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2019-2020年高考數(shù)學考試萬能工具包 第二篇 考前必看解題技巧 專題2.2 套用18個解題模板 模板一　求函數(shù)值 　例1　已知函數(shù)f(x)的定義域為R.當x<0時，f(x)＝x3－1；當－1≤x≤1時，f(－x)＝－f(x)；當時， ，則f(6)等于(　　) A. －2 B. －1 C. 0 D. 2 【答案】D ▲模板構建　已知函數(shù)解析式求函數(shù)值,常伴隨對函數(shù)的單調性、奇偶性、周期性和對稱性的考查,其解題思路如下: 【變式訓練】【xx山西省太原市實驗中學模擬】奇函數(shù)f(x)的定義域為R，若f(x＋1)為偶函數(shù)，且f(1)＝2，則f(8)＋f(5)的值為(　　) A. 2 B. 1 C. －1 D. －2 模板二　函數(shù)的圖象 　例2　【xx江西省K12聯(lián)盟質量檢測】函數(shù)的圖象大致為（ ） A. B. C. D. 【答案】B 　▲模板構建　由原函數(shù)的圖象判斷導函數(shù)的圖象,關鍵是根據(jù)原函數(shù)的單調性與導函數(shù)值的正負的對應關系進行判斷,基本的解題要點如下: 　【變式訓練】【xx甘肅省張掖市質檢】函數(shù)的部分圖象大致是 （ ） A. B. C. D. 模板三　函數(shù)的零點問題 　例3　函數(shù)f(x)＝|x－2|－lnx在定義域內的零點可能落在的區(qū)間為(　　) A. (0,1) B. (2,3) C. (3,4) D. (4,5) ▲模板構建　利用零點存在性定理可以根據(jù)函數(shù)y=f(x)在某個區(qū)間端點處函數(shù)值的符號來確定零點所在區(qū)間.這種方法適用于不需要確定零點的具體值,只需確定其大致范圍的問題.基本的解題要點為: 【變式訓練】【xx南京市、鹽城市聯(lián)考】設函數(shù)是偶函數(shù)，當x≥0時， =，若函數(shù) 有四個不同的零點，則實數(shù)m的取值范圍是________． 模板四　三角函數(shù)的性質 　例4　【xx湖南師范大學附屬中學模擬】下列選項中為函數(shù)的一個對稱中心為（ ） A. B. C. D. 【答案】A ▲模板構建　在利用三角函數(shù)的性質求最值或值域時,要注意:(1)先確定函數(shù)的定義域;(2)將已知函數(shù)化簡為y=Asin(ωx+φ)+k的形式時,盡量化成A>0,ω>0的情況;(3)將ωx+φ視為一個整體.解題思路為: 【變式訓練】【xx遼寧省凌源市模擬】已知函數(shù)，當時，函數(shù)的最小值與最大值之和為__________． 模板五　三角函數(shù)的圖象變換 　例5　將函數(shù)的圖象上各點的橫坐標縮小為原來的，再向右平移φ(φ>0)個單位后得到的圖象關于直線對稱，則φ的最小值是(　　) A. B. C. D. 【答案】D ▲模板構建　三角函數(shù)圖象變換的主要類型:在x軸方向上的左、右平移變換,在y軸方向上的上、下平移變換,在x軸或y軸方向上的伸縮變換.其基本步驟如下: 【變式訓練】【xx湖南省長郡中學模擬】為了得到函數(shù)的圖象，只需把函數(shù)的圖象（ ） A. 向左平移個單位長度 B. 向右平移個單位長度 C. 向左平移個單位長度 D. 向右平移個單位長度 模板六　解三角形 　例6　【xx湖南省長沙市第一中學模擬】已知在中， 是邊上的點，且， ， ,則的值為 （ ） A. B. C. D. 【答案】A . ▲模板構建　利用正弦定理、余弦定理都可以進行三角形的邊、角之間的互化,當已知三角形的兩邊及一邊的對角,或已知兩角及一角的對邊時,可以利用正弦定理求解三角形中的有關量;如果已知三邊或兩邊及其夾角,則可利用余弦定理進行求解.其基本思路如下: 【變式訓練】 【xx河南省南陽市第一中學模擬】在中，內角所對的邊分別為. （1）求； （2）若的面積為，求的周長. 模板七　利用函數(shù)性質解不等式 　　例7　已知定義在上的偶函數(shù)在上遞減且，則不等式的解集為__________． 【答案】 ▲模板構建　函數(shù)性質法主要適用于解決抽象函數(shù)對應的不等式問題.其解題要點如下: 　【變式訓練】【xx吉林省實驗中模擬】設函數(shù)，則使得成立的的取值范圍是 A. B. C. D. 模板八　利用基本不等式求最值 　例8．設正實數(shù)x，y，z滿足x2－3xy＋4y2－z＝0，則當取得最大值時， 的最大值為________． 【答案】1 【解析】由x2－3xy＋4y2－z＝0， 得z＝x2－3xy＋4y2， ∴＝＝ ▲模板構建　拼湊法就是將函數(shù)解析式進行適當?shù)淖冃?通過添項、拆項等方法湊成和為定值或積為定值的形式,然后利用基本不等式求最值.應用此法求最值的基本思路如下: 【變式訓練】已知,且滿足,那么的最小值為____. 模板九　不等式恒成立問題 　　例9　【xx河南省中原名校聯(lián)考】已知函數(shù)，當時， 恒成立，則實數(shù)的取值范圍為（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】記函數(shù)在上的最小值為: 的定義域為. . 令，得或. ①時，對任意的,， 在上單調遞增， 的最小值為 ②當時， 的最小值為; 故實數(shù)的取值范圍為. 故選C. ▲模板構建　分離參數(shù)法是求解不等式恒成立問題的常用方法,其解題要點如下: 　【變式訓練】（Ⅰ）設不等式對滿足的一切實數(shù)的取值都成立，求的取值范圍； （Ⅱ）是否存在實數(shù),使得不等式對滿足的一切實數(shù)的取值都成立． 模板十　簡單的線性規(guī)劃問題 　例10　已知， 滿足約束條件則目標函數(shù)的最小值為__________． 【答案】 【解析】 ▲模板構建　線性規(guī)劃問題是指在線性約束條件下求解線性目標函數(shù)的最值問題,解決此類問題最基本的方法是數(shù)形結合法.其基本的解題步驟如下: 　【變式訓練】【xx遼寧省凌源市聯(lián)考】已知實數(shù)滿足則的最小值為__________． 模板十一　數(shù)列的通項與求和 　例11　【xx湖南省長沙市第一中學模擬】已知等差數(shù)列中， ，數(shù)列中， . （1）分別求數(shù)列的通項公式； （2）定義， 是的整數(shù)部分， 是的小數(shù)部分，且.記數(shù)列滿足，求數(shù)列的前項和. 兩式相減，得 故. ▲模板構建　數(shù)列的通項與求和問題的解題步驟如下: 　【變式訓練】【xx貴州省貴陽市第一中學模擬】已知的內角所對的邊分別是且， ；等差數(shù)列 的公差 . （Ⅰ）若角及數(shù)列的通項公式； （Ⅱ）若數(shù)列滿足 ，求數(shù)列的前項和. 模板十二　空間中的平行與垂直 　例12【xx南京市、鹽城市一模】如圖所示，在直三棱柱中， ，點分別是的中點. （1）求證： ∥平面； （2）若，求證： . 【解析】證明：（1）因為是直三棱柱，所以，且， 又點分別是的中點，所以，且． 則由側面底面，側面底面， ，且底面，得側面． 又側面，所以． 又， 平面，且， 所以平面． 又平面，所以． ▲模板構建　證明空間中的平行與垂直的步驟如下: 【變式訓練】如圖， 為圓柱的母線， 是底面圓的直徑， 是的中點. （Ⅰ）問： 上是否存在點使得平面？請說明理由； （Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，若平面，假設這個圓柱是一個大容器，有條體積可以忽略不計的小魚能在容器的任意地方游弋，如果小魚游到四棱錐外會有被捕的危險，求小魚被捕的概率. 模板十三　求空間角 　　例13　【xx吉林省實驗中學模擬】如圖， 為圓的直徑，點， 在圓上， ，矩形和圓所在的平面互相垂直，已知， ． （Ⅰ）求證：平面平面； （Ⅱ）當?shù)拈L為何值時，二面角的大小為． （Ⅱ） 設中點為，以為坐標原點， 方向分別為軸、軸、軸方向建立空間直角坐標系（如圖）．設，則點的坐標為，則，又，∴， 因此，當?shù)拈L為時，平面與平面所成的銳二面角的大小為60。 ▲模板構建　空間角的求解可以用向量法.向量法是通過建立空間直角坐標系把空間圖形的幾何特征代數(shù)化,避免尋找角和垂線段等諸多麻煩,使空間點、線、面的位置關系的判定和計算程序化、簡單化,具體步驟如下: 【變式訓練】 在四棱柱中，底面是正方形，且， ． （1）求證： ； （2）若動點在棱上，試確定點的位置，使得直線與平面所成角的正弦值為． 模板十四　直線與圓的位置關系 　　例14　【xx四川省綿陽市南山中學模擬】若圓上至少有三個不同的點到直線的距離為，則直線的斜率的取值范圍是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】圓可化為 則圓心為（-2，2），半徑為3，1+ 由直線l的斜率k=-則上式可化為k2+4k+1≤0解得 故選B ▲模板構建　幾何法是通過比較圓心到直線的距離與圓的半徑的大小來確定直線和圓的位置關系的方法,其基本步驟如下: 【變式訓練】【xx北京市豐臺區(qū)模擬】已知直線和圓交于兩點，則__________． 模板十五　圓錐曲線中的最值與范圍問題 　例15【xx遼寧省凌源模擬】知橢圓的離心率為，且過點.過橢圓右焦點且不與軸重合的直線與橢圓交于兩點，且. （1）求橢圓的方程； （2）若點與點關于軸對稱，且直線與軸交于點，求面積的最大值. 【解析】（I )依題意， 解得，故橢圓的方程為； （2）依題意，橢圓右焦點坐標為，設直線， 直線與橢圓方程聯(lián)立 化簡并整理得， ∴， 由題設知直線的方程為， 令得 ，∴點 (當且僅當即時等號成立) ∴的面積存在最大值，最大值為1. ▲模板構建　與圓錐曲線有關的最值問題的變化因素多,解題時需要在變化的過程中掌握運動規(guī)律,抓住主變元,目標函數(shù)法是避免此類問題出錯的法寶,應注意目標函數(shù)式中自變量的限制條件(如直線與橢圓相交,Δ>0等).解題步驟如下: 【變式訓練】(xx合肥市質檢)已知點F為橢圓E： (a>b>0)的左焦點，且兩焦點與短軸的一個頂點構成一個等邊三角形，直線與橢圓E有且僅有一個交點M. (1)求橢圓E的方程； (2)設直線與y軸交于P，過點P的直線l與橢圓E交于不同的兩點A，B，若λ|PM|2＝|PA||PB|，求實數(shù)λ的取值范圍． 模板十六　圓錐曲線中的探索性問題 　　例16　在直角坐標系xOy中,曲線C:y=與直線l:y=kx+a(a>0)交于M,N兩點. (1)當k=0時,分別求C在點M和N處的切線方程; (2)在y軸上是否存在點P,使得當k變動時,總有∠OPM=∠OPN?說明理由. 解析　(1)由題設可得M(2,a),N(-2,a)或M(-2,a),N(2,a). 因為y=x,所以y=在x=2處的導數(shù)值為, 所以曲線C在(2,a)處的切線方程為y-a=(x-2),即x-y-a=0. y=在x=-2處的導數(shù)值為-, 所以曲線C在(-2,a)處的切線方程為y-a=-(x+2),即x+y+a=0. 故所求切線方程為x-y-a=0和x+y+a=0. (2)假設存在符合題意的點P(0,b),(假設存在) 設M(x1,y1),N(x2,y2),直線PM,PN的斜率分別為k1,k2. 將y=kx+a代入曲線C的方程,整理得x2-4kx-4a=0,(聯(lián)立方程) 所以x1+x2=4k,x1x2=-4a, 所以k1+k2=+==. 當b=-a時,有k1+k2=0, 則直線PM的傾斜角與直線PN的傾斜角互補, 故∠OPM=∠OPN,所以存在點P(0,-a)符合題意.(得出結論) ▲模板構建　圓錐曲線中的探索性問題在高考中多以解答題的形式呈現(xiàn),常用假設存在法求解,其解題要點如下: 【變式訓練】【xx湖南師大附中模擬】已知拋物線C：y2＝2px(p>0)的焦點F與橢圓Γ： ＋y2＝1的一個焦點重合，點M(x0，2)在拋物線上，過焦點F的直線l交拋物線于A，B兩點． (Ⅰ)求拋物線C的方程以及|MF|的值； (Ⅱ)記拋物線C的準線與x軸交于點H，試問是否存在常數(shù)λ∈R，使得且|HA|2＋|HB|2＝都成立？若存在，求出實數(shù)λ的值； 若不存在，請說明理由． 模板十七　離散型隨機變量 　　例17　【xx遼寧省凌源市模擬】共享單車因綠色、環(huán)保、健康的出行方式，在國內得到迅速推廣.最近，某機構在某地區(qū)隨機采訪了10名男士和10名女士，結果男士、女士中分別有7人、6人表示“經常騎共享單車出行”，其他人表示“較少或不選擇騎共享單車出行”. （1）從這些男士和女士中各抽取一人，求至少有一人“經常騎共享單車出行”的概率； （2）從這些男士中抽取一人，女士中抽取兩人，記這三人中“經常騎共享單車出行”的人數(shù)為，求的分布列與數(shù)學期望. 故隨機變量的分布列為 的數(shù)學期望. ▲模板構建　公式法就是直接利用古典概型、互斥事件、對立事件、相互獨立事件以及獨立重復試驗、條件概率等的求解方法或計算公式求解離散型隨機變量的概率的方法.其基本步驟如下: 　【變式訓練】某城市隨機抽取一年（365天）內100天的空氣質量指數(shù)（Air Pollution Index）的監(jiān)測數(shù)據(jù)，結果統(tǒng)計如下： 大于300 空氣質量 優(yōu) 良 輕微污染 輕度污染 中度污染 中度重 污染 重度污染 天數(shù) 10 15 20 30 7 6 12 （Ⅰ）若本次抽取的樣本數(shù)據(jù)有30天是在供暖季，其中有7天為重度污染，完成下面列聯(lián)表，并判斷能否有的把握認為該市本年空氣重度污染與供暖有關？ 非重度污染 重度污染 合計 供暖季 非供暖季 合計 100 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 附： （Ⅱ）政府要治理污染，決定對某些企業(yè)生產進行管控，當在區(qū)間時企業(yè)正常生產；當在區(qū)間時對企業(yè)限產（即關閉的產能），當在區(qū)間時對企業(yè)限產，當在300以上時對企業(yè)限產，企業(yè)甲是被管控的企業(yè)之一，若企業(yè)甲正常生產一天可得利潤2萬元，若以頻率當概率，不考慮其他因素： ①在這一年中隨意抽取5天，求5天中企業(yè)被限產達到或超過的恰為2天的概率； ②求企業(yè)甲這一年因限產減少的利潤的期望值． 模板十八　線性回歸方程 　例18　某種設備的使用年限x和維修費用y(萬元),有以下的統(tǒng)計數(shù)據(jù): x/年 3 4 5 6 y/萬元 2.5 3 4 4.5 　　(1)畫出上表中數(shù)據(jù)的散點圖; (2)請根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù),求出y關于x的線性回歸方程y=x+. 解析　(1)由題意知使用年限x和維修費用y的樣本數(shù)據(jù)所對應的坐標分別為(3,2.5),(4,3),(5,4),(6,4.5).(構建坐標) 在平面直角坐標系中畫出散點圖如圖所示.(畫圖) (2)xiyi=32.5+43+54+64.5=66.5, =32+42+52+62=86, =(3+4+5+6)=4.5, =(2.5+3+4+4.5)=3.5,(計算) 所以====0.7, =-=3.5-0.74.5=0.35,(代公式) 所以所求的線性回歸方程為y=0.7x+0.35.(得結果) ▲模板構建　線性回歸方程常用來預估某變量的值,因此選擇恰當?shù)臄M合函數(shù)是解題的關鍵,一般解題要點如下: (1)作圖.依據(jù)樣本數(shù)據(jù)畫出散點圖,確定兩個變量具有線性相關關系. (2)計算.計算出,,,xiyi的值;計算回歸系數(shù),. (3)求方程.寫出線性回歸直線方程y=x+. 　【變式訓練】【xx湖南省長沙市第一中學模擬】2017年4月1日，新華通訊社發(fā)布：國務院決定設立河北雄安新區(qū).消息一出，河北省雄縣、容城、安新3縣及周邊部分區(qū)域迅速成為海內外高度關注的焦點. （1）為了響應國家號召，北京市某高校立即在所屬的8個學院的教職員工中作了“是否愿意將學校整體搬遷至雄安新區(qū)”的問卷調查，8個學院的調查人數(shù)及統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下： 調查人數(shù)() 10 20 30 40 50 60 70 80 愿意整體搬遷人數(shù)() 8 17 25 31 39 47 55 66 請根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù)，用最小二乘法求出變量關于變量的線性回歸方程（保留小數(shù)點后兩位有效數(shù)字）；若該校共有教職員工2500人，請預測該校愿意將學校整體搬遷至雄安新區(qū)的人數(shù)； （2）若該校的8位院長中有5位院長愿意將學校整體搬遷至雄安新區(qū)，現(xiàn)該校擬在這8位院長中隨機選取4位院長組成考察團赴雄安新區(qū)進行實地考察，記為考察團中愿意將學校整體搬遷至雄安新區(qū)的院長人數(shù)，求的分布列及數(shù)學期望. 參考公式及數(shù)據(jù)： . 答案部分 模板一　求函數(shù)值 　【變式訓練】【答案】A f(8)= ，f(5)= ，所以f(8)＋f(5)=2 故選A 模板二　函數(shù)的圖象 　【變式訓練】【答案】D 【解析】為奇函數(shù)，圖象關于原點對稱，排除；當時，設，則，即在區(qū)間上遞增，且，又在區(qū)間上，排除B；當時， ，排除C，故選D. 模板三　函數(shù)的零點問題 【變式訓練】【答案】 【解析】作圖，由圖可得實數(shù)m的取值范圍是 模板四　三角函數(shù)的性質 　【變式訓練】【答案】 模板五　三角函數(shù)的圖象變換 　【變式訓練】【答案】C 【解析】 = 所以需把函數(shù)的圖象向左平移個單位長度得到函數(shù) 故選C 模板六　解三角形 　【變式訓練】 【解析】（1）由題意及正弦定理得 ， ， ， ， ， ∴． ∴， ∴， ， 又， 的周長為. 模板七　利用函數(shù)性質解不等式 　　　【變式訓練】【答案】A 【解析】為偶函數(shù)，且在 單調遞增，因為，所以 選A. 模板八　利用基本不等式求最值 　【變式訓練】【答案】 【解析】由，得 ∴=當且僅當且時等號成立． ∴的最小值為． 模板九　不等式恒成立問題 【變式訓練】【解析】（Ⅰ）不等式可化為， ∴滿足條件的的取值范圍為. （Ⅱ）令 ，使的一切實數(shù)都有. 當時， 在時， ，不滿足題意； 當時， 只需滿足下式 或或 解之得上述不等式組的解集均為空集， 故不存在滿足條件的的值. 模板十　簡單的線性規(guī)劃問題 　【變式訓練】【答案】 【解析】作出不等式組所對應的可行域，如圖所示： 當過點A時， 有最小值為. 故選： 模板十一　數(shù)列的通項與求和 相減得， 則. 模板十二　空間中的平行與垂直 　【變式訓練】【解析】 （Ⅰ）存在，E是的中點． 證明：如圖 由平面，且由（Ⅰ）知，∴平面，∴， 又是中點，∴，因是底面圓的直徑，得，且， ∴平面，即為四棱錐的高． 設圓柱高為，底面半徑為，則， ， ∴∶，即． 模板十三　求空間角 　【變式訓練】【解析】（1）連接， ， ， 因為， ， 所以和均為正三角形， 于是． 設與的交點為，連接，則， 又四邊形是正方形，所以， 而，所以平面． 所以、、兩兩垂直． 如圖，以點為坐標原點， 的方向為軸的正方向，建立空間直角坐標系， 則， ， ， ， ， ， ， ， 由，易求得． 設（）， 則，即， 所以． 模板十四　直線與圓的位置關系 　【變式訓練】【答案】2 【解析】圓，表示圓心為(1,0)，半徑為1的圓. 圓心（1，0）滿足直線，即該直線過圓心，所以. 答案為：2. 模板十五　圓錐曲線中的最值與范圍問題 　【變式訓練】【解析】 (1)由題意，得a＝2c，b＝c，則橢圓E為. ∵直線與y軸交于P(0,2)， ∴|PM|2＝， 當直線l與x軸垂直時， |PA||PB|＝(2＋)(2－)＝1， ∴λ|PM|2＝|PA||PB|?λ＝， 當直線l與x軸不垂直時，設直線l的方程為y＝kx＋2，A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由?(3＋4k2)x2＋16kx＋4＝0， 依題意得，x1x2＝，且Δ＝48(4k2－1)>0， ∴|PA||PB|＝(1＋k2)x1x2＝(1＋k2)＝1＋＝λ， ∴λ＝ (1＋)， ∵k2>，∴<λ<1. 綜上所述，λ的取值范圍是[，1)． 模板十六　圓錐曲線中的探索性問題 　　【變式訓練】【解析】(Ⅰ)依題意，橢圓Γ：＋y2＝1中，a2＝2，b2＝1，故c2＝a2－b2＝1，故F，故＝1，則2p＝4，故拋物線C的方程為y2＝4x，將M代入y2＝4x，解得x0＝1， 故＝1＋＝2. (Ⅱ)(法一)依題意，F(xiàn)，設l：x＝ty＋1，設A，B， 聯(lián)立方程，消去x，得y2－4ty－4＝0.∴　　① 且，又＝λ則＝λ，即y1＝－λy2，代入　① 模板十七　離散型隨機變量 　　　【變式訓練】【解析】 （Ⅰ）根據(jù)以上數(shù)據(jù)得到如下列聯(lián)表： 非重度污染 重度污染 合計 供暖季 23 7 30 非供暖季 65 5 70 合計 88 12 100 ， ②企業(yè)甲這一年的利潤的期望值為 萬元， 故企業(yè)甲這一年因限產減少的利潤的期望值是萬元． 模板十八　線性回歸方程 　　【變式訓練】【解析】 （1）由已知有 ， ,故變量 關于變量 的線性回歸方程為，所以當 時， . （2）由題意可知的可能取值有1，2,3,4. ， . 所以 的分布列為 1 2 3 4