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2019-2020年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí) 三角問題的題型與方法教案 蘇教版 一．復(fù)習(xí)目標(biāo)： 1．熟練掌握三角變換的所有公式，理解每個(gè)公式的意義，應(yīng)用特點(diǎn)，常規(guī)使用方法等． 2．熟悉三角變換常用的方法——化弦法，降冪法，角的變換法等．并能應(yīng)用這些方法進(jìn)行三角函數(shù)式的求值、化簡(jiǎn)、證明． 3．掌握三角變換公式在三角形中應(yīng)用的特點(diǎn)，并能結(jié)合三角形的公式解決一些實(shí)際問題． 4．熟練掌握正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)、余切函數(shù)的性質(zhì)，并能用它研究復(fù)合函數(shù)的性質(zhì)． 5．熟練掌握正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)、余切函數(shù)圖象的形狀、 6．理解圖象平移變換、伸縮變換的意義，并會(huì)用這兩種變換研究函數(shù)圖象的變化． 二．考試要求： 1．理解任意角的概念、弧度的意義，能正確地進(jìn)行弧度與角度的換算。 2．掌握任意角的正弦、余弦、正切的定義，了解余切、正割、余割的定義，掌握同解三角函數(shù)的基本關(guān)系式，掌握正弦、余弦的誘導(dǎo)公式，理解周期函數(shù)與最小正周期的意義。 3．掌握兩角和與兩角差的正弦、余弦、正切公式，掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式。 4．能正確運(yùn)用三角公式，進(jìn)行簡(jiǎn)單三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)、求值和恒等式證明。 5．了解正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的圖象和性質(zhì)，會(huì)用“五點(diǎn)法”畫正弦函數(shù)、余弦函數(shù)和函數(shù)y=Asin(ωx+ψ)的簡(jiǎn)圖，理解A、ω、ψ的物理意義。 6．會(huì)由已知三角函數(shù)值求角，并會(huì)用符號(hào)arcsin x, arcos x,arctan x表示。 7．掌握正弦定理、余弦定理，并能初步運(yùn)用它們解斜三角形，能利用計(jì)算器解決解三角形的計(jì)算問題。 三．教學(xué)過程： （Ⅰ）基礎(chǔ)知識(shí)詳析 （一）三角變換公式的使用特點(diǎn) 1．同角三角函數(shù)關(guān)系式 (1)理解公式中“同角”的含義． (2)明確公式成立的條件。 例如，tanα+1=secα，當(dāng)且僅當(dāng)≠k (3)掌握公式的變形．特別需要指出的是 sinα=tanαcosα， cosα=cotαsinα．它使得“弦”可以用“切”來表示． (4)使用這組公式進(jìn)行變形時(shí)，經(jīng)常把“切”、“割”用“弦”表示，即化弦法，這是三角變換非常重要的方法． (5)幾個(gè)常用關(guān)系式 ①sinα+cosα，sinα-cosα，sinαcosα；(三式之間可以互相表示．) 同理可以由sinα-cosα或sinαcosα推出其余兩式． ②． ③當(dāng)時(shí)，有． 2．誘導(dǎo)公式 (1)誘導(dǎo)公式中的角是使公式成立的任意角． (2)正確使用誘導(dǎo)公式的關(guān)鍵是公式中符號(hào)的確定． (3)sin(kπ+α)=(-1)ksinα；cos(kπ+α)=(-1)kcosα(k∈Z)． ⑷熟記關(guān)系式；． 3．兩角和與差的三角函數(shù) (1)公式不但要會(huì)正用，還要會(huì)逆用． (2)公式的變形應(yīng)用要熟悉． 熟記：tanα+tanβ=tan(α+β)(1-tanαtanβ)，它體現(xiàn)了兩個(gè)角正切的和與積的關(guān)系． (3)角的變換要能靈活應(yīng)用，如α=(α+β)-β，β=α-(α-β)，2α=(α+β)+(α-β)等． 4．倍角公式，半角公式 (2)使用二倍角的正弦、余弦公式時(shí)，公式的選擇要準(zhǔn)確． 如已知sinα，cosα，tanα求cos2α?xí)r，應(yīng)分別選擇cos2α=1 (3)余弦的二倍角公式的變形——升冪公式、降冪公式必須熟練掌握．要明確，降冪法是三角變換中非常重要的變形方法． 對(duì)sin3α，cos3α的公式應(yīng)記?。? (4)使用正弦、余弦的半角公式時(shí)，要注意公式中符號(hào)的確定方法．正 在使用無理表達(dá)式時(shí)，須要確定符號(hào)；在使用兩個(gè)有理表達(dá)式時(shí)，無須確定符號(hào)，這是與選用無理表達(dá)式最大的區(qū)別，因此在化簡(jiǎn)、證明題中， 5．和差化積、積化和差公式，這兩組公式現(xiàn)在不要求記憶，但要會(huì)使用． (1)要明確，這兩組公式是解決正、余弦的加、減、乘的運(yùn)算關(guān)系式． (3)對(duì)下列關(guān)系式要熟記： 6．三角變換： 三角函數(shù)式的恒等變形或用三角式來代換代數(shù)式稱為三角變換． 三角恒等變形是以同角三角公式，誘導(dǎo)公式，和、差、倍、半角公式，和差化積和積化和差公式，萬能公式為基礎(chǔ)． 三角代換是以三角函數(shù)的值域?yàn)楦鶕?jù)，進(jìn)行恰如其分的代換，使代數(shù)式轉(zhuǎn)化為三角式，然后再使用上述諸公式進(jìn)行恒等變形，使問題得以解決． 7．三角形中的三角變換 三角形中的三角變換，除了應(yīng)用上述公式和上述變換方法外，還要注意三角形自身的特點(diǎn)． (1)角的變換 因?yàn)樵凇鰽BC中，A+B+C=π，所以 sin(A+B)=sinC；cos(A+B)=-cosC；tan(A+B)=-tanC． (2)三角形邊、角關(guān)系定理及面積公式，正弦定理，余弦定理． r為三角形內(nèi)切圓半徑，p為周長(zhǎng)之半． 在非直角△ABC中，tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC． (4)在△ABC中，熟記并會(huì)證明： ∠A，∠B，∠C成等差數(shù)列的充分必要條件是∠B=60． △ABC是正三角形的充分必要條件是∠A，∠B，∠C成等差數(shù)列且a，b，c成等比數(shù)列． 8．三角形的面積公式： （1）△＝aha＝bhb＝chc（ha、hb、hc分別表示a、b、c上的高）． （2）△＝absinC＝bcsinA＝acsinB． （3）△＝＝＝． （4）△＝2R2sinAsinBsinC． （R為外接圓半徑） （5）△＝． （6）△＝；． （7）△＝rs． 9．直角三角形中各元素間的關(guān)系： 如圖，在△ABC中，C＝90，AB＝c，AC＝b，BC＝a． （1）三邊之間的關(guān)系：a2＋b2＝c2．（勾股定理） （2）銳角之間的關(guān)系：A＋B＝90； （3）邊角之間的關(guān)系：（銳角三角函數(shù)定義） sinA＝cosB＝，cosA＝sinB＝， tgA＝ctgB＝，ctgA＝tgB＝． 10．斜三角形中各元素間的關(guān)系: 如圖6-29，在△ABC中，A、B、C為其內(nèi)角，a、b、c分別表示A、B、C的對(duì)邊． （1）三角形內(nèi)角和：A＋B＋C＝π． （2）正弦定理：在一個(gè)三角形中，各邊和它所對(duì)角的正弦的比相等. （R為外接圓半徑） （3）余弦定理：三角形任何一邊的平方等于其他兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍． a2＝b2＋c2－2bccosA， b2＝c2＋a2－2cacosB， c2＝a2＋b2－2abcosC． （4）射影定理：a＝bcosC＋ccosB， b＝acosC＋ccosA， c＝acosB＋ccosA． 11．解三角形：由三角形的六個(gè)元素（即三條邊和三個(gè)內(nèi)角）中的三個(gè)元素（其中至少有一個(gè)是邊）求其他未知元素的問題叫做解三角形．廣義地，這里所說的元素還可以包括三角形的高、中線、角平分線以及內(nèi)切圓半徑、外接圓半徑、面積等等．解三角形的問題一般可分為下面兩種情形：若給出的三角形是直角三角形，則稱為解直角三角形；若給出的三角形是斜三角形，則稱為解斜三角形． 解斜三角形的主要依據(jù)是： 設(shè)△ABC的三邊為a、b、c，對(duì)應(yīng)的三個(gè)角為A、B、C． （1）角與角關(guān)系：A+B+C = π， （2）邊與邊關(guān)系：a + b > c，b + c > a，c + a > b，a－b < c，b－c < a，c－a > b． （3）邊與角關(guān)系： 正弦定理 （R為外接圓半徑）． 余弦定理 c2 = a2+b2－2bccosC，b2 = a2+c2－2accosB，a2 = b2+c2－2bccosA． 它們的變形形式有：a = 2R sinA，，． （4）面積公式： ． 解斜三角形的常規(guī)思維方法是： （1）已知兩角和一邊（如A、B、C），由A+B+C = π求C，由正弦定理求a、b． （2）已知兩邊和夾角（如a、b、c），應(yīng)用余弦定理求c邊；再應(yīng)用正弦定理先求較短邊所對(duì)的角，然后利用A+B+C = π，求另一角． （3）已知兩邊和其中一邊的對(duì)角（如a、b、A），應(yīng)用正弦定理求B，由A+B+C = π求C，再由正弦定理或余弦定理求c邊，要注意解可能有多種情況． （4）已知三邊a、b、c，應(yīng)余弦定理求A、B，再由A+B+C = π，求角C． （二）三角函數(shù)性質(zhì)的分析 1．三角函數(shù)的定義域 這兩種表示法都需要掌握．即角x不能取終邊在y軸上的角． 函數(shù)y=cotx的定義域是x≠π或(kπ，kπ+π)(k∈Z)，這兩種表示法都需要掌握．即角x不能取終邊在x軸上的角． (2)函數(shù)y=secx、y=cscx的定義域分別與y=tanx、y=cotx相同． 2．三角函數(shù)的值域 (1)由|sinx|≤1、|cosx|≤1得函數(shù)y=cscx、y=secx的值域是|cscx|≥1、|secx|≥1． (2)復(fù)合三角函數(shù)的值域問題較復(fù)雜，除了代數(shù)求值域的方法都可以適用外，還要注意三角函數(shù)本身的特點(diǎn)，特別是經(jīng)常需要先進(jìn)行三角變換再求值域． 常用的一些函數(shù)的值域要熟記． ③y=tanx+cotx∈(-∞，-2]∪[2，+∞)． 3．三角函數(shù)的周期性 (1)對(duì)周期函數(shù)的定義，要抓住兩個(gè)要點(diǎn)： ①周期性是函數(shù)的整體性質(zhì)，因此f(x+T)=f(x)必須對(duì)定義域中任一個(gè)x成立時(shí)，非零常數(shù)T才是f(x)的周期． ②周期是使函數(shù)值重復(fù)出現(xiàn)的自變量x的增加值． 因?yàn)閟in(2kπ+x)=sinx對(duì)定義域中任一個(gè)x成立，所以2kπ(k∈Z，k≠0)是y=sinx的周期，最小正周期是2π． 同理2kπ(k∈Z，k≠0)是y=cosx的周期，最小正周期是2π． 因?yàn)閠an(kπ+x)=tanx對(duì)定義域中任一個(gè)x成立，所以kπ(k∈Z，k≠0)是y=tanx的周期，最小正周期是π． 同理kπ(k∈Z，k≠0)是y=cotx的周期，最小正周期是π． (3)三角函數(shù)的周期性在三角函數(shù)性質(zhì)中的作用 ①函數(shù)的遞增或遞減區(qū)間周期性的出現(xiàn)，每一個(gè)三角函數(shù)，都有無數(shù)個(gè)遞增或遞減區(qū)間，這些遞增區(qū)間互不連接，遞減區(qū)間也互不連接． ②函數(shù)的最大、最小值點(diǎn)或使函數(shù)無意義的點(diǎn)周期性變化． ③因?yàn)槿呛瘮?shù)是周期函數(shù)，所以畫三角函數(shù)圖象時(shí)，只須畫一個(gè)周期的圖象即可． 4．三角函數(shù)的奇偶性，單調(diào)性 研究函數(shù)的單調(diào)性，關(guān)鍵是求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間． 5．三角函數(shù)的圖象 (1)畫三角函數(shù)的圖象應(yīng)先求函數(shù)的周期，然后用五點(diǎn)法畫出函數(shù)一個(gè)周期的圖象． (2)函數(shù)y=sinx，y=cosx，y=tanx，y=cotx　 圖象的對(duì)稱中心分別為 ∈Z)的直線． （三）思想方法 1.三角函數(shù)恒等變形的基本策略。 （1）常值代換：特別是用“1”的代換，如1=cos2θ+sin2θ=tanxcotx=tan45等。 （2）項(xiàng)的分拆與角的配湊。如分拆項(xiàng)：sin2x+2cos2x=(sin2x+cos2x)+cos2x=1+cos2x；配湊角：α=（α+β）－β，β=－等。 （3）降次與升次。即倍角公式降次與半角公式升次。 （4）化弦（切）法。將三角函數(shù)利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系化成弦（切）。 （5）引入輔助角。asinθ+bcosθ=sin(θ+)，這里輔助角所在象限由a、b的符號(hào)確定，角的值由tan=確定。 （6）萬能代換法。巧用萬能公式可將三角函數(shù)化成tan的有理式。 2.證明三角等式的思路和方法。 （1）思路：利用三角公式進(jìn)行化名，化角，改變運(yùn)算結(jié)構(gòu)，使等式兩邊化為同一形式。 （2）證明方法：綜合法、分析法、比較法、代換法、相消法、數(shù)學(xué)歸納法。 3.證明三角不等式的方法：比較法、配方法、反證法、分析法，利用函數(shù)的單調(diào)性，利用正、余弦函數(shù)的有界性，利用單位圓三角函數(shù)線及判別法等。 4.解答三角高考題的策略。 （1）發(fā)現(xiàn)差異：觀察角、函數(shù)運(yùn)算間的差異，即進(jìn)行所謂的“差異分析”。 （2）尋找聯(lián)系：運(yùn)用相關(guān)公式，找出差異之間的內(nèi)在聯(lián)系。 （3）合理轉(zhuǎn)化：選擇恰當(dāng)?shù)墓?，促使差異的轉(zhuǎn)化。 （四）注意事項(xiàng) 對(duì)于三角函數(shù)進(jìn)行恒等變形，是三角知識(shí)的綜合應(yīng)用，其題目類型多樣，變化似乎復(fù)雜，處理這類問題，注意以下幾個(gè)方面： 1．三角函數(shù)式化簡(jiǎn)的目標(biāo)：項(xiàng)數(shù)盡可能少，三角函數(shù)名稱盡可能少，角盡可能小和少，次數(shù)盡可能低，分母盡可能不含三角式，盡可能不帶根號(hào)，能求出值的求出值． 2．三角變換的一般思維與常用方法． 注意角的關(guān)系的研究，既注意到和、差、倍、半的相對(duì)性，如 ．也要注意題目中所給的各角之間的關(guān)系． 注意函數(shù)關(guān)系，盡量異名化同名、異角化同角，如切割化弦，互余互化，常數(shù)代換等． 熟悉常數(shù)“1”的各種三角代換： 等． 注意萬能公式的利弊：它可將各三角函數(shù)都化為的代數(shù)式，把三角式轉(zhuǎn)化為代數(shù)式．但往往代數(shù)運(yùn)算比較繁． 熟悉公式的各種變形及公式的范圍，如 sin α = tan α cos α ，，等． 利用倍角公式或半角公式，可對(duì)三角式中某些項(xiàng)進(jìn)行升降冪處理，如，，等．從右到左為升冪，這種變形有利用根式的化簡(jiǎn)或通分、約分；從左到右是降冪，有利于加、減運(yùn)算或積和（差）互化． 3．幾個(gè)重要的三角變換： sin α cos α可湊倍角公式； 1cos α可用升次公式； 1sin α 可化為，再用升次公式； （其中 ）這一公式應(yīng)用廣泛，熟練掌握． 4. 單位圓中的三角函數(shù)線是三角函數(shù)值的幾何表示，四種三角函數(shù)y = sin x、y = cos x、y = tan x、y = cot x的圖象都是“平移”單位圓中的三角函數(shù)線得到的，因此應(yīng)熟練掌握三角函數(shù)線并能應(yīng)用它解決一些相關(guān)問題． 5. 三角函數(shù)的圖象的掌握體現(xiàn)在：把握?qǐng)D象的主要特征（頂點(diǎn)、零點(diǎn)、中心、對(duì)稱軸、單調(diào)性、漸近線等）；應(yīng)當(dāng)熟練掌握用“五點(diǎn)法”作圖的基本原理以及快速、準(zhǔn)確地作圖． 6.三角函數(shù)的奇偶性 “函數(shù)y = sin (x＋φ) （φ∈R）不可能是偶函數(shù)”．是否正確． 分析：當(dāng)時(shí)，，這個(gè)函數(shù)顯然是偶函數(shù)．因此，這個(gè)判斷是錯(cuò)誤的．我們?nèi)菀椎玫饺缦陆Y(jié)論： ① 函數(shù)y = sin (x＋φ)是奇函數(shù)． ② 函數(shù)y = sin (x＋φ)是偶函數(shù)． ③ 函數(shù)y =cos (x＋φ)是奇函數(shù)． ④ 函數(shù)y = cos (x＋φ)是偶函數(shù)． 7.三角函數(shù)的單調(diào)性 “正切函數(shù)f (x) = tan x，是定義域上的增函數(shù)”，是否正確． 分析：我們按照函數(shù)單調(diào)性的定義來檢驗(yàn)一下： 任取，，顯然x1＜x2，但f (x1 )＞0＞f (x2 )，與增函數(shù)的定義相違背，因此這種說法是不正確的． 觀察圖象可知：在每一個(gè)區(qū)間上，f (x ) = tan x都是增函數(shù)，但不能說f (x ) = tan x在其定義域上是增函數(shù)． （Ⅱ）范例分析 例1、已知，求（1）；（2）的值. 解：（1）； (2) . 說明：利用齊次式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)（如果不具備，通過構(gòu)造的辦法得到），進(jìn)行弦、切互化，就會(huì)使解題過程簡(jiǎn)化。 例2、已知函數(shù)f(x)=tan(sinx) （1）求f(x)的定義域和值域； （2）在（－π，π）中，求f(x)的單調(diào)區(qū)間； （3）判定方程f(x)=tanπ在區(qū)間（－π，π）上解的個(gè)數(shù)。 解：（1）∵－1≤sinx≤1 ∴ － ≤sinx≤。又函數(shù)y=tanx在x=kπ+(k∈Z)處無定義， 且 （－，）[－,]（－π, π）， ∴令sinx=，則sinx= 解之得：x=kπ (k∈Z) ∴f(x)的定義域是A={x|x∈R，且x≠kπ，k∈Z} ∵tanx在（－，）內(nèi)的值域?yàn)椋ǎ蓿?∞），而當(dāng)x∈A時(shí)，函數(shù)y=sinx的值域B滿足 （－，）B ∴f(x)的值域是（－∞，+∞）。 （2）由f(x)的定義域知，f(x)在[0，π]中的x=和x=處無定義。 設(shè)t=sinx，則當(dāng)x∈[0, )∪（，）∪（，π）時(shí)，t∈[0, ∪(,，且以t為自變量的函數(shù)y=tant在區(qū)間（0，），（，上分別單調(diào)遞增。 又∵當(dāng)x∈[0，]時(shí)，函數(shù)t=sinx單調(diào)遞增，且t∈[0, 當(dāng)x∈（，時(shí)，函數(shù)t=sinx單調(diào)遞增，且t∈（, 當(dāng)x∈[，時(shí)，函數(shù)t=sinx單調(diào)遞減，且t∈（, 當(dāng)x∈（，π）時(shí)，函數(shù)t=sinx單調(diào)遞減，且t∈（0，） ∴f(x)=tan(sinx)在區(qū)間[0，,（,上分別是單調(diào)遞增函數(shù)；在上是單調(diào)遞減函數(shù)。 又f(x)是奇函數(shù)，所以區(qū)間（－，0，[－，－也是f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是f(x)的遞減區(qū)間。 故在區(qū)間（－π，π）中,f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為：[－，－，（－，），（，單調(diào)遞減區(qū)間為。 （3）由f(x)=tanπ得： tan(sinx)=tan(π)sinx=kπ+π （k∈Z） sinx=k+(k∈Z)① 又∵－1≤sinx≤1，∴ ∴k=0或k= －1 當(dāng)k=0時(shí)，從①得方程sinx= 當(dāng)k=1時(shí)，從①得方程sinx= －+ 顯然方程sinx=,sinx= －+，在（－π, π）上各有2個(gè)解，故f(x)=tanπ在區(qū)間（－π，π）上共有4個(gè)解。 說明：本題是正弦函數(shù)與正切函數(shù)的復(fù)合。（1）求f(x)的定義域和值域，應(yīng)當(dāng)先搞清楚y=sinx的值域與y=tanx的定義域的交集；（2）求f(x)的單調(diào)區(qū)間，必須先搞清f(x)的基本性質(zhì)。如奇偶性、周期性、復(fù)合函數(shù)單調(diào)性等。 例3 、已知函數(shù)的定義域?yàn)?，值域?yàn)?[ －5，1 ]，求常數(shù)a、b的值． 解：∵ ， ． ∵ ，∴ ，∴ ． 當(dāng)a > 0時(shí)，b ≤ f ( x ) ≤ 3a + b， ∴ 解得 當(dāng)a < 0時(shí)，3a + b ≤ f ( x ) ≤ b ． ∴ 解得 故a、b的值為 或 說明：三角函數(shù)作為函數(shù)，其定義域和值域也是它的要素，要待定表達(dá)式中的常數(shù)值，需注意常數(shù)變化對(duì)值域的影響． 例4、設(shè)的周期，最大值， （1）求、、的值； （2）. 解：(1) ， ， ， 又 的最大值 ， ① ， 且 ②， 由 ①、②解出 a=2 , b=3. (2) ， ， ， ， 或 ， 即 ( 共線，故舍去) ， 或 ， . 說明：方程組的思想是解題時(shí)常用的基本思想方法；在解題時(shí)不要忘記三角函數(shù)的周期性。 例5、已知:sin3α+cos3α=1，求sinα+cosα; sin4α+cos4α;sin6α+cos6α的值。 解法一：令sinα+cosα=t，則sinαcosα= ∴sin3α+cos3α=(sinα+cosα)(sin2α－sinαcosα+cos2α) =t(1－)=1，得： t3－3t+2=0(t－1)2(t+2)=0 ∵t≠－2 ∴t=sinα+cosα=1，且sinαcosα==0。 ∴sin4α+cos4α=(sin2α+cos2α)2 – 2sin2αcos2α=1－20=1 sin6α+cos6α=(sin2α+cos2α)(sin4α－sin2αcos2α+cos4α)=1 解法二：∵sin3α≤sin2α,cos3α≤cos2α ∴sin3α+cos3α≤sin2α+cos2α=1 等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)成立， 或 ∴sinα+cosα=sin4α+cos4α=sin6α+cos6α=1 說明：（1）凡是遇到sinx+cosx與sinxcosx類的問題，均應(yīng)采用換元法，令sinx+cosx=t，得sinxcosx=。 （2）三角中的恒等變形與初中所學(xué)整式的恒等變形結(jié)合是解本題的關(guān)鍵所在。 （3）本題還可推廣到一般情形：若k≥2且sin2k－1α+cos2k－1α=1，則sinα=1，cosα=0或sinα=0,cosα=1，若sin2kα+cos2kα=1，則sinα=1，cosα=0或sinα=0,cosα=1。 例6、設(shè)f(x)=tanx,x∈(0, ),若x1，x2∈(0,),且x1≠x2,證明： [ f(x1)+ f(x2)]>f() 證明:tanx1+ tanx2=+= = ∵x1,x2∈（0，），且x1≠x2 ∴2sin(x1+x2)>0,cosx1cosx2>0,0=2tan 另證：以上是采用化弦，放縮后利用公式tan=加以證明的，也可以利用正切的和差角公式加以證明。 左邊－右邊=[tanx1+tanx2]－tan = [tanx1－tan+tanx2－tan] =[tan(x1－)(1+tanx1tan)+tan(x2－)(1+tanx2tan)] =tan(1+tanx1tan－1－tanx2tan) =tantan(tanx1－tanx2) ，∵∈(0, ) ∴tan>0 又∵tan和tanx1－tanx2在x1>x2時(shí)，同為正，在x10。 綜上tantan(tanx1－tanx2)>0，即[f(x1)+f(x2)]>f() 說明：在三角函數(shù)恒等式、條件等式、不等式證明中，常采用化弦法。本題解法一是化弦，了解決把兩個(gè)分?jǐn)?shù)的單角轉(zhuǎn)化為和角，同時(shí)又使函數(shù)值適當(dāng)縮小。 例7、如圖，A、B是一矩 OEFG邊界上不同的兩點(diǎn)，且∠AOB=45,OE=1,EF=，設(shè)∠AOE=α. （1）寫出△AOB的面積關(guān)于α的函數(shù)關(guān)系式f(α); （2）寫出函數(shù)f(x)的取值范圍。 解：（1）∵OE=1，EF= ∴∠EOF=60 當(dāng)α∈[0，15]時(shí)，△AOB的兩頂點(diǎn)A、B在E、F上，且AE=tanα,BE=tan(45+α) ∴f(α)=S△AOB=[tan(45+α)－tanα] == 當(dāng)a∈（15,45]時(shí)，A點(diǎn)在EF上，B點(diǎn)在FG上，且OA=，OB= ∴=S△AOB=OAOBsin45=sin45= 綜上得：f(α)= （2）由（1）得：當(dāng)α∈[0，]時(shí) f(α)= ∈[,－1] 且當(dāng)α=0時(shí)，f(α)min=；α=時(shí)，f(α)max=－1； 當(dāng)α∈時(shí),－≤2α－≤，f（α）=∈[－,] 且當(dāng)α=時(shí)，f(α) min=－；當(dāng)α=時(shí)，f(α) max= 所以f(x) ∈[,]。 說明：三角函數(shù)與其他數(shù)學(xué)知識(shí)有著緊密的關(guān)系，它幾乎滲透了數(shù)學(xué)的每一個(gè)分支。練習(xí)時(shí)注意三角函數(shù)的綜合應(yīng)用。 例8、 已知函數(shù)y=cos2x+sinxcosx+1 （x∈R）, （1）當(dāng)函數(shù)y取得最大值時(shí)，求自變量x的集合； （2）該函數(shù)的圖像可由y=sinx(x∈R)的圖像經(jīng)過怎樣的平移和伸縮變換得到？ 解：（1）y=cos2x+sinxcosx+1= (2cos2x－1)+ +（2sinxcosx）+1 =cos2x+sin2x+=(cos2xsin+sin2xcos)+ =sin(2x+)+ 所以y取最大值時(shí)，只需2x+=+2kπ,（k∈Z），即 x=+kπ,（k∈Z）。 所以當(dāng)函數(shù)y取最大值時(shí)，自變量x的集合為{x|x=+kπ,k∈Z} （2）將函數(shù)y=sinx依次進(jìn)行如下變換： （i）把函數(shù)y=sinx的圖像向左平移，得到函數(shù)y=sin(x+)的圖像； （ii）把得到的圖像上各點(diǎn)橫坐標(biāo)縮短到原來的倍（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)y=sin(2x+)的圖像； （iii）把得到的圖像上各點(diǎn)縱坐標(biāo)縮短到原來的倍（橫坐標(biāo)不變），得到函數(shù)y=sin(2x+)的圖像； （iv）把得到的圖像向上平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)y=sin(2x+)+的圖像。 綜上得到y(tǒng)=cos2x+sinxcosx+1的圖像。 說明：本題屬中檔偏容易題，主要考查三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)。這類題一般有兩種解法：一是化成關(guān)于sinx,cosx的齊次式，降冪后最終化成y=sin (ωx+)+k的形式，二是化成某一個(gè)三角函數(shù)的二次三項(xiàng)式。本題（1）還可以解法如下：當(dāng)cosx=0時(shí)，y=1；當(dāng)cosx≠0時(shí)，y=+1=+1 化簡(jiǎn)得：2(y－1)tan2x－tanx+2y－3=0 ∵tanx∈R，∴△=3－8(y－1)(2y－3) ≥0,解之得：≤y≤ ∴ymax=，此時(shí)對(duì)應(yīng)自變量x的值集為{x|x=kπ+,k∈Z} 例9、已知函數(shù) （Ⅰ）將f(x)寫成的形式，并求其圖象對(duì)稱中心的橫坐標(biāo)； （Ⅱ）如果△ABC的三邊a、b、c滿足b2=ac，且邊b所對(duì)的角為x，試求x的范圍及此時(shí)函數(shù)f(x)的值域. 由=0即 即對(duì)稱中心的橫坐標(biāo)為 （Ⅱ）由已知b2=ac 即的值域?yàn)? 綜上所述， ， 值域?yàn)?. 說明：本題綜合運(yùn)用了三角函數(shù)、余弦定理、基本不等式等知識(shí)，還需要利用數(shù)形結(jié)合的思想來解決函數(shù)值域的問題，有利于培養(yǎng)學(xué)生的運(yùn)算能力，對(duì)知識(shí)進(jìn)行整合的能力。 例10、設(shè)二次函數(shù)，已知不論為何實(shí)數(shù)恒有. （1） 求證：； （2） 求證：； （3） 若函數(shù)的最大值為8，求的值. (1) ， ， ， 恒成立. ， ， 即 恒成立. ， 即 . （2）， ， ， . （3）由題意可知： ， ①， ② ， 由 ① ，② 可得 b = ,c = 3 . 說明：賦值法在解決有關(guān)恒成立問題時(shí)經(jīng)常用到，利用函數(shù)的單調(diào)性往往能使問題得以順利解決。 例11、已知函數(shù) （1） 求函數(shù)y的最大值，并求此時(shí)x的值. （2） 該函數(shù)的圖象可由的圖象經(jīng)過怎樣的平移和伸縮變換得到？ 解：（1） ， ； （2）將函數(shù)的圖象依次進(jìn)行如下變換： ① 把函數(shù)的圖象向左平移，得到函數(shù)的圖象； ② 把得到的圖象上各點(diǎn)橫坐標(biāo)縮短到原來的倍（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù) 的圖象； ③ 把得到的圖象上各點(diǎn)縱坐標(biāo)縮短到原來的倍（橫坐標(biāo)不變），得到函數(shù) 的圖象； ④把得到的圖象向上平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)+的圖象； 綜上得函數(shù)的圖象. 說明：圖象變換是否熟練、準(zhǔn)確是解決三角函數(shù)問題的關(guān)鍵，要求學(xué)生要熟練掌握。 D C B A 1.2 m 2 m 1 m 例12、化工廠的主控制表盤高1米，表盤底邊距地面2米，問值班人員坐在什么位置上表盤看得最清楚？（設(shè)值班人員坐在椅子上時(shí)，眼睛距地面1.2米）. 解：如圖，，設(shè)，則 ， ， D C B A 1.2 m 2 m 1 m ， ， 當(dāng)，即時(shí)， 達(dá)到最大值，是銳角，最大時(shí)， 也最大，所以值班人員看表盤最清楚的位置為米. 說明：欲在表盤看得清楚，人眼距表盤水平距離AD應(yīng)使視角達(dá)到最大。合理利用角的關(guān)系，建立目標(biāo)函數(shù)，是本題的關(guān)鍵。 例13、平面直角坐標(biāo)系有點(diǎn) （1） 求向量和的夾角的余弦用表示的函數(shù)； （2） 求的最值. 解：（1）， 即 （2） ， 又 ， ， ， . 說明：三角函數(shù)與向量之間的聯(lián)系很緊密，解題時(shí)要時(shí)刻注意。 例14、已知：定義在上的減函數(shù)，使得對(duì)一切實(shí)數(shù)均成立，求實(shí)數(shù)的范圍. 解：由題意可得 ， 即 ， 又 ， ， ， ， ， 或 . 說明：利用三角函數(shù)的值域來求解變量的取值范圍，是較為常見的解題思路，在利用單調(diào)性列出不等式時(shí)，不能忘記函數(shù)的定義域。 （Ⅲ）、強(qiáng)化訓(xùn)練 1．已知x(,0),cosx=,則tan2x = ------------------------------( ) A. B. C. D. 2．在DABC中，已知A、B、C成等差數(shù)列，求 的值. 3．已知函數(shù) （1） 求f(x)的最小正周期; （2） 若x[0, ],求f(x)的最大值，最小值. 4、在內(nèi)，使成立的取值范圍為-----------------（ ） （A） （B） （C） （D） 5、函數(shù)的大致圖象是----------------------（ ） π y y y y π π π -π o π x -π o π x -π o π x -π o π x -π -π -π (A) (B) (C) (D) 6、已知是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，的圖象如圖所示，那么不等式的解集是---------------------------------------------------（ ） (A) y (B) (C) 0 1 2 3 x (D) 7、已知sinα>sinβ，那么下列命題成立的是（ ） A.若α、β是第一象限角，則cosα>cosβ B.若α、β是第二象限，則tanα>tanβ C.若α、β是第三象限角，則cosα>cosβ D.若α、β是第四象限角，則tanα>tanβ 8、下列命題中正確的是（ ） A.y=tanx是增函數(shù) B.y=sinx在第一象限是增函數(shù) C.y=－arccosx是奇函數(shù) D.y=sinx的反函數(shù)是y=arcsinx 9、函數(shù)y=sin(2x+)的圖象是由函數(shù)y=sin2x的圖像（ ） A.向左平移單位 B.向右平移單位 C.向左平移單位 D.向右平移單位 10、要得到函數(shù)的圖象，可以將函數(shù)y = 3 sin2 x的圖象( ) A. 沿x軸向左平移單位 B. 沿x軸向右平移單位 C. 沿x軸向左平移單位 D. 沿x軸向右平移單位 11、圖04是函數(shù)y =2 sin (ωx＋φ)（）的圖象．則ω、φ的值是（　　?。? A．， B．， C．， D．， 12、△ABC中，若∠A，∠B，∠C順序成等差數(shù)列，則cos2A+cos2C的取值范圍是______． 13、，，求tan x的值． 14、（1）已知sin(+α)sin(－α)=, α∈(,π)，求sin4α； （2）已知cos(x+)=,πsinβ得α>β，此時(shí)cosαsinβ得,α<β，此時(shí)tanαsinβ得，α<β，此時(shí)cosαsinβsin2αcos2βtanβ。故答案選D。 8、y=tanx在每一個(gè)定義區(qū)間上都是增函數(shù)，但在其定義域內(nèi)并不是增函數(shù)；y=sinx在第一象限的每個(gè)區(qū)間上都是增函數(shù)，但在第一象限上并不是增函數(shù)；y=arcsinx只是y=sinx，x∈[－,]的反函數(shù)；令f(x)= －arccosx,則f(－x)= － arccos(－x)=arccosx－= －f(x)所以y=－arccosx是奇函數(shù)。故答案選C。 9、y=sin2x圖像向左平移單位后得:y=sin2(x+)=sin(2x+);y=sin2x圖像，向右平移 單位后得y=sin2(x－)=sin(2x－);y=sin2x圖象向左平移單位后得：y=sin2(x+)=sin(2x+)=sin(2x－);y=sin2x圖像向右平移單位后得：y=sin2(x－)=sin(2x－)=sin(2x+)，故答案選D。 10、分析：我們知道，當(dāng)a＞0時(shí)，把函數(shù)y = f (x)的圖象沿x軸向右移a個(gè)單位，便得到函數(shù)y = f (x－a) 的圖象，把函數(shù)f (x)的圖象沿x軸向左平移a個(gè)單位，便得到函數(shù) y = f (x＋a) 的圖象．本題中與y = 3 sin 2x的對(duì)應(yīng)法則不同，應(yīng)當(dāng)把它們變?yōu)椤皔 = f (x)與y = f (x＋a)”的形式后，再討論平移關(guān)系．因?yàn)槲覀冴P(guān)心的是對(duì)函數(shù) y = 3 sin 2x的圖象平移，所以要把變形，變到y(tǒng) = 3 sin (2x＋φ)的形式． 由正弦曲線和余弦曲線的關(guān)系，不難看出，把余弦曲線沿x軸向右平移，就得到正弦曲線，即是（這與誘導(dǎo)公式的結(jié)論是一致的）．利用這個(gè)關(guān)系，可以得到： ． 問題成為：把函數(shù)y = 3 sin 2x的圖象沿x軸進(jìn)行怎樣的平移，可以得到函數(shù) 的圖象？ 如果y = 3 sin 2x = f (x)，那么．可見，把函數(shù)y = 3 sin 2x的圖象向左移個(gè)單位后，可得到函數(shù)的圖象，即得到函數(shù)的圖象．因此選A． 說明：這個(gè)題目有兩點(diǎn)值得注意：一是函數(shù)y = f (x)的圖象與函數(shù)y = f (x＋a)的圖象的平移關(guān)系（平移方向，平移量）；二是對(duì)法則“f ”的理解．只有把兩個(gè)函數(shù)整理成f (x)與 f (x＋a)的形式后，才可討論它們沿x軸的平移問題．例如“把函數(shù)y = － tan x的圖象沿x軸進(jìn)行怎樣的平移，就可得到函數(shù)的圖象”的問題．就應(yīng)該考慮y =－tan x與這兩個(gè)函數(shù)．它們是y = f (x)與的關(guān)系．可見，只要把函數(shù)y =－tan x的圖象沿x軸右移個(gè)單位，就能得到函數(shù)的圖象． 11、分析：圖04給我們提供的“信息”是： （1）點(diǎn) (0，1 )、在圖象上； （2）函數(shù)的最小正周期． 可見： ∵ ，由2sin φ = 1得 ， 由 ，得 ∴ ． 由 ，得 ． 滿足時(shí)，k = 1或k = 2．由此得到，．分析到這里，只否定了B、D．為選出正確答案，關(guān)鍵在于確定及中哪個(gè)符合題意．為此，還要仔細(xì)地從圖04中“挖掘”出有用的“信息”． 注意到，即，因此．這樣就排除了． 根據(jù)以上分析知，應(yīng)選C． 說明：因?yàn)楹瘮?shù)y = A sin (ωx＋φ)是周期函數(shù)，所以僅靠圖像上的三個(gè)點(diǎn)，不能完全確定A、ω、φ的值．本題雖然給出了ω＞0，的條件，但是僅靠(0，1 )、，兩點(diǎn)，能完全確定ω、φ的值．在確定ω的過程中，比較隱蔽的條件（）起了重要作用． 12、分析：因?yàn)椤螦，∠B，∠C順序成等差數(shù)列，所以2B=∠A+∠C， ∠B=60，∠A+∠C=120． 對(duì)cos2A+cos2C用降冪變形，得 13、分析與解：跨越了四個(gè)象限，如果角x真能落在各象限內(nèi)，那么tan x值的符號(hào)就有正有負(fù)．為便于求出tan x的值，不妨先“審查”一下角x的實(shí)際范圍． 根據(jù)正弦曲線和余弦曲線；當(dāng)時(shí)，sin x＜0，cos x＜0，與 矛盾．可見，角x的終邊不在第三象限． 當(dāng)角x在第一象限時(shí)，sin x＞0，cos x＞0，這時(shí)有，又與矛盾．可 見角x的終邊不會(huì)位于． 如果．由余弦曲線知：， 由正弦曲線知：， 這時(shí) ， 可見 ． 如果，由正弦曲線及余弦曲線知，，這時(shí)，可見． 根據(jù)以上分析可以看出：滿足的角，根據(jù)正切曲線知 tan x＜－1． 由 ，等式兩端平方得： 即：， ， 整理得：12 tan 2 x＋25 tan x＋12 = 0． 解之得：或 ． 注意到 tan x＜－1 ∴ ． 說明：有些三角函數(shù)的題目，為了考查學(xué)生對(duì)“某區(qū)間上任意值”與“某區(qū)間上特殊值”的區(qū)分能力，常把已知條件中的區(qū)間給“大”．這時(shí)往往先要進(jìn)行“縮小”區(qū)間的工作． 14、解 （1）∵α++－α= ∴sin(－α)=cos(+α) ∴sin(+α)sin(－α)=sin(+α)cos(+α) =sin(+2α)= cos2α= 又∵π<2α<2π,cos2α=,∴sin2α= － ∴sin4α=2sin2αcos2α= － 本題也可以這樣解： sin(+α)sin(－α)=（sinα+cosα）(cosα－sinα)= cos2α－sin2α=cos2α= 也可以用積化和差公式： sin(+α)sin(－α)= (cos2α－cos)= cos2α= （2）法一:由x+∈(π,2π)知sin(x+)= － ∴cosx=cos(x+－)=cos(x+)cos+sin(x+)sin=－= － 由cosx<0可知，

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2019-2020年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí) 三角問題的題型與方法教案 蘇教版 2019 2020 年高 數(shù)學(xué) 復(fù)習(xí) 三角 問題 題型 方法 教案

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