積分（二重，三重積分，第一類曲線，曲面積分）的定義 和性質(zhì) CH 19 積分 ( 二重，三重積分，第一類曲線，曲面積分 ) 的定義和 性質(zhì) 1( 重積分的概念 n (1) 定義 : 二重積分表示一種類型和式的極限 ,limf(,,,),,，三重積分表 f(x,y)d,,iii,,,,0,1iD n f(x,y,z)dV 示 ,limf(,,,,,),v, 其值均取決于被積函數(shù)的對(duì)應(yīng)規(guī)則和積分 區(qū) ,iiii,,,,,0,1iD 域，而與積分變量的記號(hào)無(wú)關(guān)。連續(xù)是可積的充分條件，二者的不同點(diǎn)是: 二 重積分的被積函數(shù) 是定義在平面區(qū)域上的二元函數(shù)，而三重積分的被積函數(shù)是定義在空間區(qū)域上 的三元函數(shù)。 D, f(x,y),0z,f(x,y)(2) 幾何與物理意義 : 當(dāng)時(shí)，表示以曲面為曲頂，以為 Df(x,y)d,,,D ,,f(x,y)f(x,y,z),0 底的柱體體積，或表示以面積密度的平面薄片的質(zhì)量。 當(dāng)， D ,,f(x,y,z)f(x,y,z)dV 表示體密度的空間立體的質(zhì)量。 ,,,,D (3) 性質(zhì) : 重積分具有與定積分類似的線性性質(zhì)，對(duì)區(qū)域的可加性，積分不等式，以及積分中值定理。 2( 第一類曲線積分與第二類曲線積分的定義 (1) 由曲線形構(gòu)件的質(zhì)量問(wèn)題引入對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分，其定義簡(jiǎn)記為 n ,limf(,,,),S f(x,y)ds,iii,,,0,1il f(x,y)ll 其中函數(shù)在曲線上有定義切有界，是對(duì)的任意分割下的段的長(zhǎng)度， i,SS,0ii ,,max{,S} 。 i1,i,n (2) 由求變力沿曲線所作功等問(wèn)題，可引入對(duì)坐標(biāo)的曲線積分 ( 第二類曲線積分 ) 的概念，其定 義簡(jiǎn)記為 n ,limP(,,,),x P(x,y)dx,iii,,,0,1il n ,limQ(,,,),y Q(x,y)dy,iii,,,0,1il ,ll ，的意義同前，，為小弧段在坐標(biāo)軸上的投影，其正負(fù)與的方向有 關(guān)。 ,x,yii 3( 兩類曲面積分的定義 (1) 由計(jì)算曲面片的質(zhì)量問(wèn)題引入對(duì)面積的區(qū)面積分，其定義簡(jiǎn)記為 n f(x,y,z)dS ,limf(,,,,,),S ,iiii,,,,0,1i, f(x,y,z) 其中在曲面上有定義，是的任意分割下第塊的面積 ( ，)i,S,,S,0ii ,,max{,S 的直徑 } 。 i1,,in (2) 第二類曲面積分 P(x,y,z)dydz ， Q(x,y,z)dzdx ， R(x,y,z)dxdy,,, n ,lim[P(,S) ，Q(,S) ，R(,S)] ,iiyziizxiixy,,0i,1 其中，，表示小片曲面在三個(gè)坐標(biāo)面的投影，其正負(fù)與曲 (,S)(,S)(,S)iyzixyixz 面所取的側(cè)有關(guān)。 q22 例 1( 計(jì)算，由拋物線和直線所圍的區(qū)域。 Dx,(q,0)y,2pxxydxdy,,2D q 解 : 先求兩曲線的交點(diǎn)，則 (,),pq2 qq32pxpqq2222xdxydy,ydyxdx,ppq 原式 , 。 2,,,,y,,02pxpq212p 22222222V例 2( 計(jì)算，其中是由兩球的公共部分所 zdxdydzx ，y，z,R,x ， y， z,2Rz,,,V 組成。 2222,x ， y， z,R3R,222, 解:,x ， y,Rz, ,22242,2x ，y，z,Rz, R322RR,r592522,drdrzdz,,R 方法 1: 原式 , 22,,,00R,R,r480 方法 2: RR222原式 , ， zdzdxdyzdzdxdyR,,,,,,02,,zz RR592222252,,, ，,,,,z(2Rzz)dzz(Rz)dzRR,,04802 方法 3: ,,222cos,R,R,592424532dsincosdddsincosddR 原 式 , ,,,,,, ，,,,,,,,,,,,,,,,000004802