掌握雙曲線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程、幾何圖形及簡單性質(zhì),第7課時(shí) 雙曲線,【命題預(yù)測】,1本講主要考查橢圓的基本概念和性質(zhì)，用待定系數(shù)法求橢圓方程，橢圓第一、二定義的綜合運(yùn)用，橢圓中各量的計(jì)算，關(guān)于離心率e的題目為熱點(diǎn)問題，各種題型均有考查，屬中檔題 2考綱要求掌握橢圓的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程和橢圓的簡單幾何性質(zhì)，所以，近幾年的高考試題一直在客觀題中考查定義、性質(zhì)的理解和運(yùn)用，在解答題中考查軌跡問題和直線與橢圓的位置關(guān)系 3在解析幾何與向量的交匯處設(shè)計(jì)高考題，是近年來高考一個(gè)新的亮 點(diǎn)，主要考查：(1)將向量作為工具解答雙曲線問題；(2)以解析幾何為載體，將向量作為條件融入題設(shè)條件中,【應(yīng)試對策】,1注意雙曲線中一些基本量及其關(guān)系：c2a2b2，e ， ，兩準(zhǔn)線間的距離為 ，焦點(diǎn)到相應(yīng)準(zhǔn)線的距離為 ，焦點(diǎn)到一條漸近線的距離為b，過焦點(diǎn)且垂直于實(shí)軸的弦長稱為通徑，即通徑為 等，這些量及其關(guān)系不會(huì)因坐標(biāo)軸選擇而改變,2求雙曲線的方程常用待定系數(shù)法，解題時(shí)應(yīng)注意先確定焦點(diǎn)位置，若焦點(diǎn)不確定，則應(yīng)分類討論如不清楚焦點(diǎn)的位置，可設(shè)方程為ax2by21(ab0)；若已知雙曲線的漸近線方程y x，則設(shè)雙曲線方程為 (0，且為參數(shù))，從而避免討論和復(fù)雜的計(jì)算,3對雙曲線定義的理解，應(yīng)注意有關(guān)條件(2a|F1F2|)的限制，否則曲線不是雙曲線解題時(shí)涉及雙曲線的焦點(diǎn)弦、焦半徑的問題，常從兩個(gè)定義入手解題,【知識(shí)拓展】,1雙曲線的焦半徑公式 設(shè)F1、F2分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，若P(x0，y0)是雙曲線上一 點(diǎn)若P在右支上，|PF1|ex0a，|PF2|ex0a，若P在左支上， |PF1|ex0a，|PF2|ex0a.,2雙曲線中的基本三角形 如圖所示，AOB中|OA|a， |OB|c，|AB|b，tanAOB ，e 焦點(diǎn)三角形F1PF2中，若F1PF2，則SF1PF2 b2cot .,1雙曲線的定義 平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2距離的差的絕對值等于常數(shù)(小于F1F2的正數(shù)) 的點(diǎn)的軌跡叫做 ，兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2叫做雙曲線的 ，兩焦點(diǎn)間的距離叫做雙曲線的 .,雙曲線,焦點(diǎn),焦距,2雙曲線的簡單幾何性質(zhì),頂點(diǎn),等長,探究：雙曲線的離心率的大小與雙曲線“開口”大小有怎樣的 關(guān)系？ 提示：離心率越大，雙曲線的“開口”越大,1已知雙曲線的離心率為2，焦點(diǎn)是(4,0)、(4,0)，則雙曲線 方程為_ 解析：由題知c4，且 2，a2，b2c2a212，雙 曲線方程為 1. 答案： 1,且PF1PF213，則F1PF2的周長等于_ 解析：本題考查雙曲線的方程及定義等知識(shí)由題意，a3，b 4，c5，根據(jù)題意，點(diǎn)P在靠近焦點(diǎn)F1的那支上，且PF23PF1，所 以由雙曲線的定義，PF2PF12PF12a6， PF13，PF29，故F1PF2的周長等于391022. 答案：22,2設(shè)點(diǎn)P在雙曲線 1上，若F1、F2為此雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，,3雙曲線的漸近線方程為y x，則雙曲線的離心率為_ 解析：雙曲線的漸近線方程為y x， 或 . 當(dāng) 時(shí)， ，e ；當(dāng) 時(shí)， ， e . 答案：,4若雙曲線 1的漸近線方程為y ，則雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)是 _ 解析：由雙曲線方程得出其漸近線方程為y ，m3，求得雙曲線方 程為： 1， 從而得到焦點(diǎn)坐標(biāo)為( ，0)，( ，0) 答案：( ，0)，( ，0),5雙曲線的焦距是兩準(zhǔn)線間距離的4倍，則此雙曲線的離心率等于_ 解析：2c4 ，c24a2.e2 4，e2. 答案：2,【例1】 在MNG中，已知NG4.當(dāng)動(dòng)點(diǎn)M滿足條件sin Gsin N sin M 時(shí)，求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程,求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程要確定焦點(diǎn)所在的坐標(biāo)軸以及a2和b2的值，其常用的方法是待定系數(shù)法,思路點(diǎn)撥：建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，利用正弦定理把sin Gsin N sin M轉(zhuǎn)化成邊長之間的關(guān)系，并由此關(guān)系確定軌跡方程,解：以NG所在的直線為x軸，以線段NG的垂直平分線為y 軸建立直角坐標(biāo)系sin G-sin N= 由正弦定理，得MN-MG= 由雙曲線的定義知，點(diǎn)M的軌跡是以N、G為焦點(diǎn)的雙曲線的右支(除去與x軸的交點(diǎn))2c=4,2a=2，即c=2，a=1.b2=c2-a2=3.動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程為x2 =1(x0，且y0),變式1：已知定點(diǎn)A(3,0)和定圓C：(x3)2y216，動(dòng)圓和圓C相外 切，并且過點(diǎn)A，求動(dòng)圓圓心P的軌跡方程 解：設(shè)P的坐標(biāo)為(x，y)圓C與圓P外切且過點(diǎn)A，PC PA4.AC64， 點(diǎn)P的軌跡是以C、A為焦點(diǎn)，2a4的雙曲線的右支a 2，c3，b2c2a25. 1(x0)為動(dòng)圓圓心P的軌跡方程,1雙曲線的性質(zhì)的實(shí)質(zhì)是圍繞雙曲線中的“六點(diǎn)”(兩個(gè)焦點(diǎn)、兩個(gè)頂點(diǎn)、兩個(gè)虛軸的端點(diǎn))，“四線”(兩條對稱軸、兩條漸近線)，“兩形”(中心、焦點(diǎn)以及虛軸端點(diǎn)構(gòu)成的三角形、雙曲線上一點(diǎn)和兩焦點(diǎn)構(gòu)成的三角形)研究它們之間的相互聯(lián)系,時(shí)要熟練掌握以下三方面內(nèi)容：(1)已知雙曲線方程，求它的漸近線(2)求已知漸近線的雙曲線的方程(3)漸近線的斜率與離心率的關(guān)系如,2在雙曲線的性質(zhì)中，應(yīng)充分利用雙曲線的漸近線方程，簡化解題過程同,【例2】 中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上的一橢圓與一雙曲線有共同的焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2， 且F1F22，橢圓的長半軸與雙曲線實(shí)半軸之差為4，離心率之比為37. (1)求這兩曲線的方程； (2)若P為這兩曲線的一個(gè)交點(diǎn)，求cosF1PF2的值 思路點(diǎn)撥：,解：(1)由已知：c 設(shè)橢圓長、短半軸長分別為a、b，雙曲線實(shí)半軸、虛半 軸長分別為m、n，則 解得a7，m3.b6，n2. 橢圓方程為 雙曲線方程為 (2)不妨設(shè)F1，F(xiàn)2分別為左，右焦點(diǎn)，P是第一象限的一個(gè)交點(diǎn)， 則PF1PF214，PF1PF26，所以PF110，PF24. 又F1F2 ，,變式2：已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，離心率為且過點(diǎn)(4， ) (1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程； (2)直線x3與雙曲線交于M、N 兩點(diǎn)，求證：F1MF2M. 解：(1)e ，則 2，ab.故可設(shè)雙曲線的方程為x2y2 (0),由于雙曲線過點(diǎn)(4， )，42( )2.6. 雙曲線方程為x2y26.,(2) 證明：由(1)可得,【規(guī)律方法總結(jié)】,1求雙曲線方程的方法以及雙曲線定義和雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的應(yīng)用和圓有關(guān)問題都是類似的 2當(dāng)涉及到雙曲線上點(diǎn)到焦點(diǎn)或到準(zhǔn)線的距離時(shí)，要注意雙曲線是兩條曲線，點(diǎn)有可能在其中的一支上 3在已知雙曲線上一點(diǎn)P與兩個(gè)焦點(diǎn)F1、F2構(gòu)成的PF1F2中，|PF1| |PF2|2a，F(xiàn)1F22c，再給出一個(gè)條件時(shí)，焦點(diǎn)PF1F2可解.,【高考真題】,【例3】 (2009湖南卷),已知以雙曲線C的兩個(gè)焦點(diǎn)及虛軸的兩個(gè)端點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形中，有一個(gè)內(nèi)角為60，則雙曲線C的離心率為_,分析：根據(jù)四邊形的特征，尋找a，c之間的關(guān)系，注意雙曲線中a，b，c的關(guān)系,規(guī)范解答：設(shè)雙曲線方程為 如右圖所示，由于在雙曲線中cb，故在RtOF1B2中，只能是OF1B2=30，所以 所以 所以a= 答案：,本題考查雙曲線的簡單幾何性質(zhì)，在題目給出的四邊形中隱含著對內(nèi)角等于60的選擇 ，以此檢測考生對雙曲線幾何性質(zhì)的掌握程度，是一道有較好區(qū)分度的試題,【全解密】,【命題探究】,【知識(shí)鏈接】,雙曲線,(a0，b0)中有三類特殊點(diǎn)：焦點(diǎn)(c,0)，,頂點(diǎn)(a,0)，虛軸的兩個(gè)端點(diǎn)(0，b),雙曲線中c2a2b2，說明雙曲線中c最大，解決雙曲線問題時(shí)不 要忽視了這個(gè)問題，如本題就是根據(jù)這個(gè)關(guān)系得出只有OF1B230的結(jié)論記不要和橢圓中a，b，c的關(guān)系相混淆.,求雙曲線的離心率的關(guān)鍵就是找出雙曲線中a，c的關(guān)系，在 用幾何圖形給出的問題中要善于利用幾何圖形的性質(zhì)分析解決,【方法探究】,【誤點(diǎn)警示】,1已知F1，F(xiàn)2分別是雙曲線,的左、右兩焦點(diǎn)，,過F2作垂直于x軸的直線，在第一象限交雙曲線于點(diǎn)P，若PF1F230，求雙曲線的漸近線方程,分析：采用數(shù)形結(jié)合思想，知道點(diǎn)P在雙曲線的右支上，由雙曲線的定義知|PF1|PF2|2a，從“過F2作垂直于x軸的直線，在第一象限交雙曲線于點(diǎn)P”可知PF2F1F2，再利用直角三角形求解,解：如圖，由雙曲線定義可知 |PF1|PF2|=2a，PF2F1F2，PF1F230， |PF1|2|PF2|.|PF1|2|PF2|2|F1F2|2|PF2|2(2c)2. 由可得|PF2|2a，|PF1|4a，代入，可得3a2c2. 又c2a2b2，由得2a2b2. 雙曲線的漸近線方程為y,2雙曲線 (a1，b0)的焦距為2c ，直線l過點(diǎn)(a,0)和(0，b)，且點(diǎn)(1,0) 到直線l的距離與點(diǎn)(1,0)到直線l的距離之和s 求雙曲線的離心率e的取 值范圍,分析：首先求出s，將不等式s 轉(zhuǎn)化為a、b、c的關(guān)系，將b用a、c表示，再由e 即可化為e的關(guān)系式，進(jìn)而求出e的范圍,解：直線l的方程為 即bxayab0.由點(diǎn)到直線的距離公式且a1，得到點(diǎn)(1,0)到直線l的距離d1 同理得到點(diǎn)(1,0)到直線l的距離d2 sd1d2 由s 即5a 2c2.于是得5 2e2，即4e425e2250.解不等式，得 e25.由于e1， e的取值范圍是,