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2019-2020年高考數(shù)學(xué)精英備考專題講座 第六講解析幾何 第一節(jié)曲線與方程 文 曲線與方程是解析幾何的基本概念,在近年的高考試題中,重點(diǎn)考查曲線與方程的關(guān)系,考查曲線方程的探求方法,多以綜合解答題的第⑴小問的形式出現(xiàn),就這部分考題來說,屬于中檔題,難度值一般在之間. 考試要求 ⑴了解方程的曲線與曲線的方程的對應(yīng)關(guān)系. ⑵掌握一般曲線(點(diǎn)的軌跡)方程的求解方法和用定義法求圓錐曲線方程. 題型一 曲線與方程 例 設(shè)集合非空.如果命題“坐標(biāo)滿足方程的點(diǎn)都在曲線上”不正確,給出以下四個(gè)命題：①曲線上的點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足方程；②坐標(biāo)滿足方程的點(diǎn)有些在上,有些不在上；③坐標(biāo)滿足方程的點(diǎn)都不在曲線上；④一定有不在曲線上的點(diǎn),并且其坐標(biāo)滿足方程.那么正確命題的個(gè)數(shù)是( ). A. B. C. D. 點(diǎn)撥：直接用定義進(jìn)行判斷. 解：“坐標(biāo)滿足方程的點(diǎn)都在曲線上”不正確,意味著“坐標(biāo)滿足方程的點(diǎn)不都在曲線上”是正確的,即一定有不在曲線上的點(diǎn),并且其坐標(biāo)滿足方程,∴④正確；曲線上的點(diǎn)的坐標(biāo)可以有不滿足方程的,∴①錯(cuò)；若滿足方程的只有一解,則②錯(cuò)；“都”的否定是“不都”,而不是“都不”,∴③錯(cuò).故選A. 易錯(cuò)點(diǎn)：定義把握不準(zhǔn)確,關(guān)鍵字句認(rèn)識不到位,概念理解不深刻,均有可能錯(cuò)選其它選項(xiàng). 變式與引申 2.已知定點(diǎn)不在直線：上,則方程表示一條( ). A.過點(diǎn)且平行于的直線 B.過點(diǎn)且垂直于的直線 C.不過點(diǎn)但平行于的直線 D.不過點(diǎn)但垂直于的直線 題型二 代入法(相關(guān)點(diǎn)法)求曲線方程 例 已知點(diǎn),點(diǎn)、分別在軸、軸上,且,,當(dāng)點(diǎn)在軸上運(yùn)動(dòng)時(shí),求點(diǎn)的軌跡方程. 點(diǎn)撥：由確定與的坐標(biāo)關(guān)系,由建立動(dòng)點(diǎn)與、的坐標(biāo)關(guān)系,用代入法求軌跡方程. 解：設(shè),,,又,則,,.由,得 ①.由,得,∴,,即,,代入①得,,即,當(dāng)時(shí),三點(diǎn)、、重合,不滿足條件,∴,故點(diǎn)的軌跡方程為. 易錯(cuò)點(diǎn)：忽視軌跡方程中的. 變式與引申 3.已知為坐標(biāo)原點(diǎn),點(diǎn)、分別在軸、軸上運(yùn)動(dòng),且,動(dòng)點(diǎn)滿足,求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程. 題型三 待定系數(shù)法、直接法求曲線方程 例 已知橢圓的中心為直角坐標(biāo)系的原點(diǎn),焦點(diǎn)在軸上,它的一個(gè)頂點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離分別是和. ⑴求橢圓的方程； ⑵若為橢圓的動(dòng)點(diǎn),為過且垂直于軸的直線上的點(diǎn),(為橢圓的離心率),求點(diǎn)的軌跡方程,并說明軌跡是什么曲線. 點(diǎn)撥：問題⑴用待定系數(shù)法求橢圓的方程；問題⑵將點(diǎn)、的坐標(biāo)代入滿足的關(guān)系式中,化簡后可得到點(diǎn)的軌跡方程,然后說明其軌跡是什么曲線,并指明變量的取值范圍. 解：⑴設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為,半焦距為,則,解得,, ∴.故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為. ⑵設(shè),,其中.由已知得,而,∴.由點(diǎn)在橢圓上,得,代入上式并化簡得,故點(diǎn)的軌跡方程為軌跡是兩條平行于軸的線段. 易錯(cuò)點(diǎn)： 第⑵小問中未注意到點(diǎn)與的坐標(biāo)關(guān)系,會(huì)造成求點(diǎn)軌跡方程的思路受阻；忽視變量的范圍,將出現(xiàn)對所求軌跡曲線的錯(cuò)誤判斷. 變式與引申 4.已知橢圓：的離心率為,以原點(diǎn)為圓心,橢圓短半軸長為半徑的圓與直線相切. ⑴求橢圓的方程； ⑵設(shè)該橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、,直線過且與軸垂直,動(dòng)直線與軸垂直,交與點(diǎn),求線段垂直平分線與的交點(diǎn)的軌跡方程,并指明曲線類型. 題型四 定義法求曲線方程與實(shí)際應(yīng)用問題 例 為了考察冰川的融化狀況,一支科考隊(duì)在某冰川山上相距的、兩點(diǎn)各建一個(gè)考察基地,視冰川面為平面形,以過、兩點(diǎn)的直線為軸,線段的垂直平分線為軸建立平面直角坐標(biāo)系(如圖所示).考察范圍到、兩點(diǎn)的距離之和不超過的區(qū)域. ⑴求考察區(qū)域邊界曲線的方程； ⑵如圖所示,設(shè)線段是冰川的部分邊界線(不考慮其他邊界),當(dāng)冰川融化時(shí),邊界線沿與其垂直的方向朝考察區(qū)域平行移動(dòng),第一年移動(dòng),以后每年移動(dòng)的距離為前一年的倍.問：經(jīng)過多長時(shí)間,點(diǎn)恰好在冰川邊界線上？ 點(diǎn)撥：本題是應(yīng)用題背景下的解析幾何綜合問題,利用橢圓定義求考察 區(qū)域邊界曲線的方程；綜合運(yùn)用直線方程、點(diǎn)到直線的距離公式、等比數(shù)列 求和公式等知識能使第⑵小問獲解. 解：⑴設(shè)考察區(qū)域邊界曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)為.則由 知,點(diǎn)在以、為焦點(diǎn),長軸長為的橢圓 上,此時(shí)短半軸長,故考察區(qū)域邊界曲線的方程為. ⑵易知過點(diǎn)、的直線方程為,∴點(diǎn)到直線的距離.設(shè)經(jīng)過年,點(diǎn)恰好在冰川邊界線上,則由題設(shè)及等比數(shù)列求和公式,得,解得.故經(jīng)過年,點(diǎn)恰好在冰川邊界線上. 易錯(cuò)點(diǎn)：⑴不能正確建立應(yīng)用題的數(shù)學(xué)模型；⑵數(shù)學(xué)閱讀分析能力不強(qiáng),易出現(xiàn)審題錯(cuò)誤. 圖 變式與引申 5.某航天衛(wèi)星發(fā)射前,科技小組在計(jì)算機(jī)上模擬航天器變軌返回試驗(yàn),設(shè)計(jì)方案如圖,航天器運(yùn)行(按順時(shí)針方向)的軌跡方程為,變軌(即航天器運(yùn)行軌跡由橢圓變?yōu)閽佄锞€)后返回的軌跡是以軸為對稱軸、為頂點(diǎn)的拋物線的實(shí)線部分,降落點(diǎn)為.觀測點(diǎn)、同時(shí)跟蹤航天器. ⑴求航天器變軌后的運(yùn)行軌跡所在的曲線方程； ⑵試問：當(dāng)航天器在軸上方時(shí),觀測點(diǎn)、測得離航天器的距離 分別為多少時(shí),應(yīng)向航天器發(fā)出變軌指令？ 本節(jié)主要考查： ⑴知識點(diǎn)有曲線與方程的關(guān)系、求曲線(軌跡)的方程； ⑵依據(jù)動(dòng)點(diǎn)軌跡的幾何條件,運(yùn)用求曲線(軌跡)方程的方法解決求曲線(軌跡)方程的問題,及應(yīng)用題背景下的求曲線(軌跡)方程的問題； ⑶求曲線(軌跡)方程時(shí)：①恰當(dāng)建立坐標(biāo)系,使所求方程更簡單； ②利用圓錐曲線的定義,運(yùn)用平面幾何知識,可以大大簡化求解運(yùn)算過程. ⑷解析幾何基本思想(用代數(shù)方法研究幾何問題)、方程思想、等價(jià)轉(zhuǎn)化思想、分類討論思想、應(yīng)用題建模思想以及分析推理能力、運(yùn)算能力. 點(diǎn)評： ⑴求曲線(軌跡)方程的常用方法有： ①直接法：直接利用動(dòng)點(diǎn)滿足的幾何條件(一些幾何量的等量關(guān)系)建立,之間的關(guān)系(如例第問).其一般步驟是：建系設(shè)點(diǎn)、列式、坐標(biāo)代換、化簡、證明(證明或判斷所求方程即為符合條件的動(dòng)點(diǎn)軌跡方程)； ②待定系數(shù)法：已知所求曲線的類型時(shí),可先根據(jù)條件設(shè)出所求曲線的方程,再由條件確定其待定系數(shù),求出曲線的方程(如例第問)； ③定義法：先根據(jù)條件能得出動(dòng)點(diǎn)的軌跡符合某種曲線的定義,則可用曲線的定義直接寫出動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程(如例)； ④代入法(相關(guān)點(diǎn)法)：有些問題中,動(dòng)點(diǎn)是隨著另一動(dòng)點(diǎn)(稱之為相關(guān)點(diǎn))而運(yùn)動(dòng)的,并且點(diǎn)在某已知的曲線上,這時(shí)可先用、的代數(shù)式來表示、,再將、的表達(dá)式代入已知曲線,即得要求的動(dòng)點(diǎn)軌跡方程(如例及變式). ⑵要注意求曲線(軌跡)方程與求軌跡的區(qū)別：求曲線(軌跡)的方程只需根據(jù)條件求出曲線(軌跡)方程即可；求軌跡則是需先求出軌跡方程,再根據(jù)方程形式說明或討論(含參數(shù)時(shí))曲線圖形的(形狀、位置、大小)類型.解題時(shí)應(yīng)根據(jù)題意作出正確、規(guī)范的解答. ⑶在求出曲線(軌跡)的方程時(shí),要注意動(dòng)點(diǎn)的取值范圍,及時(shí)補(bǔ)漏和去除“雜點(diǎn)”,以保證所求曲線(軌跡)方程的完整性. 習(xí)題6-1 .方程的曲線是( ). A.一個(gè)點(diǎn) B.一條直線 C.一個(gè)點(diǎn)和一條直線 D.兩條直線 .已知雙曲線的一條漸近線方程是,它的一個(gè)焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)相同.則雙曲線的方程為. 3.已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、,離心率,右準(zhǔn)線方程為. ⑴求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程； ⑵過點(diǎn)的直線與該橢圓交于、兩點(diǎn),且,求直線的方程. 4．（xx高考江西卷文）已知過拋物線的焦點(diǎn)，斜率為的直線交拋物線于 和兩點(diǎn)，且. （1）求該拋物線的方程； （2）為坐標(biāo)原點(diǎn)，為拋物線上一點(diǎn)，若，求的值． 【答案】 4. 解：⑴由得,又,∴,,故橢圓的方程為. ⑵由⑴知,,由題意可設(shè),則線段的中點(diǎn)為. 設(shè)是所求軌跡上的任意一點(diǎn),由于,,則 ,消去參數(shù)得,故所求點(diǎn)的軌跡方程為,其軌跡為頂點(diǎn)在原點(diǎn)、開口向左、焦點(diǎn)為的拋物線(除去原點(diǎn)). 5. 解：⑴設(shè)曲線方程為,將點(diǎn),代入曲線方程, 得,∴,,故曲線方程為. ⑵設(shè)變軌點(diǎn)為,聯(lián)立,得,∴或(舍去). 由,得或(舍去).∴點(diǎn),此時(shí),, .故當(dāng)觀測點(diǎn)、測得、的距離分別為、時(shí),應(yīng)向航天器發(fā)出變軌指令. 習(xí)題6-1 . D 提示：由得,,∴或,故方程的曲線是兩條直線. . 提示：由漸近線方程可知①.∵拋物線的焦點(diǎn)為,∴②. 又③.聯(lián)立①②③,解得,,∴雙曲線的方程為. .解：⑴∵、、成等差數(shù)列,∴,即,∴點(diǎn)到兩定點(diǎn)、的距離之和為定長,故的軌跡是以、為焦點(diǎn)的橢圓,其方程為.又,∴點(diǎn)在軸左側(cè),又點(diǎn)與、構(gòu)成三角形,∴點(diǎn)不能在上,∴點(diǎn)的軌跡的方程為. ⑵假設(shè)存在直線滿足條件. ①當(dāng)?shù)男甭蚀嬖跁r(shí),設(shè)的方程為,代入的方程,得.∵與有兩個(gè)不同的交點(diǎn),.∴,解之得. 由弦長公式得,.設(shè)原點(diǎn)到直線距離為,則. ∵,∴,即.解得, ∴,與不符. ②當(dāng)?shù)男甭什淮嬖跁r(shí),的方程為.此時(shí),,,∴直線不符合. 綜上①②知,滿足題給條件的直線不存在.