2019年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第七章 立體幾何初步 課時分層作業(yè) 四十四 7.6 平行、垂直的綜合問題 文一、選擇題(每小題5分,共25分)1.如圖所示,O為正方體ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD的中心,則下列直線中與B1O垂直的是()A.A1DB.AA1C.A1D1D.A1C1【解析】選D.易知AC平面BB1D1D.因為A1C1AC,所以A1C1平面BB1D1D.又B1O平面BB1D1D,所以A1C1B1O.2.如圖所示,在空間四邊形ABCD中,E,F分別為邊AB,AD上的點,且AEEB=AFFD=14,又H,G分別為BC,CD的中點,則()A.BD平面EFGH,且四邊形EFGH是矩形B.EF平面BCD,且四邊形EFGH是梯形C.HG平面ABD,且四邊形EFGH是菱形D.EH平面ADC,且四邊形EFGH是平行四邊形【解析】選B.由AEEB=AFFD=14知EF=BD,所以EF面BCD.又H,G分別為BC,CD的中點,所以HG=BD,所以EFHG且EFHG,所以四邊形EFGH是梯形.3.設(shè),是兩個不同的平面,l,m為兩條不同的直線.命題p:若平面,l,m,則lm;命題q:l,ml,m,則,則下列命題為真命題的是()A.p或qB.p且qC. p或qD.p且q【解析】選C.在長方體ABCD -A1B1C1D1中,命題p:平面AC為平面,平面A1C1為平面,直線A1D1和直線AB分別是直線m,l,顯然滿足,l,m,而m與l異面,故命題p是假命題,p是真命題;命題q:平面AC為平面,平面A1C1為平面,直線A1D1和直線A1B1分別是直線m,l,顯然滿足l,ml,m,而,故命題q是假命題, q是真命題.4.(xx杭州模擬)空間四邊形ABCD中,AB=CD=2,AD=BC=3,M,N分別是對角線AC與BD的中點,則MN與()A.AC,BD之一垂直B.AC,BD不一定垂直C.AC,BD都不垂直D.AC,BD都垂直【解析】選D.連接BM,DM,AN,CN,在ABC和ACD中,AB=CD,AD=BC,AC=CA,故ABCCDA.又M為AC中點,所以BM=DM.因為N為BD的中點,所以MNBD.同理可證MNAC.5.如圖所示,三棱錐A-BCD的底面是等腰直角三角形,AB平面BCD,AB=BC =BD=2,E是棱CD上的任意一點,F,G分別是AC,BC的中點,則在下面命題中:平面ABE平面BCD;平面EFG平面ABD;四面體FECG體積的最大值是.真命題的個數(shù)是 ()A.0B.1C.2D.3【解析】選C.正確,因為AB平面BCD,且AB平面ABE,由面面垂直的判定定理可知平面ABE平面BCD;錯,若兩平面平行,則必有ADEF,而點E是棱CD上任意一點,故該命題為假命題;正確,由已知易得GF平面GCE,且GF=AB=1,而SG CE=GCCEsin 45=CE1,故VF -GCE=SG CEFG.故正確的命題為.二、填空題(每小題5分,共15分)6.已知平面,和直線m.給出條件:m;m;m;.(1)當(dāng)滿足條件_時,有m.(2)當(dāng)滿足條件_時,有m.【解析】(1)當(dāng)m,且時,有m,故填.(2)當(dāng)m,且時,有m,故填.答案:(1)(2)7.如圖,在四棱錐P-ABCD中,PA底面ABCD,且底面各邊都相等,M是PC上的一動點,當(dāng)點M滿足_時,平面MBD平面PCD(只要填寫一個你認(rèn)為正確的條件即可).【解析】連接AC,因為四邊形ABCD各邊相等,所以BDAC,又PA底面ABCD,BD平面ABCD,所以PABD,又PAAC=A,所以BD平面PAC,而PC平面PAC,所以BDPC.所以當(dāng)DMPC(或BMPC)時,即有PC平面MBD,而PC平面PCD,所以平面MBD平面PCD.答案:DMPC(或BMPC)8.如圖,在長方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G,H分別是棱CC1,C1D1,D1D,DC的中點,N是BC的中點,點M在四邊形EFGH及其內(nèi)部運動,則M滿足條件_時,有MN平面B1BDD1.【解析】如圖,連接FH,HN,FN,由題意知HN面B1BDD1,FH面B1BDD1.且HNFH=H,所以面NHF面B1BDD1.所以當(dāng)M在線段HF上運動時,有MN面B1BDD1.答案:M線段HF三、解答題(每小題10分,共20分)9.如圖,在三棱柱ABC-A1B1C1中,BAC=90,AB=AC=2,A1A=4,A1在底面ABC的射影為BC的中點,D是B1C1的中點.證明:A1D平面A1BC.【證明】設(shè)E為BC的中點,連接A1E,AE,DE,由題意得A1E平面ABC,因為AE平面ABC,所以A1EAE.因為AB=AC,所以AEBC.又BCA1E=E,所以AE平面A1BC.由D,E分別為B1C1,BC的中點得DEB1B且DE=B1B,從而DEA1A且DE=A1A,所以AA1DE為平行四邊形.所以A1DAE.又因為AE平面A1BC,所以A1D平面A1BC.10.(xx全國卷)如圖,在四棱錐P-ABCD中,ABCD,且BAP=CDP=90.(1)證明:平面PAB平面PAD.(2)若PA=PD=AB=DC,APD=90,且四棱錐P-ABCD的體積為,求該四棱錐的側(cè)面積.【解析】(1)因為BAP=90,所以ABPA,因為CDP=90,所以CDPD,因為ABCD,所以ABPD,又PAPD=P,所以AB平面PAD,因為AB平面PAB,所以平面PAB平面PAD.(2)在平面PAD內(nèi)作PEAD,垂足為點E.由(1)知,AB平面PAD,故ABPE,可得PE平面ABCD.設(shè)AB=x,則由已知可得AD=x,PE=x.故四棱錐P-ABCD的體積VP ABCD=ABADPE=x3.由題設(shè)得x3=,故x=2.從而PA=PD=2,AD=BC=2,PB=PC=2.可得四棱錐P-ABCD的側(cè)面積為PAPD+PAAB+PDDC+BC2sin 60=6+2.1.(5分)設(shè)平面與平面相交于直線m,直線a在平面內(nèi),直線b在平面內(nèi),且bm,則“”是“ab”的()A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件【解析】選A.若,因為=m,b,bm,所以根據(jù)兩個平面垂直的性質(zhì)定理可得b,又a,所以ab;反過來,當(dāng)am時,因為bm,且a,m共面,一定有ba,但不能保證b,所以不能推出.2.(5分)在三棱錐P-ABC中,PB=6,AC=3,G為PAC的重心,過點G作三棱錐的一個截面,使截面平行于直線PB和AC.則截面的周長為_.【解析】過點G作EFAC交PA,PC于點E,F,過E,F分別作ENPB,FMPB分別交AB,BC于點N,M,連接MN,所以四邊形EFMN是平行四邊形,所以=,即EF=MN=2,=,即FM=EN=2,所以截面的周長為24=8.答案:83.(5分)在三棱錐P-ABC中,點P在平面ABC中的射影為點O,(1)若PA=PB=PC,則點O是ABC的_心.(2)若PAPB,PBPC,PCPA,則點O是ABC的_心.【解析】(1)如圖1,連接OA,OB,OC,OP,在RtPOA、RtPOB和RtPOC中,PA=PC=PB,所以O(shè)A=OB=OC,即O為ABC的外心.(2)如圖2,因為PCPA,PBPC,PAPB=P,所以PC平面PAB,AB平面PAB,所以PCAB.又ABPO,POPC=P,所以AB平面PGC,又CG平面PGC,所以ABCG,即CG為ABC邊AB的高.同理可證BD,AH為ABC底邊上的高,即O為ABC的垂心.答案:(1)外(2)垂4.(12分)如圖,在三棱錐A-BCD中,AB平面BCD,CDBD.(1)求證:CD平面ABD.(2)若AB=BD=CD=1,M為AD中點,求三棱錐A-MBC的體積.【解析】(1)因為AB平面BCD,CD平面BCD,所以ABCD.又因為CDBD,ABBD=B,AB平面ABD,BD平面ABD,所以CD平面ABD.(2)方法一:由AB平面BCD,BD平面BCD,得ABBD,因為AB=BD=1,所以SABD=.因為M是AD的中點,所以SABM=SABD=.由(1)知,CD平面ABD,所以三棱錐C-ABM的高h(yuǎn)=CD=1,因此三棱錐A-MBC的體積VA-MBC=VC-ABM=SABMh=.方法二:由AB平面BCD且AB平面ABD知,平面ABD平面BCD,又平面ABD平面BCD=BD,如圖,過點M作MNBD交BD于點N,則MN平面BCD,且MN=AB=,又CDBD,BD=CD=1,所以SBCD=.所以三棱錐A-MBC的體積VA-MBC=VA-BCD-VM-BCD=ABSBCD-MNSBCD=.5.(13分)如圖,已知三棱柱ABC-ABC的側(cè)棱垂直于底面,AB=AC,BAC=90,點M,N分別為AB和BC的中點.(1)證明:MN平面AACC.(2)設(shè)AB=AA,當(dāng)為何值時,CN平面AMN?試證明你的結(jié)論.【解析】(1)取AB的中點E,連接ME,NE,因為M,N分別為AB和BC的中點,所以NEAC,MEAA.因為AC平面AACC,AA平面AACC,所以ME平面AACC,NE平面AACC,又MENE=E,所以平面MNE平面AACC,因為MN平面MNE,所以MN平面AACC.(2)連接BN,設(shè)AA=a,則AB=AA=a,由題意知BC=a,NC=BN=,因為三棱柱ABC-ABC的側(cè)棱垂直于底面,所以平面ABC平面BBCC,因為AB=AC,所以AB=AC,又因為點N是BC的中點,所以AN平面BBCC,所以CNAN.要使CN平面AMN,只需CNBN即可,所以CN2+BN2=BC2,即2=22a2,所以=.則=時,CN平面AMN.