2.1.1 橢 圓 及 其 標(biāo) 準(zhǔn) 方 程 （ 2）2.1 橢 圓 本 節(jié) 課 是 在 學(xué) 習(xí) 了 橢 圓 的 定 義 之 后 ， 學(xué) 習(xí) 求 曲 線 軌 跡 方 程 的 常用 方 法 。 為 了 激 發(fā) 學(xué) 生 的 學(xué) 習(xí) 熱 情 ， 培 養(yǎng) 愛 國(guó) 主 義 情 操 。 本 課 件 截取 了 嫦 娥 二 號(hào) 衛(wèi) 星 發(fā) 射 升 空 的 視 頻 。 引 出 本 課 新 話 題 ： 如 何 求 曲 線的 軌 跡 方 程 。 通 過(guò) 三 個(gè) 例 題 介 紹 了 求 曲 線 軌 跡 方 程 的 一 般 方 法 。 其 中 例 1是 利 用 定 義 法 求 軌 跡 方 程 ； 例 2是 運(yùn) 用 （ 相 關(guān) 點(diǎn) 法 ） 代入 法 求 軌 跡 方 程 ； 例 3是 運(yùn) 用 直 接 法 求 軌 跡 方 程 。 使 學(xué) 生 明 確 橢 圓標(biāo) 準(zhǔn) 方 程 中 ， 分 母 都 大 于 零 且 不 相 等 ， 在 解 題 時(shí) ， 不 僅 要 注 意 分 母都 大 于 零 ， 還 要 注 意 分 母 相 等 時(shí) 該 方 程 就 變 成 了 圓 的 方 程 。 以 此 來(lái)進(jìn) 一 步 鞏 固 橢 圓 的 定 義 及 標(biāo) 準(zhǔn) 方 程 。 課 后 留 了 一 些 習(xí) 題 供 老 師 參 考 選 用 。 嫦 娥 二 號(hào) 衛(wèi)星 于 2010年1 0 月 1 日 成功 發(fā) 射 升 空并 順 利 進(jìn) 入地 月 轉(zhuǎn) 移 軌道 .你 能 寫 出嫦 娥 二 號(hào) 衛(wèi)星 的 一 個(gè) 軌跡 方 程 嗎 ？（ 一 ） 情 景 引 入 模 擬 動(dòng) 畫 ： 嫦 娥 二 號(hào) 奔 月 飛 行 1 平 面 內(nèi) 與 兩 個(gè) 定 點(diǎn) F1， F2的 _的 點(diǎn) 的 軌 跡 叫 做 橢 圓 ， 這 兩 個(gè) 定 點(diǎn) 叫 做 橢 圓 的 _，_叫 做 橢 圓 的 焦 距 距 離 的 和 等 于 常 數(shù) (大 于 |F1F2|)焦 點(diǎn) 兩 焦 點(diǎn) 間 距 離（ 二 ） 復(fù) 習(xí) 導(dǎo) 入2 填 表 ：焦點(diǎn)在x軸上焦點(diǎn)在y軸上標(biāo)準(zhǔn)方程焦點(diǎn)坐標(biāo)a、b、c的關(guān)系c 2_( c,0)， (c,0) (0， c)， (0， c)a2 b2 利 用 定 義 法 求 軌 跡 方 程例 1.已 知 兩 圓 C1： (x 4)2 y2 169， C2： (x 4)2 y2 9， 動(dòng) 圓在 圓 C1內(nèi) 部 且 和 圓 C1內(nèi) 切 ， 和 圓 C2外 切 ， 求 動(dòng) 圓 圓 心 的 軌 跡 方 程 利 用 橢 圓 的 定 義 求 動(dòng) 點(diǎn) 的 軌 跡 方 程 ， 應(yīng) 先 根 據(jù) 動(dòng) 點(diǎn) 具 有的 條 件 ， 驗(yàn) 證 是 否 符 合 橢 圓 的 定 義 ， 即 動(dòng) 點(diǎn) 到 兩 定 點(diǎn) 距 離 之 和是 否 是 一 常 數(shù) ， 且 該 常 數(shù) (定 值 )大 于 兩 點(diǎn) 的 距 離 ， 若 符 合 ， 則動(dòng) 點(diǎn) 的 軌 跡 為 橢 圓 ， 然 后 確 定 橢 圓 的 方 程 這 就 是 用 定 義 法 求橢 圓 標(biāo) 準(zhǔn) 方 程 的 方 法 ， 要 注 意 檢 驗(yàn) 1 橢 圓 兩 焦 點(diǎn) 間 的 距 離 為 16， 且 橢 圓 上 某 一 點(diǎn) 到兩 焦 點(diǎn) 的 距 離 分 別 等 于 9和 15， 求 橢 圓 的 標(biāo) 準(zhǔn) 方 程 解 ： 例 2、 已 知 ABC,A(-2,0),B(0,-2),第 三 個(gè) 頂 點(diǎn) C在 曲 線y=3x2-1上 移 動(dòng) ,求 ABC的 重 心 的 軌 跡 方 程 . 運(yùn) 用 （ 相 關(guān) 點(diǎn) 法 ） 代 入 法 求 軌 跡 方 程 xyO DMP 2.如 圖 ， 在 圓 上 任 取 一 點(diǎn) P， 過(guò) 點(diǎn) P作 x軸 的 垂線 段 PD， D為 垂 足 .當(dāng) 點(diǎn) P在 圓 上 運(yùn) 動(dòng) 時(shí) ， 線 段 PD的 中 點(diǎn) M的 軌 跡是 什 么 ？ 為 什 么 ？ 2 2 4x y 解 ： 設(shè) 點(diǎn) M的 坐 標(biāo) 為 （ x,y） ,點(diǎn) P的 坐 標(biāo) 為 （ x0,y0） , 則 00 2, ,yx x y 因 為 點(diǎn) P（ x0,y0） 在 圓2 2 4 x y上，所以.42020 yx 即 ，44 22 yx .14 22 yx所 以 點(diǎn) M的 軌 跡 是 一 個(gè) 橢 圓 . 1.從 本 題 你 能 發(fā) 現(xiàn)橢 圓 與 圓 之 間 的 關(guān)系 嗎 ？2.x的 范 圍 有 限 制 嗎 ？ 尋 找 要 求 的 點(diǎn) M的 坐 標(biāo) x,y與 中 間 變 量 x0 , y0之 間 的 關(guān) 系 ,然 后消 去 x0 , y0,得 到 點(diǎn) M的 軌 跡 的 方 程 .-叫 代 入 法 求 軌 跡 (解 析 幾 何 中 求 點(diǎn) 的 軌 跡 的 常 用 方 法 )把 點(diǎn) 0=x， y0=2y代 入 方 程 ， 得 例 3 如 圖 ， 設(shè) 點(diǎn) A， B的 坐 標(biāo) 分 別 是 (-5， 0)和 (5， 0),直 線 AM,BM相 交 于 點(diǎn) M， 且 它 們 的 斜 率 之 積 是 ,求 點(diǎn) M的 軌 跡 方 程 .49 yA xM BO解 ： 設(shè) 點(diǎn) M的 坐 標(biāo) （ x,y） ,因 為 點(diǎn) A的 坐 標(biāo) 是 （ -5,0） ,所 以 ,直 線 AM的 斜率 為 55( ); AM yk xx 運(yùn) 用 直 接 法 求 軌 跡 方 程 同 理 ， 直 線 BM的 斜 率 55 ( ).BM yk xx由 已 知 有 4 55 5 9( ), y y xx x化 簡(jiǎn) ， 得 點(diǎn) M的 軌 跡 方 程 為 2 2 1 510025 9 ( ). x y x 例 4.忽 略 橢 圓 標(biāo) 準(zhǔn) 方 程 的 隱 含 條 件 致 誤 【 正 解 】由題意可知5k0，k30，5k k3，解得3k5且k 4. 2 已 知 橢 圓 x2a2 y2b2 1 (ab0)， M 為 橢 圓 上 一 動(dòng) 點(diǎn) ，F(xiàn)1為 橢 圓 的 左 焦 點(diǎn) ， 則 線 段 MF1的 中 點(diǎn) P的 軌 跡 是 ( )A 圓 B 橢 圓 C 線 段 D 直 線 答 案 ： B 1 求 橢 圓 的 標(biāo) 準(zhǔn) 方 程 常 用 待 定 系 數(shù) 法 首 先 ， 要 恰 當(dāng) 地 選 擇 方 程 的 形 式 ， 如 果 不 能 確 定 焦 點(diǎn) 的位 置 ， 可 用 兩 種 方 法 來(lái) 解 決 問 題 2 求 軌 跡 方 程 的 常 用 方 法 ：(1)直 接 法當(dāng) 動(dòng) 點(diǎn) 直 接 與 已 知 條 件 發(fā) 生 聯(lián) 系 時(shí) ， 在 設(shè) 出 曲 線 上 動(dòng) 點(diǎn)的 坐 標(biāo) 為 (x， y)后 ， 可 根 據(jù) 幾 何 條 件 轉(zhuǎn) 換 成 x， y間 的 關(guān) 系 式， 從 而 得 到 軌 跡 方 程 ， 這 種 求 軌 跡 方 程 的 方 法 稱 為 直 接 法 (2)定 義 法若 動(dòng) 點(diǎn) 運(yùn) 動(dòng) 的 幾 何 條 件 滿 足 某 種 已 知 曲 線 的 定 義 ， 可 以設(shè) 出 其 標(biāo) 準(zhǔn) 方 程 ， 然 后 用 待 定 系 數(shù) 法 求 解 ， 這 種 求 軌 跡 方 程的 方 法 稱 為 定 義 法 (3)相 關(guān) 點(diǎn) 法有 些 問 題 中 的 動(dòng) 點(diǎn) 軌 跡 是 由 另 一 動(dòng) 點(diǎn) 按 照 某 種 規(guī) 律 運(yùn) 動(dòng)而 形 成 的 ， 只 要 把 所 求 動(dòng) 點(diǎn) 的 坐 標(biāo) “ 轉(zhuǎn) 移 ” 到 另 一 個(gè) 動(dòng) 點(diǎn) 在運(yùn) 動(dòng) 中 所 遵 循 的 條 件 中 去 ， 即 可 解 決 問 題 ， 這 種 方 法 稱 為 相關(guān) 點(diǎn) 法 課 后 練 習(xí)課 后 習(xí) 題 1 已 知 A(0， 1)、 B(0,1)兩 點(diǎn) ， ABC的 周 長(zhǎng) 為 6， 則 ABC的 頂 點(diǎn) C的 軌 跡 方 程 是 ( )A.x24 y23 1(x 2)B.y 23 x24 1(y 2)C.x24 y23 1(y 0)D.y 24 x23 1(x 0) D課 后 練 習(xí) 2.一 個(gè) 動(dòng) 圓 與 已 知 圓 Q1:(x+3)2+y2=1外 切 ,與 圓 Q2:(x-3)2+y2=81內(nèi) 切 ,試 求 這 個(gè) 動(dòng) 圓 圓 心 的 軌 跡 方 程 .【 解 析 】 由 已 知 兩 定 圓 的 圓 心 和 半 徑 分 別 為Q1(-3,0),r1=1;Q2(3,0),r2=9.設(shè) 動(dòng) 圓 圓 心 為 M(x,y),半 徑 為 R,如 圖 所 示 ,則 由 題 設(shè) 有 |MQ1|=1+R,|MQ2|=9-R, |MQ1|+|MQ2|=10|Q1Q2|=6.由 橢 圓 定 義 可 知 M在 以 Q 1,Q2為 焦 點(diǎn) 的 橢 圓 上 ,且 a=5,c=3. b2=a2-c2=25-9=16.故 動(dòng) 圓 圓 心 的 軌 跡 方 程 為 2 2x y 1.25 16 1.已 知 圓 x2 y2 9， 從 這 個(gè) 圓 上 任 意 一 點(diǎn) P 向 x 軸 作 垂 線 段PP ， 點(diǎn) M 在 PP 上 ， 并 且 PM 2MP ， 求 點(diǎn) M 的 軌 跡 課 后 習(xí) 題 2 若 將 第 1題 中 “ 點(diǎn) M在 PP 上 ， 并 且 PM 2MP ” 改 為 “ 點(diǎn)M在 直 線 PP 上 ， 并 且 P M P P ( 0)” ， 則 M點(diǎn) 的 軌 跡 是什 么 ？解 析 ： 當(dāng) 0 1時(shí) ， 點(diǎn) M的 軌 跡 是 焦 點(diǎn) 在 x軸 上 的 橢 圓 ；當(dāng) 1時(shí) ， 點(diǎn) M的 軌 跡 是 圓 ；當(dāng) 1時(shí) ， 點(diǎn) M的 軌 跡 是 焦 點(diǎn) 在 y軸 上 的 橢 圓 3.已 知 橢 圓 的 焦 點(diǎn) 是 F1， F2， P是 橢 圓 上 的 一 動(dòng) 點(diǎn) ,如 果 延 長(zhǎng)F1P 到 Q,使 得 |PQ| |PF2|， 那 么 動(dòng) 點(diǎn) Q 的 軌 跡 是 ( )A 圓 B 橢 圓C 雙 曲 線 的 一 支 D 拋 物 線解 析 :如 圖 ， 依 題 意 ： |PF1| |PF2| 2a(a0是 常 數(shù) ) 又 |PQ| |PF2|， |PF 1| |PQ| 2a， 即 |QF1| 2a. 動(dòng) 點(diǎn) Q的 軌 跡 是 以 F1為 圓 心 ， 2a為 半 徑 的 圓 ， 故 選 A. 答 案 A