1了解平面向量的基本定理及其意義 2掌握平面向量的正交分解及其坐標表示 3會用坐標表示平面向量的加法、減法與數(shù)乘運算 4理解用坐標表示的平面向量共線的條件,第2課時 向量的坐標表示,【命題預測】 平面向量的坐標運算是向量運算的關鍵，平面向量的坐標是代數(shù)與幾何聯(lián)系的橋梁，它融數(shù)、形于一體，具有代數(shù)形式與幾何形式的雙重身份，也是中學數(shù)學知識的一個重點交匯，使數(shù)學問題的情景新穎別致、自然流暢單獨命題時，題型一般以填空題的形式出現(xiàn)，屬于容易題經(jīng)常利用平面向量的靈活性，與平面幾何、三角函數(shù)等知識點綜合出現(xiàn)，此類型的題一般出現(xiàn)在解答題中，綜合性比較強，難度較大,1在平面直角坐標系中，以原點為起點的向量 a，點A的位置被向量a唯一確定，此時點A的坐標與a的坐標統(tǒng)一為(x，y)，但應注意其表示形式的區(qū)別，如A(x，y)，向量a (x，y)把點的坐標與向量的坐標區(qū)別開來兩向量相等的充要條件是它們對應的坐標相等，即相等的向量坐標相同，坐標相同的向量是相等的向量，但相等的向量起點、終點坐標卻可以不同向量的坐標揭示并描述了向量的終點相對于起點的位置關系，與表示該向量的有向線段的起點、終點的具體位置無關，只與其相對位置有關,【應試對策】,2 (tR)A，B，P三點共線，這是直線的向量參數(shù)方程式，應結合平面向量基本定理加以理解特別地，在t 時， P為線段AB的中點，這就是線段AB的中點向量表達式，此公式在用向量解決平面幾何問題時經(jīng)常用到，要熟練掌握,【知識拓展】 線段的定比分點 如果點P滿足 ，點P叫做有向線段 的定比分點當P1、P2的坐標分別為(x1，y1)和(x2，y2)且1時，則P的坐標(x，y)可由下面的公式求 出 這個公式叫做線段的定比分點公式,1平面向量基本定理及坐標表示 (1)平面向量基本定理 定理：如果e1，e2是同一平面內(nèi)的兩個 的向量，那么對于這一平面內(nèi)的任意向量a， 一對實數(shù)1，2，使a . 其中， 叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底,不共線,有且只有,1e12e2,不共線的向量e1、e2,(2)平面向量的正交分解 一個平面向量用一組基底e1、e2表示成a1e12e2的形式，我們稱它為向量a的 當e1，e2所在直線互相垂直時，這種分解也稱為向量a的 (3)平面向量的坐標表示 對于向量a，當它的起點移至原點O時，其終點坐標(x，y)稱為向量a的 ， 記作a ,分解,正交分解,坐標,(x，y),2平面向量的坐標運算 (1)加法、減法、數(shù)乘運算,(x1x2，y1y2),(x1x2，y1y2),(x1，y1),(2)向量坐標的求法 已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，則 (x2x1，y2y1)， 即一個向量的坐標等于該向量 的坐標減去 的坐標 (3)向量平行的坐標表示 設a(x1，y1)，b(x2，y2)，其中b0， 則a與b共線a .,終點,始點,x1y2x2y10,b,1(2010南京市第九中學高三調(diào)研測試)已知向量a(1,2)，b(2,3)， 若(ab)(ab)，則_. 解析：(ab)(ab)(2,23)(1，1)0. 2230， 答案：,2. 已知點A（2，3），B（-1，5），且 則點C，D的坐標分別是_，_. 解析： (3,2)，設C(x，y)，則由 得：(x2，y3) (3,2)， x1，y ，C(1， )同理得D(7,9) 答案：(1， ) (7,9),3(2010鹽城中學高三上學期期中考試)已知向量a(3,1)，b(1,3)， c(k,7)，若(ac)b，則k_. 解析：ac(3k，6)，由題知(3k)360，k5. 答案：5,4已知2ab(4,3)，a2b(3,4)，則向量a，b的坐標分別是 _，_. 解析：2ab(4,3)，4a2b(8,6)，a2b(3,4)， 5a(5,10)，a(1,2)， b(4,3)2a(4,3)2(1,2)(2，1) 答案：(1,2) (2，1),5(蘇、錫、常、鎮(zhèn)四市高三教學情況調(diào)查)已知向量 (0,1)， (k，k)， (1,3)，且 ，則實數(shù)k_. 解析： (k，k1)， (1,2)， 2k(k1)0，k1. 答案：1,1由平面向量基本定理知，平面內(nèi)的任一向量都可以用一組基底表示， 基底不同，表示的方法也不同 2利用基底表示向量，主要是利用平行四邊形法則或三角形法則進行 向量的線性運算,【例1】如右圖， 在平行四邊形ABCD中，M，N分別為DC，BC的中點， 已知 試用c，d表示 思路點撥：直接用c，d表示 有難度，可換一個角度， 由 表示 ，進而求,解：解法一：設 則 ， b ， 將代入得a ，代入 得bc,解法二：設 .因M，N分別為CD，BC中點， 所以 ， 因而 即,變式1：如上圖所示，在ABC中，點M是BC的中點，點N在AC上， 且AN2NC，AM與BN相交于點P，求APPM的值 解：設 ，則 3e2e1， 2e1e2.因為A、P、M和B、P、N分別共線， 所以存在實數(shù)、，使 3e2e1， 2e1e2，, (2)e1(3)e2. 另外 2e13e2， APPM41.,1向量的坐標運算主要是利用加、減、數(shù)乘運算法則進行，若已知 有向線段兩端點的坐標，則應先求出向量的坐標，解題過程中要注意 方程思想的運用 2利用向量的坐標運算解題主要是根據(jù)相等的向量坐標相同這一 原則，通過列方程(組)進行求解 3利用坐標運算求向量的基底表示，一般先求出基底向量和被表示 向量的坐標，再用待定系數(shù)法求出線性系數(shù) 4向量的坐標運算，使得向量的線性運算都可用坐標來進行，實現(xiàn) 了向量運算完全代數(shù)化，將數(shù)與形緊密結合起來，就可以使很多幾 何問題的解答轉(zhuǎn)化為我們熟知的數(shù)量運算,【例2】 已知A(2,4)、B(3，1)、C(3，4)且 ， 求點M、N及 的坐標 思路點撥：由A、B、C三點的坐標易求得 的坐標， 再根據(jù)向量坐標的定義就可求出M、N的坐標,解：A(2,4)、B(3，1)、C(3，4)， (1,8)， (6,3)， 設M(x，y)，則有 (x3，y4)， M點的坐標為(0,20)同理可求得N(9,2)，因此 (9，18)， 故所求點M、N的坐標分別為(0,20)、(9,2)， 的坐標為(9，18),變式2：已知A(2,1)，B(3,5)，C(3,2)，若 (tR)， 試求t為何值時，點P在第二象限？ 解：設點P的坐標為(x，y)，則 (x，y)(2,1)(x2，y1) (3,5)(2,1)t(3,2)(2,1)(1,4)t(1,1) (1,4)(t，t)(1t,4t)， 由 ，得(x2，y1)(1t,4t)， ,若點P在第二象限，則 5t3，即當5t3時，點P在第二象限,1平面向量a與b(b0)共線的充要條件是ab，用坐標表示為： abx1y2x2y10(a(x1，y1)，b(x2，y2)且b 0 ) 2向量共線的坐標表示提供了通過代數(shù)運算來解決向量共線的方法，也為 點共線、線平行問題的處理提供了容易操作的方法解題時要注意共線向 量定理的坐標表示本身具有公式特征，應學會利用這一點來構造函數(shù)和方 程，以便用函數(shù)與方程的思想解題,【例3】 向量 (k,12)， (4,5)， (10，k)， 當k為何值時，A、B、C三點共線 思路點撥：根據(jù)向量共線的充要條件，若A、B、C三點共線， 只要 滿足 (或 )，就可以列方程求出k的值 或利用向量平行的充要條件求出k的值,解：解法一： (4,5)(k,12)(4k，7)， (10，k)(4,5)(6，k5)A、B、C三點共線， ，即(4k，7)(6，k5)(6，(k5) 解得k11或2. 解法二：接解法一，A、B、C三點共線，(4k)(k5)6(7)， 解得k11或2.,變式3： 如圖所示，已知點A(4,0)，B(4,4)，C(2,6)， 求AC和OB交點P的坐標 解：解法一：設 t(4,4)(4t,4t)，則 (4t,4t)(4,0)(4t4,4t)， (2,6)(4,0)(2,6) 由 共線的充要條件知(4t4)64t(2)0，解得t (4t,4t)(3,3)P點坐標為(3,3),解法二：設P(x，y)，則 (x，y)， (4,4) ， 共線，4x4y0. 又 (x2，y6)， (2，6)， 且向量 、 共線 6(x2)2(6y)0. 解組成的方程組，得x3，y3，點P的坐標為(3,3).,1向量平行的充要條件是建立向量的坐標及其運算的理論依據(jù)；平面向量的基 本定理是平面向量坐標表示的基礎 2利用平面向量的基本定理，可將幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題，其具體過程大致為： (1)適當選擇基底(兩個彼此不共線向量)； (2)用基底顯示幾何問題的條件和結論； (3)利用共線向量的充要條件、向量垂直的充要條件，通過向量的運算解決平行、 垂直、成角和距離的證明和計算等問題,【規(guī)律方法總結】,【例4】 已知向量a(1,2)，b(2,1)，k，t為正實數(shù)， xa(t21)b，y (1)若xy，求k的最大值； (2)是否存在k，t，使xy？若存在，求出k的取值范圍； 若不存在，請說明理由.,本題最易出錯的是向量的坐標運算，如計算向量x，y時，對數(shù)與向量的乘積只乘向量的一個坐標；以坐標形式的向量加減運算時，漏掉其中的某個坐標；當向量x，y垂直時數(shù)量積的運算錯誤，向量x，y平行時，向量的坐標之間的關系用錯等如把xy的條件是兩個向量坐標交叉相乘之差等于零寫成交叉之積的和等于零，即： ，其結果是k 這樣只要給正數(shù)t一個大于 的值，就得到一個正數(shù)k，其結果就是存在的,【錯因分析】,解：x(1,2)(t21)(2,1)(2t21，t23)， y (1)若xy，則xy0，即 整理得，k ，當且僅當t ，即t1時取等號， kmax,(2)假設存在正實數(shù)k，t，使xy，則 化簡得 0，即t3tk0. (2)因為k、t為正實數(shù)，故不存在正數(shù)k使上式成立，從而不存在k、t，使xy.,【答題模板】,向量的模與數(shù)量積向量的模與數(shù)量積之間有關系式|a|2a2aa，這是一個簡單而重要但又容易用錯的地方，由這個關系還可以得到如|ab|2|a|22ab|b|2，|abc|a|2|b|2|c|22ab2bc2ca等公式，是用向量的數(shù)量積解決向量模的重要關系式在解決與向量模有關的問題時要仔細辨別題目的已知條件，用好向量的模與數(shù)量積之間的關系.,【狀元筆記】,1如圖，在平行四邊形ABCD中，A(1,1)， (6,0)， 點M是線段AB的中點，線段CM與BD交于點P. (1)若 =(3,5)，求點C的坐標； (2)當 時，求點P的軌跡方程 分析：(1)可根據(jù)兩個向量相等，對應的坐標相等求出C的坐標； (2)設出點P的坐標，用坐標表示兩個對角線所表示的向量，根據(jù) 菱形的對角線互相垂直，求出P的軌跡方程,解：(1)設點C的坐標為(x0，y0) =(9,5)， (x0-1，y0-1)=(9,5)， x0=10，y0=6，即點C的坐標為(10,6) (2)設點P的坐標為(x，y)，則 =(x-7，y-1)， = =(3x-9,3y-3) ，ABCD為菱形，,從而有(x-7，y-1)(3x-9,3y-3)=0， (x-7)(3x-9)+(y-1)(3y-3)=0， x2+y2-10x-2y+22=0(y1) 即點P的軌跡方程為x2+y2-10x-2y+22=0(y1),