第 二 講整 式 、 因 式 分 解 一 、 整 式 的 有 關(guān) 概 念 積 數(shù) 字 因 數(shù)字 母 指 數(shù) 2.同 類 項(xiàng) :所 含 字 母 _,且 相 同 字 母 指 數(shù) 也 _的 單 項(xiàng) 式 . 相 同 相 同 二 、 整 式 的 有 關(guān) 運(yùn) 算運(yùn) 算 性 質(zhì) 或 法 則冪 的 運(yùn) 算(m,n為 正整 數(shù) ,且 mn) 同 底 數(shù) 冪 相 乘 am an=_同 底 數(shù) 冪 相 除 am an=_(a 0)冪 的 乘 方 (am)n=_積 的 乘 方 (ab)n=_am+nam-namnanbn 運(yùn) 算 性 質(zhì) 或 法 則整式的乘法 單 項(xiàng) 式 乘單 項(xiàng) 式 _分 別 相 乘 ,只在 一 個 單 項(xiàng) 式 中 出 現(xiàn) 的 字 母 ,連 同 它的 _一 起 作 為 積 的 一 個 因 式單 項(xiàng) 式 乘多 項(xiàng) 式 m(a+b+c)=_多 項(xiàng) 式 乘多 項(xiàng) 式 (a+b)(m+n)=_平 方 差 公 式 :(a+b)(a-b)=_完 全 平 方 公 式 :(a b)2=_系 數(shù) 、 相 同 字 母 的 冪指 數(shù) ma+mb+mcam+an+bm+bna2-b2a2 2ab+b2 三 、 因 式 分 解 的 定 義把 一 個 多 項(xiàng) 式 化 成 幾 個 整 式 的 _的 形 式 ,這 種 變 形叫 做 多 項(xiàng) 式 的 因 式 分 解 . 積 四 、 因 式 分 解 的 方 法1.提 公 因 式 法 :am+bm+cm=_.2.運(yùn) 用 公 式 法 :平 方 差 公 式 :a2-b2=_;完 全 平 方 公 式 :a2 2ab+b2=_.m(a+b+c)(a+b)(a-b)(a b)2 五 、 因 式 分 解 的 步 驟1.若 多 項(xiàng) 式 的 各 項(xiàng) 有 公 因 式 ,則 應(yīng) 先 _,首 項(xiàng) 是 負(fù) 的 ,可 將 負(fù) 號 一 并 提 取 .2.若 多 項(xiàng) 式 的 各 項(xiàng) 沒 有 公 因 式 ,則 可 以 考 慮 用 _法 來 分 解 因 式 .3.檢 查 因 式 分 解 是 否 徹 底 . 提 取 公 因 式公 式 【 自 我 診 斷 】 (打 “ ” 或 “ ” )1.同 底 數(shù) 冪 相 乘 ,底 數(shù) 不 變 ,指 數(shù) 也 相 乘 ,即 am an=amn. ( )2.x3+y3是 6次 多 項(xiàng) 式 . ( )3.-3(x-1)=-3x-1. ( )4.如 果 (a-3b)=-3,那 么 代 數(shù) 式 5-a-3b的 值 是 2. ( ) 5.計 算 :3a+2a=5a. ( )6.多 項(xiàng) 式 3m2-6mn+3n2各 項(xiàng) 的 公 因 式 是 3mn. ( )7.多 項(xiàng) 式 -y2+9能 用 平 方 差 公 式 分 解 因 式 . ( )8.把 代 數(shù) 式 2x2-18分 解 因 式 ,結(jié) 果 是 2(x+3)(x-3).( ) 考 點(diǎn) 一 代 數(shù) 式 求 值 【 示 范 題 1】 (1)(2017 重 慶 中 考 A卷 )若 x=- ,y=4,則 代 數(shù) 式 3x+y-3的 值 為 ( )A.-6 B.0 C.2 D.6 13 (2)(2017 十 堰 中 考 )若 a-b=1,則 代 數(shù) 式 2a-2b-1的 值為 _.(3)(2017 白 銀 中 考 )如 果 m是 最 大 的 負(fù) 整 數(shù) ,n是 絕 對值 最 小 的 有 理 數(shù) ,c是 倒 數(shù) 等 于 它 本 身 的 自 然 數(shù) ,那 么代 數(shù) 式 m2015+2016n+c2017的 值 為 _. 【 思 路 點(diǎn) 撥 】 (1)直 接 將 x,y的 值 代 入 求 出 答 案 .(2)原 式 前 兩 項(xiàng) 提 取 2變 形 后 ,將 a-b=1代 入 計 算 即 可 求出 值 .(3)根 據(jù) 題 意 求 出 m,n,c的 值 ,然 后 代 入 原 式 即 可 求 出答 案 . 【 自 主 解 答 】 (1)選 B. x=- ,y=4, 代 數(shù) 式 3x+y-3=3 +4-3=0.(2) a-b=1, 原 式 =2(a-b)-1=2-1=1.答 案 :1 131( )3 (3)由 題 意 可 知 :m=-1,n=0,c=1, 原 式 =(-1)2015+2016 0+12017=0.答 案 :0 【 答 題 關(guān) 鍵 指 導(dǎo) 】 整 體 代 入 法 求 代 數(shù) 式 值 的 三 種 方 法(1)直 接 整 體 代 入 求 值 :如 果 已 知 的 代 數(shù) 式 與 要 求 的 代數(shù) 式 之 間 都 含 有 相 同 的 式 子 ,只 要 把 已 知 式 子 的 值 直接 代 入 到 要 求 的 式 子 中 ,即 可 得 出 結(jié) 果 . (2)把 已 知 式 子 變 形 后 再 整 體 代 入 求 值 :如 果 題 目 中 所求 的 代 數(shù) 式 與 已 知 代 數(shù) 式 成 倍 數(shù) 關(guān) 系 ,各 字 母 的 項(xiàng) 的系 數(shù) 對 應(yīng) 成 比 例 ,就 可 以 把 這 一 部 分 看 作 一 個 整 體 ,再把 要 求 值 的 代 數(shù) 式 變 形 后 整 體 代 入 計 算 求 值 . (3)把 所 求 式 子 和 已 知 式 子 都 變 形 ,再 整 體 代 入 求 值 :將 已 知 條 件 和 所 求 的 代 數(shù) 式 同 時 變 形 ,使 它 們 含 有 相同 的 式 子 ,再 將 變 形 后 的 已 知 條 件 代 入 變 形 后 的 要 求的 代 數(shù) 式 ,計 算 得 出 結(jié) 果 . 【 變 式 訓(xùn) 練 】1.(2017 重 慶 中 考 B卷 )若 x=-3,y=1,則 代 數(shù) 式 2x-3y+1的 值 為 ( )A.-10 B.-8 C.4 D.10【 解 析 】 選 B. x=-3,y=1, 2x-3y+1=2 (-3)-3 1+1=-8. 2.(2017 宿 遷 中 考 )若 a-b=2,則 代 數(shù) 式 5+2a-2b的 值是 _.【 解 析 】 a-b=2, 原 式 =5+2(a-b)=5+4=9.答 案 :9 考 點(diǎn) 二 冪 的 運(yùn) 算 【 示 范 題 2】 (2017 德 州 中 考 )下 列 運(yùn) 算 正 確 的 是 ( )A.(a2)m=a2m B.(2a)3=2a3C.a3 a-5=a-15 D.a3 a-5=a-2 【 思 路 點(diǎn) 撥 】 根 據(jù) 冪 的 乘 方 ,積 的 乘 方 ,同 底 數(shù) 冪 的 乘法 ,同 底 數(shù) 冪 的 除 法 法 則 進(jìn) 行 計 算 判 斷 .【 自 主 解 答 】 選 A.B.(2a)3=23a3=8a3,故 B不 正 確 ; C.a3 a-5=a-2,故 C不 正 確 ;D.a3 a-5=a3-(-5)=a8,故 D不正 確 . 【 答 題 關(guān) 鍵 指 導(dǎo) 】 冪 的 運(yùn) 算 的 應(yīng) 用(1)同 底 數(shù) 冪 的 乘 除 法 應(yīng) 用 的 前 提 是 底 數(shù) 必 須 相 同 ,若底 數(shù) 互 為 相 反 數(shù) 時 ,要 應(yīng) 用 積 的 乘 方 處 理 好 符 號 問 題 ,轉(zhuǎn) 化 成 同 底 數(shù) ,再 應(yīng) 用 法 則 . (2)同 底 數(shù) 冪 的 乘 法 、 冪 的 乘 方 、 積 的 乘 方 混 合 運(yùn) 算的 時 候 要 注 意 三 個 方 面 :一 是 運(yùn) 算 順 序 ,二 是 正 確 選 擇法 則 ,三 是 運(yùn) 算 符 號 . 【 變 式 訓(xùn) 練 】1.(2017 臨 沂 中 考 )下 列 計 算 正 確 的 是 ( )A.-(a-b)=-a-b B.a2+a2=a4C.a2 a3=a6 D.(ab2)2=a2b4 【 解 析 】 選 D.A.括 號 前 是 負(fù) 號 ,去 括 號 全 變 號 ,故 A不符 合 題 意 ;B.不 是 同 底 數(shù) 冪 的 乘 法 指 數(shù) 不 能 相 加 ,故 B不 符 合 題 意 ;C.同 底 數(shù) 冪 的 乘 法 底 數(shù) 不 變 指 數(shù) 相 加 ,故C不 符 合 題 意 ;D.積 的 乘 方 等 于 乘 方 的 積 ,故 D符 合 題 意 . 2.(2017 濰 坊 中 考 )下 列 計 算 正 確 的 是 ( )A.a3 a2=a6 B.a3 a=a3C.a2+a2=a4 D.(a2)2=a4 【 解 析 】 選 D.選 項(xiàng) A是 同 底 數(shù) 冪 的 乘 法 ,結(jié) 果 為 a5,故選 項(xiàng) A錯 誤 ;選 項(xiàng) B是 同 底 數(shù) 冪 的 除 法 ,結(jié) 果 為 a2,故 選項(xiàng) B錯 誤 ;選 項(xiàng) C是 合 并 同 類 項(xiàng) ,結(jié) 果 為 2a2,故 選 項(xiàng) C錯誤 ;選 項(xiàng) D是 冪 的 乘 方 ,底 數(shù) 不 變 ,指 數(shù) 相 乘 ,故 選 項(xiàng) D正確 . 3.(2017 威 海 中 考 )下 列 運(yùn) 算 正 確 的 是 ( )A.3x2+4x2=7x4 B.2x3 3x3=6x3C.a a-2=a3 D. 2 3 6 31 1( a b) a b2 6 【 解 析 】 選 C.A.原 式 =7x2,不 符 合 題 意 ;B.原 式 =6x6,不 符 合 題 意 ;C.原 式 =a a2=a3,符 合 題 意 ;D.原 式 =- a6b3,不 符 合 題 意 .18 考 點(diǎn) 三 整 式 的 乘 除 及 乘 法 公 式 【 考 情 分 析 】 整 式 的 乘 除 及 乘 法 公 式 的 層 級 為 了 解 、理 解 并 能 應(yīng) 用 ,在 各 地 的 中 考 考 查 中 均 有 體 現(xiàn) ,特 別 是乘 法 公 式 的 應(yīng) 用 是 一 個 重 要 的 考 向 ,考 查 的 方 式 為 直接 應(yīng) 用 公 式 或 法 則 計 算 ,公 式 的 變 形 應(yīng) 用 ,公 式 的 幾 何背 景 及 計 算 幾 何 圖 形 的 面 積 等 ,主 要 以 選 擇 、 填 空 題的 形 式 出 現(xiàn) . 命 題 角 度 1:整 式 乘 除【 示 范 題 3】 (2017 濟(jì) 寧 中 考 )計 算 (a2)3+a2 a3-a2 a-3的 結(jié) 果 為 ( )A.2a5-a B.2a5- C.a5 D.a6 1a 【 思 路 點(diǎn) 撥 】 按 照 冪 的 運(yùn) 算 法 則 ,先 算 乘 方 ,再 算 乘 除 ,最 后 合 并 同 類 項(xiàng) .【 自 主 解 答 】 選 D.(a2)3+a2 a3-a2 a-3=a6+a5-a5=a6. 命 題 角 度 2:乘 法 公 式 的 直 接 應(yīng) 用【 示 范 題 4】 (2017 揚(yáng) 州 中 考 )計 算 :a(3-2a) +2(a+1)(a-1).【 思 路 點(diǎn) 撥 】 根 據(jù) 平 方 差 公 式 以 及 單 項(xiàng) 式 乘 以 多 項(xiàng) 式的 法 則 即 可 求 出 答 案 . 【 自 主 解 答 】 原 式 =3a-2a2+2(a2-1)=3a-2a2+2a2-2=3a-2. 命 題 角 度 3:化 簡 求 值【 示 范 題 5】 (2017 眉 山 中 考 )先 化 簡 ,再 求值 :(a+3)2-2(3a+4),其 中 a=-2.【 思 路 點(diǎn) 撥 】 原 式 利 用 完 全 平 方 公 式 化 簡 ,去 括 號 合并 得 到 最 簡 結(jié) 果 ,把 a的 值 代 入 計 算 即 可 求 出 值 . 【 自 主 解 答 】 原 式 =a2+6a+9-6a-8=a2+1,當(dāng) a=-2時 ,原 式 =4+1=5. 【 答 題 關(guān) 鍵 指 導(dǎo) 】 整 式 的 乘 法 運(yùn) 算 中 的 四 點(diǎn) 注 意(1)單 項(xiàng) 式 乘 多 項(xiàng) 式 就 是 運(yùn) 用 乘 法 分 配 律 將 其 轉(zhuǎn) 化 成單 項(xiàng) 式 乘 單 項(xiàng) 式 ,再 把 所 得 的 積 相 加 . (2)在 運(yùn) 算 時 ,要 注 意 每 一 項(xiàng) 的 符 號 .(3)單 項(xiàng) 式 乘 多 項(xiàng) 式 ,積 的 項(xiàng) 數(shù) 與 多 項(xiàng) 式 的 項(xiàng) 數(shù) 一 樣 .(4)不 要 漏 乘 多 項(xiàng) 式 中 的 項(xiàng) ,特 別 是 多 項(xiàng) 式 中 含 有 +1或-1的 項(xiàng) . 命 題 角 度 :與 幾 何 圖 形 有 關(guān) 的 整 式 計 算【 示 范 題 】 (2017 衢 州 中 考 )如 圖 ,從 邊 長 為 (a+3)的正 方 形 紙 片 中 剪 去 一 個 邊 長 為 3的 正 方 形 ,剩 余 部 分 沿虛 線 又 剪 拼 成 一 個 如 圖 所 示 的 長 方 形 (不 重 疊 無 縫 隙 ),則 拼 成 的 長 方 形 的 另 一 邊 長 是 _. 【 思 路 點(diǎn) 撥 】 根 據(jù) 拼 成 的 長 方 形 的 面 積 等 于 大 正 方 形的 面 積 減 去 小 正 方 形 的 面 積 列 式 整 理 即 可 得 解 .【 自 主 解 答 】 拼 成 的 長 方 形 的 面 積 =(a+3)2-32=(a+3+3)(a+3-3)=a(a+6), 拼 成 的 長 方 形 一 邊 長 為 a, 另 一 邊 長 是 a+6.答 案 :a+6 【 變 式 訓(xùn) 練 】1.(2017 青 島 中 考 )計 算 6m6 (-2m2)3的 結(jié) 果 為 ( )A.-m B.-1 C. D. 【 解 析 】 選 D.6m6 (-2m2)3=6m6 (-8m6)=3434 3.4 2.(2017 臺 州 中 考 )下 列 計 算 正 確 的 是 ( )A.(a+2)(a-2)=a2-2B.(a+1)(a-2)=a2+a-2C.(a+b)2=a2+b2D.(a-b)2=a2-2ab+b2 【 解 析 】 選 D.A.原 式 =a2-4.錯 誤 ;B.原 式 =a2-a-2.錯誤 ;C.原 式 =a2+2ab+b2.錯 誤 ;D.原 式 =a2-2ab+b2.正 確 . 3.(2017 泰 州 中 考 )已 知 2m-3n=-4,則 代 數(shù) 式 m(n-4)-n(m-6)的 值 為 _.【 解 析 】 當(dāng) 2m-3n=-4時 ,原 式 =mn-4m-mn+6n=-4m+6n=-2(2m-3n)=-2 (-4)=8.答 案 :8 4.(2017 荊 門 中 考 )先 化 簡 ,再 求 值 :(2x+1)2-2(x-1)(x+3)-2,其 中 x= .【 解 析 】 原 式 =4x2+4x+1-2(x2+2x-3)-2=4x2+4x+1-2x2-4x+6-2=2x2+5.當(dāng) x= 時 ,原 式 =2 ( )2+5=2 2+5=9.22 2 考 點(diǎn) 四 因 式 分 解 【 示 范 題 6】 (1)(2017 菏 澤 中 考 )分 解 因 式 :x3-x=_.(2)(2017 濰 坊 中 考 )因 式 分 解 :x2-2x+(x-2)=_. (3)(2017 濟(jì) 寧 中 考 )分 解 因 式 :ma2+2mab+mb2=_. 【 思 路 點(diǎn) 撥 】 (1)先 提 取 公 因 式 ,再 利 用 平 方 差 公 式 進(jìn)行 分 解 .(2)通 過 兩 次 提 取 公 因 式 ,來 進(jìn) 行 因 式 分 解 .(3)先 提 取 公 因 式 ,再 利 用 完 全 平 方 公 式 進(jìn) 行 分 解 . 【 自 主 解 答 】(1)x3-x=x(x2-1)=x(x+1)(x-1).(2)原 式 =x(x-2)+(x-2)=(x+1)(x-2).(3)原 式 =m(a2+2ab+b2)=m(a+b)2. 答 案 :(1)x(x+1)(x-1)(2)(x+1)(x-2)(3)m(a+b)2 【 答 題 關(guān) 鍵 指 導(dǎo) 】 因 式 分 解 的 三 個 步 驟(1)先 看 各 項(xiàng) 有 無 公 因 式 ,有 公 因 式 的 先 提 取 公 因 式 . (2)提 公 因 式 后 看 多 項(xiàng) 式 的 項(xiàng) 數(shù) . 若 多 項(xiàng) 式 為 兩 項(xiàng) ,則 考 慮 用 平 方 差 公 式 因 式 分 解 . 若 多 項(xiàng) 式 為 三 項(xiàng) ,則 考 慮 用 完 全 平 方 公 式 因 式 分 解 . 若 多 項(xiàng) 式 有 四 項(xiàng) 或 四 項(xiàng) 以 上 ,就 考 慮 綜 合 運(yùn) 用 上 面的 方 法 . (3)若 上 述 方 法 都 不 能 分 解 ,則 考 慮 把 多 項(xiàng) 式 重 新 整 理 、變 形 ,再 按 上 面 步 驟 進(jìn) 行 . 【 變 式 訓(xùn) 練 】1.(2017 日 照 中 考 )分 解 因 式 :2m2-8m=_.【 解 析 】 2m2-8m=2m(m-4).答 案 :2m(m-4) 2.(2017 臨 沂 中 考 )分 解 因 式 :m3-9m=_.【 解 析 】 m3-9m=m(m2-9)=m(m+3)(m-3).答 案 :m(m+3)(m-3) 3.(2017 聊 城 中 考 )因 式 分 解 :2x2-32x4=_.【 解 析 】 2x2-32x4=2x2(1-16x2)=2x2(1+4x)(1-4x).答 案 :2x2(1+4x)(1-4x) 4.(2017 東 營 中 考 )分 解 因 式 :-2x2y+16xy-32y=_.【 解 析 】 -2x2y+16xy-32y=-2y(x2-8x+16)=-2y(x-4)2答 案 :-2y(x-4)2 考 點(diǎn) 五 規(guī) 律 探 索 問 題 【 示 范 題 7】 (2017 煙 臺 中 考 )用 棋 子 擺 出 下 列 一 組圖 形 : 按 照 這 種 規(guī) 律 擺 下 去 ,第 n個 圖 形 用 的 棋 子 個 數(shù) 為 ( )A.3n B.6nC.3n+6 D.3n+3 【 思 路 點(diǎn) 撥 】 解 決 這 類 問 題 首 先 要 從 簡 單 圖 形 入 手 ,抓 住 隨 著 “ 編 號 ” 或 “ 序 號 ” 增 加 時 ,后 一 個 圖 形 與前 一 個 圖 形 相 比 ,在 數(shù) 量 上 增 加 (或 倍 數(shù) )情 況 的 變 化 ,找 出 數(shù) 量 上 的 變 化 規(guī) 律 ,從 而 推 出 一 般 性 的 結(jié) 論 . 【 自 主 解 答 】 選 D. 第 一 個 圖 形 需 棋 子 3 1+3=6枚 ;第 二 個 圖 形 需 棋 子 3 2+3=9枚 ;第 三 個 圖 形 需 棋 子 3 3+3=12枚 ; 第 n個 圖 形 需 棋 子 (3n+3)枚 . 【 答 題 關(guān) 鍵 指 導(dǎo) 】 1.數(shù) 形 結(jié) 合 是 探 求 規(guī) 律 的 常 見 題 型 ,解 決 這 類 問 題 的常 見 方 法 有 :(1)分 析 圖 形 ,將 其 轉(zhuǎn) 化 為 有 規(guī) 律 的 幾 部 分 用 代 數(shù) 式 表示 ,再 求 和 . (2)從 簡 單 圖 形 入 手 ,抓 住 隨 著 “ 編 號 ” 或 “ 序 號 ” 增加 時 ,后 一 個 圖 形 與 前 一 個 圖 形 相 比 ,通 過 類 比 、 計 算等 方 法 找 出 數(shù) 量 上 的 變 化 規(guī) 律 ,從 而 推 出 一 般 性 的 結(jié)論 ,再 驗(yàn) 證 所 總 結(jié) 規(guī) 律 的 正 確 性 . 2.(1)探 索 規(guī) 律 題 常 采 用 的 方 法 :探 求 規(guī) 律 運(yùn) 用 從 特 殊 到 一 般 的 數(shù) 學(xué) 思 想 方 法 尋 找 規(guī) 律 .一 般 需 要 經(jīng) 過 觀 察 、 計 算 、 猜 想 、 驗(yàn) 證 等 手 段 來 完 成 .(2)差 相 等 的 一 列 數(shù) 的 規(guī) 律 :若 a1,a2, ,an是 差 相 等 的 一 列 數(shù) ,其 差 是 b,則an=a1+(n-1)b. 【 變 式 訓(xùn) 練 】(2017 德 州 中 考 )觀 察 下 列 圖 形 ,它 是 把 一 個 三 角 形分 別 連 接 這 個 三 角 形 的 中 點(diǎn) ,構(gòu) 成 4個 小 三 角 形 ,挖 去中 間 的 小 三 角 形 (如 圖 1);對 剩 下 的 三 角 形 再 分 別 重 復(fù)以 上 做 法 , ,將 這 種 做 法 繼 續(xù) 下 去 (如 圖 2,圖 3 ),則圖 6中 挖 去 三 角 形 的 個 數(shù) 為 ( )A.121 B.362 C.364 D.729 【 解 析 】 選 C.圖 1挖 去 中 間 的 1個 小 三 角 形 ,圖 2挖 去 中 間 的 (1+3)個 小 三 角 形 ,圖 3挖 去 中 間 的 (1+3+32)個 小 三 角 形 ,則 圖 6挖 去 中 間 的 (1+3+32+33+34+35)個 小 三 角 形 ,即 圖6挖 去 中 間 的 364個 小 三 角 形 .