1理解平面向量數(shù)量積的含義及其物理意義 2了解平面向量的數(shù)量積與向量投影的關(guān)系 3掌握數(shù)量積的坐標表達式，會進行平面向量數(shù)量積的運算 4能運用數(shù)量積表示兩個向量的夾角，會用數(shù)量積判斷兩個平面向量的垂直關(guān)系 5會用向量方法解決某些簡單的平面幾何問題 6會用向量方法解決簡單的力學(xué)問題與其他一些實際問題,第3課時 向量的數(shù)量積、向量的應(yīng)用,【命題預(yù)測】 向量的數(shù)量積是高考命題的重點，主要考查平面向量數(shù)量積的性質(zhì)在向量運算、化簡、求值、證明中的應(yīng)用，考查平面向量平行、垂直的充要條件的應(yīng)用，以及用向量的數(shù)量積解平面幾何問題多出現(xiàn)在填空題與選擇題中，難度不會太大在解答題中，常常與其他章節(jié)的內(nèi)容，例如三角函數(shù)、數(shù)列、函數(shù)等相結(jié)合，考查平面向量數(shù)量積的綜合運用，綜合性較強，屬于中等偏難的題,【應(yīng)試對策】 1在運用向量的數(shù)量積解題時，一定要注意兩向量的夾角 兩向量的夾角描述了兩向量的方向差異，求兩向量的夾角時一定要注意向量 的方向例如在ABC中，向量 的夾角是B，不是B. (1)當a0時，由ab0不能推出b0，這是因為任一與a垂直的非零向量b都 有ab0.,(2)當a0時，由abac也不能推出bc.只要b，c在a方向上的投影相等(|b|cosb，a|c|cosc，a)，都有abac(如圖所示，對于直線l上任意點P， 的值都相等) (3)數(shù)量積運算不滿足結(jié)合律，即(ab)c不一定等于a(bc)這是因為(ab)c表示一個與c共線的向量，而a(bc)表示一個與a共線的向量，而a與c不一定共線,2數(shù)量積公式ab|a|b|cos (其中為a，b的夾角)的一些簡單應(yīng)用： (1)當0時，ab|a|b|，所以求兩向量的模的乘積可轉(zhuǎn)化為求向量的 數(shù)量積 (2)當90時，ab0ab，所以判定兩向量垂直?？赊D(zhuǎn)化為證明數(shù) 量積為零 (3) 0點O在以AB為直徑的圓上； 0點O在以AB為直徑的圓外AOB90.,【知識拓展】 向量積 由兩向量a和b作一個新向量c，若c滿足下列三個條件： (1)向量c的模等于|a|b|sina，b；(2)c同時垂直于a和b；(3)c的方向按“右手法則”確定則稱c為a與b的向量積，記作cab.,1兩個向量的夾角 (1)定義：對于 向量a與b，作 ，則AOB=， (0180)叫做向量a與b的夾角 (2)特殊情形：當= 時，a與b同向；當= 時，a與b反向； 當= 時，則稱向量a與b垂直，記作ab.,兩個非零,180,0,90,2平面向量的數(shù)量積 (1)平面向量數(shù)量積的定義 已知兩個非零向量a和b，它們的夾角為，則數(shù)量 叫做a與 b的數(shù)量積(或內(nèi)積)，記作ab，即 ，并規(guī)定零向量與任 一向量的數(shù)量積為 .,|a|b|cos ,0,ab|a|b|cos ,(2)b在a方向上的投影 定義：設(shè)是a與b的夾角，則 叫做a在b的方向上的投影， 叫 做b在a的方向上的投影，一向量在另一向量的方向上的投影是一個實數(shù)，而不是 向量，當090時， 它是 ，當90180時， 它是 ， 當90時，它是 . ab的幾何意義 數(shù)量積ab等于a的長度|a|與 的投影|b|cos 的乘積,|a|cos ,|b|cos ,正數(shù),負數(shù),b與a的方向上,0,3向量數(shù)量積的運算律 (1)ab (交換律)(2)(a)b (數(shù)乘結(jié)合律) (3)(ab)c .(分配律) 4平面向量數(shù)量積的坐標表示 a(x1，y1)，b(x2，y2) (1)ab .(2)|a| ，|b| . (3)ab . (4)若a與b夾角為，則cos .,ba,(ab),a(b),acbc,x1x2y1y2,x1x2y1y20,(5)若c的起點坐標和終點坐標分別為(x1，y1)，(x2，y2)， 則|c| . 5向量方法解決幾何問題的步驟 (1)建立幾何與向量的聯(lián)系，用 表示問題中的幾何元素，將幾何問題轉(zhuǎn) 化為 問題 (2)通過向量的 ，研究幾何元素之間的關(guān)系，如夾角、距離、垂直、 平行等問題 (3)把運算結(jié)果“翻譯”成幾何關(guān)系,向量,運算,向量,1對于向量a、b、c和實數(shù)，下列命題中真命題是_ 若ab0，則a0或b0 若a0，則0或a0 若a2b2，則ab或ab 若abac，則bc 解析：A中若ab，則有ab0，不一定有a0，b0. C中當|a|b|時，a2b2，此時不一定有ab或ab. D中當a0時，abac，不一定有bc. 答案：,2(2010江蘇通州市高三素質(zhì)檢測)已知向量a和向量b的夾角為30，|a|2，|b| ，則向量a和向量b的數(shù)量積ab_. 答案：3,3 若向量a與b的夾角為60，|b|4，(a2b)(a3b)72， 則向量a的模是_ 解析：(a2b)(a3b)a26b2ab72， |a|22|a|240，解得|a|6. 答案：6,4已知a(2,1)，b(3，x)，若(2ab)b，則x的值是_ 解析：2ab(4,2)(3，x)(1,2x)，又(2ab)b， 3x(2x)0，x22x30.解得x1或3. 答案：1或3,5已知力F(3,5)，在力F的作用下發(fā)生的位移S(6,9)， 則F所做的功為_ 解析：WFS(3,5)(6,9)184563. 答案：63,1向量的數(shù)量積有兩種計算方法，一是利用公式ab|a|b|cos 來計算， 二是利用abx1x2y1y2來計算，具體應(yīng)用時可根據(jù)已知條件的特征來選擇， 同時要注意數(shù)量積運算律的應(yīng)用 2利用數(shù)量積求長度問題是數(shù)量積的重要應(yīng)用，要掌握此類問題的處理方法： (1)|a|2a2aa；(2)|ab|2(ab)2a22abb2； (3)若a(x，y)，則|a|,【例1】 已知|a|3，|b|4，a與b的夾角為 ，求：(1)(3a2b)(a2b)； (2)|ab|. 思路點撥：利用平面向量數(shù)量積的定義及運算律，可求出第(1)問； 求|ab|可先求(ab)2，再開方,解：(1)ab|a|b|cos 34 a2329，b216.(3a2b)(a2b) 3a28ab4b2398( )649148 (2)|ab|2(ab)2a22abb292( )162512 |ab|,變式1：(1)證明：(ab)2a22abb2； (2)設(shè)a、b是夾角為60的單位向量，求|2ab|、|3a2b|. 解：(1)證明：(ab)2(ab)(ab)(ab)a(ab)b a2ba (abb2)a22abb2. (2)|2ab|2(2ab)24a24abb244|a|b| cos 6017， |2ab| .同理可求|3a2b| .,1非零向量abab0x1x2y1y20. 2當向量a與b是非坐標形式時，要把a，b用已知的不共線的向量表示 【例2】 已知|a|5，|b|4，且a與b的夾角為60，則當k為何值時， 向量kab與a2b垂直？ 思路點撥：由(kab)(a2b)(kab)(a2b)0， 展開求解即可,解：(kab)(a2b)，(kab)(a2b)0， ka2(2k1)ab2b20， k52(2k1)54cos 602420，k 即k為 時，向量kab與向量a2b垂直,在ABC中， (2,3)， (1，k)， 且ABC的一個內(nèi)角為直角,求k的值 解：(1)當A90時， 0,213k0，k (2)當B90時， (12，k3)(1，k3) ，2(1)3(k3)0，k (3)當C90時， 0， 1k(k3)0，k23k10，k k的取值為,變式2：,用向量解決應(yīng)用問題，首先要把實際問題中的條件和要求(或證)的問題用向量表示出來，然后通過向量的運算求出結(jié)果，并把求出的結(jié)果解釋為實際要求的問題,【例3】 在ABC內(nèi)求一點P ，使AP2BP2CP2的值最小 思路點撥：AP2BP2CP2可轉(zhuǎn)化為向量模的平方來表示，而模的平方又可轉(zhuǎn)化為數(shù)量積，所以，可選定一組基底來解決最小值問題,解：設(shè) ，則 ， 于是 (pa)2(pb)2p23p22(ab)pa2b2 當p (ab)時， 取最小值 記D為AB的 中點，則ab2 ，于是 C，P，D三點共線，且P點是ABC的重心時， 取最小值， 即AP2BP2CP2的值最小,若D是ABC內(nèi)的一點，且AB2AC2DB2DC2，求證：ADBC. 證明：設(shè) ， 則aec，bed， a2b2(ec)2(ed)2c2d22ec2ed 由已知，a2b2c2d2， 由，可得eced0，即e(cd)0. dc， 0，ADBC.,變式3：,1平面向量a與b的數(shù)量積|a|b|cos ，它是一個實數(shù)，而不是向量， 它的值等于兩個向量的模與兩向量夾角余弦的乘積，其中的取值范圍是 0180. 2向量數(shù)量積ab與實數(shù)a、b乘積ab不同由ab0，并不能得出a0或 b0，因為兩非零向量夾角為90時，數(shù)量積也為0.,【規(guī)律方法總結(jié)】,3向量的數(shù)量積不滿足結(jié)合律，即(ab)ca(bc)，在(ab)c與a(bc) 中，由于ab與bc都是一個實數(shù)，設(shè)ab1，bc2，則(ab)c 1c，a(bc)2a，它們分別是與c共線和與a共線的向量，由于a與c不一 定共線，那么1c與2a的方向不一定相同，故一般情況下， (ab)ca(bc) 4數(shù)量積的消去律不成立，即abcb不一定得到ac.,5可以用向量的數(shù)量積公式解決有關(guān)夾角和垂直問題，但要注意兩種公式 的靈活運用 6利用向量垂直的充要條件研究幾何中線與線垂直的問題，若易建立適當 的坐標系，得到簡單的向量坐標表示，則可以減少運算量，實現(xiàn)了平面幾 何問題轉(zhuǎn)化為數(shù)量的運算.,【例4】 已知向量a，b滿足|a|b|1，且|akb| |kab|，其中k0. (1)試用k表示ab，并求出ab的最大值及此時a與b的夾角的值； (2)當ab取得最大值時，求實數(shù)，使|ab|的值最小，并對這一結(jié)果作出幾何解釋.,本題可以通過對已知條件兩端平方解決，容易出現(xiàn)的問題是對向量模與數(shù)量積的關(guān)系不清導(dǎo)致錯誤，如認為|akb|a|kb|或|akb|2|a|22k|a|b|k2|b|2等都會得出錯誤的結(jié)果第二個易錯之處就是在得到ab 后，忽視了k0的限制條件，求錯最值,【錯因分析】,解：(1)|akb| |kab|(akb)23(kab)2ab (k0) ab ，ab的最大值為 此時cos ， . ab (k0)，ab的最大值為 此時a與b的夾角的值為 .,【答題模板】,(2)由題意，ab ，故|ab|221 當 時，|ab|的值最小， 此時 b0，這表明 b.,向量的運算法則有相同的，也有不同的，在命題中千萬不要進行盲目類比，特別是關(guān)于向量的數(shù)量積的運算法則和實數(shù)的乘法運算法則完全不同，一定要把這些運算法則分清楚.,【狀元筆記】,1 設(shè)向量a，b，c滿足abc0，(ab)c，ab， 若|a|1，求|a|2|b|2|c|2. 分析：把條件化簡整理，根據(jù)“向量垂直等價于向量的數(shù)量積為零”， 尋找向量a，b，c的內(nèi)在聯(lián)系,解：abc0，c(ab) (ab)c，(ab)c(ab)(ab)0， a2b2，|b|1.ab，ab0， |c|2c2(ab)2a2b22ab2， |a|2|b|2|c|21124.,2已知兩個向量e1，e2滿足|e1|2，|e2|1，e1，e2的夾角為60. (1)若向量2te17e2與向量e1te2的方向相反，求實數(shù)t的值； (2)若向量2te17e2與向量e1te2的夾角為鈍角，求實數(shù)t的取值范圍 分析：兩個非零向量a，b反向，等價于ab(0)；兩個非零向量 a，b所成的夾角為鈍角，等價于cos 0且cos 1， 即等 價于 “ab0且a，b不反向”,解：(1)由題意設(shè)2te17e2(e1te2)(0，則t 不合題意，舍去 當t 時，2te17e2與向量e1te2的夾角為， 即這兩個向量方向相反,(2)因為e4，e1，e1e221 cos 601， 所以(2te17e2)(e1te2)2te(2t27)e1e27te2t215t7. 因為這兩個向量夾角為鈍角，設(shè)夾角為， 則有 cos 所以有(2te17e2)(e1te2)0，且2te17e2與向量e1te2不反向,當2t215t70時，解得7t 又由(1)知t 時，這兩個向量的夾角為， t的取值范圍是,