2019-2020年高考數(shù)學(xué)大二輪總復(fù)習(xí) 增分策略 第二篇 第2講 填空題的解法技巧題型概述填空題是一種只要求寫出結(jié)論，不要求解答過程的客觀性試題，有小巧靈活、覆蓋面廣、跨度大等特點(diǎn)，突出考查準(zhǔn)確、嚴(yán)謹(jǐn)、靈活運(yùn)用知識的能力由于填空題不像選擇題那樣有備選提示，不像解答題那樣有步驟得分，所填結(jié)果必須準(zhǔn)確、規(guī)范，因此得分率較低，解答填空題的第一要求是“準(zhǔn)”，然后才是“快”、“巧”，要合理靈活地運(yùn)用恰當(dāng)?shù)姆椒?，不可“小題大做”方法一直接法直接法就是直接從題設(shè)出發(fā)，利用有關(guān)性質(zhì)或結(jié)論，通過巧妙地變形，直接得到結(jié)果的方法要善于透過現(xiàn)象抓本質(zhì)，有意識地采取靈活、簡捷的方法解決問題直接法是求解填空題的基本方法例1(1)(xx湖南)在一次馬拉松比賽中，35名運(yùn)動員的成績(單位：分鐘)的莖葉圖如圖所示若將運(yùn)動員按成績由好到差編為135號，再用系統(tǒng)抽樣方法從中抽取7人，則其中成績在區(qū)間139,151上的運(yùn)動員人數(shù)是_(2)(xx北京)在ABC中，a4，b5，c6，則_.解析(1)由題意知，將135號分成7組，每組5名運(yùn)動員，落在區(qū)間139,151上的運(yùn)動員共有4組，故由系統(tǒng)抽樣法知，共抽取4名(2)由余弦定理：cos A，sin A，cos C，sin C，1.答案(1)4(2)1思維升華利用直接法求解填空題要根據(jù)題目的要求靈活處理，多角度思考問題，注意一些解題規(guī)律和解題技巧的靈活應(yīng)用，將計算過程簡化從而得到結(jié)果，這是快速準(zhǔn)確地求解填空題的關(guān)鍵跟蹤演練1(1)(xx韶關(guān)聯(lián)考)已知橢圓y21的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，點(diǎn)P在橢圓上，則|PF1|PF2|的最大值是_(2)已知方程x23ax3a10(a>2)的兩根tan ，tan ，且，(，)，則_.方法二特例法當(dāng)填空題已知條件中含有某些不確定的量，但填空題的結(jié)論唯一或題設(shè)條件中提供的信息暗示答案是一個定值時，可以將題中變化的不定量選取一些符合條件的恰當(dāng)特殊值(特殊函數(shù)，特殊角，特殊數(shù)列，圖形特殊位置，特殊點(diǎn)，特殊方程，特殊模型等)進(jìn)行處理，從而得出待求的結(jié)論這樣可大大地簡化推理、論證的過程例2(1)如圖所示，在平行四邊形ABCD中，APBD，垂足為P，且AP3，則_.(2)已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足f(x4)f(x)，且在區(qū)間0,2上是增函數(shù)，若方程f(x)m(m>0)在區(qū)間8,8上有四個不同的根x1，x2，x3，x4，則x1x2x3x4_.解析(1)把平行四邊形ABCD看成正方形，則點(diǎn)P為對角線的交點(diǎn)，AC6，則18.(2)此題考查抽象函數(shù)的奇偶性，周期性，單調(diào)性和對稱軸方程，條件多，將各種特殊條件結(jié)合的最有效方法是把抽象函數(shù)具體化根據(jù)函數(shù)特點(diǎn)取f(x)sinx，再由圖象可得(x1x2)(x3x4)(62)(22)8.答案(1)18(2)8思維升華求值或比較大小等問題的求解均可利用特殊值代入法，但要注意此種方法僅限于求解結(jié)論只有一種的填空題，對于開放性的問題或者有多種答案的填空題，則不能使用該種方法求解跟蹤演練2(xx課標(biāo)全國)若函數(shù)f(x)xln(x)為偶函數(shù)，則a_.方法三數(shù)形結(jié)合法對于一些含有幾何背景的填空題，若能根據(jù)題目中的條件，作出符合題意的圖形，并通過對圖形的直觀分析、判斷，即可快速得出正確結(jié)果這類問題的幾何意義一般較為明顯，如一次函數(shù)的斜率和截距、向量的夾角、解析幾何中兩點(diǎn)間距離等，求解的關(guān)鍵是明確幾何含義，準(zhǔn)確規(guī)范地作出相應(yīng)的圖形例3(1)已知點(diǎn)P(x，y)的坐標(biāo)x，y滿足則x2y26x9的取值范圍是_(2)已知函數(shù)f(x)x|x2|，則不等式f(x)f(1)的解集為_解析(1)畫出可行域如圖，所求的x2y26x9(x3)2y2是點(diǎn)Q(3,0)到可行域上的點(diǎn)的距離的平方，由圖形知最小值為Q到射線xy10(x0)的距離d的平方，d()2()22.最大值為點(diǎn)Q到點(diǎn)A的距離的平方，d16.取值范圍是2,16(2)函數(shù)yf(x)的圖象如圖，由不等式f(x)f(1)知，x1，從而得到不等式f(x)f(1)的解集為1，)答案(1)2,16(2)1，)思維升華數(shù)形結(jié)合法可直觀快捷得到問題的結(jié)論，充分應(yīng)用了圖形的直觀性，數(shù)中思形，以形助數(shù)數(shù)形結(jié)合法是高考的熱點(diǎn)，應(yīng)用時要準(zhǔn)確把握各種數(shù)式和幾何圖形中變量之間的關(guān)系跟蹤演練3(1)(xx山西大學(xué)附中月考)若方程x33xk有3個不等的實根，則常數(shù)k的取值范圍是_(2)(xx蘭州一中期中)設(shè)函數(shù)f(x)若f(4)f(0)，f(2)2，則函數(shù)yg(x)f(x)x的零點(diǎn)個數(shù)為_方法四構(gòu)造法構(gòu)造型填空題的求解，需要利用已知條件和結(jié)論的特殊性構(gòu)造出新的數(shù)學(xué)模型，從而簡化推理與計算過程，使較復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題得到簡捷的解決，它來源于對基礎(chǔ)知識和基本方法的積累，需要從一般的方法原理中進(jìn)行提煉概括，積極聯(lián)想，橫向類比，從曾經(jīng)遇到過的類似問題中尋找靈感，構(gòu)造出相應(yīng)的函數(shù)、概率、幾何等具體的數(shù)學(xué)模型，使問題快速解決例4(1)如圖，已知球O的球面上有四點(diǎn)A，B，C，D，DA平面ABC，ABBC，DAABBC，則球O的體積等于_(2)，(其中e為自然對數(shù)的底數(shù))的大小關(guān)系是_解析(1)如圖，以DA，AB，BC為棱長構(gòu)造正方體，設(shè)正方體的外接球球O的半徑為R，則正方體的體對角線長即為球O的直徑，所以|CD|2R，所以R，故球O的體積V.(2)由于，故可構(gòu)造函數(shù)f(x)，于是f(4)，f(5)，f(6).而f(x)()，令f(x)>0得x<0或x>2，即函數(shù)f(x)在(2，)上單調(diào)遞增，因此有f(4)<f(5)<f(6)，即<<.答案(1)(2)<<思維升華構(gòu)造法解題的關(guān)鍵是由條件和結(jié)論的特征構(gòu)造數(shù)學(xué)模型在立體幾何中，補(bǔ)形構(gòu)造是常用的解題技巧，構(gòu)造法實質(zhì)上是轉(zhuǎn)化與化歸思想在解題中的應(yīng)用跟蹤演練4已知三個互不重合的平面、，m，n，且直線m、n不重合，由下列三個條件：m，n；m，n；m，n.能推得mn的條件是_方法五歸納推理法做關(guān)于歸納推理的填空題的時候，一般是由題目的已知可以得出幾個結(jié)論(或直接給出了幾個結(jié)論)，然后根據(jù)這幾個結(jié)論可以歸納出一個更一般性的結(jié)論，再利用這個一般性的結(jié)論來解決問題歸納推理是從個別或特殊認(rèn)識到一般性認(rèn)識的推演過程，這里可以大膽地猜想例5(1)(xx陜西)觀察分析下表中的數(shù)據(jù)：多面體面數(shù)(F)頂點(diǎn)數(shù)(V)棱數(shù)(E)三棱柱569五棱錐6610立方體6812猜想一般凸多面體中F，V，E所滿足的等式是_(2)用火柴棒擺“金魚”，如圖所示：按照上面的規(guī)律，第n個“金魚”圖需要火柴棒的根數(shù)為_解析(1)觀察F，V，E的變化得FVE2.(2)觀察題圖，共有8根火柴，以后依次增加6根火柴，即構(gòu)成首項為8，公差為6的等差數(shù)列，所以，第n個“金魚”圖需要火柴棒的根數(shù)為6n2.答案(1)FVE2(2)6n2思維升華歸納推理法主要用于與自然數(shù)有關(guān)的結(jié)論，這類問題是近幾年高考的熱點(diǎn)，解題的關(guān)鍵在于找準(zhǔn)歸納對象及其規(guī)律，如數(shù)列中項與項數(shù)之間的對應(yīng)關(guān)系跟蹤演練5觀察下列各個等式：131；2335；337911；4313151719；若某數(shù)m3按上述規(guī)律展開后，發(fā)現(xiàn)等式右邊含有“2 016”這個數(shù)，則m_.方法六正反互推法多選型問題給出多個命題或結(jié)論，要求從中選出所有滿足條件的命題或結(jié)論這類問題要求較高，涉及圖形、符號和文字語言，要準(zhǔn)確閱讀題目，讀懂題意，通過推理證明，命題或結(jié)論之間互反互推，相互印證，也可舉反例判斷錯誤的命題或結(jié)論例6已知f(x)為定義在R上的偶函數(shù)，當(dāng)x0時，有f(x1)f(x)，且當(dāng)x0,1)時，f(x)log2(x1)，給出下列命題：f(2 013)f(2 014)的值為0；函數(shù)f(x)在定義域上為周期是2的周期函數(shù)；直線yx與函數(shù)f(x)的圖象有1個交點(diǎn)；函數(shù)f(x)的值域為(1,1)其中正確的命題序號有_解析根據(jù)題意，可在同一坐標(biāo)系中畫出直線yx和函數(shù)f(x)的圖象如下：根據(jù)圖象可知f(2 013)f(2 014)0正確，函數(shù)f(x)在定義域上不是周期函數(shù)，所以不正確，根據(jù)圖象確實只有一個交點(diǎn)，所以正確，根據(jù)圖象，函數(shù)f(x)的值域是(1,1)，正確答案思維升華正反互推法適用于多選型問題，這類問題一般有兩種形式，一是給出總的已知條件，判斷多種結(jié)論的真假；二是多種知識點(diǎn)的匯總考查，主要覆蓋考點(diǎn)功能兩種多選題在處理上不同，前者需要扣住已知條件進(jìn)行分析，后者需要獨(dú)立利用知識逐項進(jìn)行判斷利用正反互推結(jié)合可以快速解決這類問題跟蹤演練6給出以下命題：雙曲線x21的漸近線方程為yx；命題p：“xR，sin x2”是真命題；已知線性回歸方程為 32x，當(dāng)變量x增加2個單位，其預(yù)報值平均增加4個單位；設(shè)隨機(jī)變量服從正態(tài)分布N(0,1)，若P(>1)0.2，則P(1<<0)0.6；已知2，2，2，2，依照以上各式的規(guī)律，得到一般性的等式為2(n4)則正確命題的序號為_(寫出所有正確命題的序號)知識方法總結(jié)六招拿下填空題：(一)直接法(二)特例法(三)數(shù)形結(jié)合法(四)構(gòu)造法(五)歸納推理法(六)正反互推法填空題突破練A組專題通關(guān)1已知集合Ax，xy，lg(xy)，B0，|x|，y，若AB，則x_，y_.2已知函數(shù)f(x)若關(guān)于x的函數(shù)g(x)f(x)m有兩個零點(diǎn)，則實數(shù)m的取值范圍是_3已知函數(shù)f(x)sin(x)(x>0)的圖象與x軸的交點(diǎn)從左到右依次為(x1,0)，(x2,0)，(x3,0)，則數(shù)列xn的前4項和為_4(xx杭州外國語學(xué)校期中)設(shè)a0，在二項式(a)10的展開式中，含x的項的系數(shù)與含x4的項的系數(shù)相等，則a的值為_5已知P為拋物線y24x上一個動點(diǎn)，Q為圓x2(y4)21上一個動點(diǎn)，那么點(diǎn)P到點(diǎn)Q的距離與點(diǎn)P到拋物線的準(zhǔn)線距離之和的最小值是_6已知aln，bln，cln，則a，b，c的大小關(guān)系為_7觀察下列不等式：111照此規(guī)律，第五個不等式為_8若函數(shù)f(x)的定義域是R，f(0)2，對任意的xR，f(x)f(x)>1，則不等式exf(x)>ex1的解集是_9(xx珠海模擬)已知函數(shù)f(x)()xsin x，則f(x)在0,2上的零點(diǎn)個數(shù)為_10整數(shù)數(shù)列an滿足an2an1an(nN*)，若此數(shù)列的前800項的和是2 013，前813項的和是2 000，則其前2 014項的和為_11設(shè)命題p：0，命題q：x2(2a1)xa(a1)<0，若p是q的充分不必要條件，則實數(shù)a的取值范圍是_12(xx山東)執(zhí)行下邊的程序框圖，輸出的T的值為_. B組能力提高13已知函數(shù)f(x)是定義在實數(shù)集R上的不恒為零的偶函數(shù)，且對任意實數(shù)x都有xf(x1)(1x)f(x)，則f()_.14已知O是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)M的坐標(biāo)為(2,1)，若點(diǎn)N(x，y)為平面區(qū)域上的一個動點(diǎn)，則的最大值是_15設(shè)函數(shù)f(x)則ff(1)_.若函數(shù)g(x)f(x)k存在兩個零點(diǎn)，則實數(shù)k的取值范圍是_16已知a、b為不垂直的異面直線，是一個平面，則a、b在上的投影有可能是：兩條平行直線；兩條互相垂直的直線；同一條直線；一條直線及其外一點(diǎn)在上面的結(jié)論中，正確結(jié)論的序號是_(寫出所有正確結(jié)論的序號)學(xué)生用書答案精析第2講填空題的解法技巧跟蹤演練1(1)8(2)或解析(1)由橢圓的定義知|PF1|PF2|4，|PF1|PF2|()28，(當(dāng)且僅當(dāng)|PF1|PF2|時取等號)|PF1|PF2|的最大值是8.(2)由已知可得tan tan 3a，tan tan 3a1，tan()1，因為，(，)，所以<<，所以或.跟蹤演練21解析f(1)f(1)，ln(1)ln(1)0，ln a0，a1.經(jīng)驗證a1符合題意跟蹤演練3(1)(2,2)(2)3解析(1)設(shè)f(x)x33x，令f(x)3x230，得x1，當(dāng)x<1時，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增，當(dāng)1<x<1時，函數(shù)f(x)單調(diào)遞減，當(dāng)x>1時，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增，f(1)2，f(1)2，要有三個不等實根，則直線yk與yf(x)的圖象有三個交點(diǎn)，2<k<2.(2)由f(4)f(0)，得164bcc.由f(2)2，得42bc2.聯(lián)立兩方程解得b4，c2.于是，f(x)在同一直角坐標(biāo)系內(nèi)，作出函數(shù)yf(x)與函數(shù)yx的圖象，知它們有3個交點(diǎn)，即函數(shù)g(x)有3個零點(diǎn)跟蹤演練4解析構(gòu)建長方體模型，如圖，觀察選項特點(diǎn)，可優(yōu)先判斷條件：取平面為平面ADDA，平面為平面ABCD，則直線m為直線AD.因為m，故可取平面為平面ABCD，因為n且n，故可取直線n為直線AB.則直線AD與直線AB為異面直線，故m與n不平行對于：、取中平面，取平面為平面BCCB，可取直線n為直線BC，故可推得mn；對于：，取中平面，取為平面ABCD，取直線n為直線BC，故可推得結(jié)論跟蹤演練545解析某數(shù)m3按上述規(guī)律展開后，等式右邊為m個連續(xù)奇數(shù)的和，由于前4行的最后一個數(shù)分別為1120,5221,11322,19423，所以m3的最后一個數(shù)為m2(m1)，因為當(dāng)m44時，m2(m1)1 979，當(dāng)m45時，m2(m1)2 069，所以要使等式右邊含有“2 016”這個數(shù)，則m45.跟蹤演練6解析由x20可以解得雙曲線的漸近線方程為yx，正確命題不能保證sin x，為正，故錯誤；根據(jù)線性回歸方程的含義正確；P(>1)0.2，可得P(<1)0.2，所以P(1<<0)P(1<<1)0.3，故錯誤；根據(jù)驗證可知得到一般性的等式是正確的填空題突破練111解析由AB知需分多種情況進(jìn)行討論，由lg(xy)有意義，則xy>0.又0BA，則必有l(wèi)g(xy)0，即xy1.此時，AB，即0,1，x0，|x|，y或解得xy1或xy1.當(dāng)xy1時，AB0,1,1與集合元素的互異性矛盾，應(yīng)舍去；當(dāng)xy1時，AB0，1,1滿足題意，故xy1.2(1,2解析g(x)f(x)m有兩個零點(diǎn)等價于函數(shù)f(x)與函數(shù)ym的圖象有兩個交點(diǎn)，作出函數(shù)的圖象如圖，由圖可知m的取值范圍是(1,2326解析令f(x)sin(x)0，則xk(kN*)，x3k1(kN*)，x1x2x3x43(1234)426.41解析Tk1C()ka10k，令k2時，x的系數(shù)為Ca8，令k8時，x4的系數(shù)為Ca2，Ca8Ca2，即a1，故答案為1.5.1解析點(diǎn)P到拋物線的準(zhǔn)線距離等于點(diǎn)P到拋物線焦點(diǎn)F(1,0)的距離圓心坐標(biāo)是(0,4)，圓心到拋物線焦點(diǎn)的距離為，即圓上的點(diǎn)Q到拋物線焦點(diǎn)的距離的最小值是1，這個值即為所求6abc解析令f(x)ln xx，則f(x)1.當(dāng)0x1時，f(x)0，即函數(shù)f(x)在(0,1)上是增函數(shù)1 0，abc.71<8x|x>0解析構(gòu)造函數(shù)g(x)exf(x)ex1，求導(dǎo)得到g(x)exf(x)exf(x)exexf(x)f(x)1由已知f(x)f(x)>1，可得g(x)>0，所以g(x)為R上的增函數(shù)又g(0)e0f(0)e010，所以exf(x)>ex1，即g(x)>0的解集為x|x>092解析因為函數(shù)f(x)()xsin x，則f(x)在0,2上的零點(diǎn)個數(shù)等于函數(shù)y()x與函數(shù)ysin x在區(qū)間0,2內(nèi)的交點(diǎn)的個數(shù)，在同一坐標(biāo)系中畫出上述兩個函數(shù)的圖象如圖所示，由圖象可知，兩函數(shù)在區(qū)間0,2內(nèi)有兩個不同的交點(diǎn)，所以函數(shù)f(x)在0,2上的零點(diǎn)個數(shù)為2.10987解析a3a2a1，a4a3a2，a5a4a3，a6a5a4，a7a6a5，a1a7，a2a8，a3a9，a4a10，a5a11，an是以6為周期的數(shù)列，且有a1a2a3a4a5a60，S800a1a22 013，S813a1a2a32 000，a313，a21 000，S2 014a1a2a3a4a2a31 000(13)987.110，)解析由0，得x<1；由x2(2a1)xa(a1)<0，得a<x<a1.因為p是q的充分不必要條件，所以解得0a<.12.解析當(dāng)n1時，T1x1dx11；當(dāng)n2時，Tx2dx；當(dāng)n3時，結(jié)束循環(huán)，輸出T.130解析由題意知f()f()令x可得f()f()，f()f()，故f()0，又令x可得f()f()，f()0，同理可得f()0.143解析2xy，如圖：當(dāng)直線2xyz經(jīng)過點(diǎn)(1,1)時，達(dá)到最大值，zmax3.152(0,1解析ff(1)f(41)f()log22.令f(x)k0，即f(x)k，設(shè)yf(x)，yk，畫出圖象，如圖所示，函數(shù)g(x)f(x)k存在兩個零點(diǎn)，即yf(x)與yk的圖象有兩個交點(diǎn)，由圖象可得實數(shù)k的取值范圍為(0,116解析用正方體ABCDA1B1C1D1實例說明A1D1與BC1在平面ABCD上的投影互相平行，AB1與BC1在平面ABCD上的投影互相垂直，BC1與DD1在平面ABCD上的投影是一條直線及其外一點(diǎn)，故正確