2019-2020年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí) 不等式問題的題型與方法教案 蘇教版一復(fù)習(xí)目標(biāo)：1在熟練掌握一元一次不等式(組)、一元二次不等式的解法基礎(chǔ)上，掌握其它的一些簡單不等式的解法通過不等式解法的復(fù)習(xí)，提高學(xué)生分析問題、解決問題的能力以及計算能力；2掌握解不等式的基本思路，即將分式不等式、絕對值不等式等不等式，化歸為整式不等式(組)，會用分類、換元、數(shù)形結(jié)合的方法解不等式；3通過復(fù)習(xí)不等式的性質(zhì)及常用的證明方法(比較法、分析法、綜合法、數(shù)學(xué)歸納法等)，使學(xué)生較靈活的運用常規(guī)方法(即通性通法)證明不等式的有關(guān)問題；4通過證明不等式的過程，培養(yǎng)自覺運用數(shù)形結(jié)合、函數(shù)等基本數(shù)學(xué)思想方法證明不等式的能力；5能較靈活的應(yīng)用不等式的基本知識、基本方法，解決有關(guān)不等式的問題 6通過不等式的基本知識、基本方法在代數(shù)、三角函數(shù)、數(shù)列、復(fù)數(shù)、立體幾何、解析幾何等各部分知識中的應(yīng)用，深化數(shù)學(xué)知識間的融匯貫通，從而提高分析問題解決問題的能力在應(yīng)用不等式的基本知識、方法、思想解決問題的過程中，提高學(xué)生數(shù)學(xué)素質(zhì)及創(chuàng)新意識二考試要求：1理解不等式的性質(zhì)及其證明。2掌握兩個（不擴展到三個）正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)的定理，并會簡單的應(yīng)用。3掌握分析法、綜合法、比較法證明簡單的不等式。4掌握簡單不等式的解法。5理解不等式|a|-|b|a+b|a|+|b|。三教學(xué)過程：（）基礎(chǔ)知識詳析1解不等式的核心問題是不等式的同解變形，不等式的性質(zhì)則是不等式變形的理論依據(jù)，方程的根、函數(shù)的性質(zhì)和圖象都與不等式的解法密切相關(guān)，要善于把它們有機地聯(lián)系起來，互相轉(zhuǎn)化在解不等式中，換元法和圖解法是常用的技巧之一通過換元，可將較復(fù)雜的不等式化歸為較簡單的或基本不等式，通過構(gòu)造函數(shù)、數(shù)形結(jié)合，則可將不等式的解化歸為直觀、形象的圖形關(guān)系，對含有參數(shù)的不等式，運用圖解法可以使得分類標(biāo)準(zhǔn)明晰2整式不等式(主要是一次、二次不等式)的解法是解不等式的基礎(chǔ)，利用不等式的性質(zhì)及函數(shù)的單調(diào)性，將分式不等式、絕對值不等式等化歸為整式不等式(組)是解不等式的基本思想，分類、換元、數(shù)形結(jié)合是解不等式的常用方法方程的根、函數(shù)的性質(zhì)和圖象都與不等式的解密切相關(guān)，要善于把它們有機地聯(lián)系起來，相互轉(zhuǎn)化和相互變用3在不等式的求解中，換元法和圖解法是常用的技巧之一，通過換元，可將較復(fù)雜的不等式化歸為較簡單的或基本不等式，通過構(gòu)造函數(shù)，將不等式的解化歸為直觀、形象的圖象關(guān)系，對含有參數(shù)的不等式，運用圖解法，可以使分類標(biāo)準(zhǔn)更加明晰通過復(fù)習(xí)，感悟到不等式的核心問題是不等式的同解變形，能否正確的得到不等式的解集，不等式同解變形的理論起了重要的作用4比較法是不等式證明中最基本、也是最常用的方法，比較法的一般步驟是：作差(商)變形判斷符號(值) 5證明不等式的方法靈活多樣，內(nèi)容豐富、技巧性較強，這對發(fā)展分析綜合能力、正逆思維等，將會起到很好的促進作用在證明不等式前，要依據(jù)題設(shè)和待證不等式的結(jié)構(gòu)特點、內(nèi)在聯(lián)系，選擇適當(dāng)?shù)淖C明方法通過等式或不等式的運算，將待證的不等式化為明顯的、熟知的不等式，從而使原不等式得到證明；反之亦可從明顯的、熟知的不等式入手，經(jīng)過一系列的運算而導(dǎo)出待證的不等式，前者是“執(zhí)果索因”，后者是“由因?qū)Ч保瑸闇贤?lián)系的途徑，證明時往往聯(lián)合使用分析綜合法，兩面夾擊，相輔相成，達到欲證的目的6證明不等式的方法靈活多樣，但比較法、綜合法、分析法和數(shù)學(xué)歸納法仍是證明不等式的基本方法要依據(jù)題設(shè)、題斷的結(jié)構(gòu)特點、內(nèi)在聯(lián)系，選擇適當(dāng)?shù)淖C明方法，要熟悉各種證法中的推理思維，并掌握相應(yīng)的步驟，技巧和語言特點7不等式這部分知識，滲透在中學(xué)數(shù)學(xué)各個分支中，有著十分廣泛的應(yīng)用因此不等式應(yīng)用問題體現(xiàn)了一定的綜合性、靈活多樣性，這對同學(xué)們將所學(xué)數(shù)學(xué)各部分知識融會貫通，起到了很好的促進作用在解決問題時，要依據(jù)題設(shè)、題斷的結(jié)構(gòu)特點、內(nèi)在聯(lián)系、選擇適當(dāng)?shù)慕鉀Q方案，最終歸結(jié)為不等式的求解或證明不等式的應(yīng)用范圍十分廣泛，它始終貫串在整個中學(xué)數(shù)學(xué)之中諸如集合問題，方程(組)的解的討論，函數(shù)單調(diào)性的研究，函數(shù)定義域的確定，三角、數(shù)列、復(fù)數(shù)、立體幾何、解析幾何中的最大值、最小值問題，無一不與不等式有著密切的聯(lián)系，許多問題，最終都可歸結(jié)為不等式的求解或證明。8不等式應(yīng)用問題體現(xiàn)了一定的綜合性這類問題大致可以分為兩類：一類是建立不等式、解不等式；另一類是建立函數(shù)式求最大值或最小值利用平均值不等式求函數(shù)的最值時，要特別注意“正數(shù)、定值和相等”三個條件缺一不可，有時需要適當(dāng)拼湊，使之符合這三個條件利用不等式解應(yīng)用題的基本步驟：10審題，20建立不等式模型，30解數(shù)學(xué)問題，40作答。9注意事項：解不等式的基本思想是轉(zhuǎn)化、化歸，一般都轉(zhuǎn)化為最簡單的一元一次不等式（組）或一元二次不等式（組）來求解，。解含參數(shù)不等式時，要特別注意數(shù)形結(jié)合思想，函數(shù)與方程思想，分類討論思想的錄活運用。不等式證明方法有多種，既要注意到各種證法的適用范圍，又要注意在掌握常規(guī)證法的基礎(chǔ)上，選用一些特殊技巧。如運用放縮法證明不等式時要注意調(diào)整放縮的度。根據(jù)題目結(jié)構(gòu)特點，執(zhí)果索因，往往是有效的思維方法。（）范例分析b)M，且對M中的其它元素(c，d)，總有ca，則a=_分析：讀懂并能揭示問題中的數(shù)學(xué)實質(zhì)，將是解決該問題的突破口怎樣理解“對M中的其它元素(c，d)，總有ca”？M中的元素又有什么特點？解：依題可知，本題等價于求函數(shù)x=f(y)=(y+3)|y-1|+(y+3)(2)當(dāng)1y3時，所以當(dāng)y=1時，xmin=4說明：題設(shè)條件中出現(xiàn)集合的形式，因此要認清集合元素的本質(zhì)屬性，然后結(jié)合條件，揭示其數(shù)學(xué)實質(zhì)即求集合M中的元素滿足關(guān)系式例2解關(guān)于的不等式： 分析：本例主要復(fù)習(xí)含絕對值不等式的解法，分類討論的思想。本題的關(guān)鍵不是對參數(shù)進行討論，而是去絕對值時必須對末知數(shù)進行討論，得到兩個不等式組，最后對兩個不等式組的解集求并集，得出原不等式的解集。解：當(dāng)。例3 己知三個不等式： (1)若同時滿足、的值也滿足，求m的取值范圍；(2)若滿足的值至少滿足和中的一個，求m的取值范圍。分析：本例主要綜合復(fù)習(xí)整式、分式不等式和含絕對值不等的解法，以及數(shù)形結(jié)合思想，解本題的關(guān)鍵弄清同時滿足、的值的滿足的充要條件是：對應(yīng)的方程的兩根分別在和內(nèi)。不等式和與之對應(yīng)的方程及函數(shù)圖象有著密不可分的內(nèi)在聯(lián)系，在解決問題的過程中，要適時地聯(lián)系它們之間的內(nèi)在關(guān)系。解：記的解集為A，的解集為B，的解集為C。解得A=（-1，3）；解得B=（1） 因同時滿足、的值也滿足，ABC 設(shè)，由的圖象可知：方程的小根小于0，大根大于或等于3時，即可滿足（2） 因滿足的值至少滿足和中的一個，因此小根大于或等于-1，大根小于或等于4，因而說明：同時滿足的x值滿足的充要條件是：對應(yīng)的方程2x+mx-1=0的兩根分別在(-，0)和3，+)內(nèi)，因此有f(0)0且f(3)0，否則不能對AB中的所有x值滿足條件不等式和與之對應(yīng)的方程及圖象是有著密不可分的內(nèi)在聯(lián)系的，在解決問題的過程中，要適時地聯(lián)系它們之間的內(nèi)在關(guān)系例4.已知對于自然數(shù)a，存在一個以a為首項系數(shù)的整系數(shù)二次三項式，它有兩個小于1的正根，求證：a5分析：回憶二次函數(shù)的幾種特殊形式設(shè)f(x)=ax+bx+c(a0) 頂點式f(x)=a(x-x)+f(x)(a0)這里(x，f(x)是二次函數(shù)的頂點，x=)、(x，f(x)、(x，f(x)是二次函數(shù)圖象上的不同三點，則系數(shù)a，b，c可由證明：設(shè)二次三項式為：f(x)=a(x-x)(x-x)，aN依題意知：0x1，0x1，且xx于是有f(0)0，f(1)0又f(x)=ax-a(x+x)x+axx為整系數(shù)二次三項式，所以f(0)=axx、f(1)=a(1-x)(1-x)為正整數(shù)故f(0)1，f(1)1從而 f(0)f(1)1 另一方面，且由xx知等號不同時成立，所以由、得，a16又aN，所以a5說明：二次函數(shù)是一類被廣泛應(yīng)用的函數(shù)，用它構(gòu)造的不等式證明問題，往往比較靈活根據(jù)題設(shè)條件恰當(dāng)選擇二次函數(shù)的表達形式，是解決這類問題的關(guān)鍵例5.設(shè)等差數(shù)列a的首項a10且Sm=Sn(mn)問：它的前多少項的和最大？分析:要求前n項和的最大值，首先要分析此數(shù)列是遞增數(shù)列還是遞減數(shù)列解:設(shè)等差數(shù)列a的公差為d，由Sm=Sn得ak0，且ak+10(kN)說明：諸多數(shù)學(xué)問題可歸結(jié)為解某一不等式(組)正確列出不等式(組)，并分析其解在具體問題的意義，是得到合理結(jié)論的關(guān)鍵例6若二次函數(shù)y=f(x)的圖象經(jīng)過原點，且1f(-1)2，3f(1)4，求f(-2)的范圍分析：要求f(-2)的取值范圍，只需找到含人f(-2)的不等式(組)由于y=f(x)是二次函數(shù)，所以應(yīng)先將f(x)的表達形式寫出來即可求得f(-2)的表達式，然后依題設(shè)條件列出含有f(-2)的不等式(組)，即可求解解：因為y=f(x)的圖象經(jīng)過原點，所以可設(shè)y=f(x)=ax2+bx于是解法一(利用基本不等式的性質(zhì))不等式組()變形得()所以f(-2)的取值范圍是6，10解法二(數(shù)形結(jié)合)建立直角坐標(biāo)系aob，作出不等式組()所表示的區(qū)域，如圖6中的陰影部分因為f(-2)=4a-2b，所以4a-2b-f(-2)=0表示斜率為2的直線系如圖6，當(dāng)直線4a-2b-f(-2)=0過點A(2，1)，B(3，1)時，分別取得f(-2)的最小值6，最大值10即f(-2)的取值范圍是：6f(-2)10解法三(利用方程的思想)又f(-2)=4a-2b=3f(-1)+f(1)，而1f(-1)2，3f(1)4， 所以 33f(-1)6 +得43f(-1)+f(1)10，即6f(-2)10說明：(1)在解不等式時，要求作同解變形要避免出現(xiàn)以下一種錯解：2b，84a12，-3-2b-1，所以 5f(-2)11(2)對這類問題的求解關(guān)鍵一步是，找到f(-2)的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，然后依其數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)特征，揭示其代數(shù)的、幾何的本質(zhì)，利用不等式的基本性質(zhì)、數(shù)形結(jié)合、方程等數(shù)學(xué)思想方法，從不同角度去解決同一問題若長期這樣思考問題，數(shù)學(xué)的素養(yǎng)一定會迅速提高例7( 江蘇)己知，（1）（2），證明：對任意，的充要條件是；（3）討論：對任意，的充要條件。證明：（1）依題意，對任意，都有（2）充分性：必要性：對任意（3）即 而當(dāng)例8若a0，b0，a3+b3=2求證a+b2，ab1分析：由條件a3+b3=2及待證的結(jié)論a+b2的結(jié)構(gòu)入手，聯(lián)想它們之間的內(nèi)在聯(lián)系，不妨用作差比較法或均值不等式或構(gòu)造方程等等方法，架起溝通二者的“橋梁”證法一 (作差比較法)因為a0，b0，a3+b3=2，所以(ab)3-23=a3+b3+3a2b+3ab2-8=3a2b+3ab2-6=3ab(a+b)-2=3ab(a+b)-(a3+b3)=-3(a+b)(a-b)20，即 (a+b)323證法二 (平均值不等式綜合法)因為a0，b0，a3+b3=2，所以所以a+b2，ab1說明：充分發(fā)揮“1”的作用，使其證明路徑顯得格外簡捷、漂亮證法三 (構(gòu)造方程)設(shè)a，b為方程x2-mx+n=0的兩根則因為a0，b0，所以m0，n0且=m2-4n0因此2=a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)=(a+b)(a+b)2-3ab=mm2-3n，所以所以a+b2由2m得4m2，又m24n，所以44n，即n1所以 ab1說明：認真觀察不等式的結(jié)構(gòu)，從中發(fā)現(xiàn)與已學(xué)知識的內(nèi)在聯(lián)系，就能較順利地找到解決問題的切入點證法四 (恰當(dāng)?shù)呐錅?因為a0，b0，a3+b3=2，所以2=a3+b3=(a+b)(a2+b2-ab)(a+b)(2ab-ab)=ab(a+b)，于是有63ab(a+b)，從而83ab(a+b)+2=3a2b+3ab2+a3+b3=(a+b)3，所以a+b2(以下略)即a+b2(以下略)證法六 (反證法)假設(shè)a+b2，則a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)=(a+b)(a+b)2-3ab2(22-3ab)因為a3+b3=2，所以22(4-3ab)，因此ab1 另一方面，2=a3+b3=(a+b)(a2+b2-ab)(a+b)(2ab-ab)=(a+b)ab2ab，所以ab1 于是與矛盾，故a+b2(以下略)說明：此題用了六種不同的方法證明，這幾種證法都是證明不等式的常用方法例9設(shè)函數(shù)f(x)=ax2+bx+c的圖象與兩直線y=x，y=-x，均不相分析：因為xR，故|f(x)|的最小值若存在，則最小值由頂點確定，故設(shè)f(x)=a(x-x0)2+f(x0)證明：由題意知，a0設(shè)f(x)=a(x-x0)2+f(x0)，則又二次方程ax2+bx+c=x無實根，故1=(b+1)2-4ac0，2=(b-1)2-4ac0所以(b+1)2+(b-1)2-8ac0，即2b2+2-8ac0，即b2-4ac-1，所以|b2-4ac|1說明：從上述幾個例子可以看出，在證明與二次函數(shù)有關(guān)的不等式問題時，如果針對題設(shè)條件，合理采取二次函數(shù)的不同形式，那么我們就找到了一種有效的證明途徑例10某城市xx年末汽車保有量為30萬輛，預(yù)計此后每年報廢上一年末汽車保有量的6%，并且每年新增汽車數(shù)量相同。為了保護城市環(huán)境，要求該城市汽車保有量不超過60萬輛，那么每年新增汽車數(shù)量不應(yīng)超過多少輛？解：設(shè)xx年末的汽車保有量為，以后每年末的汽車保有量依次為，每年新增汽車萬輛。由題意得 例11已知奇函數(shù)知函數(shù)分析：這是一道比較綜合的問題，考查很多函數(shù)知識，通過恰當(dāng)換元，使問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問題。 令 要使10 當(dāng) 30當(dāng) 綜上： 例12如圖，某隧道設(shè)計為雙向四車道，車道總寬22米，要求通行車輛限高4.5米，隧道全長2.5千米，隧道的拱線近似地看成半個橢圓形狀。（1）若最大拱高h為6米，則隧道設(shè)計的拱寬是多少？（2）若最大拱高h不小于6米，則應(yīng)如何設(shè)計拱高h和拱寬，才能使半個橢圓形隧道的土方工程最小？（半個橢圓的面積公式為s=柱體體積為：底面積乘以高，本題結(jié)果均精確到0.1米）分析：本題為xx年上海高考題，考查運用幾何、不等式等解決應(yīng)用題的能力及運算能力。解：1)建立如圖所示直角坐標(biāo)系，則P（11，4.5）橢圓方程為：將b=h=6與點P坐標(biāo)代入橢圓方程得故隧道拱寬約為33.3米2)由橢圓方程故當(dāng)拱高約為6.4米,拱寬約為31.1米時,土方工程量最小.例13已知nN，n1求證分析:雖然待證不等式是關(guān)于自然數(shù)的命題，但不一定選用數(shù)學(xué)歸納法，觀其“形”，它具有較好規(guī)律，因此不妨采用構(gòu)造數(shù)列的方法進行解則說明：因為數(shù)列是特殊的函數(shù)，所以可以因問題的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，利用函數(shù)的思想解決例14已知函數(shù)分析：本例主要復(fù)習(xí)函數(shù)、不等式的基礎(chǔ)知識，絕對值不等式及函數(shù)不等式的證明技巧。基本思路先將函數(shù)不等式轉(zhuǎn)化為代數(shù)不等式，利用絕對值不等式的性質(zhì)及函數(shù)的性質(zhì)。證明（1）再利用二項展開式及基本不等式的證明（2）。證明：（1）當(dāng)且僅當(dāng)時，上式取等號。（2）時，結(jié)論顯然成立當(dāng)時，例15己知（1）（2）證明：（1）同理（2）由二項式定理有因此。（）、強化訓(xùn)練1已知非負實數(shù)，滿足且，則的最大值是（ ） A B C D 2已知命題p：函數(shù)的值域為R，命題q：函數(shù) 是減函數(shù)。若p或q為真命題，p且q為假命題，則實數(shù)a的取值范圍是 （ ）Aa1Ba<2C1<a<2Da1或a23 解關(guān)于的不等式04求a，b的值，使得關(guān)于x的不等式ax2+bx+a2-10的解集分別是：(1)-1，2；(2)(-，-12，+)；(3)2；(4)-1，+)5 解關(guān)于的不等式6數(shù)列由下列條件確定：（1）證明：對于,（2）證明：對于7設(shè)P=(log2x)+(t-2)log2x-t+1，若t在區(qū)間-2，2上變動時，P恒為正值，試求x的變化范圍 8已知數(shù)列中，b1=1，點P（bn,bn+1）在直線x-y+2=0上。）求數(shù)列）設(shè)的前n項和為Bn, 試比較。）設(shè)Tn=（）、參考答案1解：畫出圖象，由線性規(guī)劃知識可得，選D2解：命題p為真時，即真數(shù)部分能夠取到大于零的所有實數(shù)，故二次函數(shù)的判別式，從而；命題q為真時，。 若p或q為真命題，p且q為假命題，故p和q中只有一個是真命題，一個是假命題。 若p為真，q為假時，無解；若p為假，q為真時，結(jié)果為1<a<2，故選C.3分析：本題主要復(fù)習(xí)分式不等式的解法、分類討論的思想及利用序軸標(biāo)根法解不等式的基本步驟。本題的關(guān)鍵是對分母分解因式，將原不等式等價轉(zhuǎn)化為和比較與及3的大小，定出分類方法。解：原不等式化為：（1） 當(dāng)時，由圖1知不等式的解集為 （2） 當(dāng)（3） 當(dāng)4分析：方程的根、函數(shù)的性質(zhì)和圖象都與不等式的解密切相關(guān)，要善于把它們有機地聯(lián)系起來，相互轉(zhuǎn)化和相互交通解(1) 由題意可知，a0且-1，2是方程ax2+bx+a2-10的根，所以(3)由題意知，2是方程ax2+bx+a2-1=0的根，所以4a+2b+a2-1=0 又2是不等式ax2+bx+a2-10的解集，所以(4)由題意知，a=0b0，且-1是方程bx+a2-1=0的根，即-b+a2-1=0，所以a=0，b=-1說明：二次函數(shù)與一元二次方程、一元二次不等式之間存在著密切的聯(lián)系在解決具體的數(shù)學(xué)問題時，要注意三者之間相互聯(lián)系相互滲透，并在一定條件下相互轉(zhuǎn)換。5分析：在不等式的求解中，換元法和圖解法是常用的技巧，通過換元，可將較復(fù)雜的不等式化歸為較簡單的或基本不等式，通過構(gòu)造函數(shù)，數(shù)形結(jié)合，則可將不等式的解化歸為直觀，形象的圖象關(guān)系，對含參數(shù)的不等式，運用圖解法，還可以使得分類標(biāo)準(zhǔn)更加明晰。解：設(shè)，原不等式化為，在同一坐標(biāo)系中作出兩函數(shù)圖象故（1）當(dāng)（2）（3）當(dāng)時，原不等式的解集為綜上所述，當(dāng)時，解集為）；當(dāng)時，解集為時，解集為。6證明：（1）（2）當(dāng)時，=7分析：要求x的變化范圍，顯然要依題設(shè)條件尋找含x的不等式(組)，這就需要認真思考條件中“t在區(qū)間-2，2上變動時，P恒為正值”的含義你是怎樣理解的？如果繼續(xù)思考有困難、請換一個角度去思考在所給數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)中，右式含兩個字母x、t，t是在給定區(qū)間內(nèi)變化的，而求的是x的取值范圍，能想到什么？解：設(shè)P=f(t)=(log2x-1)t+log22x-2log2x+1因為 P=f(t)在top直角坐標(biāo)系內(nèi)是一直線，所以t在區(qū)間-2，2上變動時，P恒為正值的充要條件解得log2x3或log2x-1說明：改變看問題的角度，構(gòu)造關(guān)于t的一次函數(shù)，靈活運用函數(shù)的思想，使難解的問題轉(zhuǎn)化為熟悉的問題8分析：本題主要復(fù)習(xí)數(shù)列通項、求和及不等式的有關(guān)知識。略解：） )Bn=1+3+5+(2n-1)=n2 )Tn= -得又