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2019-2020年高考數(shù)學模擬試卷 理（含解析） 一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的. 1．已知x∈C，方程x2﹣2x+2=0的兩根之比為( ) A．i B．﹣i C．i D．1i 2．已知：a是實數(shù)，命題P：?x∈R，使x2+2ax﹣4a＜0；命題Q：﹣4＜a＜0；則命題P為假命題是命題Q成立的( ) A．充要條件 B．必要不充分條件 C．充分不必要條件 D．既不充分也不必要條件 3．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸出x的值為23，則輸入的x值為( ) A．0 B．1 C．2 D．11 4．已知由長方體截去一個棱錐所得幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為( ) A．16 B． C． D． 5．如果△A1B1C1的三個內角的余弦值分別為△A2B2C2的三個內角的正弦值，則△A1B1C1一定是銳角三角形，△A2B2C2一定是( ) A．銳角三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．不能確定 6．已知一個四位數(shù)其各個位置上的數(shù)字是互不相等的非負整數(shù)，且各個數(shù)字之和為12，則這樣的四位數(shù)的個數(shù)是( ) A．108 B．128 C．152 D．174 7．已知A、B為拋物線x2=2py（p＞0）上兩點，直線AB過焦點F，A、B在準線上的射影分別為C、D，則 ①=0； ②存在實數(shù)λ使得（點O為坐標原點）； ③若線段AB的中點P在準線上的射影為T，有=0； ④拋物線在A點的切線和在B點切線一定相交，并且相互垂直． 其中說法正確的個數(shù)為( ) A．1 B．2 C．3 D．4 8．已知n∈N*，數(shù)列{an}的首項a1=1，函數(shù)f（x）=x，若x=an+1是f（x）的極小值點，則數(shù)列{an}的通項公式為( ) A．a(chǎn)n= B． C． D． 9．由二項式定理知識可將（n∈N*）展開并化簡．若，則在（a+5）2n+1（n∈N*）的小數(shù)表示中，小數(shù)點后面至少連續(xù)有零的個數(shù)是( ) A．2n﹣1 B．2n C．2n+1 D．2n+2 10．定義域為的函數(shù)y=f（x）圖象的兩個端點為A、B，M（x，y）是f（x）圖象上任意一點，其中x=λa+（1﹣λ）b∈，已知向量，若不等式恒成立，則稱函數(shù)f（x）在上“k階線性近似”．若函數(shù)在上“k階線性近似”，則實數(shù)k的取值范圍為( ) A． （2）若0＜ω＜1，當f（x0）=﹣，求f（x0+1）的值． 18．已知等比數(shù)列{an}的前三項的和為，前三項的積為． （Ⅰ）求等比數(shù)列{an}的通項公式； （Ⅱ）若a2，a3，a1成等差數(shù)列，設bn=（2n+1）an，求數(shù)列{bn}的前n項的和Tn． 19．如圖，ABCD是邊長為3的正方形，DE⊥平面ABCD，AF∥DE，DE=3AF，BE與平面ABCD所成角為60． （Ⅰ）求證：AC⊥平面BDE； （Ⅱ）求二面角F﹣BE﹣D的余弦值； （Ⅲ）設點M是線段BD上一個動點，試確定點M的位置，使得AM∥平面BEF，并證明你的結論． 20．電子商務在我國發(fā)展迅猛，網(wǎng)上購物成為很多人的選擇．某購物網(wǎng)站組織了一次促銷活動，在網(wǎng)頁的界面上打出廣告：高級口香糖，10元錢三瓶，有8種口味供你選擇（其中有一種為草莓口味）．小王點擊進入網(wǎng)頁一看，只見有很多包裝完全相同的瓶裝口香糖排在一起，看不見具體口味，由購買者隨機點擊進行選擇．（各種口味的高級口香糖均超過3瓶，且各種口味的瓶數(shù)相同，每點擊選擇一瓶后，網(wǎng)頁自動補充相應的口香糖．） （1）小王花10元錢買三瓶，請問小王共有多少種不同組合選擇方式？ （2）小王花10元錢買三瓶，由小王隨機點擊三瓶，請列出有小王喜歡的草莓味口香糖瓶數(shù)ξ的分布列，并計算其數(shù)學期望和方差． 21．橢圓C1：的左、右焦點分別為F1、F2，右頂點為A，P為橢圓C1上任意一點，且最大值的取值范圍是，其中c=． （1）求橢圓C1的離心率e的取值范圍； （2）設雙曲線C2以橢圓C1的焦點為頂點，頂點為焦點，B是雙曲線C2在第一象限上任意一點，當e取得最小值時，試問是否存在常數(shù)λ（λ＞0），使得∠BAF1=λ∠BF1A恒成立？若存在求出λ的值；若不存在，請說明理由． 22．已知函數(shù)f（x）=ln（1+ax2），a∈R且a≠0． （1）當a=﹣4時，求F（x）=f（x）﹣2x的最大值； （2）求f（x）的單調區(qū)間； （3）當n∈N*，求證：ln2． 湖北省隨州市隨縣一中xx高考數(shù)學模擬試卷（理科） 一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的. 1．已知x∈C，方程x2﹣2x+2=0的兩根之比為( ) A．i B．﹣i C．i D．1i 考點：復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算． 專題：數(shù)系的擴充和復數(shù)． 分析：在復數(shù)范圍內，解方程x2﹣2x+2=0，進而根據(jù)復數(shù)的除法運算，可求出兩根之比． 解答： 解：∵方程x2﹣2x+2=0的判別式△=﹣4， ∴方程x2﹣2x+2=0有復數(shù)解x=1i， 兩根之比為或， 故選C 點評：本題考查復數(shù)的基礎知識，實系數(shù)一元二次方程的解法以及復數(shù)的運算．雖然教材中并沒有涉及實系數(shù)一元二次方程的解法，但是利用復數(shù)的引入知識和在復數(shù)的概念的基礎上應具備創(chuàng)新的能力，這也是新課程標準所要求的． 2．已知：a是實數(shù)，命題P：?x∈R，使x2+2ax﹣4a＜0；命題Q：﹣4＜a＜0；則命題P為假命題是命題Q成立的( ) A．充要條件 B．必要不充分條件 C．充分不必要條件 D．既不充分也不必要條件 考點：必要條件、充分條件與充要條件的判斷． 專題：簡易邏輯． 分析：根據(jù)充分條件和必要條件的定義進行判斷即可． 解答： 解：由于命題P：?x∈R，使；是假命題， 則P：?x∈R，x2+2ax﹣4a≥0就是真命題，故△=4a2+16a≤0?﹣4≤a≤0， 則命題P為假命題是命題Q成立必要不充分條件， 故選B 點評：此題考查特稱命題的判斷以及充要條件的概念．根據(jù)充分條件和必要條件的定義是解決本題的關鍵． 3．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸出x的值為23，則輸入的x值為( ) A．0 B．1 C．2 D．11 考點：循環(huán)結構． 專題：圖表型． 分析：當x=2x+1，n=1+1=2，滿足n≤3，執(zhí)行循環(huán)體，依此類推，最后一次：x=211+1=23，n=1+3=4，不滿足n≤3，退出循環(huán)體，輸出此時的x的值． 解答： 解：x=22+1=5，n=1+1=2，滿足n≤3，執(zhí)行循環(huán)體； x=25+1=11，n=2+1=3，滿足n≤3，執(zhí)行循環(huán)體； x=211+1=23，n=3+1=4，不滿足n≤3，退出循環(huán)體， 上述過程反過來看即可得． 則輸入的x值為：2 故選：C． 點評：本題主要考查了直到型循環(huán)結構，循環(huán)結構有兩種形式：當型循環(huán)結構和直到型循環(huán)結構，當型循環(huán)是先判斷后循環(huán)，直到型循環(huán)是先循環(huán)后判斷，屬于基礎題之列． 4．已知由長方體截去一個棱錐所得幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為( ) A．16 B． C． D． 考點：由三視圖求面積、體積． 專題：空間位置關系與距離． 分析：由已知的三視圖可得：該幾何體是一個長方體截去一個三棱錐得到的組合體，求出長方體和三棱錐的體積，相減可得答案． 解答： 解：利用三視圖的知識可知該幾何體是由一個長方體截去一個三棱錐得到， 如下圖所示， 故可得幾何體的體積為， 故選：B． 點評：本題考查的知識點是由三視圖求體積和表面積，解決本題的關鍵是得到該幾何體的形狀． 5．如果△A1B1C1的三個內角的余弦值分別為△A2B2C2的三個內角的正弦值，則△A1B1C1一定是銳角三角形，△A2B2C2一定是( ) A．銳角三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．不能確定 考點：反證法與放縮法． 專題：解三角形． 分析：依題意知，△A1B1C1為銳角三角形，利用誘導公式易得由于，，，假設△A2B2C2是銳角三角形，可推得A2+B2+C2=，導出矛盾，從而推翻假設，肯定結論成立． 解答： 解：因為三角形內角的正弦均為正值， 故△A1B1C1的三個內角的余弦值均為正， 所以△A1B1C1為銳角三角形． 由于，，， 若△A2B2C2是銳角三角形， 則，與三角形內角和為π弧度矛盾， 故△A2B2C2是鈍角三角形， 故選：C． 點評：本題考查三角函數(shù)與三角形的概念以及用反證法推理的基本數(shù)學思想，屬于中檔題． 6．已知一個四位數(shù)其各個位置上的數(shù)字是互不相等的非負整數(shù)，且各個數(shù)字之和為12，則這樣的四位數(shù)的個數(shù)是( ) A．108 B．128 C．152 D．174 考點：計數(shù)原理的應用． 專題：計算題． 分析：本題是一個分類計數(shù)問題，當數(shù)字中不含有0時，把12分成4個不同的數(shù)之和，只可能是1+2+4+5或者1+2+3+6，排列出結果，當數(shù)字含有0時，可以是0，1，2，9；0，2，4，6；0，1，4，7；0，1，5，6；0，2，3，7；0，1，3，8；0，3，4，5，共有7種情況滿足條件，得到結果． 解答： 解：由題意知本題是一個分類計數(shù)問題， 當數(shù)字中不含有0時， 把12分成4個不同的數(shù)之和，只可能是1+2+4+5或者1+2+3+6 4個個位數(shù)和是12，也就是說，平均值是3 ∴可能是3﹣1，3﹣2，3+1，3+2這一種情況，就是1，2，4，5 而如果出現(xiàn)3的話，剩下三個數(shù)和為9，那么可能是1、2、3、6 由1，2，4，5，組成的四位數(shù)，可能有A44=24種， 同樣由1、2、3、6組成四位數(shù)，也有24種， ∴不含有0的數(shù)字有24+24=48種結果， 當數(shù)字含有0時，可以是0，1，2，9 0，2，4，6；0，1，4，7；0，1，5，6；0，2，3，7；0，1，3，8；0，3，4，5，共有7種情況滿足條件， 而每一種可以組成數(shù)字332=18 ∴共有48+187=174 故選D． 點評：本題考查計數(shù)原理，對于比較復雜的問題，一般是既有分類又有分步，本題解題的關鍵是先分成含有0和不含有0兩種情況． 7．已知A、B為拋物線x2=2py（p＞0）上兩點，直線AB過焦點F，A、B在準線上的射影分別為C、D，則 ①=0； ②存在實數(shù)λ使得（點O為坐標原點）； ③若線段AB的中點P在準線上的射影為T，有=0； ④拋物線在A點的切線和在B點切線一定相交，并且相互垂直． 其中說法正確的個數(shù)為( ) A．1 B．2 C．3 D．4 考點：拋物線的簡單性質． 專題：計算題；圓錐曲線的定義、性質與方程． 分析：對四個命題分別進行判斷，即可得出結論． 解答： 解：設直線AB方程為，A（x1，y1），B（x2，y2），則 由， ①由拋物線定義可知：AF=AC，BF=BD，AC∥BD∥y軸，∠AFC=∠CFO，∠BFD=∠DFO，所以∠CFD=90即；①正確 ②，∴AO∥DO即存在實數(shù)λ使得；②正確 ③因為，由于，若k≠0則kFT?kAB=﹣1，；若k=0顯然；③正確 ④由于，拋物線在A點的切線斜率為，拋物線在B點切線斜率為 因為，故一定相交，并且相互垂直．④正確 故選D． 點評：本題考查拋物線的概念和性質，注重平時復習對知識的理解和重要內容的記憶，特別是教材中例題研究的方法和結論，都會是xx高考命題的主要來源． 8．已知n∈N*，數(shù)列{an}的首項a1=1，函數(shù)f（x）=x，若x=an+1是f（x）的極小值點，則數(shù)列{an}的通項公式為( ) A．a(chǎn)n= B． C． D． 考點：數(shù)列的概念及簡單表示法；利用導數(shù)研究函數(shù)的極值． 專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列． 分析：f（x）=x2﹣2（an+n+3）x+2（2n+6）an=（x﹣2an），當2an＜2n+6時，極小值點為an+1=2n+6；當2an＞2n+6時，極小值點為an+1=2an，比較2an與2n+6的大小即可得出． 解答： 解：f（x）=x2﹣2（an+n+3）x+2（2n+6）an=（x﹣2an） 當2an＜2n+6時，極小值點為an+1=2n+6 當2an＞2n+6時，極小值點為an+1=2an 比較2an與2n+6的大小： 當n=1時2n+6=8＞2a1=2，∴； 當n=2時2n+6=10＜2a2=16，∴； 當n=3時2n+6=12＜2a3=32，∴； 用數(shù)學歸納法可證明：當n≥2時，2an＞2n+6． 故， 故選：D 點評：本題考查函數(shù)極值點概念和求法、數(shù)列的概念、等差等比數(shù)列的判斷，以及分類討論的思想和代數(shù)推理的能力，屬于中檔題． 9．由二項式定理知識可將（n∈N*）展開并化簡．若，則在（a+5）2n+1（n∈N*）的小數(shù)表示中，小數(shù)點后面至少連續(xù)有零的個數(shù)是( ) A．2n﹣1 B．2n C．2n+1 D．2n+2 考點：二項式定理的應用；定積分． 專題：綜合題；二項式定理． 分析：先求出a，利用與的小數(shù)部分完全相同，即可得出結論． 解答： 解：因為 由題目給出的提示：由二項式定理， 因此與的小數(shù)部分完全相同． ∵， ∴， 即的小數(shù)表示中小數(shù)點后面至少接連有2n+1個零， 因此，的小數(shù)表示中，小數(shù)點后至少連續(xù)有2n+1個零． 故選C． 點評：本題考查簡單定積分的計算和二項式定理的應用以及化歸的數(shù)學思想． 10．定義域為的函數(shù)y=f（x）圖象的兩個端點為A、B，M（x，y）是f（x）圖象上任意一點，其中x=λa+（1﹣λ）b∈，已知向量，若不等式恒成立，則稱函數(shù)f（x）在上“k階線性近似”．若函數(shù)在上“k階線性近似”，則實數(shù)k的取值范圍為( ) A． 13．若從區(qū)間（0，2）內隨機取兩個實數(shù)，則“這兩個實數(shù)的平方和不小于4”概率為1﹣，類比前面問題的解法解：若從區(qū)間（0，2）內隨機取三個實數(shù)，則“這三個實數(shù)的平方和不小于4”的概率為． 考點：幾何概型． 專題：概率與統(tǒng)計． 分析：設這兩個實數(shù)為x，y，由題意列出不等式組，以及這兩個實數(shù)的平方和不小于4的不等式組，分別求出區(qū)域面積，利用幾何概型的概率公式解答． 解答： 解：設這兩個實數(shù)為x，y，則x，y滿足，基本事件構成平面區(qū)域的面積為4， 事件“這兩個實數(shù)的平方和不小于4”滿足，其構成平面區(qū)域的面積為正方形面積減去半徑為2的圓面積的四分之一，即4﹣π， 故所求概率為 類比到空間：設這三個實數(shù)為x，y，z，則，基本事件構成空間區(qū)域的體積為棱長為2的正方體其體積為8； 事件“這三個實數(shù)的平方和不小于4”滿足其構成空間區(qū)域的體積為正方體體積減去半徑為2的球的體積的八分之一，即． 故所求概率為． 點評：這是一個幾何概型問題．考查學生建立數(shù)學模型的能力，并能利用合情推理之類比推理的方法解決新的問題，培養(yǎng)和提高創(chuàng)新能力． 14．已知f（x）=ex+cosx，g（x）=x，若存在x1，x2∈．… （2）因為0＜ω＜1，所以，即 ∵， 即… 由， 可得， 所以… f（x0+1）=2sin =2sin =… 點評：本題主要考察三角函數(shù)的圖象與性質、同角三角函數(shù)的關系、兩角和的正余弦公式、兩倍角公式等基礎知識，考查運算能力，數(shù)形結合、整體轉化等數(shù)學思想，三角函數(shù)以向量為載體的形式給出，在三角函數(shù)圖象中巧妙嵌入直角三角形，活而不難、平中見奇． 18．已知等比數(shù)列{an}的前三項的和為，前三項的積為． （Ⅰ）求等比數(shù)列{an}的通項公式； （Ⅱ）若a2，a3，a1成等差數(shù)列，設bn=（2n+1）an，求數(shù)列{bn}的前n項的和Tn． 考點：數(shù)列的求和． 專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列． 分析：（Ⅰ）根據(jù)等比數(shù)列的性質即可求等比數(shù)列{an}的通項公式； （Ⅱ）利用錯位相減法即可求數(shù)列{bn}的前n項的和Tn． 解答： 解：（Ⅰ）設等比數(shù)列{an}的公比為q，則前三項為； 依題意，前三項的積為，可得， 由于，解得q=﹣2或， 所以等比數(shù)列的通項公式為：或． （Ⅱ）若，則不成等差數(shù)列，不合條件，舍去． 若，則成等差數(shù)列，滿足條件， 故， ， Tn=3（）1+5（）2+7（）3+…+（2n+1）（）n， 將上兩式相減得：== 所以． 點評：本題主要考查兩個基本數(shù)列：等差數(shù)列和等比數(shù)列的概念及其通項公式，并考查了數(shù)列求和中的錯位相減法，是最簡單也是最常用的數(shù)學知識和數(shù)學方法． 19．如圖，ABCD是邊長為3的正方形，DE⊥平面ABCD，AF∥DE，DE=3AF，BE與平面ABCD所成角為60． （Ⅰ）求證：AC⊥平面BDE； （Ⅱ）求二面角F﹣BE﹣D的余弦值； （Ⅲ）設點M是線段BD上一個動點，試確定點M的位置，使得AM∥平面BEF，并證明你的結論． 考點：用空間向量求平面間的夾角；空間中直線與平面之間的位置關系；向量方法證明線、面的位置關系定理． 專題：計算題；證明題． 分析：（I）由已知中DE⊥平面ABCD，ABCD是邊長為3的正方形，我們可得DE⊥AC，AC⊥BD，結合線面垂直的判定定理可得AC⊥平面BDE； （Ⅱ）以D為坐標原點，DA，DC，DE方向為x，y，z軸正方向，建立空間直角坐標系，分別求出平面BEF和平面BDE的法向量，代入向量夾角公式，即可求出二面角F﹣BE﹣D的余弦值； （Ⅲ）由已知中M是線段BD上一個動點，設M（t，t，0）．根據(jù)AM∥平面BEF，則直線AM的方向向量與平面BEF法向量垂直，數(shù)量積為0，構造關于t的方程，解方程，即可確定M點的位置． 解答： 證明：（Ⅰ）因為DE⊥平面ABCD，所以DE⊥AC． 因為ABCD是正方形，所以AC⊥BD， 從而AC⊥平面BDE．… 解：（Ⅱ）因為DA，DC，DE兩兩垂直，所以建立空間直角坐標系D﹣xyz如圖所示． 因為BE與平面ABCD所成角為600，即∠DBE=60， 所以． 由AD=3，可知，． 則A（3，0，0），，，B（3，3，0），C（0，3，0）， 所以，． 設平面BEF的法向量為n=（x，y，z），則，即． 令，則n=． 因為AC⊥平面BDE，所以為平面BDE的法向量，． 所以． 因為二面角為銳角，所以二面角F﹣BE﹣D的余弦值為．… （Ⅲ）點M是線段BD上一個動點，設M（t，t，0）． 則． 因為AM∥平面BEF， 所以=0，即4（t﹣3）+2t=0，解得t=2． 此時，點M坐標為（2，2，0）， 即當時，AM∥平面BEF．… 點評：本題考查的知識點是用空間向量求平面間的夾角，空間中直線與平面垂直的判定，向量法確定直線與平面的位置關系，其中（I）的關鍵是證得DE⊥AC，AC⊥BD，熟練掌握線面垂直的判定定理，（II）的關鍵是建立空間坐標系，求出兩個半平面的法向量，將二面角問題轉化為向量夾角問題，（III）的關鍵是根據(jù)AM∥平面BEF，則直線AM的方向向量與平面BEF法向量垂直，數(shù)量積為0，構造關于t的方程． 20．電子商務在我國發(fā)展迅猛，網(wǎng)上購物成為很多人的選擇．某購物網(wǎng)站組織了一次促銷活動，在網(wǎng)頁的界面上打出廣告：高級口香糖，10元錢三瓶，有8種口味供你選擇（其中有一種為草莓口味）．小王點擊進入網(wǎng)頁一看，只見有很多包裝完全相同的瓶裝口香糖排在一起，看不見具體口味，由購買者隨機點擊進行選擇．（各種口味的高級口香糖均超過3瓶，且各種口味的瓶數(shù)相同，每點擊選擇一瓶后，網(wǎng)頁自動補充相應的口香糖．） （1）小王花10元錢買三瓶，請問小王共有多少種不同組合選擇方式？ （2）小王花10元錢買三瓶，由小王隨機點擊三瓶，請列出有小王喜歡的草莓味口香糖瓶數(shù)ξ的分布列，并計算其數(shù)學期望和方差． 考點：離散型隨機變量的期望與方差；離散型隨機變量及其分布列；計數(shù)原理的應用． 專題：概率與統(tǒng)計． 分析：（1）若8種口味均不一樣，有種，若其中兩瓶口味一樣，有種，若三瓶口味一樣，有8種．由此能求出小王共有多少種選擇方式． （2）由已知得，由此能求出小王喜歡的草莓味口香糖瓶數(shù)ξ的分布列、數(shù)學期望和方差． 解答： （本題滿分12分） 解：（1）若8種口味均不一樣，有=56種， 若其中兩瓶口味一樣，有=56種， 若三瓶口味一樣，有8種．所以小王共有56+56+8=120種選擇方式．… （2）ξ的取值為0，1，2，3．由于各種口味的高級口香糖均超過3瓶， 且各種口味的瓶數(shù)相同，有8種不同口味， 所以小王隨機點擊一次獲得草莓味口香糖的概率均為，… 故隨機變量ξ服從二項分布，即， ， ， ， ， ∴ξ的分布列為 ξ 0 1 2 3 P … 其數(shù)學期望， 方差．… 點評：本題考查概率、隨機變量分布列以及數(shù)學期望等基礎知識，考查運用概率統(tǒng)計知識解決簡單實際問題的能力，要認真審題，要將題目中的關系讀懂，是中檔題． 21．橢圓C1：的左、右焦點分別為F1、F2，右頂點為A，P為橢圓C1上任意一點，且最大值的取值范圍是，其中c=． （1）求橢圓C1的離心率e的取值范圍； （2）設雙曲線C2以橢圓C1的焦點為頂點，頂點為焦點，B是雙曲線C2在第一象限上任意一點，當e取得最小值時，試問是否存在常數(shù)λ（λ＞0），使得∠BAF1=λ∠BF1A恒成立？若存在求出λ的值；若不存在，請說明理由． 考點：直線與圓錐曲線的綜合問題． 專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題． 分析：（1）利用數(shù)量積運算、橢圓的標準方程及其性質即可得出； （2）當時，，可得，A（2c，0）．設B（x0，y0），（x0＞0，y0＞0），代入雙曲線方程，當AB⊥x軸時，x0=2c，y0=3c，可得．故，猜想λ=2，使∠BAF1=λ∠BF1A總成立，當x0≠2c時，利用斜率計算公式可得，即可． 解答： 解：（1）設P（x，y），又F1（﹣c，0），F(xiàn)2（c，0）， ∴， 又得， ∴， ∴當x2=a2時，取得最大值b2， ∴c2≤b2≤3c2，c2≤a2﹣c2≤3c2 ∴，即， ∴． （2）當時，， ∴，A（2c，0）． 設B（x0，y0），（x0＞0，y0＞0），則， 當AB⊥x軸時，x0=2c，y0=3c， 則，∴． 故，猜想λ=2，使∠BAF1=λ∠BF1A總成立， 當x0≠2c時， ∴， 又 ∴tan2∠BF1A===tan∠BAF1， 又2∠BF1A與∠BAF1同在內， ∴2∠BF1A=∠BAF1， 故存在λ=2，使∠BAF1=λ∠BF1A恒成立． 點評：本題考查圓錐曲線的基本知識，重點落腳在橢圓的性質和運用上，了解雙曲線基本知識，然后利用研究圓錐曲線的思想和方法，通過類比的方式解決問題，將常用的創(chuàng)新思想：歸納、猜想、證明用于解題之中．學數(shù)學不僅僅是要會解數(shù)學題，更重要的是學會用數(shù)學的眼光看世界，用數(shù)學的方法解決問題，屬于難題． 22．已知函數(shù)f（x）=ln（1+ax2），a∈R且a≠0． （1）當a=﹣4時，求F（x）=f（x）﹣2x的最大值； （2）求f（x）的單調區(qū)間； （3）當n∈N*，求證：ln2． 考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性；利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值． 專題：計算題；證明題；壓軸題；導數(shù)的綜合應用． 分析：（1）代入a=﹣4化簡F（x）=ln（1﹣4x2）﹣2x的定義域為；求導并令，從而判斷導數(shù)的正負以確定單調性，再求最大值； （2）由1+ax2＞0知ax2＞﹣1（a≠0），再求導，討論a以確定函數(shù)的定義域及導數(shù)的正負，從而確定函數(shù)的單調性； （3）設不等式左邊為Sn，化簡Sn==；構造函數(shù)，從而化，其中；利用積分的定義可知表示函數(shù)g（x）在區(qū)間上與x軸圍成的面積的過剩近似值；從而證明． 解答： 解：（1）當a=﹣4時，F(xiàn)（x）=ln（1﹣4x2）﹣2x的定義域為； 由， 可得， ∵， ∴； 故當，F(xiàn)（x）單調遞增， 當，F(xiàn)（x）單調遞減； 故F（x）的最大值為． （2）因為1+ax2＞0，可知ax2＞﹣1（a≠0）， 又； 當a＞0，f（x）定義域為R，若x＞0則f′（x）＞0，若x＜0則f′（x）＜0； 故f（x）的單調減區(qū)間為（﹣∞，0），單調增區(qū)間為（0，+∞）． 當a＜0，f（x）定義域為， 若x＞0則f′（x）＜0，若x＜0則f′（x）＞0； 故f（x）的單調增區(qū)間為，單調減區(qū)間為． （3）證明：設不等式左邊為Sn， 則Sn= = =； 構造函數(shù)， 由（2）可知當a=1時，f（x）=ln（1+x2），f′（x）=g（x）； ，其中； 利用積分的定義可知表示函數(shù)g（x）在區(qū)間上與x軸圍成的面積的過剩近似值； 故有； 故當n∈N*，成立． 點評：本題考查利用函數(shù)的導數(shù)解決函數(shù)的最值和單調性問題，并通過構造函數(shù)利用微積分的思想證明不等式問題，需要較強的綜合運用知識和開拓創(chuàng)新能力．考查了函數(shù)的思想、分類討論思想、數(shù)形結合思想、等價轉化思想等常用的數(shù)學思想．