2.1.1 橢 圓 及 其 標(biāo) 準(zhǔn) 方 程 （ 1）2.1 橢 圓 本 課 件 截 取 了 “ 天 宮 一 號 ” 與 “ 神 八 ” 成 功 對 接 的 電視 新 聞 ， 親 切 而 具 體 ， 是 本 課 的 一 大 亮 點 。 接 著 讓 學(xué) 生 列舉 生 活 中 常 見 的 橢 圓 圖 形 ， 體 現(xiàn) 了 數(shù) 學(xué) 源 于 生 活 ， 又 服 務(wù)于 生 活 的 數(shù) 學(xué) 應(yīng) 用 思 想 ， 培 養(yǎng) 學(xué) 生 善 于 觀 察 ， 熱 愛 生 活 的優(yōu) 良 品 質(zhì) 。 通 過 模 擬 實 驗 ， 學(xué) 生 合 作 探 究 ， 自 己 動 手 畫 出橢 圓 ， 同 時 ， 又 運 用 了 flash動 畫 、 幾 何 畫 版 等 多 種 媒 體 手段 探 索 了 橢 圓 形 成 的 條 件 ， 歸 納 出 橢 圓 的 定 義 . 例 1根 據(jù) 橢 圓 標(biāo) 準(zhǔn) 方 程 判 斷 焦 點 的 位 置 及 求 焦 點 坐 標(biāo) ；例 2是 靈 活 運 用 橢 圓 的 定 義 求 橢 圓 的 標(biāo) 準(zhǔn) 方 程 。 本 節(jié) 課 的難 點 是 橢 圓 標(biāo) 準(zhǔn) 方 程 的 證 明 . 天 宮 一 號 與 神 八 將 實 現(xiàn) 兩 次 成功 對 接 。 北 京 航 天 飛 行 控 制 中 心 最新 消 息 ： 從 對 接 機 構(gòu) 接 觸 開 始 ， 經(jīng)過 捕 獲 、 緩 沖 、 拉 近 、 鎖 緊 4個 步 驟 ，“ 神 舟 八 號 ” 飛 船 與 “ 天 宮 一 號 ”目 標(biāo) 飛 器 3日 凌 晨 實 現(xiàn) 剛 性 連 接 ， 形成 組 合 體 ， 中 國 載 人 航 天 首 次 空 間交 會 對 接 試 驗 獲 得 成 功 。通 過 視 頻 我 們 看 到 天 宮 一 號 與 神八 的 運 行 軌 跡 是 什 么 ？ “ 天 宮 一 號 ” 與 “ 神 八 ”將 實 現(xiàn) 兩 次 對 接 壓 扁 自 己 動 手 試 試 看 :取 出 課 前 準(zhǔn) 備 好 的 一 條 定 長 為 6cm的細 繩 ， 把 它 的 兩 端 固 定 在 畫 板 上 的 F 1 和 F 2 兩 點 ， 用 鉛筆 尖 把 細 繩 拉 緊 ,使 鉛 筆 尖 在 圖 板 上 緩 慢 移 動 ,仔 細 觀 察 ,你 畫 出 的 是 一 個 什 么 樣 的 圖 形 呢 ?橢 圓 的 定 義 怎 樣 畫 橢 圓 呢 ？ F1 F2M橢 圓 的 產(chǎn) 生 繪 圖 紙 上 的 三 個 問 題 :3 繩 長 能 小 于 兩 圖 釘 之 間 的 距 離 嗎 ？ 1.視 筆 尖 為 動 點 ， 兩 個 圖 釘 為 定 點 ， 動 點 到 兩 定 點 距離 之 和 符 合 什 么 條 件 ， 其 軌 跡 是 橢 圓 ？2.改 變 兩 圖 釘 之 間 的 距 離 ， 使 其 與 繩 長 相 等 ， 畫 出 的圖 形 還 是 橢 圓 嗎 ？ 結(jié) 論 ： (1)若 |MF1|+|MF2|F1F2|,M點 軌 跡 為 橢 圓 .(1)已 知 A(-3,0),B(3,0),M點 到 A,B兩 點 的 距 離 和 為10,則 M點 的 軌 跡 是 什 么 ?(2)已 知 A(-3,0),B(3,0),M點 到 A,B兩 點 的 距離 和 為 6,則 M點 的 軌 跡 是 什 么 ?(3)已 知 A(-3,0),B(3,0),M點 到 A,B兩 點 的 距離 和 為 5,則 M點 的 軌 跡 是 什 么 ?橢 圓 線 段 AB不 存 在 (3)若 |MF1|+|MF2|F1F2|. MF2F1橢 圓 的 定 義 建 系 ：設(shè) 點 ：列 式 ：化 簡 ：證 明 ： 建 立 適 當(dāng) 的 直 角 坐 標(biāo) 系 ；設(shè) M（ x,y） 是 曲 線 上 任 意 一 點 ；建 立 關(guān) 于 x,y的 方 程 f(x,y)=0；化 簡 方 程 f(x,y)=0.說 明 曲 線 上 的 點 都 符 合 條 件 ， （ 純 粹 性 ） ； 符 合條 件 的 點 都 在 曲 線 上 （ 完 備 性 ） 。求 橢 圓 的 方 程 復(fù) 習(xí) :求 曲 線 方 程 的 方 法 步 驟 是 什 么 ？(證 明 一 般 省 略 不 寫 ,如 有 特 殊 情 況 ， 可 以 適 當(dāng) 予 以 說 明 ) 探 討 建 立 平 面 直 角 坐 標(biāo) 系 的 方 案建立平面直角坐標(biāo)系通常遵循的原則：“對稱”、“簡潔”O(jiān) xy O xyO xy MF1 F2方 案 一 O xy方 案 二F 1F2MO xy 2.如 何 求 橢 圓 的 方 程 ？ xF1 F2M0y解 ： 取 過 焦 點 F1、 F2的 直 線 為 x軸 ， 線 段 F1F2的 垂 直 平分 線 為 y軸 ， 建 立 平 面 直 角 坐 標(biāo) 系 (如 圖 ). 設(shè) M(x, y)是 橢 圓 上 任 意 一 點 ， 橢 圓 的 焦 距2c(c0)， M與 F1和 F2的 距 離 的 和 等 于 正 常 數(shù) 2a (2a2c) ， 則 F1、 F2的 坐 標(biāo) 分 別 是 (c,0)、 (c,0) .由 橢 圓 的 定 義 得 ： aMFMF 2| 21 222221 )(|,)(| ycxMFycxMF aycxycx 2)()( 2222 代 入 坐 標(biāo)（ 問 題 ： 下 面 怎 樣 化 簡 ？ ） 222222 bayaxb 則 上 式 變 為 2 2 2( 0),a c b b 設(shè) ,0,22 22 cacaca 即由 橢 圓 定 義 可 知 222 )( ycxacxa 即 ： 22222222224 22 yacacxaxaxccxaa 兩 邊 再 平 方 ， 得 )()( 22222222 caayaxca 整 理 得 ： 2222222 )()(44)( ycxycxaaycx 移 項 ， 再 平 方 ).0(1 2222 babyax aycxycx 2)()( 2222 得 ：兩 邊 同 除 以 22ba 橢 圓 的 標(biāo) 準(zhǔn) 方 程 它 表 示 ： 橢 圓 的 焦 點 在 x軸 焦 點 坐 標(biāo) 為 F1（ -C， 0） 、 F2（ C， 0） c2= a2 - b2 焦 點 在 x軸 上 的 橢 圓 的 標(biāo) 準(zhǔn) 方 程 ：)0(12222 babyax F1 F2M0 xy思 考 ： 當(dāng) 橢 圓 的 焦 點 在 y軸 上 時 ,它 的 標(biāo) 準(zhǔn) 方 程 是 怎 樣的 呢 焦 點 在 y軸 上 的 橢 圓 的 標(biāo) 準(zhǔn) 方 程)0(12222 babxay它 表 示 : 橢 圓 的 焦 點 在 y軸 焦 點 是 F1（ 0， -c） 、 F2（ 0， c） c 2= a2 - b2 xMF1F2y 2 22 2+ =1 0 x y a ba b 2 22 2+ =1 0 x y a bb a分 母 哪 個 大 ， 焦 點 就 在 哪 個 軸 上平 面 內(nèi) 到 兩 個 定 點 F1， F2的 距 離 的 和 等于 常 數(shù) （ 大 于 F1F2） 的 點 的 軌 跡 1 2- , 0 , 0，F(xiàn) c F c 1 20,- 0,，F(xiàn) c F c標(biāo) 準(zhǔn) 方 程相 同 點 焦 點 位 置 的 判 斷不 同 點 圖 形焦 點 坐 標(biāo)定 義a、 b、 c 的 關(guān) 系根 據(jù) 所 學(xué) 知 識 完 成 下 表 : xyF1 F2PO xyF1F2 POa2-c2=b2橢 圓 方 程 有 特 點系 數(shù) 為 正 加 相 連分 母 較 大 焦 點 定右 邊 數(shù) “ 1” 記 心 間 11625)1( 22 yx 答 ： 在 x軸 。 （ -3， 0） 和 （ 3， 0）1169144)2( 22 yx 答 ： 在 y軸 。 （ 0， -5） 和 （ 0， 5）11)3( 2 222 mymx 答 ： 在 y軸 。 （ 0， -1） 和 （ 0， 1）判 斷 橢 圓 標(biāo) 準(zhǔn) 方 程 的 焦 點 在 哪 個 軸 上 的 準(zhǔn) 則 ： 焦 點 在 分 母 大 的 那 個 軸 上 例 1、 判 定 下 列 橢 圓 的 標(biāo) 準(zhǔn) 方 程 在 哪 個 軸 上 ， 并 寫 出 焦 點 坐 標(biāo) 。典 例 展 示 對 橢 圓 ， 各 個 小 組 仿 照 例 題 或 習(xí) 題的 形 式 自 己 設(shè) 計 一 個 題 目 ， 兩 個 小 組 交 換 審 查 ，并 嘗 試 作 答 . 11625 22 yx 例 2 橢 圓 的 兩 個 焦 點 的 坐 標(biāo) 分 別 是 （ 4， 0） （ 4， 0） ， 橢圓 上 一 點 M 到 兩 焦 點 距 離 之 和 等 于 10， 求 橢 圓 的 標(biāo) 準(zhǔn) 方 程 。 1 2yoF FM x解 ： 橢 圓 的 焦 點 在 x軸 上 設(shè) 它 的 標(biāo) 準(zhǔn) 方 程 為 : 2a=10, 2c=8 a=5, c=4 b 2=a2 c2=52 42=9 所 求 橢 圓 的 標(biāo) 準(zhǔn) 方 程 為 )0(12222 babyax 1925 22 yx 求 橢 圓 標(biāo) 準(zhǔn) 方 程 的 解 題 步 驟 ：（ 1） 一 定 焦 點 位 置 （ 2） 二 設(shè) 橢 圓 方 程 ； （ 3） 三 求 a、 b的 值 .(待 定 系 數(shù) 法 ) （ 4） 寫 出 橢 圓 的 標(biāo) 準(zhǔn) 方 程 . 1 23闖 關(guān) 競 技 場 題 ： 題 ： 2 ABCD 不 存 在橢 圓 D 退 出答 案 BCDA 75 A32 退 出11625 22 yx2、 已 知 橢 圓 上 一 點 P到 橢 圓 的一 個 焦 點 的 距 離 為 3， 則 P到 另 一 個 焦點 的 距 離 為 （ ） 答 案 3、 求 適 合 下 列 條 件 的 橢 圓 的 標(biāo) 準(zhǔn) 方 程(1)a= ,b=1,焦 點 在 x軸 上 ,6 2 2 16x y (2)焦 點 為 F1(0, 3)， F2(0,3),且 a=5. 2 2 125 16y x 答 案 退 出 一 個 定 義 橢 圓 定 義 ： 平 面 內(nèi) 與 兩 個 定 點 F1、 F2的 距 離 的 和 等 于 常 數(shù) 2a (大 于 F1F2 ,)的 點 的 軌 跡 ， 叫 做 橢 圓 .兩 個 方 程 橢 圓 標(biāo) 準(zhǔn) 方 程 ： (1). 橢 圓 焦 點 在 x軸 上 (2). 橢 圓 焦 點 在 y軸 上兩 種 方 法 待 定 系 數(shù) 法 、 數(shù) 形 結(jié) 合 思 想 方 法 ).0(1 2222 babyax ).0(12222 babxay 課 后 練 習(xí)課 后 習(xí) 題