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2019-2020年高中數(shù)學競賽教材講義 第二章 二次函數(shù)與命題
一、基礎知識
1．二次函數(shù)：當0時，y=ax2+bx+c或f(x)=ax2+bx+c稱為關于x的二次函數(shù)，其對稱軸為直線x=-，另外配方可得f(x)=a(x-x0)2+f(x0)，其中x0=-，下同。
2．二次函數(shù)的性質：當a>0時，f(x)的圖象開口向上，在區(qū)間（-∞，x0]上隨自變量x增大函數(shù)值減?。ê喎Q遞減），在[x0, -∞）上隨自變量增大函數(shù)值增大（簡稱遞增）。當a<0時，情況相反。
3．當a>0時，方程f(x)=0即ax2+bx+c=0…①和不等式ax2+bx+c>0…②及ax2+bx+c<0…③與函數(shù)f(x)的關系如下（記△=b2-4ac）。
1）當△>0時，方程①有兩個不等實根，設x1,x2(x1
x2}和{x|x10，當x=x0時，f(x)取最小值f(x0)=,若a<0，則當x=x0=時，f(x)取最大值f(x0)=.對于給定區(qū)間[m,n]上的二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a>0)，當x0∈[m, n]時，f(x)在[m, n]上的最小值為f(x0); 當x0n時，f(x)在[m, n]上的最小值為f(n)（以上結論由二次函數(shù)圖象即可得出）。
定義1 能判斷真假的語句叫命題，如“3>5”是命題，“蘿卜好大”不是命題。不含邏輯聯(lián)結詞“或”、“且”、“非”的命題叫做簡單命題，由簡單命題與邏輯聯(lián)結詞構成的命題由復合命題。
注1 “p或q”復合命題只有當p，q同為假命題時為假，否則為真命題；“p且q”復合命題只有當p，q同時為真命題時為真，否則為假命題；p與“非p”即“p”恰好一真一假。
定義2 原命題：若p則q（p為條件，q為結論）；逆命題：若q則p；否命題：若非p則q；逆否命題：若非q則非p。
注2 原命題與其逆否命題同真假。一個命題的逆命題和否命題同真假。
注3 反證法的理論依據(jù)是矛盾的排中律，而未必是證明原命題的逆否命題。
定義3 如果命題“若p則q”為真，則記為pq否則記作pq.在命題“若p則q”中，如果已知pq,則p是q的充分條件；如果qp，則稱p是q的必要條件；如果pq但q不p，則稱p是q的充分非必要條件；如果p不q但pq，則p稱為q的必要非充分條件；若pq且qp，則p是q的充要條件。
二、方法與例題
1．待定系數(shù)法。
例1 設方程x2-x+1=0的兩根是α，β，求滿足f(α)=β,f(β)=α,f(1)=1的二次函數(shù)f(x).
【解】 設f(x)=ax2+bx+c(a0),
則由已知f(α)=β,f(β)=α相減并整理得（α-β）[（α+β）a+b+1]=0，
因為方程x2-x+1=0中△0，
所以αβ，所以(α+β)a+b+1=0.
又α+β=1,所以a+b+1=0.
又因為f(1)=a+b+c=1，
所以c-1=1，所以c=2.
又b=-(a+1)，所以f(x)=ax2-(a+1)x+2.
再由f(α)=β得aα2-(a+1)α+2=β,
所以aα2-aα+2=α+β=1，所以aα2-aα+1=0.
即a(α2-α+1)+1-a=0,即1-a=0，
所以a=1,
所以f(x)=x2-2x+2.
2．方程的思想。
例2 已知f(x)=ax2-c滿足-4≤f(1)≤-1, -1≤f(2)≤5，求f(3)的取值范圍。
【解】 因為-4≤f(1)=a-c≤-1,
所以1≤-f(1)=c-a≤4.
又-1≤f(2)=4a-c≤5, f(3)=f(2)-f(1),
所以(-1)+≤f(3)≤5+4,
所以-1≤f(3)≤20.
3．利用二次函數(shù)的性質。
例3 已知二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a,b,c∈R, a0)，若方程f(x)=x無實根，求證：方程f(f(x))=x也無實根。
【證明】若a>0，因為f(x)=x無實根，所以二次函數(shù)g(x)=f(x)-x圖象與x軸無公共點且開口向上，所以對任意的x∈R,f(x)-x>0即f(x)>x，從而f(f(x))>f(x)。
所以f(f(x))>x，所以方程f(f(x))=x無實根。
注：請讀者思考例3的逆命題是否正確。
4．利用二次函數(shù)表達式解題。
例4 設二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a>0)，方程f(x)=x的兩根x1, x2滿足00，所以f(x)>x.
其次f(x)-x1=(x-x1)[a(x-x2)+1]=a(x-x1)[x-x2+]<0，所以f(x)1，求證：方程的正根比1小，負根比-1大。
【證明】 方程化為2a2x2+2ax+1-a2=0.
構造f(x)=2a2x2+2ax+1-a2,
f(1)=(a+1)2>0, f(-1)=(a-1)2>0, f(0)=1-a2<0, 即△>0，
所以f(x)在區(qū)間（-1,0）和（0，1）上各有一根。
即方程的正根比1小，負根比-1大。
6．定義在區(qū)間上的二次函數(shù)的最值。
例6 當x取何值時，函數(shù)y=取最小值？求出這個最小值。
【解】 y=1-,令u,則0-(b+1)，即b>-2時，x2+bx在[0，-(b+1)]上是減函數(shù)，
所以x2+bx的最小值為b+1,b+1=-,b=-.
綜上，b=-.
7.一元二次不等式問題的解法。
例8 已知不等式組 ①②的整數(shù)解恰好有兩個，求a的取值范圍。
【解】 因為方程x2-x+a-a2=0的兩根為x1=a, x2=1-a,
若a≤0，則x11-2a.
因為1-2a≥1-a，所以a≤0,所以不等式組無解。
若a>0，ⅰ）當0時，a>1-a，由②得x>1-2a，
所以不等式組的解集為1-a1且a-(1-a)≤3，
所以10，△=(B-A-C)2(y-z)2-4AC(y-z)2≤0恒成立，所以(B-A-C)2-4AC≤0，即A2+B2+C2≤2(AB+BC+CA)
同理有B≥0，C≥0，所以必要性成立。
再證充分性，若A≥0，B≥0，C≥0且A2+B2+C2≤2(AB+BC+CA)，
1）若A=0，則由B2+C2≤2BC得(B-C)2≤0，所以B=C，所以△=0，所以②成立，①成立。
2）若A>0，則由③知△≤0，所以②成立，所以①成立。
綜上，充分性得證。
9．常用結論。
定理1 若a, b∈R, |a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|.
【證明】 因為-|a|≤a≤|a|,-|b|≤b≤|b|，所以-(|a|+|b|)≤a+b≤|a|+|b|,
所以|a+b|≤|a|+|b|（注：若m>0，則-m≤x≤m等價于|x|≤m）.
又|a|=|a+b-b|≤|a+b|+|-b|,
即|a|-|b|≤|a+b|.綜上定理1得證。
定理2 若a,b∈R, 則a2+b2≥2ab；若x,y∈R+,則x+y≥
(證略)
注 定理2可以推廣到n個正數(shù)的情況，在不等式證明一章中詳細論證。
三、基礎訓練題
1．下列四個命題中屬于真命題的是________，①“若x+y=0，則x、y互為相反數(shù)”的逆命題；②“兩個全等三角形的面積相等”的否命題；③“若q≤1，則x2+x+q=0有實根”的逆否命題；④“不等邊三角形的三個內(nèi)角相等”的逆否命題。
2．由上列各組命題構成“p或q”，“p且q”，“非p”形式的復合命題中，p或q為真，p且q為假，非p為真的是_________.①p；3是偶數(shù)，q：4是奇數(shù)；②p:3+2=6,q:③p:a∈(a,b),q:{a}{a,b}; ④ p: QR, q: N=Z.
3. 當|x-2|0的解是10}，則集合{x|x∈A且xA∩B}=_________.
11. 求使不等式ax2+4x-1≥-2x2-a對任意實數(shù)x恒成立的a的取值范圍。
12．對任意x∈[0,1],有 ①②成立，求k的取值范圍。
四、高考水平訓練題
1．若不等式|x-a|0當|a|≤1時恒成立的x的取值范圍是_________.
3．若不等式-x2+kx-4<0的解集為R，則實數(shù)k的取值范圍是_________.
4．若集合A={x||x+7|>10}, B={x||x-5|0和a2x2+b2x+c2>0解集分別為M和N，那么“”是“M=N”的_________條件。
6．若下列三個方程x2+4ax-4a+3=0, x2+(a-1)x+a2=0, x2+2ax-2a=0中至少有一個方程有實根，則實數(shù)a的取值范圍是_________.
7．已知p, q都是r的必要條件，s是r的充分條件，q是s的充分條件，則r是q的_________條件。
8．已知p: |1-|≤2, q: x2-2x+1-m2≤0(m>0)，若非p是非q的必要不充分條件，則實數(shù)m的取值范圍是_________.
9．已知a>0，f(x)=ax2+bx+c，對任意x∈R有f(x+2)=f(2-x)，若f(1-2x2)0且|x|≤1時，g(x)最大值為2，求f(x).
11.設實數(shù)a,b,c,m滿足條件：=0，且a≥0,m>0，求證：方程ax2+bx+c=0有一根x0滿足00，當函數(shù)的最小值取最大值時，a+b2+c3=_________.
4. 已知f(x)=|1-2x|, x∈[0,1]，方程f(f(f)(x)))=x有_________個實根。
5．若關于x的方程4x2-4x+m=0在[-1，1]上至少有一個實根，則m取值范圍是_________.
6．若f(x)=x4+px3+qx2+x對一切x∈R都有f(x)≥x且f(1)=1，則p+q2=_________.
7. 對一切x∈R，f(x)=ax2+bx+c(a、=、<）
9．若a100，試問滿足|f(x)|≤50的整數(shù)x最多有幾個？
2．設函數(shù)f(x)=ax2+8x+3(a<0)，對于給定的負數(shù)a，有一個最大的正數(shù)l(a)，使得在整個區(qū)間[0，l(a)]上，不等式|f(x)|≤5都成立。求l(a)的最大值及相應a的值。
3．設x1,x2,…,xn∈[a, a+1]，且設x=, y=, 求f=y-x2的最大值。
4．F(x)=ax2+bx+c，a,b,c∈R, 且|F(0)|≤1,|F(1)|≤1,|F(-1)|≤1,則對于|x|≤1，求|F(x)|的最大值。
5．已知f(x)=x2+ax+b，若存在實數(shù)m，使得|f(m)|≤,|f(m+1)|≤,求△=a2-4b的最大值和最小值。
6．設二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c (a,b,c∈R, a0)滿足下列條件：
1）當x∈R時，f(x-4)=f(2-x)，且f(x)≥x；
2）當x∈(0, 2)時，f(x)≤;
3）f(x)在R上最小值為0。
求最大的m(m>1)，使得存在t∈R，只要x∈[1, m]就有f(x+t)≤x.
7.求證：方程3ax2+2bx-(a+b)=0(b0)在(0,1)內(nèi)至少有一個實根。
8．設a,b,A,B∈R+, a
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第二章
二次函數(shù)與命題
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