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2019-2020年高考數學二模試卷 理（含解析） 一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的． 1．已知集合M=x={x|﹣3＜x＜1}，N={x|x≤3}，則集合{x|x≤﹣3或x≥1}=( ) A．M∩N B．M∪N C．?M（M∩N） D．?M（M∪N） 2．圓x2+y2=1與直線y=kx+2沒有公共點的充要條件是( ) A． B． C． D． 3．復數（﹣2﹣i）+的虛部是( ) A．i B． C．﹣i D．﹣ 4．設P為曲線C：y=x2﹣x+3上的點，且曲線C在點P處切線斜率的取值范圍為，則點P橫坐標的取值范圍為( ) A． B． C． D． 5．4張卡片上分別寫有數字1，2，3，4，從這4張卡片中隨機抽取2張，則取出的2張卡片上的數字之和為奇數的概率為( ) A． B． C． D． 6．已知O，A，B是平面上的三個點，直線AB上有一點C，滿足，則等于( ) A． B． C． D． 7．已知點P是拋物線y2=2x上的一個動點，則點P到點（0，2）的距離與P到該拋物線準線的距離之和的最小值為( ) A． B．3 C． D． 8．設f（x）是連續(xù)的偶函數，且當x＞0時f（x）是單調函數，則滿足的所有x之和為( ) A．﹣3 B．3 C．﹣8 D．8 二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，滿分20分．其中13～15題是選做題，考生只能選做兩題，三題全答的，只計算前兩題得分．注意：答案不完整不給分） 9．設離散型隨機變量ξ可能取的值為1，2，3，4；P（ξ=k）=αk（k=1，2，3，4），則α=__________． 10．函數f（x）=的圖象與x軸所圍成的封閉圖形的面積為__________． 11．已知函數f（x）=﹣x3+ax2+b（a，b∈R）圖象上任意一點處的切線的斜率都小于1，則實數a的取值范圍是__________． 12．已知f（x）=sin（ω＞0），f（）=f（），且f（x）在區(qū)間上有最小值，無最大值，則ω=__________． （坐標系與參數方程選做題） 13．點P（x，y）是橢圓2x2+3y2=12上的一個動點，則x+2y的最大值為__________． （不等式選講選做題） 14．在三角形ABC中，∠A，∠B，∠C所對的邊長分別為a，b，c，其外接圓的半徑R=1，則（4a2+9b2+c2）（++）的最小值為__________． （幾何證明選講選做題） 15． 如圖，AB，CD是⊙O的兩條弦，它們相交于P，連結AD，BD．已知AD=BD=4，PC=6，那么CD的長為__________． 三、解答題：本大題共6小題，共80分．解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟． 16．已知向量， （1）若．且． 求θ； （2）求函數的單調增區(qū)間和函數圖象的對稱軸方程． 17．某批發(fā)市場對某種商品的周銷售量（單位：噸）進行統(tǒng)計，最近100周的統(tǒng)計結果如下表所示： 周銷售量 2 3 4 頻數 20 50 30 （1）根據上面統(tǒng)計結果，求周銷售量分別為2噸，3噸和4噸的頻率； （2）已知每噸該商品的銷售利潤為2千元，ξ表示該種商品兩周銷售利潤的和（單位：千元），若以上述頻率作為概率，且各周的銷售量相互獨立，求ξ的分布列和數學期望． 18．如圖，四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，∠DAB=60，AB=AD=2CD，側面PA⊥底面ABCD，且△PAD為等腰直角三角形，∠APD=90，M為AP的中點． （Ⅰ）求證：AD⊥PB； （Ⅱ）求證：DM∥平面PCB； （Ⅲ）求二面角A﹣BC﹣P的正切值． 19．已知橢圓+y2=1的左焦點為F，O為坐標原點． （1）求過點O、F，并且與直線l：x=﹣2相切的圓的方程； （2）設過點F且不與坐標軸垂直的直線交橢圓于A、B兩點，線段AB的垂直平分線與x軸交于點G，求點G橫坐標的取值范圍． 20．在數列{an}，{bn}中，a1=2，b1=4，且an，bn，an+1成等差數列，bn，an+1，bn+1成等比數列（n∈N*）． （Ⅰ）求a2，a3，a4和b2，b3，b4，由此猜測{an}，{bn}的通項公式； （Ⅱ）證明你的結論； （Ⅲ）證明：++…+＜． 21．已知函數f（x）=mx3+nx2（m、n∈R，m≠0）的圖象在（2，f（2））處的切線與x軸平行． （1）求n，m的關系式并求f（x）的單調減區(qū)間； （2）證明：對任意實數0＜x1＜x2＜1，關于x的方程：在（x1，x2）恒有實數解 （3）結合（2）的結論，其實我們有拉格朗日中值定理：若函數f（x）是在閉區(qū)間上連續(xù)不斷的函數，且在區(qū)間（a，b）內導數都存在，則在（a，b）內至少存在一點x0，使得．如我們所學過的指、對數函數，正、余弦函數等都符合拉格朗日中值定理條件．試用拉格朗日中值定理證明： 當0＜a＜b時，（可不用證明函數的連續(xù)性和可導性）． 廣東省廣州市高山文化培訓學校xx高考數學二模試卷（理科） 一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的． 1．已知集合M=x={x|﹣3＜x＜1}，N={x|x≤3}，則集合{x|x≤﹣3或x≥1}=( ) A．M∩N B．M∪N C．?M（M∩N） D．?M（M∪N） 考點：交、并、補集的混合運算． 專題：集合． 分析：根據題意和交、并、補集的運算，分別求出M∩N、M∪N、?M（M∩N）、?M（M∪N），即可得答案． 解答： 解：因為集合M={x|﹣3＜x＜1}，N={x|x≤3}， 所以M∩N={x|﹣3＜x＜1}， M∪N={x|x≤3}， 則?M（M∩N）={x|x≤﹣3或x≥1}， ?M（M∪N）={x|x＞3}， 故選：C． 點評：本題考查交、并、補集的混合運算，屬于基礎題． 2．圓x2+y2=1與直線y=kx+2沒有公共點的充要條件是( ) A． B． C． D． 考點：直線與圓相交的性質． 分析：當圓心到直線的距離大于半徑時，直線與圓沒有公共點，這是充要條件． 解答： 解：依題圓x2+y2=1與直線y=kx+2沒有公共點 故選C． 點評：本小題主要考查直線和圓的位置關系；也可以用聯立方程組，△＜0來解；是基礎題． 3．復數（﹣2﹣i）+的虛部是( ) A．i B． C．﹣i D．﹣ 考點：復數代數形式的乘除運算． 專題：數系的擴充和復數． 分析：直接利用復數代數形式的乘除運算化簡得答案． 解答： 解：（﹣2﹣i）+=+ ==． ∴復數（﹣2﹣i）+的虛部是． 故選：B． 點評：本題考查了復數代數形式的乘除運算，考查了復數的基本概念，是基礎題． 4．設P為曲線C：y=x2﹣x+3上的點，且曲線C在點P處切線斜率的取值范圍為，則點P橫坐標的取值范圍為( ) A． B． C． D． 考點：利用導數研究曲線上某點切線方程． 專題：計算題；導數的概念及應用． 分析：由題意求導y′=2x﹣1，從而可得0≤2x﹣1≤1；從而解得． 解答： 解：由題意，y′=2x﹣1； 則由曲線C在點P處切線斜率的取值范圍為知， 0≤2x﹣1≤1； 故≤x≤1； 故點P橫坐標的取值范圍為． 故選D． 點評：本題考查了導數的求法及其幾何意義的應用，屬于基礎題． 5．4張卡片上分別寫有數字1，2，3，4，從這4張卡片中隨機抽取2張，則取出的2張卡片上的數字之和為奇數的概率為( ) A． B． C． D． 考點：古典概型及其概率計算公式． 專題：概率與統(tǒng)計． 分析：4張卡片上分別寫有數字1，2，3，4，從這4張卡片中隨機抽取2張，基本事件總數n==6，取出的2張卡片上的數字之和為奇數包含的基本事件個數m==4，由此能求出取出的2張卡片上的數字之和為奇數的概率． 解答： 解：4張卡片上分別寫有數字1，2，3，4，從這4張卡片中隨機抽取2張， 基本事件總數n==6， 取出的2張卡片上的數字之和為奇數包含的基本事件個數m==4， ∴取出的2張卡片上的數字之和為奇數的概率為=． 故選：C． 點評：本題考查概率的求法，是基礎題，解題時要認真審題，注意等可能事件的概率計算公式的合理運用． 6．已知O，A，B是平面上的三個點，直線AB上有一點C，滿足，則等于( ) A． B． C． D． 考點：向量加減混合運算及其幾何意義． 分析：本小題主要考查平面向量的基本定理，把一個向量用平面上的兩個不共線的向量來表示，這兩個不共線的向量作為一組基底參與向量的運算，注意題目給的等式的應用 解答： 解：∵依題 ∴ 故選A 點評：本題是向量之間的運算，運算過程簡單，但應用廣泛，向量具有代數特征和幾何特征，借助于向量可以實現某些代數問題與幾何問題的相互轉化． 7．已知點P是拋物線y2=2x上的一個動點，則點P到點（0，2）的距離與P到該拋物線準線的距離之和的最小值為( ) A． B．3 C． D． 考點：拋物線的簡單性質． 專題：計算題． 分析：先求出拋物線的焦點坐標，再由拋物線的定義可得d=|PF|+|PA|≥|AF|，再求出|AF|的值即可． 解答： 解：依題設P在拋物線準線的投影為P，拋物線的焦點為F，則， 依拋物線的定義知P到該拋物線準線的距離為|PP|=|PF|， 則點P到點A（0，2）的距離與P到該拋物線準線的距離之和 ． 故選A． 點評：本小題主要考查拋物線的定義解題． 8．設f（x）是連續(xù)的偶函數，且當x＞0時f（x）是單調函數，則滿足的所有x之和為( ) A．﹣3 B．3 C．﹣8 D．8 考點：偶函數． 專題：壓軸題． 分析：f（x）為偶函數?f（﹣x）=f（x），x＞0時f（x）是單調函數?f（x）不是周期函數．所以若f（a）=f（b）則a=b或a=﹣b 解答： 解：∵f（x）為偶函數，且當x＞0時f（x）是單調函數 ∴若時，必有或， 整理得x2+3x﹣3=0或x2+5x+3=0， 所以x1+x2=﹣3或x3+x4=﹣5． ∴滿足的所有x之和為﹣3+（﹣5）=﹣8， 故選C． 點評：本題屬于函數性質的綜合應用，解決此類題型要注意： （1）變換自變量與函數值的關系：①奇偶性：f（﹣x）=f（x） ②增函數x1＜x2?f（x1）＜f（x2）；減函數x1＜x2?f（x1）＞f（x2）． （2）培養(yǎng)數形結合的思想方法． 二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，滿分20分．其中13～15題是選做題，考生只能選做兩題，三題全答的，只計算前兩題得分．注意：答案不完整不給分） 9．設離散型隨機變量ξ可能取的值為1，2，3，4；P（ξ=k）=αk（k=1，2，3，4），則α=． 考點：離散型隨機變量的期望與方差． 專題：概率與統(tǒng)計． 分析：由已知得α（1+2+3+4）=1，由此能求出α的值． 解答： 解：∵離散型隨機變量ξ可能取的值為1，2，3，4， P（ξ=k）=αk（k=1，2，3，4）， ∴α（1+2+3+4）=1， 解得α=． 故答案為： 點評：本題考查概率的求法，是基礎題，解題時要認真審題． 10．函數f（x）=的圖象與x軸所圍成的封閉圖形的面積為． 考點：二項式系數的性質；分段函數的應用． 專題：函數的性質及應用． 分析：分別在上、上求得函數f（x）與x軸所圍成的封閉圖形的面積，再把這兩個值相加，即得所求． 解答： 解：在上，函數f（x）=x+1與x軸所圍成的封閉圖形的面積為11=， 在上，函數f（x）=cosx與x軸所圍成的封閉圖形的面積為cosxdx=sinx=1， ∴函數f（x）=的圖象與x軸所圍成的封閉圖形的面積為+1=， 故答案為：． 點評：本題主要考查分段函數的應用，定積分的意義，求定積分，屬于基礎題． 11．已知函數f（x）=﹣x3+ax2+b（a，b∈R）圖象上任意一點處的切線的斜率都小于1，則實數a的取值范圍是． 考點：導數的幾何意義；導數的運算；直線的斜率． 專題：計算題；轉化思想；綜合法． 分析：函數f（x）=﹣x3+ax2+b（a，b∈R）圖象上任意一點處的切線的斜率都小于1，可得出函數的導數的最大值小于1． 解答： 解：由題意f′（x）=﹣3x2+2ax， 當x=時，f′（x）取到最大值，是． ∴，解得． 故答案為：． 點評：本題考查導數的幾何意義，解題的關鍵是理解導數的幾何意義，能根據其幾何意義將題設中的條件任意一點處的切線的斜率都小于1轉化為導數的最大值小于1．正確的轉化基于對概念的正確理解與領會，學習時要注意領會揣摸概念的含義． 12．已知f（x）=sin（ω＞0），f（）=f（），且f（x）在區(qū)間上有最小值，無最大值，則ω=． 考點：由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式． 專題：計算題；作圖題；壓軸題． 分析：根據f（）=f（），且f（x）在區(qū)間上有最小值，無最大值，確定最小值時的x值，然后確定ω的表達式，進而推出ω的值． 解答： 解：如圖所示， ∵f（x）=sin， 且f（）=f（）， 又f（x）在區(qū)間內只有最小值、無最大值， ∴f（x）在處取得最小值． ∴ω+=2kπ﹣（k∈Z）． ∴ω=8k﹣（k∈Z）． ∵ω＞0， ∴當k=1時，ω=8﹣=； 當k=2時，ω=16﹣=，此時在區(qū)間內已存在最大值． 故ω=． 故答案為： 點評：本題考查由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式，考查邏輯思維能力，分析判斷能力，是基礎題． （坐標系與參數方程選做題） 13．點P（x，y）是橢圓2x2+3y2=12上的一個動點，則x+2y的最大值為． 考點：橢圓的簡單性質． 專題：計算題． 分析：先把橢圓2x2+3y2=12化為標準方程，得，由此得到這個橢圓的參數方程為：（θ為參數），再由三角函數知識求x+2y的最大值． 解答： 解：把橢圓2x2+3y2=12化為標準方程， 得， ∴這個橢圓的參數方程為：，（θ為參數） ∴x+2y=， ∴． 故答案為：． 點評：本題考查橢圓的參數方程和最大值的求法，解題時要認真審題，注意三角函數知識的靈活運用． （不等式選講選做題） 14．在三角形ABC中，∠A，∠B，∠C所對的邊長分別為a，b，c，其外接圓的半徑R=1，則（4a2+9b2+c2）（++）的最小值為144． 考點：余弦定理；正弦定理． 專題：解三角形． 分析：由正弦定理求出、、，代入式子化簡后，利用基本不等式求出式子的最小值． 解答： 解：因為外接圓的半徑R=1，所以===2， 則、、， 所以（4a2+9b2+c2）（++） =（4a2+9b2+c2）（++） =16++++36++++4 =56+（+）+（+）+（+） ≥56+2+2+2 =56+48+16+24=144，（當且僅當c=a=b時取等號）， 故所求的最小值是144， 故答案為：144． 點評：本題考查正弦定理，以及基本不等式的應用，注意等號成立的條件的驗證，屬于中檔題． （幾何證明選講選做題） 15． 如圖，AB，CD是⊙O的兩條弦，它們相交于P，連結AD，BD．已知AD=BD=4，PC=6，那么CD的長為8． 考點：與圓有關的比例線段． 專題：推理和證明；立體幾何． 分析：根據AD=BD=4，=，∠DAB=∠DBA，確定出∠DAB=∠ACD，∠CDA=∠ADP，判斷△APD∽△CAD，運用對應邊成比例即可判斷求解． 解答： 解： 連接AC，DP=x，CD=6+x ∵AD=BD=4， ∴=，∠DAB=∠DBA， ∴∠ACD=∠DAB， 即∠DAB=∠ACD， ∵∠CDA=∠ADP， ∴△APD∽△CAD， 對應邊成比例， ∴=， =， 化簡計算得出：x2+6x﹣16=0，求解得出：x=2，x=﹣8（舍去） ∴x+6=2+6=8， 故答案為：8 點評：本題考查了圓周角，弦長問題，判斷有關的角相等問題，得出相似三角形，屬于中檔題． 三、解答題：本大題共6小題，共80分．解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟． 16．已知向量， （1）若．且． 求θ； （2）求函數的單調增區(qū)間和函數圖象的對稱軸方程． 考點：正弦函數的對稱性；數量積判斷兩個平面向量的垂直關系；正弦函數的單調性． 專題：計算題． 分析：（1）利用兩個向量垂直的性質可得sinθ+cosθ=0，再根據θ的范圍，求得θ的值． （2）化簡函數的解析式為 y=，由 得求函數的單調增區(qū)間，由 求得對稱軸方程． 解答： 解（1），∴sinθ+cosθ=0． ∵． （2）= ==． 由得求函數的單調增區(qū)間是：． 由．得對稱軸方程是：． 點評：本題考查兩個向量的數量積公式的應用，兩個向量垂直的性質，同角三角函數的基本關系，正弦函數的單調性和對稱性． 化簡函數的解析式，是解題的關鍵． 17．某批發(fā)市場對某種商品的周銷售量（單位：噸）進行統(tǒng)計，最近100周的統(tǒng)計結果如下表所示： 周銷售量 2 3 4 頻數 20 50 30 （1）根據上面統(tǒng)計結果，求周銷售量分別為2噸，3噸和4噸的頻率； （2）已知每噸該商品的銷售利潤為2千元，ξ表示該種商品兩周銷售利潤的和（單位：千元），若以上述頻率作為概率，且各周的銷售量相互獨立，求ξ的分布列和數學期望． 考點：離散型隨機變量的期望與方差；頻率分布表． 專題：計算題． 分析：（1）因為樣本容量是100，根據表格可知周銷售量為2噸，3噸和4噸的頻數，根據所給的頻數除以100，得到要求的頻率． （2）ξ表示該種商品兩周銷售利潤的和，且各周的銷售量相互獨立，根據表格得到變量ξ的可能取值，對應變量的事件，根據相互獨立事件同時發(fā)生的概率做出分布列和期望． 解答： 解：（1）根據表格可知周銷售量為2噸，3噸和4噸的頻率分別為=0.2，=0.5和=0.3． （2） ξ的可能值為8，10，12，14，16，且 P（ξ=8）=0.22=0.04， P（ξ=10）=20.20.5=0.2， P（ξ=12）=0.52+20.20.3=0.37， P（ξ=14）=20.50.3=0.3， P（ξ=16）=0.32=0.09． ∴ξ的分布列為 ξ 8 10 12 14 16 P 0.04 0.2 0.37 0.3 0.09 ∴Eξ=80.04+100.2+120.37+140.3+160.09=12.4（千元） 點評：本小題主要考查頻率、概率、數學期望等基礎知識，考查運用概率知識解決實際問題的能力，考查相互獨立事件同時發(fā)生的概率，是一個綜合題目． 18．如圖，四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，∠DAB=60，AB=AD=2CD，側面PA⊥底面ABCD，且△PAD為等腰直角三角形，∠APD=90，M為AP的中點． （Ⅰ）求證：AD⊥PB； （Ⅱ）求證：DM∥平面PCB； （Ⅲ）求二面角A﹣BC﹣P的正切值． 考點：二面角的平面角及求法；直線與平面平行的判定． 專題：空間位置關系與距離；空間角． 分析：（Ⅰ）取AD的中點G，連結PG、GB、BD，由已知得PG⊥AD，△ABD是正三角形，BG⊥AD，從而AD⊥平面PGB，由此能證明AD⊥PB． （Ⅱ）取PB的中點F，聯結MF、CF，由已知得四邊形CDFM是平行四邊形，由此能證明DM∥平面PCB． （Ⅲ）取BC的中點E，聯結PE、GE，則∠PEC是二面角A﹣BC﹣P的平面角，由此能求出二面角A﹣BC﹣P的正切值． 解答： （Ⅰ）證明：取AD的中點G，連結PG、GB、BD． … ∵PA=PD，∴PG⊥AD．… ∵AB=AD，且∠DAB=60， ∴△ABD是正三角形，BG⊥AD．… ∴AD⊥平面PGB，∴AD⊥PB．… （Ⅱ）證明：取PB的中點F，聯結MF、CF， ∵M、F分別為PA、PB的中點， ∴MF∥AB，且MF=．… ∵四邊形ABCD是直角梯形，AB∥CD，且AB=2CD， ∴MF∥CD，且MF=CD．… ∴四邊形CDFM是平行四邊形，∴DM∥CF． … ∵CF?平面PCB，∴DM∥平面PCB． … （Ⅲ）解：取BC的中點E，聯結PE、GE， ∵四邊形ABCD是直角梯形，且AB∥CD， ∴GE∥AB，GE⊥BC，∴BC⊥平面PEC，∴BC⊥PE， ∴∠PEC是二面角A﹣BC﹣P的平面角．… 設DC=a，則AB=AD=2a， ∵G、E分別為AD、BC中點，∴GE=． ∵G是等腰直角三角形PAD斜邊的中點，∴PG=．… ∴tan∠PEG=，∴二面角A﹣BC﹣P的正切值為．… 點評：本題考查異面直線垂直的證明，考查直線與平面平行的證明，考查二面角的正切值的求法，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)． 19．已知橢圓+y2=1的左焦點為F，O為坐標原點． （1）求過點O、F，并且與直線l：x=﹣2相切的圓的方程； （2）設過點F且不與坐標軸垂直的直線交橢圓于A、B兩點，線段AB的垂直平分線與x軸交于點G，求點G橫坐標的取值范圍． 考點：直線與圓錐曲線的綜合問題；橢圓的簡單性質． 專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題． 分析：（1）由a2=2，b2=1，可得c=1，F（﹣1，0），由于圓過點O、F，可得圓心M在直線x=﹣上，設M，則圓半徑 r==，由|OM|=r，得=，解得t即可得出． （2）設直線AB的方程為y=k（x+1）（k≠0），代入橢圓方程可得（1+2k2）x2+4k2x+2k2﹣2=0，由于直線AB過橢圓的左焦點F，可得方程有兩個不等實根．設A（x1，y1），B（x2，y2），AB的中點N（x0，y0）．利用中點坐標公式、相互垂直的直線斜率之間的關系可得AB的垂直平分線NG的方程為，令y=0，得xG=﹣+，即可得出． 解答： 解：（1）∵a2=2，b2=1，∴c=1，F（﹣1，0）， ∵圓過點O、F，∴圓心M在直線x=﹣上， 設M，則圓半徑 r==， 由|OM|=r，得=，解得t=． ∴所求圓的方程為=． （2）設直線AB的方程為y=k（x+1）（k≠0）， 代入，整理得（1+2k2）x2+4k2x+2k2﹣2=0， ∵直線AB過橢圓的左焦點F，∴方程有兩個不等實根． 記A（x1，y1），B（x2，y2），AB的中點N（x0，y0）． ∴x1+x2=﹣， ∴AB的垂直平分線NG的方程為，=，y0=k（x0+1）=． 令y=0，得xG=x0+ky0=﹣+=﹣=﹣+， ∵k≠0，∴＜xG＜0． ∴點G橫坐標的取值范圍為． 點評：本題考查了橢圓與圓的標準方程及其性質、直線與橢圓相交問題轉化為方程聯立可得根與系數的關系、線段的垂直平分線，考查了推理能力與計算能力，屬于難題． 20．在數列{an}，{bn}中，a1=2，b1=4，且an，bn，an+1成等差數列，bn，an+1，bn+1成等比數列（n∈N*）． （Ⅰ）求a2，a3，a4和b2，b3，b4，由此猜測{an}，{bn}的通項公式； （Ⅱ）證明你的結論； （Ⅲ）證明：++…+＜． 考點：等比數列的通項公式；等差數列的通項公式；數列與不等式的綜合；數學歸納法． 專題：等差數列與等比數列． 分析：（Ⅰ）由an，bn，an+1成等差數列，bn，an+1，bn+1成等比數列得關系式2bn=an+an+1，an+12=bn?bn+1 把a1=2，b1=4循環(huán)代入上面兩個式子可求a2，a3，a4和b2，b3，b4，并由此猜測出{an}，{bn}的通項公式； （Ⅱ）利用數學歸納法加以證明； （Ⅲ）當n=1時直接驗證，當n大于等于2時放縮后利用裂項相消法證明． 解答： （Ⅰ）解：由已知得2bn=an+an+1，an+12=bn?bn+1． 又a1=2，b1=4， 由此可得a2=6，a3=12，a4=20，b2=9，b3=16，b4=25． 猜測an=n（n+1），bn=（n+1）2． （Ⅱ）用數學歸納法證明： ①當n=1時，由（Ⅰ）可得結論成立． ②假設當n=k時，結論成立，即ak=k（k+1），bk=（k+1）2． 那么當n=k+1時，ak+1=2bk﹣ak=2（k+1）2﹣k（k+1）=（k+1）（k+2）， bk+1==（k+2）2． 所以當n=k+1時，結論也成立． 由①②可知an=n（n+1），bn=（n+1）2對一切正整數都成立． （Ⅲ）證明：=＜． n≥2時，由（Ⅰ）知an+bn=（n+1）（2n+1）＞2（n+1）n． 故++…+＜+ =+（﹣+﹣+…+﹣） =+（﹣）＜+=． 綜上，原不等式成立． 點評：本題考查了等差數列和等比數列的通項公式，是數列與不等式的綜合題，考查了數學歸納法，訓練了放縮法及列項相消法證明不等式，是中檔題． 21．已知函數f（x）=mx3+nx2（m、n∈R，m≠0）的圖象在（2，f（2））處的切線與x軸平行． （1）求n，m的關系式并求f（x）的單調減區(qū)間； （2）證明：對任意實數0＜x1＜x2＜1，關于x的方程：在（x1，x2）恒有實數解 （3）結合（2）的結論，其實我們有拉格朗日中值定理：若函數f（x）是在閉區(qū)間上連續(xù)不斷的函數，且在區(qū)間（a，b）內導數都存在，則在（a，b）內至少存在一點x0，使得．如我們所學過的指、對數函數，正、余弦函數等都符合拉格朗日中值定理條件．試用拉格朗日中值定理證明： 當0＜a＜b時，（可不用證明函數的連續(xù)性和可導性）． 考點：利用導數研究曲線上某點切線方程；導數的運算． 專題：新定義． 分析：（1）先對函數f（x）進行求導，又根據f（2）=0可得到關于m的代數式．再將m的代數式n代入函數f（x）中消去n，可得f（x）=3mx2﹣6mx，當f（x）＞0時x的取值區(qū)間為所求． （2）由于=m（x12+x22+x1x2﹣3x1﹣3x2）從而，可化為3x2﹣6x﹣x12﹣x22﹣x1x2+3x1+3x2=0，令h（x）=3x2﹣6x﹣x12﹣x22﹣x1x2+3x1+3x2，計算則h（x1）h（x2）＜0，根據零點存在定理得h（x）=0在區(qū)間（x1，x2）內必有解，從而得到證明； （3）令g（x）=lnx，x∈（a，b），則g（x）符合拉格朗日中值定理的條件，即存在x0∈（a，b），使，由于函數g′（x）=的性質即可證得結果． 解答： 解：（1）因為f（x）=3mx2+2nx，﹣﹣﹣﹣﹣﹣ 由已知有f（2）=0，所以3m+n=0即n=﹣3m﹣﹣﹣﹣﹣﹣ 即f（x）=3mx2﹣6mx，由f（x）＞0知mx（x﹣2）＞0． 當m＞0時得x＜0或x＞2，f（x）的減區(qū)間為（0，2）；﹣﹣﹣﹣﹣ 當m＜0時得：0＜x＜2，f（x）的減區(qū)間為（﹣∞，0）和（2，+∞）；﹣﹣﹣﹣﹣ 綜上所述：當m＞0時，f（x）的減區(qū)間為（0，2）； 當m＜0時，f（x）的減區(qū)間為（﹣∞，0）和（2，+∞）；﹣﹣﹣﹣﹣ （2）∵=m（x12+x22+x1x2﹣3x1﹣3x2），﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ ∴， 可化為3x2﹣6x﹣x12﹣x22﹣x1x2+3x1+3x2=0，令h（x）=3x2﹣6x﹣x12﹣x22﹣x1x2+3x1+3x2﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ 則h（x1）=（x1﹣x2）（2x1+x2﹣3），h（x2）=（x2﹣x1）（x1+2x2﹣3）， 即h（x1）h（x2）=﹣（x1﹣x2）2（2x1+x2﹣3）（x1+2x2﹣3）又因為0＜x1＜x2＜1，所以（2x1+x2﹣3）＜0，（x1+2x2﹣3）＜0，即h（x1）h（x2）＜0，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ 故h（x）=0在區(qū)間（x1，x2）內必有解， 即關于x的方程在（x1，x2）恒有實數解﹣﹣﹣﹣﹣ （3）令g（x）=lnx，x∈（a，b），﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ 則g（x）符合拉格朗日中值定理的條件，即存在x0∈（a，b）， 使﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ 因為g′（x）=，由x∈（a，b），0＜a＜b可知g′（x）∈（），b﹣a＞0﹣﹣﹣﹣﹣ 即， ∴﹣﹣﹣﹣﹣ 點評：本小題主要考查導數的運算、利用導數研究曲線上某點切線方程、不等式的解法\拉格朗日中值定理等基礎知識，考查運算求解能力，考查化歸與轉化思想．屬于中檔題．