2019-2020 年高三數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí) 專題八 數(shù)列（含解析） 抓住 5 個高考重點 重點 1 數(shù)列的概念與通項公式 1.數(shù)列的定義 2.通項與前項和的關(guān)系： 112 1,., ,2nn nnnSSaaaS 3.數(shù)列的一般性質(zhì)：（1）單調(diào)性；（2）周期性-若，則為周期數(shù)列，為的一個周期. 4.數(shù)列通項公式的求法：觀察、歸納與猜想 高考常考角度 角度 1 已知數(shù)列滿足 ，則*43412,0,nnnaaN 解析：主要考查對數(shù)列中項數(shù)的分析處理能力， 0147210725410aa 角度 2 已知數(shù)列的前項和為第項滿足則（ ） A. B. C. D. 解析：當(dāng)時， ；當(dāng)時， ，故 由 ，故選 B5821087.59,8kann 重點 2 等差數(shù)列及其前項和 1.等差數(shù)列的通項公式： *1(),(),(,)nnmadadNmn 2.等差數(shù)列的前項和公式： ，為常數(shù)2122Sab 3.等差數(shù)列的性質(zhì)與應(yīng)用： 也成等差數(shù)列23243,.pqstnnnpqstSS 4.等差數(shù)列前項和的最值：（1）若，數(shù)列的前幾項為負(fù)數(shù)，則所有負(fù)數(shù)項或零項之和為最??； （2）若，數(shù)列的前幾項為正數(shù)，則所有正數(shù)項或零項之和為最大； （3）通過用配方法或?qū)?shù)求解. 5 等差數(shù)列的判定與證明：（1）利用定義， （2）利用等差中項， （3）利用通項公式為常數(shù)， （4）利用前項和，為常數(shù) 高考?？冀嵌?角度 1 在等差數(shù)列中， ，則_ 解析：由等差數(shù)列的性質(zhì)知 .246846372()()4aaa 角度 2 已知為等差數(shù)列，其公差為，且是與的等比中項，為的前項和， ，則的值為（ ） A B C D 解析：， ，解之得，)1()1(12aa . 故選 D.1009(0S 角度 3 設(shè)等差數(shù)列的前項和為,若,則當(dāng)取最小值時等于（ ） A B C D 解析：設(shè)該數(shù)列的公差為，則 ，解得，46128(1)86add 所以 ，所以當(dāng)時，取最小值.選 A2(1)632nSn 角度 4 已知數(shù)列滿足對任意的，都有，且 2331212nnaaa （1）求，的值； （2）求數(shù)列的通項公式； （3）設(shè)數(shù)列的前項和為，不等式對任意的正整數(shù)恒成立，求實數(shù)的取值范圍 解：（1）當(dāng)時，有，由于，所以 當(dāng)時，有，將代入上式，由于，所以 （2）由于 2331212nnaaa ， 則有 21n ，得 2231212nn na ， 由于，所以 2aa 同樣有 121nn ， ， ，得 所以 由于，即當(dāng)時都有，所以數(shù)列是首項為 1，公差為 1 的等差數(shù)列 故 （3） 21, ()()2nnan 13243512.n nnSa1()().()()2n21242nn13311()()04 ()3nS n 數(shù)列是遞增數(shù)列，故 要使不等式對任意的正整數(shù)恒成立 只須，又 故 所以 實數(shù)的取值范圍是 角度 5 （xx.福建）已知等差數(shù)列中， ， （）求數(shù)列的通項公式； （）若數(shù)列的前項和，求的值 解析：（）設(shè)等差數(shù)列的公差，則， 由題設(shè)， ，所以 312ad1()23nan （）因為 ，()(32)5kkakS 所以，解得或因為，所以 重點 3 等比數(shù)列及其前項和 1.等比數(shù)列的通項公式： 1*,nnmaqaNn 2.等比數(shù)列的前項和公式： 1(),nnSq 3.等比數(shù)列的性質(zhì)與應(yīng)用: 也成等比數(shù)列23243,.pqstnnnpstaSS 4.等比數(shù)列的判定與證明：（1）利用定義為常數(shù)（2）利用等比中項， 高考?？冀嵌?角度 1 若等比數(shù)列滿足，則公比為（ ） A. B. C. D. 解析：由題有 ，故選擇 B.223122316,64aaq 角度 2 在等比數(shù)列中，若則公比 ； . 解析：由已知得；所以 .12 (2)(1)nnna 角度 3 設(shè)數(shù)列的前項和為 已知 （）設(shè)，證明數(shù)列是等比數(shù)列 （）求數(shù)列的通項公式。 解析：（）由及，有 2112135,3aba 由， 則當(dāng)時，有. 得 ， 又，11()nn 是首項，公比為 2 的等比數(shù)列 （）由（）可得， （如果不這樣，就要用到累差法了） 數(shù)列是首項為，公差為的等比數(shù)列 ，131()24nan 故 角度 4 等比數(shù)列中，分別是下表第一、二、三行中的某一個數(shù)，且中的任何兩個數(shù)不在下表的同一列. 第一列 第二列 第三列 第一行 3 2 10 第二行 6 4 14 第三行 9 8 18 （）求數(shù)列的通項公式； （）若數(shù)列滿足：，求數(shù)列的前項和. 解析：（）當(dāng)時，不合題意；當(dāng)時，不合題意. 當(dāng)時，當(dāng)且僅當(dāng)時，符合題意；因此 故 （）因為 1123()ln23)n 1(ln23()ln23)(1ln3,n21 22(13)()l)n n 2()ln2l3l1.n 重點 4 數(shù)列的求和 1.數(shù)列求和的注意事項：（1）首項：從哪項開始相加；（2）有多少項求和；（3）通項的特征決定求和的方法 2.常見的求和技巧：（1）公式法，利用等差數(shù)列、等比數(shù)列的求和公式； （2）倒序相加法； （3）錯位相減法； （4）分組求和法； （5）裂項法； （6）并項法 高考?？冀嵌?角度 1 若數(shù)列的通項公式是,則（ ） A. B. C. D. 解析:方法一：分別求出前 10 項相加即可得出結(jié)論； 方法二： ，故 .故選 A.12349103aa aL 角度 2 已知數(shù)列 ，求此數(shù)列的前項和221,.n 解析：由 211. nn221().(.)nnS 231(1.)n23 12(1). 2nnn 角度 3 數(shù)列為等差數(shù)列，為正整數(shù)，其前項和為，數(shù)列為等比數(shù)列，且， 數(shù)列是公比為 64 的等比數(shù)列，. （1）求； （2）求證. 解：設(shè)公差為，由題意易知，且 則通項，前項和 再設(shè)公比為，則通項 由可得 又為公比為 64 的等比數(shù)列， ， daaa qqbnnn 111 聯(lián)立、及，且可解得 通項， 的通項， （2）由（1）知， 11()()()3242n 111)()33452nn (1)n3( 角度 4 設(shè)若 ，則_1201()().()044Sfff 解析： 12),x xxff4()1)2xfx 由 得 013(.()204Sfff201321()().()404Sfff ， 3().3124f 角度 5 設(shè)數(shù)列滿足 21*13,3naaN （1）求數(shù)列的通項公式 （2）設(shè)求數(shù)列的前項和 解析：（1）由已知 2113n 當(dāng)時， 2133naa 兩式相減得， 在中，令，得 所以 （2） 231.nnS 4 13(1)3n 相減得 23 11()32.n nnnS 重點 5 數(shù)列的綜合應(yīng)用 1.等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合 2.數(shù)列的實際應(yīng)用（貴州省所考的新課程全國卷基本上不考此類題，故未選入） 高考?？冀嵌?角度 1 設(shè)，其中成公比為的等比數(shù)列，成公差為的等差數(shù)列，則的最小值是_ 解析：由題意： ， 23121211aqaaq2221,aaq ，而 的最小值分別為 .2, 角度 2 已知是以 a 為首項， q 為公比的等比數(shù)列，為它的前 n 項和 （）當(dāng)、 、成等差數(shù)列時，求 q 的值； （）當(dāng)、 、成等差數(shù)列時，求證：對任意自然數(shù) k， 、 、也成等差數(shù)列 解析：（）由已知， ，因此， ， 當(dāng)、 、成等差數(shù)列時， ，可得 化簡得解得 （）若，則的每項，此時、 、顯然成等差數(shù)列 若，由、 、成等差數(shù)列可得，即 (1)()2(1) mlnaqaq 整理得因此， 11()2klnkmkl nka 所以， 、 、也成等差數(shù)列 突破 3 個高考難點 難點 1 數(shù)列的遞推公式及應(yīng)用 1.求（為常數(shù)）型的通項公式 （1）當(dāng)時，為等差數(shù)列 （2）當(dāng)時，為等差數(shù)列 （3）當(dāng)且時，方法是累差法或待定系數(shù)法，具體做法是： 數(shù)列為等比數(shù)列11()1nnnnqqapapa 2.求（且為常數(shù)）型的通項公式，具體做法是：“倒代換” 由變形為，故是以為首項，為公差的等差數(shù)列，進(jìn)而求解 3. 求（為常數(shù)）型的通項公式，具體做法是： 由 ，令，則，再行求解.11nnnapapqq 典例 根據(jù)下列條件，求數(shù)列的通項公式 （1） （待定系數(shù)法） 解析：由 ，是以為公比，為首項的等比數(shù)列1122()nnnaa *4,N （2） （換元法）*113,()2nnaaN 解析：由 ，是以公差，1 為首項的等差數(shù)列1123nnn *2() ,3nn aNa （3） （累差法、換元法、待定系數(shù)法） 解析：兩邊除以得，令，則 11()22nnnnbb 是以為公比，為首項的等比數(shù)列， 1(),2n nn nnab （4） （累積法） 解析：由已知得 12342123321,.,nnnaaa 以上各式相乘，得 421231 1. . ,4nn nnan （5） （換元法） 解析：由已知 21313313loglogl2(log)nnnnnaaa 是以為公比，為首項的等比數(shù)列， 所以 1 213 3log,l2,nnnn 難點 2 數(shù)列與不等式的交匯 典例設(shè)數(shù)列滿足且 （）求的通項公式； （）設(shè)記證明： 解析：（）由已知，是公差為 1 的等差數(shù)列， ，1()nna （） 1 1nnabn ()()()23 難點 3 數(shù)列與函數(shù)、方程的交匯 典例 1 已知等比數(shù)列的公比，前 3 項和。 （）求數(shù)列的通項公式； （）若函數(shù) 在處取得最大值，且最大值為，求的解析式。()sin(2)0,)fxA 點評：本題考察等比數(shù)列的通項公式、三角函數(shù)的圖象性質(zhì)，考查運算求解能力，考查函數(shù)與方程思想?；A(chǔ)題。 解：（）由題有 ；121113393naaa （）由（） ，故，又， 所以 規(guī)避 4 個易失分點 易失分點 1 忽略成立的條件 典例 已知數(shù)列滿足， （1）證明是等差數(shù)列，并求出公差 （2）求數(shù)列的通項公式 解析：（1）由已知， ，所以是等差數(shù)列，且公差為1112() 2nnnSS （2） 536()3653nnS 當(dāng)時， ，驗證與不符18(5)3nna 故 3,8,2(5)nn 易失分點 2 數(shù)列求和中包含的項數(shù)不清 典例 設(shè) ，則等于（ ）4710310()2.2,nf N A. B. C. D. 解析：容易錯選 A，其實仔細(xì)觀察會發(fā)現(xiàn)，有項，故選 D 易失分點 3 數(shù)列中的最值求解不當(dāng) 典例 已知數(shù)列滿足則的最小值為_ 解析：由已知得 以上各式相加得11232212(),(),.,nnaaaa ，1 ()23. 1,3n na 令，由對鉤函數(shù)或者求導(dǎo)可以知道在上遞減，在上遞增 又，所以時可能取到最小值，而，故的最小值為 易失分點 4 使用錯位相減法求和時對項數(shù)處理不當(dāng) 典例 數(shù)列是等差數(shù)列， ,其中，數(shù)列前項和存在最小值.123(),0,(1)afxafx （1）求通項公式; （2）若，求數(shù)列的前項和 解：（1） 221()4()f 2 分23()4167afxxx 又?jǐn)?shù)列是等差數(shù)列， （）+（）= 解之得：或 4 分 當(dāng)時， ，此時公差， 當(dāng)時， ，公差，此時數(shù)列前 n 項和不存在最小值，故舍去。 6 分2(1)4na （2）由（1）知， 8 分21()()nnnab （點評：此處有一項為 0，但是必須寫上，否則會引起混亂）230nS 10 分（點評：不能打亂原有的結(jié)構(gòu)）4111()2()2nn 1231()()(22nnn nnS 1()(23()nnn 12 分