2019-2020年高考數(shù)學(xué) 專題44 古典概型與幾何概型的計(jì)算策略黃金解題模板【高考地位】古典概型與幾何概型是高考中的?？贾R點(diǎn)，對于古典概型，列舉法仍是求解其概率的主要方法，而與排列、組合問題相結(jié)合的概率問題仍是命題的熱點(diǎn)；對于幾何概型除掌握其定義外，其題型的重點(diǎn)主要體現(xiàn)在兩種常見的幾何度量長度、面積，難度不會太大，但題型可能較靈活，背景更新穎在高考中通常是以易題出現(xiàn)，主要以選擇題、填空題和解答題的形式考查，其試題難度屬中檔題.【方法點(diǎn)評】類型一 古典概型的計(jì)算策略使用情景：求古典概型的概率解題模板：第一步 判斷試驗(yàn)是否是等可能的，其基本事件的個數(shù)是否是有限個；第二步 分別計(jì)算事件A包含的基本事件的個數(shù)和基本事件的總數(shù)；第三步 運(yùn)用古典概型的計(jì)算公式計(jì)算即可得出結(jié)論.例1. 【xx天津耀華中學(xué)模擬】在6盒酸奶中，有2盒已經(jīng)過了保質(zhì)期，從中任取2盒，取到的酸奶中有已過保質(zhì)期的概率為（ ） A. B. C. D. 【答案】C【解析】所求概率為 ,選C.【變式演練1】端午節(jié)吃粽子是我國的傳統(tǒng)習(xí)俗，設(shè)一盤中裝有10個粽子，其中豆沙粽2個，肉粽3個，白粽5個，這三種粽子的外觀完全相同，從中任意選取3個，則三種粽子各取到1個的概率是（ ）A B C D【答案】C考點(diǎn)：列舉法計(jì)算基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率【變式演練2】【xx廣東興寧沐彬中學(xué)模擬】“微信搶紅包”自xx年以來異?；鸨?，在某個微信群某次進(jìn)行的搶紅包活動中，若所發(fā)紅包的總金額為8元，被隨機(jī)分配為1.72元，1.83元，2.28元，1.55元，0.62元，共5份，供甲、乙等5人搶，每人只能搶一次，則甲、乙二人搶到的金額之和不低于3.5元的概率是（）A. B. C. D. 【答案】B【解析】由題意可得總共情況有種，滿足條件的有（2.28，1.83）（2.28，1.72）（2.28，1.55）（1.83，1.72）可以交換順序，所以共8種，所以概率為，選B. 【變式演練3】【xx山東濟(jì)南外國語學(xué)校模擬】某工廠生產(chǎn)了一批顏色和外觀都一樣的跳舞機(jī)器人，從這批跳舞機(jī)器人中隨機(jī)抽取了8個，其中有2個是次品，現(xiàn)從8個跳舞機(jī)器人中隨機(jī)抽取2個分配給測驗(yàn)員，則測驗(yàn)員拿到次品的概率是（ ）A. B. C. D. 【答案】C 類型二 幾何概型的計(jì)算策略使用情景：求幾何概型的概率解題模板：第一步 判斷試驗(yàn)是否是等可能的，其基本事件的個數(shù)是否是無限個；第二步 分別計(jì)算事件A和基本事件所包含的區(qū)域長度、面積或體積等；第三步 運(yùn)用幾何概型的計(jì)算公式計(jì)算即可得出結(jié)論.例2在區(qū)間上隨機(jī)取一個數(shù),使得成立的概率為 【答案】【解析】試題分析：，所求概率測度為長度，即考點(diǎn)：幾何概型概率，絕對值不等式【方法點(diǎn)睛】(1)當(dāng)試驗(yàn)的結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域?yàn)殚L度、面積、體積等時(shí)，應(yīng)考慮使用幾何概型求解(2)利用幾何概型求概率時(shí)，關(guān)鍵是試驗(yàn)的全部結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域和事件發(fā)生的區(qū)域的尋找，有時(shí)需要設(shè)出變量，在坐標(biāo)系中表示所需要的區(qū)域（3）幾何概型有兩個特點(diǎn)：一是無限性，二是等可能性基本事件可以抽象為點(diǎn)，盡管這些點(diǎn)是無限的，但它們所占據(jù)的區(qū)域都是有限的，因此可用“比例解法”求解幾何概型的概率例3. 【xx甘肅蘭州第一中學(xué)模擬】九章算術(shù)是我國古代數(shù)學(xué)名著，也是古代東方數(shù)學(xué)的代表作，書中有如下問題：“今有勾八步，股一十五步，問勾中容圓，徑幾何？”其意思為：“已知直角三角形兩直角邊長分別為8步和15步，問其內(nèi)切圓的直徑為多少步？”現(xiàn)若向此三角形內(nèi)投豆子，則落在其內(nèi)切圓內(nèi)的概率是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【變式演練4】把長為的鐵絲隨機(jī)截成三段，則每段鐵絲長度都不小于的概率是（ ）A B C D【答案】.【解析】試題分析：設(shè)把長為的鐵絲隨機(jī)截成三段的長度分別為x,y,80-x-y，則由題意知：，所以包含事件每段鐵絲長度都不小于所表示的面積為，而基本事件所表示的平面區(qū)域的面積為，所以由古典概型的計(jì)算公式即可得出每段鐵絲長度都不小于的概率，故應(yīng)選.考點(diǎn)：幾何概型.【變式演練5】一只小蜜蜂在一個棱長為4的正方體內(nèi)自由飛行，若蜜蜂在飛行過程中始終保持與正方體6個表面的距離均大于1，稱其為“安全飛行”，則蜜蜂“安全飛行”的概率為（ ）A B C D【答案】D考點(diǎn)：幾何概型【變式演練6】【xx福建閩侯第四中學(xué)模擬】已知， 是上的兩個隨機(jī)數(shù)，則到點(diǎn)的距離大于其到直線x=-1的距離的概率為（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】， 是上的兩個隨機(jī)數(shù)，則可由平面直角坐標(biāo)系中點(diǎn)所確定的正方形表示所有滿足題意的點(diǎn)組成概率空間，考查如下軌跡方程問題： 到點(diǎn)的距離等于其到直線的距離，由拋物線的定義可得，軌跡方程為，則滿足題意的點(diǎn)位于如圖所示的陰影區(qū)域，對求解定積分可得其面積為： ，據(jù)此可得，滿足題意的概率值為.本題選擇A選項(xiàng). 點(diǎn)睛：數(shù)形結(jié)合為幾何概型問題的解決提供了簡捷直觀的解法用圖解題的關(guān)鍵：用圖形準(zhǔn)確表示出試驗(yàn)的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域，由題意將已知條件轉(zhuǎn)化為事件A滿足的不等式，在圖形中畫出事件A發(fā)生的區(qū)域，據(jù)此求解幾何概型即可. 【高考再現(xiàn)】1. 【xx高考新課標(biāo)1卷】某公司的班車在7:00,8:00,8:30發(fā)車,小明在7:50至8:30之間到達(dá)發(fā)車站乘坐班車,且到達(dá)發(fā)車站的時(shí)刻是隨機(jī)的,則他等車時(shí)間不超過10分鐘的概率是（ ）（A） （B） （C） （D）【答案】B考點(diǎn)：幾何概型【名師點(diǎn)睛】這是全國卷首次考查幾何概型,求解幾何概型問題的關(guān)鍵是確定“測度”,常見的測度由：長度、面積、體積等. 2. 【xx高考新課標(biāo)2理數(shù)】從區(qū)間隨機(jī)抽取個數(shù),，構(gòu)成n個數(shù)對，其中兩數(shù)的平方和小于1的數(shù)對共有個，則用隨機(jī)模擬的方法得到的圓周率的近似值為（A） （B） （C） （D）【答案】C【解析】試題分析：利用幾何概型，圓形的面積和正方形的面積比為，所以.選C.考點(diǎn)： 幾何概型.【名師點(diǎn)睛】求解與面積有關(guān)的幾何概型時(shí)，關(guān)鍵是弄清某事件對應(yīng)的面積，必要時(shí)可根據(jù)題意構(gòu)造兩個變量，把變量看成點(diǎn)的坐標(biāo)，找到全部試驗(yàn)結(jié)果構(gòu)成的平面圖形，以便求解3.【xx年高考北京理數(shù)】袋中裝有偶數(shù)個球，其中紅球、黑球各占一半.甲、乙、丙是三個空盒.每次從袋中任意取出兩個球，將其中一個球放入甲盒，如果這個球是紅球，就將另一個球放入乙盒，否則就放入丙盒.重復(fù)上述過程，直到袋中所有球都被放入盒中，則（）A.乙盒中黑球不多于丙盒中黑球 B.乙盒中紅球與丙盒中黑球一樣多 C.乙盒中紅球不多于丙盒中紅球 D.乙盒中黑球與丙盒中紅球一樣多【答案】C考點(diǎn)：概率統(tǒng)計(jì)分析.【名師點(diǎn)睛】本題將小球與概率知識結(jié)合，創(chuàng)新味十足，是能力立意的好題.如果所求事件對應(yīng)的基本事件有多種可能，那么一般我們通過逐一列舉計(jì)數(shù)，再求概率，此題即是如此.列舉的關(guān)鍵是要有序(有規(guī)律)，從而確保不重不漏.另外注意對立事件概率公式的應(yīng)用. 3. 【xx高考江蘇卷】將一顆質(zhì)地均勻的骰子（一種各個面上分別標(biāo)有1，2，3，4，5，6個點(diǎn)的正方體玩具）先后拋擲2次，則出現(xiàn)向上的點(diǎn)數(shù)之和小于10的概率是 .【答案】【解析】點(diǎn)數(shù)小于10的基本事件共有30種，所以所求概率為考點(diǎn)：古典概型概率 【名師點(diǎn)睛】概率問題的考查，側(cè)重于對古典概型和對立事件的概率考查，屬于簡單題.江蘇對古典概型概率考查，注重事件本身的理解，淡化計(jì)數(shù)方法.因此先明確所求事件本身的含義，然后一般利用枚舉法、樹形圖解決計(jì)數(shù)問題，而當(dāng)正面問題比較復(fù)雜時(shí)，往往采取計(jì)數(shù)其對立事件.4. 【xx高考山東理數(shù)】在上隨機(jī)地取一個數(shù)k，則事件“直線y=kx與圓相交”發(fā)生的概率為 . 【答案】 5.【xx高考新課標(biāo)1文數(shù)】為美化環(huán)境,從紅、黃、白、紫4種顏色的花中任選2種花種在一個花壇中,余下的2種花種在另一個花壇中,則紅色和紫色的花不在同一花壇的概率是（ ）A. B. C. D.【答案】A【解析】考點(diǎn)：古典概型【名師點(diǎn)睛】作為客觀題形式出現(xiàn)的古典概型試題,一般難度不大,解答常見錯誤是在用列舉法計(jì)數(shù)時(shí)出現(xiàn)重復(fù)或遺漏,避免此類錯誤發(fā)生的有效方法是按照一定的標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行列舉.6. 【xx江蘇，7】 記函數(shù)的定義域?yàn)?在區(qū)間上隨機(jī)取一個數(shù),則的概率是 .【答案】 【解析】由，即，得，根據(jù)幾何概型的概率計(jì)算公式得的概率是.【考點(diǎn)】幾何概型概率【名師點(diǎn)睛】(1)當(dāng)試驗(yàn)的結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域?yàn)殚L度、面積、體積等時(shí)，應(yīng)考慮使用幾何概型求解(2)利用幾何概型求概率時(shí)，關(guān)鍵是試驗(yàn)的全部結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域和事件發(fā)生的區(qū)域的尋找，有時(shí)需要設(shè)出變量，在坐標(biāo)系中表示所需要的區(qū)域（3）幾何概型有兩個特點(diǎn)：一是無限性，二是等可能性基本事件可以抽象為點(diǎn)，盡管這些點(diǎn)是無限的，但它們所占據(jù)的區(qū)域都是有限的，因此可用“比例解法”求解幾何概型的概率7. 【xx課標(biāo)II，文11】從分別寫有1,2,3,4,5的5張卡片中隨機(jī)抽取1張，放回后再隨機(jī)抽取1張，則抽得的第一張卡片上的數(shù)大于第二張卡片上的數(shù)的概率為A. B. C. D. 【答案】D【解析】如下表所示，表中的點(diǎn)橫坐標(biāo)表示第一次取到的數(shù)，縱坐標(biāo)表示第二次取到的數(shù) 總計(jì)有25種情況，滿足條件的有10種所以所求概率為【考點(diǎn)】古典概型概率【名師點(diǎn)睛】古典概型中基本事件數(shù)的探求方法(1)列舉法.(2)樹狀圖法：適合于較為復(fù)雜的問題中的基本事件的探求.對于基本事件有“有序”與“無序”區(qū)別的題目，常采用樹狀圖法.(3)列表法：適用于多元素基本事件的求解問題，通過列表把復(fù)雜的題目簡單化、抽象的題目具體化.9. 【xx山東，理8】從分別標(biāo)有，的張卡片中不放回地隨機(jī)抽取2次，每次抽取1張則抽到的2張卡片上的數(shù)奇偶性不同的概率是（A） （B） （C） （D）【答案】C 10. 【xx天津，文3】有5支彩筆（除顏色外無差別），顏色分別為紅、黃、藍(lán)、綠、紫.從這5支彩筆中任取2支不同顏色的彩筆，則取出的2支彩筆中含有紅色彩筆的概率為（A）（B）（C）（D）【答案】 【解析】試題分析：選取兩支彩筆的方法有種，含有紅色彩筆的選法為種，由古典概型公式，滿足題意的概率值為.本題選擇C選項(xiàng).【考點(diǎn)】古典概型【名師點(diǎn)睛】本題主要考查的是古典概型及其概率計(jì)算公式.，屬于基礎(chǔ)題解題時(shí)要準(zhǔn)確理解題意，先要判斷該概率模型是不是古典概型，利用排列組合有關(guān)知識，正確找出隨機(jī)事件A包含的基本事件的個數(shù)和試驗(yàn)中基本事件的總數(shù)代入公式.11. .【xx山東，文】16(本小題滿分12分)某旅游愛好者計(jì)劃從3個亞洲國家A1,A2,A3和3個歐洲國家B1,B2,B3中選擇2個國家去旅游.()若從這6個國家中任選2個,求這2個國家都是亞洲國家的概率；()若從亞洲國家和歐洲國家中各任選1個,求這2個國家包括A1但不包括B1的概率.【答案】()；() ,共個，所以所求事件的概率為；（2）從亞洲國家和歐洲國家中各任選一個，其一切可能的結(jié)果組成的基本事件有：共個，包含但不包括的事件所包含的基本事件有共個，所以所求事件的概率為.【考點(diǎn)】古典概型【名師點(diǎn)睛】(1)對于事件A的概率的計(jì)算,關(guān)鍵是要分清基本事件總數(shù)n與事件A包含的基本事件數(shù)m.因此必須解決以下三個方面的問題：第一,本試驗(yàn)是否是等可能的；第二,本試驗(yàn)的基本事件數(shù)有多少個；第三,事件A是什么,它包含的基本事件有多少個.(2)如果基本事件的個數(shù)比較少,可用列舉法把古典概型試驗(yàn)所含的基本事件一一列舉出來,然后再求出事件A中的基本事件數(shù),利用公式P(A)求出事件A的概率,這是一個形象直觀的好方法,但列舉時(shí)必須按照某一順序做到不重不漏.【反饋練習(xí)】1. 【xx黑龍江齊齊哈爾八中三?！咳鐖D，四邊形為正方形， 為線段的中點(diǎn)，四邊形與四邊形也為正方形，連接， ，則向多邊形中投擲一點(diǎn)，該點(diǎn)落在陰影部分內(nèi)的概率為（ ） A. B. C. D. 【答案】A 2【xx河南漯河中學(xué)三?！吭诓坏仁浇M表示的平面區(qū)域內(nèi)任取一個點(diǎn)，則 的概率為 （ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】所以概率為，故選C。3【湖南株洲兩校聯(lián)考】在不等式組所表示的平面區(qū)域內(nèi)隨機(jī)地取一點(diǎn)M，則點(diǎn)M恰好落在第二象限的概率為（ ）A. B. C. D. 【答案】C 點(diǎn)恰好落在第二象限平面區(qū)域?yàn)橐恢苯侨切?，其面積為點(diǎn)恰好落在第二象限的概率為故答案選4【xx江西宜春中學(xué)二?！课鍌€人圍坐在一張圓桌旁，每個人面前放著完全相同的硬幣，所有人同時(shí)翻轉(zhuǎn)自己的硬幣. 若硬幣正面朝上, 則這個人站起來; 若硬幣正面朝下, 則這個人繼續(xù)坐著. 那么, 沒有相鄰的兩個人站起來的概率為A. B. C. D. 【答案】C 5【xx河南名校聯(lián)考】現(xiàn)有2個正方體，3個三棱柱，4個球和1個圓臺，從中任取一個幾何體，則該幾何體是旋轉(zhuǎn)體的概率為（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】由題意知共有10個幾何體，其中旋轉(zhuǎn)體為球和圓臺，共5個，根據(jù)古典概型，從中任取一個幾何體，則該幾何體是旋轉(zhuǎn)體的概率.6【xx湖南五市十校教研教改共同體聯(lián)考】齊王與田忌賽馬，田忌的上等馬優(yōu)于齊王的中等馬，劣于齊王的上等馬，田忌的中等馬優(yōu)于齊王的下等馬，劣于齊王的中等馬， 田忌的下等馬劣于齊王的下等馬.現(xiàn)從雙方的馬匹中隨機(jī)選一匹進(jìn)行一場比賽，則田忌的馬獲勝的概率為（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】設(shè)齊王的三匹馬分別記為a1,a2,a3,田忌的三匹馬分別記為b1,b2,b3，齊王與田忌賽馬，其情況有：(a1, b1)、(a1, b2)、(a1, b3)、(a2, b1)、(a2, b2)、(a2, b3)、(a3, b1)、(a3, b2) 、(a3, b3)，共9種；其中田忌的馬獲勝的有(a2, b1)、(a3, b1)、(a3, b2)共3種,則田忌獲勝的概率為，故選：A.7【xx河北衡水第一中學(xué)模擬】2017年3月22日，習(xí)近平出訪俄羅斯，在俄羅斯掀起了中國文化熱在此期間，俄羅斯某電視臺記者， 在莫斯科大學(xué)隨機(jī)采訪了7名大學(xué)生，其中有3名同學(xué)會說漢語，從這7人中任意選取2人進(jìn)行深度采訪，則這2人都會說漢語的概率為( )A. B. C. D. 【答案】D 8【xx貴州貴陽第一中模擬】某市國際馬拉松邀請賽設(shè)置了全程馬拉松、半程馬拉松和迷你馬拉松三個比賽項(xiàng)目，4位長跑愛好者各自任選一個項(xiàng)目參加比賽，則這4人中三個項(xiàng)目都有人參加的概率為（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】，故選B.9. 【xx廣西三校聯(lián)考】老師計(jì)算在晚修19:00-20:00解答同學(xué)甲乙的問題，預(yù)計(jì)解答完一個學(xué)生的問題需要20分鐘.若甲乙兩人在晚修內(nèi)的任意時(shí)刻去問問題是相互獨(dú)立的，則兩人獨(dú)自去時(shí)不需要等待的概率（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】設(shè)19:00-20:00對應(yīng)時(shí)刻，甲乙的問問題的時(shí)刻為，則兩人獨(dú)自去時(shí)不需要等待滿足 概率為 ，選B.10. 【xx四川成都第七中學(xué)一診模擬】在區(qū)間內(nèi)隨機(jī)取一個數(shù)，則方程表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓的概率是（）A. B. C. D. 【答案】D【解析】若方程表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓，則，解得， ，故方程表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓的概率是，故選D.11. 【xx貴州黔東南州聯(lián)考】在中，角所對的邊分別是，若將一枚質(zhì)地均勻的骰子先后拋擲兩次，所得的點(diǎn)數(shù)分別為，則滿足條件的三角形恰有兩解的概率是_【答案】 12. 【xx上海復(fù)旦大學(xué)附屬中學(xué)模擬】從集合中任取兩個數(shù)，要使取到的一個數(shù)大于，另一個數(shù)小于（其中）的概率是，則_【答案】