了解隨機(jī)數(shù)的意義，能運(yùn)用模擬方法估計(jì)概率/了解幾何概型的意義了解兩個(gè)互 斥事件的概率加法公式及對(duì)立事件的概率公式并能簡(jiǎn)單應(yīng)用,第5課時(shí) 幾何概型、互斥事件,1高考中對(duì)幾何概型、互斥事件的考查，一般多以填空題的形式出現(xiàn)，有時(shí)與 統(tǒng)計(jì)、幾何的知識(shí)結(jié)合起來(lái)，要求考生要有較扎實(shí)、全面的基礎(chǔ)知識(shí) 2對(duì)幾何概型的有關(guān)內(nèi)容在教材中是個(gè)難點(diǎn)，是高考試題中的新題型，在復(fù)習(xí) 中要適當(dāng)增加針對(duì)性,【命題預(yù)測(cè)】,3有關(guān)互斥事件概率、等可能事件的題型有時(shí)也會(huì)以解答題的形式出現(xiàn)，在復(fù) 習(xí)中應(yīng)注意加強(qiáng)互斥事件的定義以及應(yīng)用加法公式的題目對(duì)古典概型的有 關(guān)內(nèi)容在教材中是個(gè)難點(diǎn)，是高考試題中的新題型，在復(fù)習(xí)中要適當(dāng)增加對(duì) 這部分知識(shí)的練習(xí) 4有關(guān)概率的題目多為應(yīng)用題型，這些應(yīng)用題的背景與實(shí)際生活密切相關(guān)，在 復(fù)習(xí)中要注意培養(yǎng)學(xué)數(shù)學(xué)用數(shù)學(xué)的意識(shí)和實(shí)踐能力,1從概率的幾何定義可知，在幾何概型中，“等可能”一詞應(yīng)理解為對(duì)應(yīng)于 每個(gè)試驗(yàn)結(jié)果的點(diǎn)落入某區(qū)域內(nèi)的可能性大小與該區(qū)域的度量成正比，而與該區(qū)域的位置與形狀無(wú)關(guān)對(duì)于一個(gè)具體問(wèn)題能否應(yīng)用幾何概型的概率計(jì)算公式，關(guān)鍵在于能否將問(wèn)題幾何化也可根據(jù)實(shí)際問(wèn)題的具體情況，選擇適當(dāng)?shù)膮?shù)，建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，在此基礎(chǔ)上，將試驗(yàn)的每一個(gè)結(jié)果一一對(duì)應(yīng)于該坐標(biāo)系中的一點(diǎn)，使得全體結(jié)果構(gòu)成一個(gè)可度量的區(qū)域,【應(yīng)試對(duì)策】,2幾何概型與古典概型的兩個(gè)特征要注意對(duì)比，以便準(zhǔn)確地將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的概率類型即古典概型適用于計(jì)算所有試驗(yàn)結(jié)果是有限個(gè)且結(jié)果是等可能出現(xiàn)的情況，而幾何概型則適用于試驗(yàn)結(jié)果是無(wú)窮多的情形，但它們的解題思路是相同的，同屬于“比例解法”在解答幾何概型時(shí)，要把基本事件和隨機(jī)事件與某一特定的幾何區(qū)域及其子區(qū)域?qū)?yīng)起來(lái)，其中基本事件中的每一個(gè)基本事件與這個(gè)特定的幾何區(qū)域中的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)幾何概型是區(qū)別于古典概型的又一概率模型，使用幾何概型的概率計(jì)算公式時(shí)，,一定要注意其適用條件：每個(gè)事件發(fā)生的概率只與構(gòu)成該事件區(qū)域的度量成比例；試驗(yàn)中所有可能出現(xiàn)的結(jié)果(基本事件)有無(wú)限多個(gè)；每個(gè)基本事件出現(xiàn)的可能性相等當(dāng)子區(qū)域r和幾何區(qū)域R是一維區(qū)域時(shí)，它們的大小用它們的長(zhǎng)度來(lái)表示；當(dāng)子區(qū)域r和幾何區(qū)域R是二維區(qū)域時(shí)，它們的大小用它們的面積來(lái)表示為定義統(tǒng)一，若幾何區(qū)域的大小我們稱為這個(gè)區(qū)域的“度量”，則P(A)子區(qū)域r的度量/區(qū)域R的度量,3了解互斥事件與對(duì)立事件的區(qū)別與聯(lián)系，會(huì)用互斥事件的概率加法公式計(jì)算一些事件的概率，在解題過(guò)程中要注意運(yùn)用符號(hào)語(yǔ)言、概率語(yǔ)言將題目轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題求復(fù)雜的互斥事件的概率，一般有兩種方法：一是直接求解法，將所求事件的概率分成一些彼此互斥的事件的概率的和；二是間接求解法先求此事件的對(duì)立事件的概率，再用公式P(A)1P( )求出此事件的概率特別是解決“至多”、“至少”型的題目，用方法二就顯得比較方便,互斥事件與對(duì)立事件的區(qū)別與聯(lián)系 (1)互斥事件與對(duì)立事件都是兩個(gè)事件的關(guān)系，互斥事件是不可能同時(shí)發(fā)生的兩 個(gè)事件，而對(duì)立事件除要求這兩個(gè)事件不同時(shí)發(fā)生外，還要求二者之一必須有 一個(gè)發(fā)生因此，對(duì)立事件是互斥事件的特殊情況，而互斥事件未必是對(duì)立事件 (2)從集合的角度去認(rèn)識(shí)互斥事件和對(duì)立事件：如果A、B是兩個(gè)互斥事件，反 映在集合上，是表示A、B這兩個(gè)事件所含結(jié)果組成的集合的交集為空集 如果A與B是兩個(gè)對(duì)立事件，則AB，ABI(全集)即 (A的對(duì)立事件) IA.,【知識(shí)拓展】,1幾何概型的定義 對(duì)于一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)，我們將每個(gè)基本事件理解為從某個(gè)特定的 地取一 點(diǎn)，該區(qū)域中每一點(diǎn)被取到的機(jī)會(huì) ；而一個(gè)隨機(jī)事件的發(fā)生則理解為恰好取到 上述區(qū)域內(nèi)的某個(gè) 這里的區(qū)域可以是 、 、 等用這種方法處理隨機(jī)試驗(yàn)，稱為幾何概型,區(qū)域內(nèi)隨機(jī),均等,非空子集內(nèi),長(zhǎng)度,面積,體積,2概率計(jì)算公式 在幾何區(qū)域D中隨機(jī)地取一點(diǎn)，記事件“該點(diǎn)落在其內(nèi)部的一個(gè)區(qū)域d內(nèi)”為事件A，則事件A發(fā)生的概率P(A) . 3求試驗(yàn)中幾何概型的概率，關(guān)鍵是求得事件所占區(qū)域和整個(gè)區(qū)域的幾何度量，然后代入公式即可求解 思考：古典概型與幾何概型的區(qū)別 提示：古典概型與幾何概型中基本事件發(fā)生的可能性都是相等的，但古典概型要求基本事件有有限個(gè)，幾何概型要求基本事件有無(wú)限多個(gè),4互斥事件 (1)不可能同時(shí)發(fā)生的兩個(gè)事件稱為 事件 (2)如果事件A1，A2，An中的任何兩個(gè)都是互斥事件，就說(shuō)事件A1，A2，An 互斥 (3)設(shè)A，B為互斥事件，若事件A、B至少有一個(gè)發(fā)生，我們把這個(gè)事件記作 .,彼此,AB,互斥,5互斥事件的概率加法公式 (1)如果事件A，B互斥，那么事件AB發(fā)生的概率，等于事件A，B分別發(fā)生 的概率的 ，即P(AB)P(A)P(B) (2)如果事件A1，A2，An兩兩互斥， 則P(A1A2An) ,和,P(A1)P(A2)P(An),(1)兩個(gè)互斥事件 ，則稱這兩個(gè)事件為對(duì)立事件，事件A的對(duì)立事件記為 . (2)P(A)P( ) ，P( )1 思考：對(duì)立事件一定是互斥事件嗎？反之是否成立？ 提示：對(duì)立事件一定是互斥事件，但互斥事件并不一定是對(duì)立事件,必有一個(gè)發(fā)生,1,P(A),6對(duì)立事件,1(2010栟茶中學(xué)學(xué)情分析)從集合(x，y)|x2y24，xR，yR內(nèi)任選一個(gè) 元素(x，y)，則x，y滿足xy2的概率為_(kāi) 答案：,2(2009蘇、錫、常、鎮(zhèn)四市高三教學(xué)情況調(diào)查) 已知如圖所示的矩形，長(zhǎng)為12，寬為5，在矩形內(nèi)隨機(jī)地投擲1 000顆黃豆， 數(shù)得落在陰影部分的黃豆數(shù)為600顆，則可以估計(jì)出陰影部分的面積約 為 . 解析：設(shè)所求的面積為S，由題意得： = ，S=36. 答案：36,3某人隨機(jī)地在如右圖所示正三角形及其外接圓區(qū)域內(nèi)部投針(不包括三角形邊 界及圓的邊界)，則針扎到陰影區(qū)域(不包括邊界)的概率為_(kāi) 解析：設(shè)正三角形邊長(zhǎng)為a，則外接圓半徑r a . 概率P . 答案：,4(江蘇省高考命題研究專家原創(chuàng)卷)已知函數(shù)f(x)x22x3(5x5)，則 任取x，使得f(x)0的概率為_(kāi) 解析：由x22x30，得1x3.又因?yàn)?x5，所以由幾何概型 的概率，得P .所以f(x)0的概率為 . 答案：,5根據(jù)多年氣象統(tǒng)計(jì)，某地6月1日下雨的概率是0.45，陰天的概率為0.20，則 該日睛天的概率是_ 解析：所求概率P10.450.200.35. 答案：0.35,1如果試驗(yàn)的結(jié)果構(gòu)成的幾何區(qū)域D的測(cè)度可用長(zhǎng)度表示，則其概率的計(jì)算公 式為P(A) . 2將每個(gè)基本事件理解為從某個(gè)特定的幾何區(qū)域內(nèi)隨機(jī)地取一點(diǎn)，該區(qū)域中每 一點(diǎn)被取到的機(jī)會(huì)都一樣，而一個(gè)隨機(jī)事件的發(fā)生則理解為恰好取到上述區(qū) 域內(nèi)的某個(gè)指定區(qū)域中的點(diǎn)，這樣的概率模型就可以用幾何概型來(lái)求解,【例1】 有一段長(zhǎng)為10米的木棍，現(xiàn)要截成兩段，每段不小于3米的概率有多大？ 思路點(diǎn)撥：從每一個(gè)位置剪斷都是一個(gè)基本事件，基本事件有無(wú)限多個(gè)但 在每一處截?cái)嗟目赡苄韵嗟龋适菐缀胃判?解：記“截得兩段都不小于3米”為事件A，從木棍的兩端各度量出3米，這 樣中間就有10334(米)在中間的4米長(zhǎng)的木棍處截都能滿足條件，所 以P(A) 0.4.,變式1：將本例中該木棍截成四段，且每段不少于2.5米的概率有多大？ 解：將長(zhǎng)為10米的木棍四等分，記等分點(diǎn)依次為B、C、D，BC、CD的 中點(diǎn)分別為E、F，只要在BE段和FD段剪就滿足條件P 0.25.,1如果試驗(yàn)的結(jié)果構(gòu)成的幾何區(qū)域D的測(cè)度可用面積表示，則其概率的計(jì)算公 式為： P(A) 2“面積比”是求幾何概型的一種重要類型，也是在高考中?？嫉念}型,【例2】 甲、乙、丙三人做游戲，游戲規(guī)則如下：在不遠(yuǎn)處有一小方塊，要將一枚銅板扔到這張方塊上，已知銅板的直徑是方塊邊長(zhǎng)的 ，誰(shuí)能將銅板整個(gè)扔到這張方塊上就可以進(jìn)行下一輪游戲，甲一扔，銅板落到小方塊上，且沒(méi)有掉下來(lái)，問(wèn)他能進(jìn)入下一輪游戲的概率有多大？ 思路點(diǎn)撥：這是一道幾何概型問(wèn)題在幾何概型中，樣本空間是問(wèn)題所涉及的整個(gè)幾何圖形在本題中，樣本空間是小方塊的上表面面積一個(gè)事件就是整個(gè)幾何圖形的一部分，這個(gè)事件發(fā)生的概率就是這兩部分的面積比,解：不妨設(shè)小方塊的邊長(zhǎng)為1，銅板落到小方塊上，也就是銅板的中心落到方塊上，而要求整個(gè)銅板落到小方塊上，也就是銅板中心落到方塊上表面內(nèi)的 的小正方形內(nèi)整個(gè)方塊的面積為111，而中央小正方形的面積為 .所以甲進(jìn)入下一輪游戲的概率為P .,變式2：(江蘇省高考名校聯(lián)考信息優(yōu)化卷)已知|x|2，|y|2，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x，y)當(dāng)x，yR時(shí)，點(diǎn)P滿足(x2)2(y2)24的概率為_(kāi) 解析：如圖，點(diǎn)P所在的區(qū)域?yàn)檎叫蜛BCD的內(nèi)部(含邊界)， 滿足(x2)2(y2)24的點(diǎn)的區(qū)域?yàn)橐?2,2)為圓心， 2為半徑的圓的內(nèi)部(含邊界) 所求的概率P1 . 答案：,如果試驗(yàn)的結(jié)果所構(gòu)成的幾何區(qū)域D的測(cè)度可用體積表示，則其概率的計(jì)算公式 為P(A) .,【例3】在1升高產(chǎn)小麥種子中混入一粒帶麥銹病的種子，從中隨機(jī)取出10毫升，含有麥銹病種子的概率是多少？從中隨機(jī)取出30毫升，含有麥銹病種子的概率是多少？ 思路點(diǎn)撥：由于帶麥銹病的種子所在位置是隨機(jī)的，所以取這粒種子的概率只與所取的種子的體積有關(guān)，這符合幾何概型條件,解：1升1 000毫升，記事件A：“取出10毫升種子含有這粒帶麥銹病的種子” 則P(A) 0.01，即取出10毫升種子含有這粒帶麥銹病的種子的概率為0.01. 記事件B：“取30毫升種子含有帶麥銹病的種子” 則P(B) 0.03，即取出30毫升種子含有帶麥銹病的種子的概率為 0.03.,變式3：已知半徑為 的球內(nèi)有一內(nèi)接正方體若在球內(nèi)任取一點(diǎn)，則這一點(diǎn)在正方體內(nèi)的概率是多少？ 解：球的直徑就是正方體的體對(duì)角線長(zhǎng)，為 ，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為x，則3x2(4 )2，x4. 正方體的體積V14364，球的體積為V R3 (2 )332 . 記事件A：“這一點(diǎn)在正方體內(nèi)”，利用幾何概型求概率P(A) . 即在球內(nèi)任取一點(diǎn)在正方體內(nèi)的概率為 .,求復(fù)雜的互斥事件的概率一般有兩種方法：一是直接求解法，將所求事件的概率分解為一些彼此互斥的事件的概率的和，運(yùn)用互斥事件的求和公式計(jì)算二是間接求法，先求此事件的對(duì)立事件的概率，再用公式P(A)1P( )， 即運(yùn)用逆向思維(正難則反)，特別是“至多”，“至少”型題目，用間接求法就顯得較簡(jiǎn)便,【例4】 國(guó)家射擊隊(duì)的隊(duì)員為在2009年世界射擊錦標(biāo)賽上取得優(yōu)異成績(jī)，正在加緊備戰(zhàn)，經(jīng)過(guò)近期訓(xùn)練，某隊(duì)員射擊一次，命中710環(huán)的概率如下表所示： 求該射擊隊(duì)員射擊一次： (1)射中9環(huán)或10環(huán)的概率；(2)至少命中8環(huán)的概率；(3)命中不足8環(huán)的概率,思路點(diǎn)撥：該射擊隊(duì)員在一次射擊中，命中幾環(huán)不可能同時(shí)發(fā)生，故是彼此互斥事件，利用互斥事件求概率的公式求其概率另外，當(dāng)直接求解不容易時(shí)，可先求其對(duì)立事件的概率 解：設(shè)事件“射擊一次，命中k環(huán)”為Ak(kN，k10)，則事件Ak彼此互斥 (1)記“射擊一次，射中9環(huán)或10環(huán)”為事件A，那么當(dāng)A9，A10之一發(fā)生時(shí)，事件 A發(fā)生，由互斥事件的加法公式得P(A)P(A9)P(A10)0.320.280.60.,(2)設(shè)“射擊一次，至少命中8環(huán)”的事件為B，那么當(dāng)A8，A9，A10之一發(fā)生時(shí)，事件B發(fā)生由互斥事件概率的加法公式得P(B)P(A8)P(A9)P(A10)0.180.280.320.78. (3)由于事件“射擊一次，命中不足8環(huán)”是事件B：“射擊一次，至少命中8環(huán)”的對(duì)立事件：即 表示事件“射擊一次，命中不足8環(huán)”，根據(jù)對(duì)立事件的概率公式得P( )1P(B)10.780.22.,變式4：(2010東北師大附中高三測(cè)試)某射手在一次射擊中命中9環(huán)的概率是0.28，命中8環(huán)的概率是0.19，不夠8環(huán)的概率是0.29.計(jì)算這個(gè)射手在一次射擊中命中9環(huán)或10環(huán)的概率,解：設(shè)這個(gè)射手在一次射擊中命中10環(huán)或9環(huán)為事件A，命中10環(huán)、9環(huán)、8環(huán)以及不夠8環(huán)的事件分別記為A1，A2，A3，A4.A2，A3，A4彼此互斥， P(A2A3A4)P(A2)P(A3)P(A4)0.280.190.290.76. 又A1 ，P(A1)1P(A2A3A4)10.760.24. A1與A2互斥，P(A)P(A1A2)P(A1)P(A2)0.240.280.52. 故這個(gè)射手在一次射擊中命中10環(huán)或9環(huán)的概率為0.52.,1幾何概型與古典概型，二者的共同點(diǎn)是基本事件是等可能的，不同點(diǎn)是基本 事件數(shù)一個(gè)是有限的，一個(gè)是無(wú)限的基本事件可以抽象為點(diǎn)，對(duì)于幾何概 型，這些點(diǎn)盡管是無(wú)限的，但它們所占據(jù)的區(qū)域是有限的，根據(jù)等可能性，這個(gè)點(diǎn)落在區(qū)域內(nèi)的概率與該區(qū)域的測(cè)度成正比，而與該區(qū)域的位置和形狀無(wú)關(guān)，因此我們采用幾何的辦法求它的概率，因此這種概型叫做幾何概型 2求幾何概型的概率，最關(guān)鍵的一步是求事件A所包含的基本事件所占據(jù)的區(qū)域的測(cè)度，這里需要解析幾何的知識(shí)，而最困難的地方是找出基本事件的約束條件，找出約束條件后，就像線性規(guī)劃求可行域一樣求其測(cè)度就不困難了,【規(guī)律方法總結(jié) 】,3對(duì)互斥事件的理解，可以從集合的角度去加以認(rèn)識(shí) 如果A、B是兩個(gè)互斥事件，反映在集合上，是表示A、B這兩個(gè)事件所含結(jié)果組成的集合的交集為空集,4要注意互斥事件與對(duì)立事件的區(qū)別與聯(lián)系 互斥事件與對(duì)立事件都是兩個(gè)事件的關(guān)系，互斥事件是不可能同時(shí)發(fā)生的兩個(gè)事件，而對(duì)立事件除要求這兩個(gè)事件不同時(shí)發(fā)生外，還要求二者必須有一個(gè)發(fā)生因此，對(duì)立事件是互斥事件的特殊情況，而互斥事件未必是對(duì)立事件 5應(yīng)用互斥事件的概率加法公式，一定要注意首先確定各個(gè)事件是否彼此互 斥，然后求出各事件分別發(fā)生的概率，再求和求復(fù)雜事件的概率通常有兩種 方法：一是將所求事件轉(zhuǎn)化成彼此互斥的事件的和；二是先求其對(duì)立事件的概 率，然后再應(yīng)用公式求解.,【例5】 (2009福建卷)點(diǎn)A為周長(zhǎng)等于3的圓周上的一個(gè)定點(diǎn)若在該圓周上隨機(jī)取一點(diǎn)B，則劣弧 的長(zhǎng)度小于1的概率為_(kāi) 分析：畫(huà)出圖形，找到隨機(jī)事件“劣弧的長(zhǎng)度 小于1”所對(duì)應(yīng)的圓上的弧長(zhǎng)，根據(jù)幾何概型的概率計(jì)算公式進(jìn)行計(jì)算 規(guī)范解答：如圖所示，可設(shè) 1， 1，根據(jù)題意只要點(diǎn)B在 優(yōu)弧 上，劣弧 的長(zhǎng)度就小于1，由于點(diǎn)B在圓周上的任意性，故這個(gè)概率是優(yōu)弧 的長(zhǎng)度與圓的周長(zhǎng)之比，即這個(gè)概率是 . 故填 . 答案：,【高考真題 】,本題把直線上的幾何概型的計(jì)算方法應(yīng)用于圓上，設(shè)計(jì)了一道考查考生對(duì)幾何概型和分類整合思想的掌握程度的試題，試題不落俗套，值得賞析 幾何概型適用于有無(wú)限多結(jié)果而又有某種等可能的試驗(yàn)其中事件A的概率定義為P(A),【命題探究】,【知識(shí)鏈接】,【全解密】,幾何概型運(yùn)用的幾個(gè)方面：直線上的幾何概型的概率表現(xiàn)為線的長(zhǎng)度之比；平面上的是區(qū)域面積之比；空間中的就是體積之比等解答幾何概型試題，要善于根據(jù)這些特點(diǎn)尋找基本事件所在的線、面、體，以及隨機(jī)事件所在的線、面、體，把幾何概型轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的長(zhǎng)度、面積和體積的比值 本題容易只看到點(diǎn)B在點(diǎn)A的一側(cè)，而將這個(gè)概率值求為 ，也有可能把圓的周長(zhǎng)是3當(dāng)成了半徑是3而出錯(cuò),【方法探究】,【誤點(diǎn)警示】,1向面積為S的ABC內(nèi)任投一點(diǎn)P，求PBC的面積小于 的概率 分析：由于是向ABC內(nèi)任投一點(diǎn)P，故總的基本事件空間對(duì)應(yīng)于點(diǎn)P的個(gè)數(shù)，可用ABC的面積來(lái)度量，然后分析滿足條件的事件A即三角形ABC中的點(diǎn)P分布的區(qū)域,解：如右圖，據(jù)題意知，若PBC的面積小于 ，則點(diǎn)P可分布在如圖所示的過(guò)三角形的高的中點(diǎn)且與底邊BC平行的梯形BCFE內(nèi)，故滿足條件的概率 P(A) .,2(1)從含有兩件正品a1、a2和一件次品b1的3件產(chǎn)品中每次任取1件，每次取出后不放回，連續(xù)取兩次，求取出的兩件產(chǎn)品中恰有一件次品的概率 (2)在(1)題中，把“每次取出后不放回”這一條件換成“每次取出后放回”，其余不變，求取出的兩件中恰好有一件次品的概率,解：(1)每次取一個(gè)，取后不放回地連續(xù)取兩次，其一切可能的結(jié)果為(a1，a2)， (a1，b1)，(a2，a1)，(a2，b1)，(b1，a1)，(b1，a2)，其中小括號(hào)內(nèi)左邊的字母表示 第1次取出的產(chǎn)品，右邊的字母表示第2次取出的產(chǎn)品由6個(gè)基本事件組成，而 且可以認(rèn)為這些基本事件的出現(xiàn)是等可能的用A表示“取出的兩件中，恰好有 一件次品”這一事件，則A(a1，b1)，(a2，b1)，(b1，a1)，(b1，a2)， 事件A由4個(gè)基本事件組成因而P(A) .,(2)有放回地連續(xù)取出兩件，其一切可能的結(jié)果為(a1，a1)，(a1，a2)，(a1，b1)， (a2，a1)(a2，a2)，(a2，b1)，(b1，a1)，(b1，a2)，(b1，b1)由9個(gè)基本事件組成由 于每一件產(chǎn)品被取出的機(jī)會(huì)均等，因此可以認(rèn)為這些基本事件的出現(xiàn)是等可 能的用B表示“恰有一件次品”這一事件， 則B(a1，b1)，(a2，b1)，(b1，a1)，(b1，a2)事件B由4個(gè)基本事件組成，因而 P(B) .,