2019-2020年高三數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí) 專(zhuān)題十六 算法、復(fù)數(shù)、推理與證明（含解析）抓住4個(gè)高考重點(diǎn)重點(diǎn)1 程序框圖與基本算法語(yǔ)句1程序框圖（1）概念：程序框圖又稱(chēng)流程圖，是一種用規(guī)定的圖形、指向線(xiàn)及文字說(shuō)明來(lái)準(zhǔn)確、直觀(guān)地表示算法的圖形（2）基本的程序框和它們各自表示的功能如下表：（3）程序框圖的三種基本結(jié)構(gòu)(i)順序結(jié)構(gòu) 順序結(jié)構(gòu)是由若干個(gè)依次執(zhí)行的處理步驟組成的，它是任何一個(gè)算法都離不開(kāi)的一種基本算法結(jié)構(gòu)，其結(jié)構(gòu)形式如圖所示. (ii)條件結(jié)構(gòu)在一個(gè)算法中，經(jīng)常會(huì)遇到一些條件的判斷，算法的流程根據(jù)條件是否成立有不同的流向，這種先根據(jù)條件作出判斷，再?zèng)Q定執(zhí)行哪一種操作的結(jié)構(gòu)稱(chēng)為條件結(jié)構(gòu)，其結(jié)構(gòu)形式如圖甲、乙所示： (iii)循環(huán)結(jié)構(gòu) 在一些算法中，要求重復(fù)執(zhí)行同一操作的結(jié)構(gòu)稱(chēng)為循環(huán)結(jié)構(gòu)，即從算法某處開(kāi)始，按照一定的條件反復(fù)執(zhí)行某些步驟的情況反復(fù)執(zhí)行的步驟稱(chēng)為循環(huán)體 循環(huán)結(jié)構(gòu)有兩種形式：當(dāng)型循環(huán)結(jié)構(gòu)和直到型循環(huán)結(jié)構(gòu)其結(jié)構(gòu)形式分別如圖所示： 2基本算法語(yǔ)句 （1）輸入語(yǔ)句、輸出語(yǔ)句和賦值語(yǔ)句 (i)輸入語(yǔ)句、輸出語(yǔ)句與賦值語(yǔ)句的一般格式 a輸入語(yǔ)句的一般格式是 INPUT “提示內(nèi)容”；變量 b輸出語(yǔ)句的一般格式是 PRINT “提示內(nèi)容”；表達(dá)式 IF 條件 THEN 語(yǔ)句體1ELSE 語(yǔ)句體2END IF c賦值語(yǔ)句的一般格式是 變量=表達(dá)式 (ii)輸入語(yǔ)句、輸出語(yǔ)句與賦值語(yǔ)句的功能 aINPUT語(yǔ)句的功能是對(duì)程序中的變量通過(guò)鍵盤(pán)賦值bPRINT語(yǔ)句的功能是輸出表達(dá)式的值 （2）條件語(yǔ)句(i)算法中的條件結(jié)構(gòu)由條件語(yǔ)句來(lái)表達(dá)，條件語(yǔ)句的一般格式是當(dāng)計(jì)算機(jī)執(zhí)行IF語(yǔ)句時(shí)，首先對(duì)IF后的條件進(jìn)行判斷，如果條件符合，就執(zhí)行THEN后的語(yǔ)句體1，否則執(zhí)行ELSE后的語(yǔ)句體2 .IF 條件 THEN 語(yǔ)句體END IF(ii)條件語(yǔ)句還有一種比較簡(jiǎn)單的格式：當(dāng)計(jì)算機(jī)執(zhí)行上述語(yǔ)句時(shí)，首先對(duì)IF后的條件進(jìn)行判斷，如果條件符合，就執(zhí)行THEN后的語(yǔ)句體，否則執(zhí)行END IF后的語(yǔ)句（3）循環(huán)語(yǔ)句算法中的循環(huán)結(jié)構(gòu)是由循環(huán)語(yǔ)句來(lái)實(shí)現(xiàn)的，對(duì)應(yīng)于程序框圖中的兩種循環(huán)結(jié)構(gòu)，一般程序設(shè)計(jì)語(yǔ)言中也有當(dāng)型( WHILE)和直到型(UNTIL)兩種語(yǔ)句，即WHILE語(yǔ)句和UNTIL語(yǔ)句.WHILE 條件 循環(huán)體WEND (i) WHILE語(yǔ)句的一般格式是 當(dāng)計(jì)算機(jī)執(zhí)行WHILE語(yǔ)句時(shí)，先判斷條件的真假，如果條件符合，就執(zhí)行WHILE與WEND之間的循環(huán)體；再檢查上述條件，如果條件仍符合，再次執(zhí)行循環(huán)體，這個(gè)過(guò)程反復(fù)執(zhí)行，直到某一次條件不符合為止，這時(shí)，計(jì)算機(jī)將不執(zhí)行循環(huán)體，直接跳到WEND語(yǔ)句后，接著執(zhí)行WEND之后的語(yǔ)句因此當(dāng)型循環(huán)有時(shí)也稱(chēng)為“前測(cè)試型”循環(huán)DO 循環(huán)體LOOP UNTIL 條件 (ii) UNTIL語(yǔ)句的一般格式是 當(dāng)計(jì)算機(jī)執(zhí)行UNTIL語(yǔ)句時(shí)，先執(zhí)行DO后面的循環(huán)體，接著執(zhí)行LOOP UNTIL語(yǔ)句，對(duì)該語(yǔ)句中的條件進(jìn)行判斷，如果不滿(mǎn)足條件，就再去執(zhí)行循環(huán)體，直到條件滿(mǎn)足時(shí)，退出循環(huán)去執(zhí)行LOOP UNTIL后面的語(yǔ)句高考常考角度角度1 閱讀如圖所示的程序框圖，運(yùn)行相應(yīng)的程序，則輸出的i的值為（ ） A3 B4 C5 D6解析：本題主要考查考生對(duì)程序框圖的識(shí)圖能力因?yàn)樵摮绦蚩驁D執(zhí)行4次后結(jié)束，所以輸出的i的值等于4故選B在求解輸出結(jié)果的循環(huán)結(jié)構(gòu)程序框圖試題時(shí)，要把變量的變化規(guī)律弄清楚，按照其變化規(guī)律逐步進(jìn)行計(jì)算，直到根據(jù)判斷條件結(jié)束循環(huán).角度2 某程序框圖如圖所示，若輸出的，則判斷框內(nèi)為（ ） A B C D解析：本題考查程序框圖，第一次執(zhí)行后，k=2，S=2 +2 =4；第二次執(zhí)行后，k=3，S=8 +3 =11；第三次執(zhí)行后，k=4，S=22 +4=26；第四次執(zhí)行后，k=5，S=52 +5=57，此時(shí)結(jié)束循環(huán)，故判斷框內(nèi)填“k>4?”故選A角度3 運(yùn)行如圖所示的程序，輸出的結(jié)果是_.解析：本題主要考查基本算法語(yǔ)句a=l，b=2，把1與2的和賦給a，即a=3，輸出的結(jié)果是3賦值語(yǔ)句是最重要的一種基本語(yǔ)句，也是一個(gè)程序必不可少的重要組成部分，使用賦值語(yǔ)句時(shí)，一定要注意其格式要求，如：賦值號(hào)左邊只能是變量而不能是表達(dá)式；賦值號(hào)左右兩邊不能對(duì)換；不能利用賦值語(yǔ)句進(jìn)行代數(shù)式計(jì)算等重點(diǎn)2 復(fù)數(shù)的概念與運(yùn)算1解答復(fù)數(shù)的概念問(wèn)題的方法（1）復(fù)數(shù)相等：如果兩個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部分別相等，那么這兩個(gè)復(fù)數(shù)相等如果，那么，特別地，（2）共軛復(fù)數(shù)：當(dāng)兩個(gè)復(fù)數(shù)實(shí)部相等、虛部互為相反數(shù)時(shí)，這兩個(gè)復(fù)數(shù)互為共軛復(fù)數(shù)設(shè)復(fù)數(shù)，則它的共軛復(fù)數(shù)為（3）復(fù)數(shù)的模：的模，也就是復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，即向量的模，其計(jì)算公式為顯然，（4）復(fù)數(shù)的幾何意義：復(fù)數(shù)集C和復(fù)平面內(nèi)所有點(diǎn)的集合是等價(jià)的2復(fù)數(shù)的代數(shù)運(yùn)算技巧（1）其中，由此可以看出i的運(yùn)算具有周期性，其周期為4（2），對(duì)于含有或這樣式子的高次乘方運(yùn)算，可通過(guò)上述恒等式，轉(zhuǎn)化成右邊的形式，再進(jìn)行運(yùn)算復(fù)數(shù)的除法一般是將分母實(shí)數(shù)化，即分子、分母同乘以分母的共軛復(fù)數(shù)，再進(jìn)一步化簡(jiǎn)高考?？冀嵌冉嵌? 設(shè)是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)為（ ） A. 2 B. C. D. 解析：方法一，設(shè)，則，所以.故選A.方法二，為純虛數(shù)，所以角度2 為正實(shí)數(shù)，為虛數(shù)單位，則（ ）A2 B C D1解析：，故選B.重點(diǎn)3 歸納推理與類(lèi)比推理1歸納推理的一般步驟（1）通過(guò)觀(guān)察個(gè)別事物發(fā)現(xiàn)某些相同的性質(zhì)；（2）從已知的相同性質(zhì)中推出一個(gè)明確表述的一般性命題一般情況下，歸納的個(gè)別事物越多，越具有代表性，推廣的一般性結(jié)論也就越可靠2類(lèi)比推理的一般步驟（1）找出兩類(lèi)事物之間的相似性或一致性；（2）用一類(lèi)事物的性質(zhì)推測(cè)另一類(lèi)事物的性質(zhì)，得出一個(gè)明確的結(jié)論高考?？冀嵌冉嵌? 設(shè)函數(shù)，觀(guān)察：，根據(jù)上述事實(shí)，由歸納推理可得：當(dāng)，且時(shí)， 。解析：方法一，以此類(lèi)推可得。答案：方法二：本題考查歸納推理，考查由特殊示例歸納為一般結(jié)論的能力根據(jù)題意知，分子都是x，分母中的常數(shù)項(xiàng)依次是2，4，8，16，x的系數(shù)依次是l，3，7，15，則的分母中常數(shù)項(xiàng)為的系數(shù)為，故點(diǎn)評(píng)：歸納推理的關(guān)鍵是合乎情理，在推理的過(guò)程中要充分利用已經(jīng)掌握的數(shù)學(xué)知識(shí)，對(duì)推理的過(guò)程和結(jié)論進(jìn)行適時(shí)的調(diào)整，使推理得到的結(jié)論具有可靠性，當(dāng)然，歸納推理所得到的結(jié)論有待進(jìn)一步檢驗(yàn)或論證角度2 在平面上，若兩個(gè)正三角形的邊長(zhǎng)的比為，則它們的面積比為，類(lèi)似地，在空間中，若兩個(gè)正四面體的棱長(zhǎng)的比為，則它們的體積比為_(kāi).解析：本題考查類(lèi)比推理，在平面幾何中，面積比為相似比的平方；在立體幾何中，體積比為相似比的立方由類(lèi)比推理得，若兩個(gè)正四面體的棱長(zhǎng)的比為1：2，則它們的體積比為1：8下面通過(guò)計(jì)算來(lái)驗(yàn)證假設(shè)兩個(gè)正四面體的棱長(zhǎng)分別為1和2，如圖，正四面體ABCD的棱長(zhǎng)為1，取BC的中點(diǎn)為，連結(jié)，作于，則 又在RtAOD中， 則同理可得棱長(zhǎng)為2的正四面體的體積為,類(lèi)比推理是合情推理中的一類(lèi)重要推理，強(qiáng)調(diào)的是兩類(lèi)事物之間的相似性，有共同要素是產(chǎn)生類(lèi)比遷移的客觀(guān)因素，類(lèi)比可以由概念性質(zhì)上的相似性引起，如等差數(shù)列與等比數(shù)列的類(lèi)比；也可以，由解題方法上的類(lèi)似引起，當(dāng)然首先要在某些方面有一定的共性，才能有方法上的類(lèi)比，本題即屬于此類(lèi)一般來(lái)說(shuō)，高考中的類(lèi)比問(wèn)題多發(fā)生在橫向與縱向類(lèi)比上，如圓錐曲線(xiàn)中橢圓與雙曲線(xiàn)等的橫向類(lèi)比以及平面與空間中三角形與三棱錐的縱向類(lèi)比等.重點(diǎn)4 數(shù)學(xué)歸納法1利用數(shù)學(xué)歸納法解決問(wèn)題的步驟是：試值猜想證明， 基本形式為：設(shè)是個(gè)與正整數(shù)有關(guān)的命題，如果 當(dāng)時(shí)，成立；假設(shè)當(dāng)時(shí)，成立，由此推得當(dāng)時(shí)，也成立，那么，根據(jù)知對(duì)一切正整數(shù)時(shí)，成立2用數(shù)學(xué)歸納法證明時(shí)需要注意的問(wèn)題（1）上述兩個(gè)步驟缺一不可，第一步是驗(yàn)證命題遞推關(guān)系的基礎(chǔ)，沒(méi)有第一步，第二步就毫無(wú)意義；（2）第二步中在證明“當(dāng)時(shí)命題成立”時(shí)，必須利用“當(dāng)時(shí)命題成立”這一條件；（3）在第二步的證明中，“當(dāng)時(shí)命題成立”相當(dāng)于已知條件，而“當(dāng)時(shí)命題成立”則是要求證的結(jié)果.因此在證明時(shí)，一般要先湊出歸納假設(shè)里給出的形式，然后再利用題給關(guān)系，湊出當(dāng)時(shí)的結(jié)論.高考?？冀嵌冉嵌?已知的三邊長(zhǎng)都是有理數(shù)。（1）求證：是有理數(shù)；（2）求證：對(duì)任意正整數(shù)是有理數(shù).解析：本題主要考查余弦定理、數(shù)學(xué)歸納法等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證的能力與分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力.證明：（1）由AB、BC、AC為有理數(shù)及余弦定理知 是有理數(shù).（2）用數(shù)學(xué)歸納法證明和都是有理數(shù).當(dāng)時(shí)，由（1）知是有理數(shù)，從而有也是有理數(shù).假設(shè)當(dāng)時(shí)，和都是有理數(shù).當(dāng)時(shí)，由，由和歸納假設(shè)，知和都是有理數(shù).即當(dāng)時(shí)，結(jié)論成立.綜合、可知，對(duì)任意正整數(shù)是有理數(shù).角度2已知函數(shù) （）求函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，并說(shuō)明理由； （）設(shè)數(shù)列滿(mǎn)足，證明：存在常數(shù),使得對(duì)于任意的，都有.解析：（I）由知，而，且，則為的一個(gè)零點(diǎn)，且在內(nèi)有零點(diǎn)，因此至少有兩個(gè)零點(diǎn)解法1：，記，則。當(dāng)時(shí)，因此在上單調(diào)遞增，則在內(nèi)至多只有一個(gè)零點(diǎn)。又因?yàn)椋瑒t在內(nèi)有零點(diǎn)，所以在內(nèi)有且只有一個(gè)零點(diǎn)。記此零點(diǎn)為，則當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；所以，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，而，則在內(nèi)無(wú)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，則在內(nèi)至多只有一個(gè)零點(diǎn)；從而在內(nèi)至多只有一個(gè)零點(diǎn)。綜上所述，有且只有兩個(gè)零點(diǎn)。解法2：，記，則.當(dāng)時(shí)，因此在上單調(diào)遞增，則在內(nèi)至多只有一個(gè)零點(diǎn)。因此在內(nèi)也至多只有一個(gè)零點(diǎn)，綜上所述，有且只有兩個(gè)零點(diǎn)。（II）記的正零點(diǎn)為，即。（1）當(dāng)時(shí)，由，即.而，因此，由此猜測(cè)：。下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)時(shí)，顯然成立；假設(shè)當(dāng)時(shí)，有成立，則當(dāng)時(shí)，由知，因此，當(dāng)時(shí)，成立。故對(duì)任意的，成立。（2）當(dāng)時(shí)，由（1）知，在上單調(diào)遞增。則，即。從而，即，由此猜測(cè)：。下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)時(shí)，顯然成立；假設(shè)當(dāng)時(shí)，有成立，則當(dāng)時(shí)，由知，因此，當(dāng)時(shí)，成立。故對(duì)任意的，成立。綜上所述，存在常數(shù)，使得對(duì)于任意的，都有.突破2個(gè)高考難點(diǎn)難點(diǎn)1 算法與其他知識(shí)的交匯解決算法與方程、不等式、函數(shù)、數(shù)列、統(tǒng)計(jì)等知識(shí)交匯的綜合問(wèn)題，其關(guān)鍵之處就是要熟悉所給算法的功能，并由此轉(zhuǎn)化為方程、不等式、函數(shù)、數(shù)列、統(tǒng)計(jì)等相關(guān)的問(wèn)題，這樣就可以解決問(wèn)題了.典例1 如圖所示，給出了一個(gè)程序框圖，其作用是輸入的值，輸出相應(yīng)的值若要使輸入的的值與輸出的值相等，則這樣的的值有（ ） A1個(gè) B2個(gè) C3個(gè) D4個(gè)解析：這是一個(gè)用條件分支結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)的算法，該程序框圖所表示的算法的作用是求分段函數(shù) 的函數(shù)值（1）當(dāng)時(shí)，令；（2）當(dāng)時(shí)，令；（3）當(dāng)時(shí)，令（舍去），故有3個(gè)值符合題意，故選C本題是一個(gè)分段函數(shù)與條件分支結(jié)構(gòu)相結(jié)合的問(wèn)題，綜合了函數(shù)、方程等知識(shí)，解決此類(lèi)問(wèn)題的難點(diǎn)在于確定由條件分支結(jié)構(gòu)給出的分段函數(shù)模型突破該難點(diǎn)的關(guān)鍵在于根據(jù)判斷框確定分段的依據(jù)，根據(jù)流程線(xiàn)的方向確定其對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式另外在求解方程時(shí)，應(yīng)該注意解析式成立的前提，即自變量取值范圍的限制.典例2 隨機(jī)抽取某產(chǎn)品件，測(cè)得其長(zhǎng)度分別為則如圖所示的程序框圖輸出的_， 表示的樣本的數(shù)字特征是_.解析：由程序框圖得 輸出的 所以表示的是樣本的平均數(shù)典例3 如圖所示的程序框圖，最后輸出的的值是_.解析：由題意得，當(dāng)時(shí)，不成立；當(dāng)時(shí)，不成立； 當(dāng)時(shí)，不成立；當(dāng)時(shí)，有，此時(shí)成立. 所以的值是5本題是一道算法與不等式交匯的綜合問(wèn)題，求解的難點(diǎn)在于如何根據(jù)程序框圖確定符合條件的的值解決這一難點(diǎn)的方法是：逐個(gè)取的值，判斷是否成立，第一個(gè)使成立的的值就是符合條件的的值難點(diǎn)2 反證法的應(yīng)用技巧 反證法是一種反設(shè)結(jié)論導(dǎo)出矛盾的證明方法，其難點(diǎn)就是如何反設(shè)結(jié)論和導(dǎo)出矛盾，破解的方法是：反設(shè)的結(jié)論就是新的已知條件，和題目中的其他已知條件一起進(jìn)行推理，通過(guò)對(duì)題目具體情況的分析找到導(dǎo)出矛盾的方向.典例1 已知求證： （1） （2）中至少有一個(gè)不小于解析：（1）因?yàn)樗裕?）假設(shè)都小于，即 則由同向不等式性質(zhì)，得這與矛盾，故原命題結(jié)論成立，即中至少有一個(gè)不小于典例2 已知若在上的最大值為最小值為.求證： 且 解析：（1）當(dāng)時(shí)，由，得，顯然由題意得在上是單調(diào)函數(shù)，所以的最大值為，最小值為由已知條件得與相矛盾，所以（2）當(dāng)時(shí)，由二次函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)，知在上是單調(diào)函數(shù)，故其最值在區(qū)間的端點(diǎn)處取得所以 或 又，則此時(shí)無(wú)解，所以 由（1）（2）得 且 證明本題的難點(diǎn)：一是正確寫(xiě)出結(jié)論的否定形式；二是當(dāng)結(jié)論的反面不是一種情況時(shí)，該如何證明，破解第一個(gè)難點(diǎn)，必須熟知命題“且”的否定是命題“或"對(duì)本題而言，結(jié)論“ 且 ”的否定形式是” 或 ” 破解第二個(gè)難點(diǎn)，分 及進(jìn)行討論，并逐一推出矛盾.規(guī)避4個(gè)易失分點(diǎn)易失分點(diǎn)1 條件結(jié)構(gòu)中對(duì)條件的判斷不準(zhǔn)典例 運(yùn)行如圖所示的程序框圖，若輸出的值的范圍是，則輸入的的范圍是_易失分提示：本題容易出錯(cuò)的地方有兩個(gè)：一是不清楚判斷條件和函數(shù)值的對(duì)應(yīng)關(guān)系，如把時(shí)對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式寫(xiě)成或；二是對(duì)變量的分類(lèi)錯(cuò)誤，本題中對(duì)的分類(lèi)為，分類(lèi)時(shí)可能漏掉其端點(diǎn)值，也可能把寫(xiě)成等.解析：本題是計(jì)算分段函數(shù) 值的程序框圖，若，由若，由；若，由，故輸入的的范圍是易失分點(diǎn)2 對(duì)循環(huán)結(jié)束的條件判斷不準(zhǔn)典例 如圖所示是一算法的程序框圖，若此程序運(yùn)行的結(jié)果為，則在判斷框中應(yīng)填人關(guān)于的判斷條件是（ ） A B C D易失分提示： 本題容易出錯(cuò)的地方就是不清楚這個(gè)判斷條件是什么，本題是當(dāng)不滿(mǎn)足判斷框中的條件時(shí)結(jié)束循環(huán)，當(dāng)判斷框中的條件滿(mǎn)足時(shí)執(zhí)行循環(huán)，故應(yīng)該從開(kāi)始按照遞減的方式逐步進(jìn)行，直到的輸出結(jié)果為解析：第一次運(yùn)行結(jié)果為第二次運(yùn)行結(jié)果為第三次運(yùn)行結(jié)果為故判斷條件是故選C易失分點(diǎn)3 忽視類(lèi)比的對(duì)應(yīng)關(guān)系典例 若三角形內(nèi)切圓的半徑為，三邊長(zhǎng)為，則三角形的面積等于，根據(jù)類(lèi)比推理的方法，若一個(gè)四面體的內(nèi)切球的半徑為，四個(gè)面的面積分別是，則四面體的體積_易失分提示：沒(méi)有把握住面與體的對(duì)應(yīng)關(guān)系，只是照章學(xué)樣，從而導(dǎo)致系數(shù)錯(cuò)誤，或?qū)吪c面積的對(duì)應(yīng)關(guān)系搞不清而導(dǎo)致錯(cuò)誤解析：找出它們的相似可比性和對(duì)應(yīng)關(guān)系，即可得出結(jié)果易失分點(diǎn)4 對(duì)數(shù)學(xué)歸納法的證明思想理解錯(cuò)誤典例 用數(shù)學(xué)歸納法證明：對(duì)一切大于1的自然數(shù)，不等式成立易失分提示： 1證明“時(shí)命題也成立”的過(guò)程中，未能利用歸納假設(shè) 2利用歸納假設(shè)，對(duì)目標(biāo)式進(jìn)行化簡(jiǎn)時(shí)不能適當(dāng)?shù)胤趴s來(lái)實(shí)現(xiàn)解析：（1）當(dāng)時(shí)，左邊，右邊，左邊右邊. （2）假設(shè)時(shí)不等式成立，即 那么當(dāng)時(shí)，時(shí)不等式也成立由（1）（2）知，對(duì)一切大于1的自然數(shù)，不等式都成立.