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掌握雙曲線的定義、標準方程、幾何圖形及簡單性質．,第7課時 雙曲線,【命題預測】,1．本講主要考查橢圓的基本概念和性質，用待定系數法求橢圓方程，橢圓第一、二定義的綜合運用，橢圓中各量的計算，關于離心率e的題目為熱點問題，各種題型均有考查，屬中檔題． 2．考綱要求掌握橢圓的定義、標準方程和橢圓的簡單幾何性質，所以，近幾年的高考試題一直在客觀題中考查定義、性質的理解和運用，在解答題中考查軌跡問題和直線與橢圓的位置關系． 3．在解析幾何與向量的交匯處設計高考題，是近年來高考一個新的亮 點，主要考查：(1)將向量作為工具解答雙曲線問題；(2)以解析幾何為載體，將向量作為條件融入題設條件中．,【應試對策】,,1．注意雙曲線中一些基本量及其關系：c2＝a2＋b2，e＝ ， ＝ ，兩準線間的距離為 ，焦點到相應準線的距離為 ，焦點到一條漸近線的距離為b，過焦點且垂直于實軸的弦長稱為通徑，即通徑為 等，這些量及其關系不會因坐標軸選擇而改變．,2．求雙曲線的方程常用待定系數法，解題時應注意先確定焦點位置，若焦點不確定，則應分類討論．如不清楚焦點的位置，可設方程為ax2＋by2＝1(ab0)；若已知雙曲線的漸近線方程y＝ x，則設雙曲線方程為 － ＝λ(λ≠0，且λ為參數)，從而避免討論和復雜的計算．,3．對雙曲線定義的理解，應注意有關條件(2a|F1F2|)的限制，否則曲線不是雙曲線．解題時涉及雙曲線的焦點弦、焦半徑的問題，常從兩個定義入手解題．,【知識拓展】,1．雙曲線的焦半徑公式 設F1、F2分別是雙曲線的左、右焦點，若P(x0，y0)是雙曲線上一 點．若P在右支上，|PF1|＝ex0＋a，|PF2|＝ex0－a，若P在左支上， |PF1|＝－ex0－a，|PF2|＝－ex0＋a.,2．雙曲線中的基本三角形 ①如圖所示，△AOB中|OA|＝a， |OB|＝c，|AB|＝b，tan∠AOB＝ ，e＝ ②焦點三角形△F1PF2中，若∠F1PF2＝θ，則S△F1PF2＝ b2cot .,1．雙曲線的定義 平面內到兩個定點F1，F2距離的差的絕對值等于常數(小于F1F2的正數) 的點的軌跡叫做 ，兩個定點F1，F2叫做雙曲線的 ，兩焦點間的距離叫做雙曲線的 .,雙曲線,焦點,焦距,2．雙曲線的簡單幾何性質,,,頂點,,,等長,,,探究：雙曲線的離心率的大小與雙曲線“開口”大小有怎樣的 關系？ 提示：離心率越大，雙曲線的“開口”越大．,1．已知雙曲線的離心率為2，焦點是(－4,0)、(4,0)，則雙曲線 方程為________________． 解析：由題知c＝4，且 ＝2，∴a＝2，∴b2＝c2－a2＝12，∴雙 曲線方程為 － ＝1. 答案： － ＝1,且PF1∶PF2＝1∶3，則△F1PF2的周長等于________． 解析：本題考查雙曲線的方程及定義等知識．由題意，a＝3，b ＝4，∴c＝5，根據題意，點P在靠近焦點F1的那支上，且PF2＝3PF1，所 以由雙曲線的定義，PF2－PF1＝2PF1＝2a＝6， ∴PF1＝3，PF2＝9，故△F1PF2的周長等于3＋9＋10＝22. 答案：22,2．設點P在雙曲線 － ＝1上，若F1、F2為此雙曲線的兩個焦點，,3．雙曲線的漸近線方程為y＝ x，則雙曲線的離心率為________． 解析：∵雙曲線的漸近線方程為y＝ x，∴ ＝ 或 ＝ . 當 ＝ 時， ＝ ，∴e＝ ＝ ；當 ＝ 時， ＝ ， ∴ e＝ ＝ . 答案：,4．若雙曲線 ＝1的漸近線方程為y＝ ，則雙曲線的焦點坐標是 ________． 解析：由雙曲線方程得出其漸近線方程為y＝ ，∴m＝3，求得雙曲線方 程為： ＝1， 從而得到焦點坐標為(－ ，0)，( ，0)． 答案：(－ ，0)，( ，0),5．雙曲線的焦距是兩準線間距離的4倍，則此雙曲線的離心率等于________． 解析：∵2c＝4 ，∴c2＝4a2.∴e2＝ ＝4，e＝2. 答案：2,【例1】 在△MNG中，已知NG＝4.當動點M滿足條件sin G－sin N＝ sin M 時，求動點M的軌跡方程．,求雙曲線的標準方程要確定焦點所在的坐標軸以及a2和b2的值，其常用的方法是待定系數法．,思路點撥：建立適當的直角坐標系，利用正弦定理把sin G－sin N＝ sin M轉化成邊長之間的關系，并由此關系確定軌跡方程．,解：以NG所在的直線為x軸，以線段NG的垂直平分線為y 軸建立直角坐標系．∵sin G-sin N= ∴由正弦定理，得MN-MG= ∴由雙曲線的定義知，點M的軌跡是以N、G為焦點的雙曲線的右支(除去與x軸的交點)．∴2c=4,2a=2，即c=2，a=1.∴b2=c2-a2=3.∴動點M的軌跡方程為x2 － =1(x0，且y≠0)．,,變式1：已知定點A(3,0)和定圓C：(x＋3)2＋y2＝16，動圓和圓C相外 切，并且過點A，求動圓圓心P的軌跡方程． 解：設P的坐標為(x，y)．∵圓C與圓P外切且過點A，∴PC－ PA＝4.∵AC＝64， ∴點P的軌跡是以C、A為焦點，2a＝4的雙曲線的右支．∵a＝ 2，c＝3，∴b2＝c2－a2＝5. ∴ ＝1(x0)為動圓圓心P的軌跡方程．,1．雙曲線的性質的實質是圍繞雙曲線中的“六點”(兩個焦點、兩個頂點、兩個虛軸的端點)，“四線”(兩條對稱軸、兩條漸近線)，“兩形”(中心、焦點以及虛軸端點構成的三角形、雙曲線上一點和兩焦點構成的三角形)研究它們之間的相互聯系．,時要熟練掌握以下三方面內容：(1)已知雙曲線方程，求它的漸近線．(2)求已知漸近線的雙曲線的方程．(3)漸近線的斜率與離心率的關系．如,2．在雙曲線的性質中，應充分利用雙曲線的漸近線方程，簡化解題過程．同,【例2】 中心在原點，焦點在x軸上的一橢圓與一雙曲線有共同的焦點F1，F2， 且F1F2＝2，橢圓的長半軸與雙曲線實半軸之差為4，離心率之比為3∶7. (1)求這兩曲線的方程； (2)若P為這兩曲線的一個交點，求cos∠F1PF2的值． 思路點撥：,解：(1)由已知：c＝ 設橢圓長、短半軸長分別為a、b，雙曲線實半軸、虛半 軸長分別為m、n，則 解得a＝7，m＝3.∴b＝6，n＝2. ∴橢圓方程為 雙曲線方程為 (2)不妨設F1，F2分別為左，右焦點，P是第一象限的一個交點， 則PF1＋PF2＝14，PF1－PF2＝6，所以PF1＝10，PF2＝4. 又F1F2＝ ，,變式2：已知雙曲線的左、右焦點分別為F1、F2，離心率為且過點(4，－ )． (1)求雙曲線的標準方程； (2)直線x＝3與雙曲線交于M、N 兩點，求證：F1M⊥F2M. 解：(1)e＝ ，則 ＝2，∴a＝b.故可設雙曲線的方程為x2－y2＝ λ(λ≠0)．,由于雙曲線過點(4，－ )，∴42－(－ )2＝λ.∴λ＝6. ∴雙曲線方程為x2－y2＝6.,(2) 證明：由(1)可得,【規(guī)律方法總結】,1．求雙曲線方程的方法以及雙曲線定義和雙曲線標準方程的應用和圓有關問題都是類似的． 2．當涉及到雙曲線上點到焦點或到準線的距離時，要注意雙曲線是兩條曲線，點有可能在其中的一支上． 3．在已知雙曲線上一點P與兩個焦點F1、F2構成的△PF1F2中，||PF1|－ |PF2||＝2a，F1F2＝2c，再給出一個條件時，焦點△PF1F2可解.,,,【高考真題】,【例3】 (2009湖南卷),已知以雙曲線C的兩個焦點及虛軸的兩個端點為頂點的四邊形中，有一個內角為60，則雙曲線C的離心率為________．,分析：根據四邊形的特征，尋找a，c之間的關系，注意雙曲線中a，b，c的關系．,規(guī)范解答：設雙曲線方程為 如右圖所示，由于在雙曲線中cb，故在Rt△OF1B2中，只能是∠OF1B2=30，所以 所以 所以a= 答案：,本題考查雙曲線的簡單幾何性質，在題目給出的四邊形中隱含著對內角等于60的選擇 ，以此檢測考生對雙曲線幾何性質的掌握程度，是一道有較好區(qū)分度的試題．,【全解密】,【命題探究】,【知識鏈接】,,雙曲線,(a0，b0)中有三類特殊點：焦點(c,0)，,頂點(a,0)，虛軸的兩個端點(0，b)．,雙曲線中c2＝a2＋b2，說明雙曲線中c最大，解決雙曲線問題時不 要忽視了這個問題，如本題就是根據這個關系得出只有∠OF1B2＝30的結論．記不要和橢圓中a，b，c的關系相混淆.,求雙曲線的離心率的關鍵就是找出雙曲線中a，c的關系，在 用幾何圖形給出的問題中要善于利用幾何圖形的性質分析解決．,【方法探究】,【誤點警示】,1．已知F1，F2分別是雙曲線,的左、右兩焦點，,過F2作垂直于x軸的直線，在第一象限交雙曲線于點P，若∠PF1F2＝30，求雙曲線的漸近線方程．,分析：采用數形結合思想，知道點P在雙曲線的右支上，由雙曲線的定義知|PF1|－|PF2|＝2a，從“過F2作垂直于x軸的直線，在第一象限交雙曲線于點P”可知PF2⊥F1F2，再利用直角三角形求解．,解：如圖，由雙曲線定義可知 |PF1|－|PF2|=2a，①∵PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝30， ∴|PF1|＝2|PF2|.②|PF1|2＝|PF2|2＋|F1F2|2＝|PF2|2＋(2c)2.③ 由①②可得|PF2|＝2a，|PF1|＝4a，代入③，可得3a2＝c2.④ 又c2＝a2＋b2，⑤由④⑤得2a2＝b2.∴ ∴雙曲線的漸近線方程為y＝,2．雙曲線 (a1，b0)的焦距為2c ，直線l過點(a,0)和(0，b)，且點(1,0) 到直線l的距離與點(－1,0)到直線l的距離之和s≥ 求雙曲線的離心率e的取 值范圍．,分析：首先求出s，將不等式s≥ 轉化為a、b、c的關系，將b用a、c表示，再由e＝ 即可化為e的關系式，進而求出e的范圍．,解：直線l的方程為 即bx＋ay－ab＝0.由點到直線的距離公式且a1，得到點(1,0)到直線l的距離d1＝ 同理得到點(－1,0)到直線l的距離d2＝ ∴s＝d1＋d2＝ 由s≥ 即5a ≥2c2.于是得5 ≥2e2，即4e4－25e2＋25≤0.解不等式，得 e2≤5.由于e1， ∴e的取值范圍是,