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2019-2020年高考數學 專題44 古典概型與幾何概型的計算策略黃金解題模板 【高考地位】 古典概型與幾何概型是高考中的?？贾R點，對于古典概型，列舉法仍是求解其概率的主要方法，而與排列、組合問題相結合的概率問題仍是命題的熱點；對于幾何概型除掌握其定義外，其題型的重點主要體現在兩種常見的幾何度量——長度、面積，難度不會太大，但題型可能較靈活，背景更新穎．在高考中通常是以易題出現，主要以選擇題、填空題和解答題的形式考查，其試題難度屬中檔題. 【方法點評】 類型一 古典概型的計算策略 使用情景：求古典概型的概率 解題模板：第一步 判斷試驗是否是等可能的，其基本事件的個數是否是有限個； 第二步 分別計算事件A包含的基本事件的個數和基本事件的總數； 第三步 運用古典概型的計算公式計算即可得出結論. 例1. 【xx天津耀華中學模擬】在6盒酸奶中，有2盒已經過了保質期，從中任取2盒，取到的酸奶中有已過保質期的概率為（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】所求概率為 ,選C. 【變式演練1】端午節(jié)吃粽子是我國的傳統(tǒng)習俗，設一盤中裝有10個粽子，其中豆沙粽2個，肉粽3個，白粽5個，這三種粽子的外觀完全相同，從中任意選取3個，則三種粽子各取到1個的概率是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 考點：列舉法計算基本事件數及事件發(fā)生的概率． 【變式演練2】【xx廣東興寧沐彬中學模擬】“微信搶紅包”自xx年以來異?；鸨?，在某個微信群某次進行的搶紅包活動中，若所發(fā)紅包的總金額為8元，被隨機分配為1.72元，1.83元，2.28元，1.55元，0.62元，共5份，供甲、乙等5人搶，每人只能搶一次，則甲、乙二人搶到的金額之和不低于3.5元的概率是（） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】由題意可得總共情況有種，滿足條件的有（2.28，1.83）（2.28，1.72）（2.28，1.55）（1.83，1.72）可以交換順序，所以共8種，所以概率為，選B. 【變式演練3】【xx山東濟南外國語學校模擬】某工廠生產了一批顏色和外觀都一樣的跳舞機器人，從這批跳舞機器人中隨機抽取了8個，其中有2個是次品，現從8個跳舞機器人中隨機抽取2個分配給測驗員，則測驗員拿到次品的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 類型二 幾何概型的計算策略 使用情景：求幾何概型的概率 解題模板：第一步 判斷試驗是否是等可能的，其基本事件的個數是否是無限個； 第二步 分別計算事件A和基本事件所包含的區(qū)域長度、面積或體積等； 第三步 運用幾何概型的計算公式計算即可得出結論. 例2在區(qū)間上隨機取一個數,使得成立的概率為 ． 【答案】 【解析】 試題分析：，所求概率測度為長度，即 考點：幾何概型概率，絕對值不等式 【方法點睛】 (1)當試驗的結果構成的區(qū)域為長度、面積、體積等時，應考慮使用幾何概型求解． (2)利用幾何概型求概率時，關鍵是試驗的全部結果構成的區(qū)域和事件發(fā)生的區(qū)域的尋找，有時需要設出變量，在坐標系中表示所需要的區(qū)域． （3）幾何概型有兩個特點：一是無限性，二是等可能性．基本事件可以抽象為點，盡管這些點是無限的，但它們所占據的區(qū)域都是有限的，因此可用“比例解法”求解幾何概型的概率． 例3. 【xx甘肅蘭州第一中學模擬】《九章算術》是我國古代數學名著，也是古代東方數學的代表作，書中有如下問題：“今有勾八步，股一十五步，問勾中容圓，徑幾何？”其意思為：“已知直角三角形兩直角邊長分別為8步和15步，問其內切圓的直徑為多少步？”現若向此三角形內投豆子，則落在其內切圓內的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【變式演練4】把長為的鐵絲隨機截成三段，則每段鐵絲長度都不小于的概率是（ ） A． B． C． D． 【答案】. 【解析】 試題分析：設把長為的鐵絲隨機截成三段的長度分別為x,y,80-x-y，則由題意知：，所以包含事件每段鐵絲長度都不小于所表示的面積為，而基本事件所表示的平面區(qū)域的面積為，所以由古典概型的計算公式即可得出每段鐵絲長度都不小于的概率，故應選. 考點：幾何概型. 【變式演練5】一只小蜜蜂在一個棱長為4的正方體內自由飛行，若蜜蜂在飛行過程中始終保持與正方體6個表面的距離均大于1，稱其為“安全飛行”，則蜜蜂“安全飛行”的概率為（ ） A． B． C． D． 【答案】D 考點：幾何概型． 【變式演練6】【xx福建閩侯第四中學模擬】已知， 是上的兩個隨機數，則到點的距離大于其到直線x=-1的距離的概率為（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】， 是上的兩個隨機數，則可由平面直角坐標系中點所確定的正方形表示所有滿足題意的點組成概率空間， 考查如下軌跡方程問題： 到點的距離等于其到直線的距離， 由拋物線的定義可得，軌跡方程為， 則滿足題意的點位于如圖所示的陰影區(qū)域， 對求解定積分可得其面積為： ， 據此可得，滿足題意的概率值為. 本題選擇A選項. 點睛：數形結合為幾何概型問題的解決提供了簡捷直觀的解法．用圖解題的關鍵：用圖形準確表示出試驗的全部結果所構成的區(qū)域，由題意將已知條件轉化為事件A滿足的不等式，在圖形中畫出事件A發(fā)生的區(qū)域，據此求解幾何概型即可. 【高考再現】 1. 【xx高考新課標1卷】某公司的班車在7:00,8:00,8:30發(fā)車,小明在7:50至8:30之間到達發(fā)車站乘坐班車,且到達發(fā)車站的時刻是隨機的,則他等車時間不超過10分鐘的概率是（ ） （A） （B） （C） （D） 【答案】B 考點：幾何概型 【名師點睛】這是全國卷首次考查幾何概型,求解幾何概型問題的關鍵是確定“測度”,常見的測度由：長度、面積、體積等. 2. 【xx高考新課標2理數】從區(qū)間隨機抽取個數,，…，，，，…，，構成n個數對，，…，，其中兩數的平方和小于1的數對共有個，則用隨機模擬的方法得到的圓周率的近似值為 （A） （B） （C） （D） 【答案】C 【解析】 試題分析：利用幾何概型，圓形的面積和正方形的面積比為，所以.選C. 考點： 幾何概型. 【名師點睛】求解與面積有關的幾何概型時，關鍵是弄清某事件對應的面積，必要時可根據題意構造兩個變量，把變量看成點的坐標，找到全部試驗結果構成的平面圖形，以便求解． 3.【xx年高考北京理數】袋中裝有偶數個球，其中紅球、黑球各占一半.甲、乙、丙是三個空盒.每次從袋中任意取出兩個球，將其中一個球放入甲盒，如果這個球是紅球，就將另一個球放入乙盒，否則就放入丙盒.重復上述過程，直到袋中所有球都被放入盒中，則（） A.乙盒中黑球不多于丙盒中黑球 B.乙盒中紅球與丙盒中黑球一樣多 C.乙盒中紅球不多于丙盒中紅球 D.乙盒中黑球與丙盒中紅球一樣多 【答案】C 考點：概率統(tǒng)計分析. 【名師點睛】本題將小球與概率知識結合，創(chuàng)新味十足，是能力立意的好題.如果所求事件對應的基本事件有多種可能，那么一般我們通過逐一列舉計數，再求概率，此題即是如此.列舉的關鍵是要有序(有規(guī)律)，從而確保不重不漏.另外注意對立事件概率公式的應用. 3. 【xx高考江蘇卷】將一顆質地均勻的骰子（一種各個面上分別標有1，2，3，4，5，6個點的正方體玩具）先后拋擲2次，則出現向上的點數之和小于10的概率是 ▲ . 【答案】 【解析】點數小于10的基本事件共有30種，所以所求概率為 考點：古典概型概率 【名師點睛】概率問題的考查，側重于對古典概型和對立事件的概率考查，屬于簡單題.江蘇對古典概型概率考查，注重事件本身的理解，淡化計數方法.因此先明確所求事件本身的含義，然后一般利用枚舉法、樹形圖解決計數問題，而當正面問題比較復雜時，往往采取計數其對立事件. 4. 【xx高考山東理數】在上隨機地取一個數k，則事件“直線y=kx與圓相交”發(fā)生的概率為 . 【答案】 5.【xx高考新課標1文數】為美化環(huán)境,從紅、黃、白、紫4種顏色的花中任選2種花種在一個花壇中,余下的2種花種在另一個花壇中,則紅色和紫色的花不在同一花壇的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 考點：古典概型 【名師點睛】作為客觀題形式出現的古典概型試題,一般難度不大,解答常見錯誤是在用列舉法計數時出現重復或遺漏,避免此類錯誤發(fā)生的有效方法是按照一定的標準進行列舉. 6. 【xx江蘇，7】 記函數的定義域為.在區(qū)間上隨機取一個數,則的概率是 ▲ . 【答案】 【解析】由，即，得，根據幾何概型的概率計算公式得的概率是. 【考點】幾何概型概率 【名師點睛】(1)當試驗的結果構成的區(qū)域為長度、面積、體積等時，應考慮使用幾何概型求解． (2)利用幾何概型求概率時，關鍵是試驗的全部結果構成的區(qū)域和事件發(fā)生的區(qū)域的尋找，有時需要設出變量，在坐標系中表示所需要的區(qū)域． （3）幾何概型有兩個特點：一是無限性，二是等可能性．基本事件可以抽象為點，盡管這些點是無限的，但它們所占據的區(qū)域都是有限的，因此可用“比例解法”求解幾何概型的概率． 7. 【xx課標II，文11】從分別寫有1,2,3,4,5的5張卡片中隨機抽取1張，放回后再隨機抽取1張，則抽得的第一張卡片上的數大于第二張卡片上的數的概率為 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】如下表所示，表中的點橫坐標表示第一次取到的數，縱坐標表示第二次取到的數 總計有25種情況，滿足條件的有10種 所以所求概率為 【考點】古典概型概率 【名師點睛】古典概型中基本事件數的探求方法 (1)列舉法. (2)樹狀圖法：適合于較為復雜的問題中的基本事件的探求.對于基本事件有“有序”與“無序”區(qū)別的題目，常采用樹狀圖法. (3)列表法：適用于多元素基本事件的求解問題，通過列表把復雜的題目簡單化、抽象的題目具體化. 9. 【xx山東，理8】從分別標有，，，的張卡片中不放回地隨機抽取2次，每次抽取1張．則抽到的2張卡片上的數奇偶性不同的概率是 （A） （B） （C） （D） 【答案】C 10. 【xx天津，文3】有5支彩筆（除顏色外無差別），顏色分別為紅、黃、藍、綠、紫.從這5支彩筆中任取2支不同顏色的彩筆，則取出的2支彩筆中含有紅色彩筆的概率為 （A）（B）（C）（D） 【答案】 【解析】 試題分析：選取兩支彩筆的方法有種，含有紅色彩筆的選法為種，由古典概型公式，滿足題意的概率值為.本題選擇C選項. 【考點】古典概型 【名師點睛】本題主要考查的是古典概型及其概率計算公式.，屬于基礎題．解題時要準確理解題意，先要判斷該概率模型是不是古典概型，利用排列組合有關知識，正確找出隨機事件A包含的基本事件的個數和試驗中基本事件的總數代入公式. 11. .【xx山東，文】16(本小題滿分12分)某旅游愛好者計劃從3個亞洲國家A1,A2,A3和3個歐洲國家B1,B2,B3中選擇2個國家去旅游. (Ⅰ)若從這6個國家中任選2個,求這2個國家都是亞洲國家的概率； (Ⅱ)若從亞洲國家和歐洲國家中各任選1個,求這2個國家包括A1但不包括B1的概率. 【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ) ,共個，所以所求事件的概率為； （2）從亞洲國家和歐洲國家中各任選一個，其一切可能的結果組成的基本事件有： 共個， 包含但不包括的事件所包含的基本事件有共個， 所以所求事件的概率為. 【考點】古典概型 【名師點睛】(1)對于事件A的概率的計算,關鍵是要分清基本事件總數n與事件A包含的基本事件數m.因此必須解決以下三個方面的問題：第一,本試驗是否是等可能的；第二,本試驗的基本事件數有多少個；第三,事件A是什么,它包含的基本事件有多少個.(2)如果基本事件的個數比較少,可用列舉法把古典概型試驗所含的基本事件一一列舉出來,然后再求出事件A中的基本事件數,利用公式P(A)＝求出事件A的概率,這是一個形象直觀的好方法,但列舉時必須按照某一順序做到不重不漏. 【反饋練習】 1. 【xx黑龍江齊齊哈爾八中三?！咳鐖D，四邊形為正方形， 為線段的中點，四邊形與四邊形也為正方形，連接， ，則向多邊形中投擲一點，該點落在陰影部分內的概率為（ ） A. B. C. D. 【答案】A 2．【xx河南漯河中學三模】在不等式組表示的平面區(qū)域內任取一個點，則 的概率為 （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 所以概率為，故選C。 3．【湖南株洲兩校聯(lián)考】在不等式組所表示的平面區(qū)域內隨機地取一點M，則點M恰好落在第二象限的概率為（ ） A. B. C. D. 【答案】C 點恰好落在第二象限平面區(qū)域為一直角三角形，其面積為 點恰好落在第二象限的概率為 故答案選 4．【xx江西宜春中學二?！课鍌€人圍坐在一張圓桌旁，每個人面前放著完全相同的硬幣，所有人同時翻轉自己的硬幣. 若硬幣正面朝上, 則這個人站起來; 若硬幣正面朝下, 則這個人繼續(xù)坐著. 那么, 沒有相鄰的兩個人站起來的概率為 A. B. C. D. 【答案】C 5．【xx河南名校聯(lián)考】現有2個正方體，3個三棱柱，4個球和1個圓臺，從中任取一個幾何體，則該幾何體是旋轉體的概率為（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】由題意知共有10個幾何體，其中旋轉體為球和圓臺，共5個，根據古典概型，從中任取一個幾何體，則該幾何體是旋轉體的概率. 6．【xx湖南五市十校教研教改共同體聯(lián)考】齊王與田忌賽馬，田忌的上等馬優(yōu)于齊王的中等馬，劣于齊王的上等馬，田忌的中等馬優(yōu)于齊王的下等馬，劣于齊王的中等馬， 田忌的下等馬劣于齊王的下等馬.現從雙方的馬匹中隨機選一匹進行一場比賽，則田忌的馬獲勝的概率為（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】設齊王的三匹馬分別記為a1,a2,a3,田忌的三匹馬分別記為b1,b2,b3， 齊王與田忌賽馬，其情況有： (a1, b1)、(a1, b2)、(a1, b3)、(a2, b1)、(a2, b2)、(a2, b3)、(a3, b1)、(a3, b2) 、(a3, b3)， 共9種； 其中田忌的馬獲勝的有(a2, b1)、(a3, b1)、(a3, b2)共3種,則田忌獲勝的概率為， 故選：A. 7．【xx河北衡水第一中學模擬】2017年3月22日，習近平出訪俄羅斯，在俄羅斯掀起了中國文化熱．在此期間，俄羅斯某電視臺記者， 在莫斯科大學隨機采訪了7名大學生，其中有3名同學會說漢語，從這7人中任意選取2人進行深度采訪，則這2人都會說漢語的概率為( ) A. B. C. D. 【答案】D 8．【xx貴州貴陽第一中模擬】某市國際馬拉松邀請賽設置了全程馬拉松、半程馬拉松和迷你馬拉松三個比賽項目，4位長跑愛好者各自任選一個項目參加比賽，則這4人中三個項目都有人參加的概率為（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】，故選B. 9. 【xx廣西三校聯(lián)考】老師計算在晚修19:00-20:00解答同學甲乙的問題，預計解答完一個學生的問題需要20分鐘.若甲乙兩人在晚修內的任意時刻去問問題是相互獨立的，則兩人獨自去時不需要等待的概率（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】設19:00-20:00對應時刻，甲乙的問問題的時刻為，則 兩人獨自去時不需要等待滿足 概率為 ，選B. 10. 【xx四川成都第七中學一診模擬】在區(qū)間內隨機取一個數，則方程表示焦點在軸上的橢圓的概率是（） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】若方程表示焦點在軸上的橢圓，則，解得， ，故方程表示焦點在軸上的橢圓的概率是，故選D. 11. 【xx貴州黔東南州聯(lián)考】在中，角所對的邊分別是，若將一枚質地均勻的骰子先后拋擲兩次，所得的點數分別為，則滿足條件的三角形恰有兩解的概率是__________． 【答案】 12. 【xx上海復旦大學附屬中學模擬】從集合中任取兩個數，要使取到的一個數大于，另一個數小于（其中）的概率是，則________ 【答案】