2019-2020年高考數學 中等生百日捷進提升系列 專題13 算法初步、推理與證明、復數（含解析）程序框圖【背一背重點知識】1.算法的定義算法是指按照 一定規(guī)則解決某一類問題的明確和有限的步驟2.程序框圖(1)程序框圖又稱 流程圖 ，是一種用規(guī)定的程序、流程線及文字說明來準確、直觀地表示算法的圖形(2)程序框圖通常由程序框和流程線組成(3)基本的程序框有終端框(起止框) 、輸入、輸出框、處框(執(zhí)行框) 、判斷框 3. 三種基本邏輯結構順序結構：由若干個依次執(zhí)行的步驟組成的，這是任何一個算法都離不開的基本結構條件結構：算法的流程根據條件是否成立 有不同的流向，條件結構就是處這種過程的結構循環(huán)結構：從某處開始，按照一定的條件反復執(zhí)行某些步驟的情況，反復執(zhí)行的步驟稱為循環(huán)體 【講一講提高技能】1. 必備技能：(1)控制循環(huán)結構的是計數變量和累加變量的變化規(guī)律以及循環(huán)結束的條件在解答這類題目時首先要弄清楚這兩個變量的變化規(guī)律，其次要看清楚循環(huán)結束的條件，這個條件由輸出要求所決定，看清楚是滿足條件時結束還是不滿足條件時結束(2)條件結構的程序框圖中對判斷條件的分類是逐級進行的，其中沒有遺漏也沒有重復，在解題時對判斷條件要仔細辨別，看清楚條件和函數的對應關系，對條件中的數值不要漏掉也不要重復了端點值2. 典型例題：例1程序框圖如圖所示：如果輸入x5，則輸出結果為（ ）A325 B109 C973 D295【答案】A【解析】例2執(zhí)行如圖1所示的程序框圖，如果輸入的，則輸出的屬于（ ）A. B. C. D.分析：本題中條件分支結構實際上是求函數的值域.時，求二次函數的值域，時，求一次函數的值域.【解析】當時,運行程序如下,當時,則,故選D.【練一練提升能力】1.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的S值為（ ）A.1 B. C. D.【答案】C【解析】 2.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的值為（ ）A B C0 D【答案】A【解析】合情推與演繹推【背一背重點知識】1.合情推是根據已有的事實和正確的結論(包括定義、公、定等)，實驗和實踐的結果，以及個人的經驗和直覺等推測某些結果的推過程，歸納和類比是合情推常見的方法，在解決問題的過程中，合情推具有猜測和發(fā)現結論、探索和提供思路的作用，有利于創(chuàng)新意識的培養(yǎng)2. 演繹推是指如果推是從一般性的原出發(fā)，推出某個特殊情況下的結論，我們把這種推稱為演繹推演繹推的一般模式是“三段論”，包括：大前提；小前提；結論3. 證明方法(1)直接證明綜合法一般地，利用已知條件和某些數學定義、定、公等，經過一系列的推論證，最后推導出所要證明的結論成立，這種證明方法叫綜合法綜合法又叫順推法或由因導果法分析法一般地，從要證明的結論出發(fā)，逐步尋求使它成立的充分條件，直至最后，把要證明的結論歸結為判定一個明顯成立的條件(已知條件、定義、定、公等)，這種證明方法叫分析法分析法又叫逆推法或執(zhí)果索因法(2)間接證明反證法一般地，假設原命題不成立，經過正確的推，最后得出矛盾，因此說明假設錯誤，從而證明原命題成立，這種證明方法叫反證法(3)數學歸納法一般地，證明一個與正整數n有關的命題，可按下列步驟進行：(歸納奠基)證明當n取第一個值n0 (n0N*)時命題成立；(歸納遞推)假設nk (kn0，kN*)時命題成立，證明當nk1時命題也成立只要完成這兩個步驟，就可以斷定命題對從n0開始的所有正整數n都成立上述證明方法叫做數學歸納法【講一講提高技能】1.必備技能：A歸納推的一般步驟是：(1)通過觀察個別情況發(fā)現某些相同的性質；(2)從已知的相同性質中推出一個明確表達的一般性命題(猜想)B類比推是由特殊到特殊的推，其一般步驟是：(1)找出兩類事物之間的相似性或一致性；(2)用一類事物的性質去推測另一類事物的性質，得出一個明確的命題(猜想)類比是根據兩個不同的對象，在某些方面(如特征、屬性、關系等)的類同之處，猜測這兩個對象在其他方面也可能有類同之處，并作出某種判斷的推方法類比是科學研究最普遍的方法之一在數學中，類比是發(fā)現概念、方法、定和公式的重要手段，也是開拓新領域和創(chuàng)造新分支的重要手段類比在數學中應用廣泛數與式、平面與空間、一元與多元、低次與高次、相等與不等、有限與無限之間有不少結論，都是先用類比法猜想，而后加以證明的類比推的關鍵是找到合適的類比對象，如上例中的橢圓類比到雙曲線，常見的平面幾何中的一些定、公式、結論等，可以類比到立體幾何中，得到類似的結論一般平面中的一些元素與空間中的一些元素的類比如表所示：平面空間點線線面圓球三角形三棱錐角二面角面積體積周長表面積C.演繹推是由一般性的命題推出特殊性命題的一種推模式，是一種必然性推演繹推的前提與結論之間有蘊含關系，因而，只要前提是真實的，推的形式是正確的，那么結論必定是真實的，但是錯誤的前提可能導致錯誤的結論演繹推的主要形式，就是由大前提、小前提推出結論的三段論式推用集合論的觀點來講，就是：若集合M的所有元素都具有性質P，S是M的子集，那么S中所有元素都具有性質P.D合情推推出的結論不一定正確，有待進一步證明，演繹推在大前提、小前提和推形式都正確的前提下得到的結論一定正確2.典型例題：例1觀察下列等式: 照此規(guī)律, 第n個等式可為 . 分析：本題考查觀察和歸納推能力，觀察四個等式，找到其規(guī)律，各個式子左邊依次為項數增加1，各項符號正負相間，那么第個式子，左邊應該為，右邊符號也是正負相間，絕對值正好第個等式，就是前面?zhèn)€正整數之和，故應為注意結論表述的完整性【解析】觀察上式等號左邊的規(guī)律發(fā)現：左邊的項數依次加1，故第n個等式左邊有n項，每項所含的底數的絕對值也增加1，依次為指數都是，符號成正負交替出現可以用表示；等式的右邊數的絕對值是左邊項的底數的和，故等式的右邊可以表示為，所以第n個式子可為：例2觀察分析下表中的數據： 多面體 面數（） 頂點數（) 棱數（) 三棱錐 5 6 9 五棱錐 6 6 10 立方體 6 8 12猜想一般凸多面體中，所滿足的等式是_.分析：本題難度較大，關鍵是注意觀察的各個數據，并嘗試研究它們的運算關系，發(fā)現規(guī)律.【解析】 【練一練提升能力】1. 已知，由不等式我們可以得出推廣結論：，則（ ） A B C D【答案】D【解析】試題分析：由已知不等式可知，故，故選D2. 某種平面分形圖如下圖所示，一級分形圖是由一點出發(fā)的三條線段，長度均為1，兩兩夾角為；二級分形圖是在一級分形圖的每條線段的末端出發(fā)再生成兩條長度為原來的線段,且這兩條線段與原線段兩兩夾角為；依此規(guī)律得到級分形圖（1）4級分形圖中共有_條線段；（2）級分形圖中所有線段長度之和為_【答案】（1）45；（2）【解析】復數的概念、四則運算【背一背重點知識】1. 復數的有關概念(1)復數的概念形如的數叫復數，其中分別是它的實部和虛部若，則為實數，若，則為虛數，若，則為純虛數(2)復數相等：()(3)共軛復數：與共軛，（） (4)復數的模向量的模叫做復數的模，記作或，即.2.復數的幾何意義(1)復平面的概念：建立直角坐標系來表示復數的平面叫做復平面(2)實軸、虛軸：在復平面內，軸叫做實軸，軸叫做虛軸，實軸上的點都表示實數；除原點以外，虛軸上的點都表示純虛數(3)復數的幾何表示：復數復平面內的點平面向量 .3復數的運算(1)復數的加、減、乘、除運算法則(2)復數加法的運算定律復數的加法滿足交換律、結合律【講一講提高技能】1必備技能：（1）復數的概念對于復數abi(a，bR)，a叫做實部，b叫做虛部；當且僅當b0時，復數abi(a，bR)是實數a；當b0時，復數abi叫做虛數；當a0且b0時，復數abi叫做純虛數（2）復數的運算法則與實數運算法則相同，主要是除法法則的運用，另外復數中的幾個常用結論應記熟：(1)(1i)22i；(2) ；(3)i4n1；i4n1i；i4n21；i4n3i；i4ni4n1i4n2i4n30；(4)設，則01；2；31；120.2典型例題：例1已知是虛數單位，若，則的共軛復數的虛部為（ ）A B C D【答案】B【解析】試題分析：因為，所以，所以的共軛復數的虛部為例2設是虛數單位，表示復數的共軛復數. 若則（ ）A. B. C. D. 分析：復數的除法運算法則是分子分母同時乘以分母的共軛復數，把分母化為實數.【解析】由題意，故選C.【練一練提升能力】1. 復數 .【答案】【解析】 2. 復數（是虛數單位），則的虛部是（ ）A B C D【答案】B【解析】試題分析：，的虛部是，故選 B（一） 選擇題（12*5=60分）1.某程序框圖如圖所示，該程序運行后輸出的為A B-3 C D2【答案】D【解析】 2.觀察下列各式：則A28 B76 C123 D199【答案】C【解析】等式右面的數構成一個數列1,3,4,7,11，數列的前兩項相加后面的項，即，所以可推出，選C.3.如圖給出的是計算的值的一個程序框圖，則判斷框內應填入的條件是（ ）A B C D【答案】B【解析】 4我國古代數學名著九章算術中“開立圓術”曰：置積尺數，以十六乘之，九而一，所得開立方除之，即立圓徑. “開立圓術”相當于給出了已知球的體積，求其直徑的一個近似公式. 人們還用過一些類似的近似公式. 根據判斷，下列近似公式中最精確的一個是A. B C D【答案】D【解析】由，得，設選項中常數為，則；中代入得，中代入得，中代入得，中代入得，由于中值最接近的真實值，故選擇5已知實數，執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的不小于55的概率為（ ）A B C D【答案】B【解析】 6復數（是虛數單位），則的共軛復數為（ ）A B C D【答案】D【解析】試題分析：因為，所以，故選A7.設，是虛數單位，則“”是“復數為純虛數”的（ ）A.充分不必要條件 B. 必要不充分條件C. 充分必要條件 D. 既不充分也不必要條件【答案】B.【解析】或，而復數是純虛數，是純虛數，故選B.8. 設，則z的共軛復數為 （ ）A B C D【答案】D【解析】的共軛復數為，故選D9.已知為虛數單位，復數滿足，則（ ）A1 B-1 C D【答案】A【解析】 10.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入A B C D 【答案】A【解析】框圖運算的結果為：=，故選A11.若是關于的實系數方程的一個復數根，則（ ）A B C D【答案】B【解析】因為是實系數方程的一個復數根，所以也是方程的根，則，所以解得，選B. 12. 閱讀如下程序框圖，運行相應的程序，則程序運行后輸出的結果為（ ）A.7 B.9 C.10 D.11【答案】B【解析】（二） 填空題（4*5=20分）13.已知，觀察下列各式：類比得：，則_【答案】【解析】試題分析：，所以14.把正整數按一定的規(guī)則排成了如圖所示的三角形數表設是位于這個三角形數表中從上往下數第行、從左往右數第個數，如若，則 【答案】【解析】 15. 如圖所示的三角形數陣叫“牛頓調和三角形”，它們是由整數的倒數組成的，第n行有n個數且兩端的數均為，每個數是它下一行左右相鄰兩數的和，如 ，則（1）第6行第2個數（從左往右數）為_；（2）第n行第3個數（從左往右數）為_【答案】【解析】 16.分形是幾何學是美籍法國數學家伯努瓦曼德爾布羅（BenoitMandelbrot）在20世紀70年代創(chuàng)立的一門新學科，它的創(chuàng)立為解決傳統科學眾多領域的難題提供了全新的思路按照下圖1的分形規(guī)律可得到如圖2所示的一個樹形圖，則當時，第行空心圓點個數與第行及第行空心圓點個數的關系式為_；第12行的實心圓點的個數是_【答案】；89【解析】