(diào)性和奇偶性定義的理解例4下面四個(gè)結(jié)論：偶函數(shù)的圖象一定與y軸相交；奇函數(shù)的圖象一定通過原點(diǎn)；偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱；既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)的函數(shù)一定是f(x)=0(xR)，其中正確命題的個(gè)數(shù)是 （ ）A1 B2 C3 D4分析：偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱，但不一定相交，因此正確，錯(cuò)誤奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，但不一定經(jīng)過原點(diǎn)，因此不正確若y=f(x)既是奇函數(shù)，又是偶函數(shù)，由定義可得f(x)=0，但不一定xR，如例1中的(3)，故錯(cuò)誤，選A說明：既奇又偶函數(shù)的充要條件是定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱且函數(shù)值恒為零2復(fù)合函數(shù)的性質(zhì)復(fù)合函數(shù)y=fg(x)是由函數(shù)u=g(x)和y=f(u)構(gòu)成的，因變量y通過中間變量u與自變量x建立起函數(shù)關(guān)系，函數(shù)u=g(x)的值域是y=f(u)定義域的子集復(fù)合函數(shù)的性質(zhì)由構(gòu)成它的函數(shù)性質(zhì)所決定，具備如下規(guī)律：(1)單調(diào)性規(guī)律如果函數(shù)u=g(x)在區(qū)間m，n上是單調(diào)函數(shù)，且函數(shù)y=f(u)在區(qū)間g(m)，g(n) (或g(n)，g(m)上也是單調(diào)函數(shù)，那么若u=g(x)，y=f(u)增減性相同，則復(fù)合函數(shù)y=fg(x)為增函數(shù)；若u=g(x)，y= f(u)增減性不同，則y=fg(x)為減函數(shù)(2)奇偶性規(guī)律若函數(shù)g(x)，f(x)，fg(x)的定義域都是關(guān)于原點(diǎn)對稱的，則u=g(x)，y=f(u)都是奇函數(shù)時(shí)，y=fg(x)是奇函數(shù)；u=g(x)，y=f(u)都是偶函數(shù)，或者一奇一偶時(shí)，y= fg(x)是偶函數(shù)例5若y=log(2-ax)在0，1上是x的減函數(shù)，則a的取值范圍是（ ）A(0，1) B(1，2) C(0，2) D2，+)分析：本題存在多種解法，但不管哪種方法，都必須保證：使log(2-ax)有意義，即a0且a1，2-ax0使log(2-ax)在0，1上是x的減函數(shù)由于所給函數(shù)可分解為y=logu，u=2-ax，其中u=2-ax在a0時(shí)為減函數(shù)，所以必須a1；0，1必須是y=log(2-ax)定義域的子集解法一：因?yàn)閒(x)在0，1上是x的減函數(shù)，所以f(0)f(1)，即log2log(2-a)解法二：由對數(shù)概念顯然有a0且a1，因此u=2-ax在0，1上是減函數(shù)，y= logu應(yīng)為增函數(shù)，得a1，排除A，C，再令故排除D，選B說明：本題為1995年全國高考試題，綜合了多個(gè)知識點(diǎn)，無論是用直接法，還是用排除法都需要概念清楚，推理正確3函數(shù)單調(diào)性與奇偶性的綜合運(yùn)用例6甲、乙兩地相距Skm，汽車從甲地勻速行駛到乙地，速度不得超過c kmh，已知汽車每小時(shí)的運(yùn)輸成本(以元為單位)由可變部分和固定部分組成：可變部分與速度v(kmh)的平方成正比，比例系數(shù)為b；固定部分為a元(1)把全程運(yùn)輸成本y(元)表示為速度v(kmh)的函數(shù)，并指出這個(gè)函數(shù)的定義域；(2)為了使全程運(yùn)輸成本最小，汽車應(yīng)以多大速度行駛分析：(1)難度不大，抓住關(guān)系式：全程運(yùn)輸成本=單位時(shí)間運(yùn)輸成本全程運(yùn)輸時(shí)間，而全程運(yùn)輸時(shí)間=(全程距離)(平均速度)就可以解決故所求函數(shù)及其定義域?yàn)榈捎陬}設(shè)條件限制汽車行駛速度不超過ckmh，所以(2)的解決需要論函數(shù)的增減性來解決由于vv0，v-v0，并且又S0，所以即則當(dāng)v=c時(shí)，y取最小值說明：此題是1997年全國高考試題由于限制汽車行駛速度不得超過c，因而求最值的方法也就不完全是常用的方法，再加上字母的抽象性，使難度有所增大（二）函數(shù)的圖象1掌握描繪函數(shù)圖象的兩種基本方法描點(diǎn)法和圖象變換法2會利用函數(shù)圖象，進(jìn)一步研究函數(shù)的性質(zhì)，解決方程、不等式中的問題3用數(shù)形結(jié)合的思想、分類討論的思想和轉(zhuǎn)化變換的思想分析解決數(shù)學(xué)問題4掌握知識之間的聯(lián)系，進(jìn)一步培養(yǎng)觀察、分析、歸納、概括和綜合分析能力以解析式表示的函數(shù)作圖象的方法有兩種，即列表描點(diǎn)法和圖象變換法，掌握這兩種方法是本節(jié)的重點(diǎn)運(yùn)用描點(diǎn)法作圖象應(yīng)避免描點(diǎn)前的盲目性，也應(yīng)避免盲目地連點(diǎn)成線要把表列在關(guān)鍵處，要把線連在恰當(dāng)處這就要求對所要畫圖象的存在范圍、大致特征、變化趨勢等作一個(gè)大概的研究而這個(gè)研究要借助于函數(shù)性質(zhì)、方程、不等式等理論和手段，是一個(gè)難點(diǎn)用圖象變換法作函數(shù)圖象要確定以哪一種函數(shù)的圖象為基礎(chǔ)進(jìn)行變換，以及確定怎樣的變換這也是個(gè)難點(diǎn)1作函數(shù)圖象的一個(gè)基本方法例7作出下列函數(shù)的圖象(1)y=|x-2|(x1)；(2)y=10|lgx|分析：顯然直接用已知函數(shù)的解析式列表描點(diǎn)有些困難，除去對其函數(shù)性質(zhì)分析外，我們還應(yīng)想到對已知解析式進(jìn)行等價(jià)變形解：(1)當(dāng)x2時(shí)，即x-20時(shí)，當(dāng)x2時(shí)，即x-20時(shí)，這是分段函數(shù)，每段函數(shù)圖象可根據(jù)二次函數(shù)圖象作出(見圖6)(2)當(dāng)x1時(shí)，lgx0，y=10|lgx|=10lgx=x；當(dāng)0x1時(shí)，lgx0，所以這是分段函數(shù)，每段函數(shù)可根據(jù)正比例函數(shù)或反比例函數(shù)作出(見圖7)說明：作不熟悉的函數(shù)圖象，可以變形成基本函數(shù)再作圖，但要注意變形過程是否等價(jià)，要特別注意x，y的變化范圍因此必須熟記基本函數(shù)的圖象例如：一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)，及三角函數(shù)、反三角函數(shù)的圖象在變換函數(shù)解析式中運(yùn)用了轉(zhuǎn)化變換和分類討論的思想2作函數(shù)圖象的另一個(gè)基本方法圖象變換法一個(gè)函數(shù)圖象經(jīng)過適當(dāng)?shù)淖儞Q(如平移、伸縮、對稱、旋轉(zhuǎn)等)，得到另一個(gè)與之相關(guān)的圖象，這就是函數(shù)的圖象變換在高中，主要學(xué)習(xí)了三種圖象變換：平移變換、伸縮變換、對稱變換(1)平移變換函數(shù)y=f(x+a)(a0)的圖象可以通過把函數(shù)y=f(x)的圖象向左(a0)或向右(a0)平移|a|個(gè)單位而得到；函數(shù)y=f(x)+b(b0)的圖象可以通過把函數(shù)y=f(x)的圖象向上(b0)或向下(b0)平移|b|個(gè)單位而得到(2)伸縮變換函數(shù)y=Af(x)(A0，A1)的圖象可以通過把函數(shù)y=f(x)的圖象上各點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長(A1)或縮短(0A1)成原來的A倍，橫坐標(biāo)不變而得到函數(shù)y=f(x)(0，1)的圖象可以通過把函數(shù)y=f(x)的圖象上而得到(3)對稱變換函數(shù)y=-f(x)的圖象可以通過作函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于x軸對稱的圖形而得到函數(shù)y=f(-x)的圖象可以通過作函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于y軸對稱的圖形而得到函數(shù)y=-f(-x)的圖象可以通過作函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱的圖形而得到函數(shù)y=f-1(x)的圖象可以通過作函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于直線y=x對稱的圖形而得到。函數(shù)y=f(|x|)的圖象可以通過作函數(shù)y=f(x)在y軸右方的圖象及其與y軸對稱的圖形而得到函數(shù)y=|f(x)|的圖象可以通過作函數(shù)y=f(x)的圖象，然后把在x軸下方的圖象以x軸為對稱軸翻折到x軸上方，其余部分保持不變而得到例8已知f(x+199)=4x4x+3(xR)，那么函數(shù)f(x)的最小值為_分析：由f(x199)的解析式求f(x)的解析式運(yùn)算量較大，但這里我們注意到，y=f(x 100)與y=f(x)，其圖象僅是左右平移關(guān)系，它們?nèi)〉们蟮胒(x)的最小值即f(x199)的最小值是2說明：函數(shù)圖象與函數(shù)性質(zhì)本身在學(xué)習(xí)中也是密切聯(lián)系的，是“互相利用”關(guān)系，函數(shù)圖象在判斷函數(shù)奇偶性、單調(diào)性、周期性及求最值等方面都有重要用途五、函數(shù)綜合應(yīng)用函數(shù)的綜合復(fù)習(xí)是在系統(tǒng)復(fù)習(xí)函數(shù)有關(guān)知識的基礎(chǔ)上進(jìn)行函數(shù)的綜合應(yīng)用:1在應(yīng)用中深化基礎(chǔ)知識在復(fù)習(xí)中基礎(chǔ)知識經(jīng)歷一個(gè)由分散到系統(tǒng)，由單一到綜合的發(fā)展過程這個(gè)過程不是一次完成的，而是螺旋式上升的因此要在應(yīng)用深化基礎(chǔ)知識的同時(shí)，使基礎(chǔ)知識向深度和廣度發(fā)展2以數(shù)學(xué)知識為載體突出數(shù)學(xué)思想方法數(shù)學(xué)思想方法是觀念性的東西，是解決數(shù)學(xué)問題的靈魂，同時(shí)它又離不開具體的數(shù)學(xué)知識函數(shù)內(nèi)容最重要的數(shù)學(xué)思想是函數(shù)思想和數(shù)形結(jié)合的思想此外還應(yīng)注意在解題中運(yùn)用的分類討論、換元等思想方法解較綜合的數(shù)學(xué)問題要進(jìn)行一系列等價(jià)轉(zhuǎn)化或非等價(jià)轉(zhuǎn)化因此本課題也十分重視轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想3重視綜合運(yùn)用知識分析問題解決問題的能力和推理論證能力的培養(yǎng)函數(shù)是數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)的開始，還不可能在大范圍內(nèi)綜合運(yùn)用知識但從復(fù)習(xí)開始就讓學(xué)生樹立綜合運(yùn)用知識解決問題的意識是十分重要的推理論證能力是學(xué)生的薄弱環(huán)節(jié)，近幾年高考命題中加強(qiáng)對這方面的考查，尤其是對代數(shù)推理論證能力的考查是十分必要的本課題在例題安排上作了這方面的考慮具體要求是：1在全面復(fù)習(xí)函數(shù)有關(guān)知識的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步深刻理解函數(shù)的有關(guān)概念，全面把握各類函數(shù)的特征，提高運(yùn)用基礎(chǔ)知識解決問題的能力2掌握初等數(shù)學(xué)研究函數(shù)的方法，提高研究函數(shù)的能力，重視數(shù)形結(jié)合數(shù)學(xué)思想方法的運(yùn)用和推理論證能力的培養(yǎng)3初步溝通函數(shù)與方程、不等式及解析幾何有關(guān)知識的橫向聯(lián)系，提高綜合運(yùn)用知識解決問題的能力4樹立函數(shù)思想，使學(xué)生善于用運(yùn)動變化的觀點(diǎn)分析問題本部分內(nèi)容的重點(diǎn)是：通過對問題的講解與分析，使學(xué)生能較好的調(diào)動函數(shù)的基礎(chǔ)知識解決問題，并在解決問題中深化對基礎(chǔ)知識的理解，深化對函數(shù)思想、數(shù)形結(jié)合思想的理解與運(yùn)用難點(diǎn)是：函數(shù)思想的理解與運(yùn)用，推理論證能力、綜合運(yùn)用知識解決問題能力的培養(yǎng)與提高函數(shù)的綜合運(yùn)用主要是指運(yùn)用函數(shù)的知識、思想和方法綜合解決問題函數(shù)描述了自然界中量的依存關(guān)系，是對問題本身的數(shù)量本質(zhì)特征和制約關(guān)系的一種刻畫，用聯(lián)系和變化的觀點(diǎn)提出數(shù)學(xué)對象，抽象其數(shù)學(xué)特征，建立函數(shù)關(guān)系因此，運(yùn)動變化、相互聯(lián)系、相互制約是函數(shù)思想的精髓，掌握有關(guān)函數(shù)知識是運(yùn)用函數(shù)思想的前提，提高用初等數(shù)學(xué)思想方法研究函數(shù)的能力，樹立運(yùn)用函數(shù)思想解決有關(guān)數(shù)學(xué)問題的意識是運(yùn)用函數(shù)思想的關(guān)鍵1準(zhǔn)確理解、熟練運(yùn)用，不斷深化有關(guān)函數(shù)的基礎(chǔ)知識在中學(xué)階段函數(shù)只限于定義在實(shí)數(shù)集合上的一元單值函數(shù)，其內(nèi)容可分為兩部分第一部分是函數(shù)的概念和性質(zhì)，這部分的重點(diǎn)是能從變量的觀點(diǎn)和集合映射的觀點(diǎn)理解函數(shù)及其有關(guān)概念，掌握描述函數(shù)性質(zhì)的單調(diào)性、奇偶性、周期性等概念；第二部分是七類常見函數(shù)(一次函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)和反三角函數(shù))的圖象和性質(zhì)第一部分是理論基礎(chǔ)，第二部分是第一部分的運(yùn)用與發(fā)展例9已知函數(shù)f(x)，xF，那么集合(x，y)|y=f(x)，xF(x，y)|x=1中所含元素的個(gè)數(shù)是（ ）A0 B1 C0或1 D1或2分析：這里首先要識別集合語言，并能正確把集合語言轉(zhuǎn)化成熟悉的語言從函數(shù)觀點(diǎn)看，問題是求函數(shù)y=f(x)，xF的圖象與直線x=1的交點(diǎn)個(gè)數(shù)(這是一次數(shù)到形的轉(zhuǎn)化)，不少學(xué)生常誤認(rèn)為交點(diǎn)是1個(gè)，并說這是根據(jù)函數(shù)定義中“惟一確定”的規(guī)定得到的，這是不正確的，因?yàn)楹瘮?shù)是由定義域、值域、對應(yīng)法則三要素組成的這里給出了函數(shù)y=f(x)的定義域是F，但未明確給出1與F的關(guān)系，當(dāng)1F時(shí)有1個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)1 F時(shí)沒有交點(diǎn)，所以選C2掌握研究函數(shù)的方法，提高研究函數(shù)問題的能力高中數(shù)學(xué)對函數(shù)的研究理論性加強(qiáng)了，對一些典型問題的研究十分重視，如求函數(shù)的定義域，確定函數(shù)的解析式，判斷函數(shù)的奇偶性，判斷或證明函數(shù)在指定區(qū)間的單調(diào)性等，并形成了研究這些問題的初等方法，這些方法對分析問題能力，推理論證能力和綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識能力的培養(yǎng)和發(fā)展是十分重要的函數(shù)、方程、不等式是相互聯(lián)系的對于函數(shù)f(x)與g(x)，令f(x)=g(x)，f(x)g(x)或f(x)g(x)則分別構(gòu)成方程和不等式，因此對于某些方程、不等式的問題用函數(shù)觀點(diǎn)認(rèn)識是十分有益的；方程、不等式從另一個(gè)側(cè)面為研究函數(shù)提供了工具例10方程lgx+x=3的解所在區(qū)間為（ ）A(0，1) B(1，2)C(2，3) D(3，+)分析：在同一平面直角坐標(biāo)系中，畫出函數(shù)y=lgx與y=-x+3的圖象(如圖2)它們的交點(diǎn)橫坐標(biāo)，顯然在區(qū)間(1，3)內(nèi)，由此可排除A，D至于選B還是選C，由于畫圖精確性的限制，單憑直觀就比較困難了實(shí)際上這是要比較與2的大小當(dāng)x=2時(shí)，lgx=lg2，3-x=1由于lg21，因此2，從而判定(2，3)，故本題應(yīng)選C說明：本題是通過構(gòu)造函數(shù)用數(shù)形結(jié)合法求方程lgx+x=3解所在的區(qū)間數(shù)形結(jié)合，要在結(jié)合方面下功夫不僅要通過圖象直觀估計(jì)，而且還要計(jì)算的鄰近兩個(gè)函數(shù)值，通過比較其大小進(jìn)行判斷例11(1)一次函數(shù)f(x)=kx+h(k0)，若mn有f(m)0，f(n)0，則對于任意x(m，n)都有f(x)0，試證明之；(2)試用上面結(jié)論證明下面的命題：若a，b，cR且|a|1，|b|1，|c|1，則ab+bc+ca-1分析：問題(1)實(shí)質(zhì)上是要證明，一次函數(shù)f(x)=kx+h(k0)， x(m， n)若區(qū)間兩個(gè)端點(diǎn)的函數(shù)值均為正，則對于任意x(m，n)都有f(x)0之所以具有上述性質(zhì)是由于一次函數(shù)是單調(diào)的因此本問題的證明要從函數(shù)單調(diào)性入手(1)證明：當(dāng)k0時(shí)，函數(shù)f(x)=kx+h在xR上是增函數(shù)，mxn，f(x)f(m)0；當(dāng)k0時(shí)，函數(shù)f(x)=kx+h在xR上是減函數(shù)，mxn，f(x)f(n)0所以對于任意x(m，n)都有f(x)0成立(2)將ab+bc+ca+1寫成(b+c)a+bc+1，構(gòu)造函數(shù)f(x)=(b+c)x+bc+1則f(a)=(b+c)a+bc+1當(dāng)b+c=0時(shí)，即b=-c， f(a)=bc+1=-c2+1因?yàn)閨c|1，所以f(a)=-c2+10當(dāng)b+c0時(shí)，f(x)=(b+c)x+bc+1為x的一次函數(shù)因?yàn)閨b|1，|c|1，f(1)=b+c+bc+1=(1+b)(1+c)0， f(-1)=-b-c+bc+1=(1-b)(1-c)0由問題(1)對于|a|1的一切值f(a)0，即(b+c)a+bc+1=ab+ac+bc+10說明：問題(2)的關(guān)鍵在于“轉(zhuǎn)化”“構(gòu)造”把證明ab+bc+ca-1轉(zhuǎn)化為證明ab+bc+ca+10， 由于式子ab+bc+ca+1中， a，b，c是對稱的，構(gòu)造函數(shù)f(x)=(b+c)x+bc+1，則f(a)=(b+c)a+bc+1，問題轉(zhuǎn)化為在|a|1，|b|1，|c|1的條件下證明f(a)0(也可構(gòu)造 f(x)=(a+c)x+ac+1，證明f(b)0)。例12定義在R上的單調(diào)函數(shù)f(x)滿足f(3)=log3且對任意x，yR都有f(x+y)=f(x)+f(y)(1)求證f(x)為奇函數(shù)；(2)若f(k3)+f(3-9-2)0對任意xR恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍分析：欲證f(x)為奇函數(shù)即要證對任意x都有f(-x)=-f(x)成立在式子f(x+y)=f(x)+f(y)中，令y=-x可得f(0)=f(x)+f(-x)于是又提出新的問題，求f(0)的值令x=y=0可得f(0)=f(0)+f(0)即f(0)=0，f(x)是奇函數(shù)得到證明(1)證明：f(x+y)=f(x)+f(y)(x，yR)，令x=y=0，代入式，得f(0+0)=f(0)+f(0)，即 f(0)=0令y=-x，代入式，得 f(x-x)=f(x)+f(-x)，又f(0)=0，則有0=f(x)+f(-x)即f(-x)=-f(x)對任意xR成立，所以f(x)是奇函數(shù)(2)解：f(3)=log30，即f(3)f(0)，又f(x)在R上是單調(diào)函數(shù)，所以f(x)在R上是增函數(shù)，又由(1)f(x)是奇函數(shù)f(k3)-f(3-9-2)=f(-3+9+2)， k3-3+9+2，3-(1+k)3+20對任意xR成立令t=30，問題等價(jià)于t-(1+k)t+20對任意t0恒成立R恒成立說明：問題(2)的上述解法是根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)f(x)是奇函數(shù)且在xR上是增函數(shù)，把問題轉(zhuǎn)化成二次函數(shù)f(t)=t-(1+k)t+2對于任意t0恒成立對二次函數(shù)f(t)進(jìn)行研究求解本題還有更簡捷的解法：分離系數(shù)由k3-3+9+2得上述解法是將k分離出來，然后用平均值定理求解，簡捷、新穎六、強(qiáng)化訓(xùn)練1對函數(shù)作代換x=g(t)，則總不改變f(x)值域的代換是 ( )ABCg(t)=(t1)2Dg(t)=cost2方程f(x,y)=0的曲線如圖所示，那么方程f(2x,y)=0的曲線是 ( )3已知命題p：函數(shù)的值域?yàn)镽，命題q：函數(shù) 是減函數(shù)。若p或q為真命題，p且q為假命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是Aa1Ba<2C1<a<2Da1或a24.方程lgxx3的解所在的區(qū)間為 （ ）A. (0,1) B. (1,2) C. (2,3) D. (3,+)5.如果函數(shù)f(x)xbxc對于任意實(shí)數(shù)t，都有f(2t)f(2t)，那么（ ）A. f(2)<f(1)<f(4) B. f(1)<f(2)<f(4) C. f(2)<f(4)<f(1) D. f(4)<f(2)<f(1)6.已知函數(shù)yf(x)有反函數(shù)，則方程f(x)a (a是常數(shù)) （ ）A.有且僅有一個(gè)實(shí)根 B.至多一個(gè)實(shí)根 C.至少一個(gè)實(shí)根 D.不同于以上結(jié)論7.已知sincos，(，)，則tan的值是 （ ）A. B. C. D. 8.已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為S，且SS (pq，p、qN)，則S_。9.關(guān)于x的方程sinxcosxa0有實(shí)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_。10.正六棱錐的體積為48,側(cè)面與底面所成的角為45，則此棱錐的側(cè)面積為_。11. 建造一個(gè)容積為8m，深為2m的長方體無蓋水池，如果池底和池壁的造價(jià)每平方米分別為120元和80元，則水池的最低造價(jià)為_。12已知函數(shù)滿足：，則 。13已知為正整數(shù)，方程的兩實(shí)根為，且，則的最小值為_。14設(shè)函數(shù)f(x)=lg(ax+2x+1)(1)若f(x)的定義域是R，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(2)若f(x)的值域是R，求實(shí)數(shù)a的取值范圍15設(shè)不等式2x1>m(x1)對滿足|m|2的一切實(shí)數(shù)m的取值都成立。求x的取值范圍。16. 設(shè)等差數(shù)列a的前n項(xiàng)的和為S，已知a12，S>0，S<0 。.求公差d的取值范圍；.指出S、S、S中哪一個(gè)值最大，并說明理由。(1992年全國高考) P MA H B D C17. 如圖，AB是圓O的直徑，PA垂直于圓O所在平面，C是圓周上任一點(diǎn)，設(shè)BAC，PAAB=2r，求異面直線PB和AC的距離。18. 已知ABC三內(nèi)角A、B、C的大小成等差數(shù)列，且tanAtanC2，又知頂點(diǎn)C的對邊c上的高等于4,求ABC的三邊a、b、c及三內(nèi)角。19. 設(shè)f(x)lg，如果當(dāng)x(-,1時(shí)f(x)有意義，求 實(shí)數(shù)a的取值范圍。20已知偶函數(shù)f(x)=cosqsinxsin(xq)+(tanq2)sinxsinq的最小值是0，求f(x)的最大值 及此時(shí)x的集合21已知，奇函數(shù)在上單調(diào)（）求字母應(yīng)滿足的條件；（）設(shè)，且滿足，求證：七、參考答案1不改變f(x)值域，即不能縮小原函數(shù)定義域。選項(xiàng)B，C，D均縮小了的定義域，故選A。2先作出f(x,y)=0關(guān)于軸對稱的函數(shù)的圖象，即為函數(shù)f(-x,y)=0的圖象，又f(2x,y)=0即為，即由f(-x,y)=0向右平移2個(gè)單位。故選C。3命題p為真時(shí)，即真數(shù)部分能夠取到大于零的所有實(shí)數(shù)，故二次函數(shù)的判別式，從而；命題q為真時(shí)，。 若p或q為真命題，p且q為假命題，故p和q中只有一個(gè)是真命題，一個(gè)是假命題。 若p為真，q為假時(shí)，無解；若p為假，q為真時(shí)，結(jié)果為1<a<2，故選C.4圖像法解方程，也可代入各區(qū)間的一個(gè)數(shù)（特值法或代入法），選C；5函數(shù)f(x)的對稱軸為2，結(jié)合其單調(diào)性，選A；6從反面考慮，注意應(yīng)用特例，選B；7設(shè)tanx (x>0），則，解出x2，再用萬能公式，選A；8利用是關(guān)于n的一次函數(shù)，設(shè)SSm，x，則（,p）、(,q)、(x，p+q)在同一直線上，由兩點(diǎn)斜率相等解得x0，則答案：0；9設(shè)cosxt，t-1,1，則att1,1，所以答案：,1；10設(shè)高h(yuǎn)，由體積解出h2，答案：24；11設(shè)長x，則寬，造價(jià)y41204x80801760，答案：1760。12運(yùn)用條件知：=2，且=1613依題意可知，從而可知，所以有，又為正整數(shù)，取，則，所以，從而，所以，又，所以，因此有最小值為。下面可證時(shí)，從而，所以, 又,所以,所以,綜上可得:的最小值為11。14分析:這是有關(guān)函數(shù)定義域、值域的問題，題目是逆向給出的，解好本題要運(yùn)用復(fù)合函數(shù)，把f(x)分解為u=ax+2x+1和y=lgu 并結(jié)合其圖象性質(zhì)求解切實(shí)數(shù)x恒成立 a=0或a0不合題意，解得a1當(dāng)a0時(shí)不合題意； a=0時(shí)，u=2x+1，u能取遍一切正實(shí)數(shù)；a0時(shí)，其判別式=22-4a10，解得0a1所以當(dāng)0a1時(shí)f(x)的值域是R15分析：此問題由于常見的思維定勢，易把它看成關(guān)于x的不等式討論。然而，若變換一個(gè)角度以m為變量，即關(guān)于m的一次不等式(x1)m(2x1)<0在-2,2上恒成立的問題。對此的研究，設(shè)f(m)(x1)m(2x1)，則問題轉(zhuǎn)化為求一次函數(shù)（或常數(shù)函數(shù)）f(m)的值在-2,2內(nèi)恒為負(fù)值時(shí)參數(shù)x應(yīng)該滿足的條件。解：問題可變成關(guān)于m的一次不等式：(x1)m(2x1)<0在-2,2 恒成立，設(shè)f(m)(x1)m(2x1), 則 解得x（,）說明 本題的關(guān)鍵是變換角度，以參數(shù)m作為自變量而構(gòu)造函數(shù)式，不等式問題變成函數(shù)在閉區(qū)間上的值域問題。本題有別于關(guān)于x的不等式2x1>m(x1)的解集是-2,2時(shí)求m的值、關(guān)于x的不等式2x1>m(x1)在-2,2上恒成立時(shí)求m的范圍。一般地，在一個(gè)含有多個(gè)變量的數(shù)學(xué)問題中，確定合適的變量和參數(shù)，從而揭示函數(shù)關(guān)系，使問題更明朗化。或者含有參數(shù)的函數(shù)中，將函數(shù)自變量作為參數(shù)，而參數(shù)作為函數(shù)，更具有靈活性，從而巧妙地解決有關(guān)問題。16分析： 問利用公式a與S建立不等式，容易求解d的范圍；問利用S是n的二次函數(shù)，將S中哪一個(gè)值最大，變成求二次函數(shù)中n為何值時(shí)S取最大值的函數(shù)最值問題。解： 由aa2d12,得到a122d，所以S12a66d12(122d)66d14442d>0，S13a78d13(122d)78d15652d<0。 解得：<d<3。 Snan(n11)dn(122d)n(n1)dn(5)(5)因?yàn)閐<0，故n(5)最小時(shí)，S最大。由<d<3得6<(5)<6.5，故正整數(shù)n6時(shí)n(5)最小，所以S最大。說明： 數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式實(shí)質(zhì)上是定義在自然數(shù)集上的函數(shù)，因此可利用函數(shù)思想來分析或用函數(shù)方法來解決數(shù)列問題。也可以利用方程的思想，設(shè)出未知的量，建立等式關(guān)系即方程，將問題進(jìn)行算式化，從而簡潔明快。由次可見，利用函數(shù)與方程的思想來解決問題，要求靈活地運(yùn)用、巧妙的結(jié)合，發(fā)展了學(xué)生思維品質(zhì)的深刻性、獨(dú)創(chuàng)性。本題的另一種思路是尋求a>0、a<0 ，即：由d<0知道a>a>>a，由S13a<0得a<0，由S6(aa)>0得a>0。所以，在S、S、S中，S的值最大。 P MA H B D C17分析：異面直線PB和AC的距離可看成求直線PB上任意一點(diǎn)到AC的距離的最小值，從而設(shè)定變量，建立目標(biāo)函數(shù)而求函數(shù)最小值。解：在PB上任取一點(diǎn)M，作MDAC于D，MHAB于H，設(shè)MHx，則MH平面ABC，ACHD 。MDx(2rx)sin(sin1)x4rsinx4rsin(sin1)x即當(dāng)x時(shí)，MD取最小值為兩異面直線的距離。說明：本題巧在將立體幾何中“異面直線的距離”變成“求異面直線上兩點(diǎn)之間距離的最小值”，并設(shè)立合適的變量將問題變成代數(shù)中的“函數(shù)問題”。一般地，對于求最大值、最小值的實(shí)際問題，先將文字說明轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)語言后，再建立數(shù)學(xué)模型和函數(shù)關(guān)系式，然后利用函數(shù)性質(zhì)、重要不等式和有關(guān)知識進(jìn)行解答。比如再現(xiàn)性題組第8題就是典型的例子。18分析：已知了一個(gè)積式，考慮能否由其它已知得到一個(gè)和式，再用方程思想求解。解： 由A、B、C成等差數(shù)列，可得B60；由ABC中tanAtanBtanCtanAtanBtanC，得tanAtanCtanB(tanAtanC1) (1)設(shè)tanA、tanC是方程x(3)x20的兩根，解得x1，x2設(shè)A<C，則tanA1，tanC2， A，C由此容易得到a8，b4，c44。說明：本題的解答關(guān)鍵是利用“ABC中tanAtanBtanCtanAtanBtanC”這一條性質(zhì)得到tanAtanC，從而設(shè)立方程求出tanA和tanC的值，使問題得到解決。19分析：當(dāng)x(-,1時(shí)f(x)lg有意義的函數(shù)問題，轉(zhuǎn)化為124a>0在x(-,1上恒成立的不等式問題。解：由題設(shè)可知，不等式124a>0在x(-,1上恒成立，即：()()a>0在x(-,1上恒成立。設(shè)t(), 則t， 又設(shè)g(t)tta，其對稱軸為t tta0在,+)上無實(shí)根， 即 g()()a>0，得a>所以a的取值范圍是a>。說明：對于不等式恒成立，引入新的參數(shù)化簡了不等式后，構(gòu)造二次函數(shù)利用函數(shù)的圖像和單調(diào)性進(jìn)行解決問題，其中也聯(lián)系到了方程無解，體現(xiàn)了方程思想和函數(shù)思想。一般地，我們在解題中要抓住二次函數(shù)及圖像、二次不等式、二次方程三者之間的緊密聯(lián)系，將問題進(jìn)行相互轉(zhuǎn)化。在解決不等式()()a>0在x(-,1上恒成立的問題時(shí)，也可使用“分離參數(shù)法”： 設(shè)t(), t，則有att(,，所以a的取值范圍是a>。其中最后得到a的范圍，是利用了二次函數(shù)在某區(qū)間上值域的研究，也可屬應(yīng)用“函數(shù)思想”。20解：f(x)=cosqsinx(sinxcosqcosxsinq)+(tanq2)sinxsinq =sinqcosx+(tanq2)sinxsinq因?yàn)閒(x)是偶函數(shù)，所以對任意xR，都有f(x)=f(x)，即sinqcos(x)+(tanq2)sin(x)sinq=sinqcosx+(tanq2)sinxsinq,即(tanq2)sinx=0，所以tanq=2由解得或此時(shí)，f(x)=sinq(cosx1).當(dāng)sinq=時(shí)，f(x)=(cosx1)最大值為0，不合題意最小值為0，舍去；當(dāng)sinq=時(shí)，f(x)=(cosx1)最小值為0，當(dāng)cosx=1時(shí)，f(x)有最大值為,自變量x的集合為x|x=2kp+p,kZ21解：（1）；，若上是增函數(shù)，則恒成立，即若上是減函數(shù)，則恒成立，這樣的不存在綜上可得：（2）（證法一）設(shè)，由得，于是有，（1）（2）得：，化簡可得，故，即有（證法二）假設(shè)，不妨設(shè)，由（1）可知在上單調(diào)遞增，故，這與已知矛盾，故原假設(shè)不成立，即有