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2019-2020年高考數學專題復習導練測 第十一章 第2講 變量間的相關關系與統(tǒng)計案例 理 新人教A版 一、選擇題 1．有五組變量： ①汽車的重量和汽車每消耗1升汽油所行駛的平均路程； ②平均日學習時間和平均學習成績； ③某人每日吸煙量和身體健康情況； ④圓的半徑與面積； ⑤汽車的重量和每千米耗油量． 其中兩個變量成正相關的是(　　) A．①③ B．②④ C．②⑤ D．④⑤ 解析 由變量的相關關系的概念知，②⑤是正相關，①③是負相關，④為函數關系，故選C. 答案 C 2．已知x，y取值如下表： x 0 1 4 5 6 8 y 1.3 1.8 5.6 6.1 7.4 9.3 A．1.30 B．1.45 C．1.65 D．1.80 解析　依題意得，＝(0＋1＋4＋5＋6＋8)＝4，＝(1.3＋1.8＋5.6＋6.1＋7.4＋9.3)＝5.25.又直線＝0.95x＋a必過樣本中心點(，)，即點(4,5.25)，于是有5.25＝0.954＋a，由此解得a＝1.45，選B. 答案　B 3．在研究吸煙與患肺癌的關系中，通過收集數據、整理分析數據得“吸煙與患肺癌有關”的結論，并且有99%以上的把握認為這個結論是成立的，則下列說法中正確的是(　　)． A．100個吸煙者中至少有99人患有肺癌 B．1個人吸煙，那么這人有99%的概率患有肺癌 C．在100個吸煙者中一定有患肺癌的人 D．在100個吸煙者中可能一個患肺癌的人也沒有 解析　統(tǒng)計的結果只是說明事件發(fā)生可能性的大小，具體到一個個體不一定發(fā)生． 答案　D 4．某產品的廣告費用x與銷售額y的統(tǒng)計數據如下表： 廣告費用x(萬元) 4 2 3 5 銷售額y(萬元) 49 26 39 54 根據上表可得回歸方程＝x＋中的為9.4，據此模型預報廣告費用為6萬元時銷售額為 (　　)． A．63.6萬元 B．65.5萬元 C．67.7萬元 D．72.0萬元 解析?。剑?.5(萬元)， ＝＝42(萬元)， ∴＝－＝42－9.43.5＝9.1， ∴回歸方程為＝9.4x＋9.1， ∴當x＝6(萬元)時，＝9.46＋9.1＝65.5(萬元)． 答案　B 5．為了解兒子身高與其父親身高的關系，隨機抽取5對父子的身高數據如下： 父親身高x/cm 174 176 176 176 178 兒子身高y/cm 175 175 176 177 177 則y對x的線性回歸方程為 (　　)． A．y＝x－1 B．y＝x＋1 C．y＝88＋x D．y＝176 解析　由題意得＝＝176(cm)， ＝＝176(cm)，由于(，)一定滿足線性回歸方程，經驗證知選C. 答案　C 6．已知數組(x1，y1)，(x2，y2)，…，(x10，y10)滿足線性回歸方程＝bx＋a，則“(x0，y0)滿足線性回歸方程＝bx＋a”是“x0＝，y0＝”的(　　)． A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 解析　x0，y0為這10組數據的平均值，又因為線性回歸方程＝bx＋a必過樣本中心(，)，因此(，)一定滿足線性回歸方程，但滿足線性回歸方程的除了(，)外，可能還有其他樣本點． 答案　B 二、填空題 7．已知施化肥量x與水稻產量y的試驗數據如下表，則變量x與變量y是________相關(填“正”或“負”). 施化肥量x 15 20 25 30 35 40 45 水稻產量y 330 345 365 405 445 450 455 解析　因為散點圖能直觀地反映兩個變量是否具有相關關系，所以畫出散點圖如圖所示： 通過觀察圖象可知變量x與變量y是正相關． 答案　正 8．考古學家通過始祖鳥化石標本發(fā)現：其股骨長度x(cm)與肱骨長度y(cm)的線性回歸方程為＝1.197x－3.660，由此估計，當股骨長度為50 cm時，肱骨長度的估計值為________ cm. 解析　根據線性回歸方程＝1.197x－3.660，將x＝50代入得y＝56.19，則肱骨長度的估計值為56.19 cm. 答案　56.19 9．某醫(yī)療研究所為了檢驗某種血清預防感冒的作用，把500名使用血清的人與另外500名未使用血清的人一年中的感冒記錄作比較，提出假設H0：“這種血清不能起到預防感冒的作用”，利用22列聯表計算得K2≈3.918，經查臨界值表知P(K2≥3.841)≈0.05.則下列結論中，正確結論的序號是________． ①有95%的把握認為“這種血清能起到預防感冒的作用”； ②若某人未使用該血清，那么他在一年中有95%的可能性得感冒； ③這種血清預防感冒的有效率為95%； ④這種血清預防感冒的有效率為5%. 解析 K2≈3.918>3.841，而P(K2≥3.841)≈0.05，所以有95%的把握認為“這種血清能起到預防感冒的作用”；但檢驗的是假設是否成立和該血清預防感冒的有效率是沒有關系的，不是同一個問題，不要混淆，正確序號為①. 答案 ① 10．某數學老師身高176 cm，他爺爺、父親和兒子的身高分別是173 cm、170 cm和182 cm.因兒子的身高與父親的身高有關，該老師用線性回歸分析的方法預測他孫子的身高為________ cm. 解析　由題意父親身高x cm與兒子身高y cm對應關系如下表： x 173 170 176 y 170 176 182 則＝＝173，＝＝176， (xi－)(yi－)＝(173－173)(170－176)＋(170－173)(176－176)＋(176－173)(182－176)＝18， (xi－)2＝(173－173)2＋(170－173)2＋(176－173)2＝18.∴＝＝1.∴＝－ ＝176－173＝3. ∴線性回歸直線方程＝x＋＝x＋3. ∴可估計孫子身高為182＋3＝185(cm)． 答案　185 三、解答題 7．某班主任對全班50名學生進行了作業(yè)量多少的調查．數據如下表： 認為作業(yè)多 認為作業(yè)不多 合計 喜歡玩游戲 18 9 不喜歡玩游戲 8 15 合計 (1)請完善上表中所缺的有關數據； (2)試通過計算說明在犯錯誤的概率不超過多少的前提下認為喜歡玩游戲與作業(yè)量的多少有關系？ 附： P(K2≥k0) 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k0 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 K2＝ 解　(1) 認為作業(yè)多 認為作業(yè)不多 合計 喜歡玩游戲 18 9 27 不喜歡玩游戲 8 15 23 合計 26 24 50 (2)將表中的數據代入公式K2＝得到K2的觀測值k＝≈5.059>5.024， 查表知P(K2≥5.024)＝0.025，即說明在犯錯誤的概率不超過0.025的前提下認為喜歡玩游戲與作業(yè)量的多少有關系． 8．下表提供了某廠節(jié)能降耗技術改造后生產甲產品過程中記錄的產量x(噸)與相應的生產能耗y(噸標準煤)的幾組對照數據. x 3 4 5 6 y 2.5 3 4 4.5 (1)請畫出上表數據的散點圖； (2)請根據上表提供的數據，用最小二乘法求出y關于x的線性回歸方程＝x＋； (3)已知該廠技改前生產100噸甲產品的生產能耗為90噸標準煤．試根據(2)求出的線性回歸方程，預測生產100噸甲產品的生產能耗比技改前降低多少噸標準煤？ (參考數值：32.5＋43＋54＋64.5＝66.5) 解　(1)由題設所給數據，可得散點圖如圖所示． (2)由對照數據，計算得：＝86， ＝＝4.5(噸)，＝＝3.5(噸)． 已知iyi＝66.5， 所以，由最小二乘法確定的回歸方程的系數為： ＝＝＝0.7， ＝－＝3.5－0.74.5＝0.35. 因此，所求的線性回歸方程為＝0.7x＋0.35. (3)由(2)的回歸方程及技改前生產100噸甲產品的生產能耗，得降低的生產能耗為： 90－(0.7100＋0.35)＝19.65(噸標準煤)． 5．某農科所對冬季晝夜溫差大小與某反季節(jié)大豆新品種發(fā)芽多少之間的關系進行分析研究，他們分別記錄了12月1日至12月5日的每天晝夜溫差與實驗室每天每100顆種子中的發(fā)芽數，得到如下資料： 日期 12月1日 12月2日 12月3日 12月4日 12月5日 溫差x/℃ 10 11 13 12 8 發(fā)芽數y/顆 23 25 30 26 16 該農科所確定的研究方案是：先從這五組數據中選取2組，用剩下的3組數據求線性回歸方程，再對被選取的2組數據進行檢驗． (1)求選取的2組數據恰好是不相鄰2天數據的概率； (2)若選取的是12月1日與12月5日的兩組數據，請根據12月2日至12月4日的數據，求出y關于x的線性回歸方程＝x＋. 解　(1)設抽到不相鄰兩組數據為事件A，因為從5組數據中選取2組數據共有10種情況，每種情況都是等可能出現的，其中抽到相鄰兩組數據的情況有4種，所以P(A)＝1－＝. (2)由數據，求得＝12，＝27. 1125＋1330＋1226＝977,112＋132＋122＝434， 由公式，求得＝，＝－ ＝－3. 所以y關于x的線性回歸方程為＝x－3. 6．有甲、乙兩個班級進行數學考試，按照大于等于85分為優(yōu)秀，85分以下為非優(yōu)秀統(tǒng)計成績后，得到如下的列聯表. 優(yōu)秀 非優(yōu)秀 總計 甲班 10 乙班 30 合計105 已知從全部105人中隨機抽取1人為優(yōu)秀的概率為. (1)請完成上面的列聯表； (2)根據列聯表的數據，若按95%的可靠性要求，能否認為“成績與班級有關系”； (3)若按下面的方法從甲班優(yōu)秀的學生中抽取一人：把甲班優(yōu)秀的10名學生從2到11進行編號，先后兩次拋擲一枚均勻的骰子，出現的點數之和為被抽取人的序號．試求抽到6號或10號的概率． 附　K2＝， P(K2≥k) 0.05 0.01 k 3.841 6.635 解　(1) 優(yōu)秀 非優(yōu)秀 總計 甲班 10 45 55 乙班 20 30 50 合計 30 75 105 (2)根據列聯表中的數據，得到 k＝≈6.109＞3.841， 因此有95%的把握認為“成績與班級有關系”． (3)設“抽到6號或10號”為事件A，先后兩次拋擲一枚均勻的骰子，出現的點數為(x，y)，則所有的基本事件有(1,1)、(1,2)、(1,3)、…、(6,6)，共36個． 事件A包含的基本事件有(1,5)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，(5,1)，(4,6)，(5,5)，(6,4)，共8個， ∴P(A)＝＝.