經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)計(jì)算題復(fù)習(xí)資料一線性代數(shù)一）矩陣1運(yùn)算法則：（1）m行n列的矩陣與p行q列的矩陣的矩陣在m =p, n =q的條件下可以相加減,加減法則：對應(yīng)元素相加減.（2）數(shù)乘 （3）n行m列的矩陣與p行q列的矩陣的矩陣在m=p的條件下可以相乘，得n行q列的矩陣。乘法法則：行列相乘。如：（4）A的轉(zhuǎn)置，是A的行列互換。注：A為對稱矩陣的概念 （即A的元素關(guān)于A的主對角線對稱） 如是對稱矩陣 如不是對稱矩陣（5）逆矩陣：矩陣A的逆矩陣用表示，滿足。（其中I是相應(yīng)于A的單位矩陣，即對角線上的數(shù)全為1，其余的數(shù)全為0的n階矩陣）逆矩陣求法：A的元素與對應(yīng)I的元素左右放置成n行2n列的矩陣（A I），對矩陣(A I)進(jìn)行初等行變換，變到左半部分為I時右半部分即為。初等行變換有三種：交換某二行 某一行乘非零常數(shù) 某一行每一元素都乘同一非零常數(shù)加到另一行（6）矩陣的秩：任一矩陣通過初等行變換轉(zhuǎn)化為階梯形矩陣后非零行的行數(shù)就是矩陣的秩，記為秩（A）或r(A)階梯形矩陣滿足：1.零行（一行中所有元素都是0）在最下面、 2.非零行中每行最前面0的個數(shù)比它前一行的最前面的0的個數(shù)多典型例題：說明：這部分考試時不必寫，我只是寫給你看看的，為了容易理解1矩陣，求。 下面求的逆矩陣 說明：此題每個箭頭上方的文字考試時可以不寫，我只是寫給你看看的，容易理解（以下各題也一樣）2分析：A是3行3列的矩陣，即3階矩陣，所以對應(yīng)I為3階單位矩陣，即這里解： 3設(shè)矩陣，是3階單位矩陣，求解：由矩陣減法運(yùn)算得利用初等行變換得即 方法總結(jié)：先從左到右變，使左下方元素變?yōu)?，再從右到左變，使右上方元素變?yōu)?且對角線元素為1。4設(shè)矩陣，求 解 所以， =5設(shè)矩陣，求解矩陣方程 分析： 即，所以本題還是求逆矩陣，即求解 因?yàn)?所以 且 說明：如果題目改為，則即 所以秩（A）3 （也可寫成r（A）3）二）線性方程組 1齊次線性方程組（即方程右邊常數(shù)項(xiàng)全為0）解法：第一步 寫出系數(shù)矩陣A 第二步 對系數(shù)矩陣A進(jìn)行初等行變換（同上面求逆矩陣），化為行簡化階梯形矩陣 第三步 根據(jù)行簡化階梯形矩陣寫出方程組的一般解。 行簡化階梯形矩陣是每一個非零行的第一個非零元素是1，且其上下都是0的階梯形矩陣。 例1求線性方程組 的一般解說明：一般解中的系數(shù)就是方框中的數(shù)的相反數(shù)，如箭頭所示。你考試時不必畫框框和箭頭 一般解為：（其中，是自由未知量） 2非齊次線性方程組（即方程右邊常數(shù)項(xiàng)不全為0）解法：第一步 寫出增廣矩陣，即系數(shù)矩陣A再加上一列常數(shù)列 第二步 對增廣矩陣進(jìn)行初等行變換（同上面求逆矩陣），化為行簡化階梯形矩陣 第三步 根據(jù)行簡階梯形矩陣寫出方程組的一般解。 例：求線性方程組的一般解 解：說明：一般解中的系數(shù)就是第一方框中的數(shù)的相反數(shù)，常數(shù)項(xiàng)就是第二方框內(nèi)的數(shù)，如箭頭所示。你考試時不必畫框框和箭頭于是方程組的一般解是（是自由未知量） 3含參數(shù)的齊次方程組用方程組的系數(shù)矩陣A的秩（即通過初等行變換變?yōu)殡A梯形后非零行的行數(shù)）小于未知量的個數(shù)時，方程組有非零解來確定參數(shù)的值，然后寫出一般解。例：求當(dāng)取何值時方程組有非零解？并求出非零解。解：將方程的系數(shù)矩陣化為階梯形矩陣因?yàn)榉匠讨心┲獢?shù)有3個，必須A的秩小于3，方程組才會有非零解，所以5時方程組有非零解此時 故一般解為4含參數(shù)的非齊次方程組用方程組系數(shù)矩陣與增廣矩陣的秩相等（即兩者通過初等行變換變?yōu)殡A梯形矩陣后非零行的行數(shù)相等）時方程組有解來確定參數(shù)的值，然后求解。例：求當(dāng)取何值時線性方程組有解，在有解的情況下求方程組的一般解解：將方程組的增廣矩陣化為階梯形矩陣由此可知當(dāng)時，方程組有解此時得方程組的一般解為其中是自由未知量 二應(yīng)用題1主要有兩大類，求平均成本及平均成本最低，求總利潤和總利潤最高。2名字解釋 總成本：固定成本加可變成本 邊際成本：總成本的導(dǎo)數(shù) 總收益：生產(chǎn)的產(chǎn)品銷售后得到的收入 邊際收益：總收益的導(dǎo)數(shù)數(shù) 總利潤：總收益減去總成本 邊際利潤：總收益的導(dǎo)數(shù)或邊際收益減去邊際成本3已知總成本求邊際成本就是求總成本的導(dǎo)數(shù)，已知邊際成本求總成本就是求邊際成本的積分再加上固定成本；已知總收益（或總利潤）求邊際收益（ 或邊際收益）就是求導(dǎo)數(shù)，已知邊際收益（或邊際利潤）求總收益（或總利潤）就是求邊際的積分。如： 4解題方法求平均成本最低的方法：邊際平均成本即平均成本的導(dǎo)數(shù)等于零的產(chǎn)量對應(yīng)的平均成本就是最低平均成本 求利潤最高的方法：邊際利潤即利潤的導(dǎo)數(shù)等于零的產(chǎn)量對就的利潤就是最高利潤。求總產(chǎn)量變化時成本、平均成本、收益或利潤的增量時用相應(yīng)的邊際函數(shù)的定積分（見例2的第二小題）應(yīng)用題中的導(dǎo)數(shù)與積分是比較簡單的，以多項(xiàng)式為主，主要公式為：如： 5典型例題：例1 已知某產(chǎn)品的邊際成本（萬元/百臺），為產(chǎn)量（百臺），固定成本為18（萬元），求該產(chǎn)品的平均成本最低平均成本解（1） 平均成本函數(shù) （說明：若要求產(chǎn)量q=10時的總成本與平均成本，則只要把q=10代入就可以。即 （2），令，解得唯一駐點(diǎn)因?yàn)槠骄杀敬嬖谧钚≈担荫v點(diǎn)唯一，所以，當(dāng)產(chǎn)量為300臺時，可使平均成本達(dá)到最低。最低平均成本為（萬元/百臺）例2 生產(chǎn)某產(chǎn)品的邊際成本為 (萬元/百臺)，邊際收入為（萬元/百臺），其中為產(chǎn)量，問（1）產(chǎn)量為多少時，利潤最大？（2）從利潤最大時的產(chǎn)量再生產(chǎn)百臺，利潤有什么變化？解： 令 得 （百臺），可以驗(yàn)證是是的最大值點(diǎn)，即當(dāng)產(chǎn)量為20（百臺）即臺時，利潤最大從利潤最大時的產(chǎn)量再生產(chǎn)2百臺，利潤變化為 即從利潤最大時的產(chǎn)量再生產(chǎn)百臺，利潤將減少萬元三微積分部分一）求導(dǎo)數(shù)：以復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)為主。1記住常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù)12求導(dǎo)的四則運(yùn)算法則：(1)和差的導(dǎo)數(shù) （2）乘積的導(dǎo)數(shù) 特例（3）商的導(dǎo)數(shù) 3復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)方法：如：。 思路：把 解：（這實(shí)際上就是上面公式 等等的應(yīng)用）典型例題：1已知，求 分析：這首先是乘積的導(dǎo)數(shù),然后求的導(dǎo)數(shù)時是復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù). 解： 2設(shè)，求 分析：這首先是差的導(dǎo)數(shù),然后求的導(dǎo)數(shù)都是復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù).3 分析：這首先是商的導(dǎo)數(shù)，然后在求的導(dǎo)數(shù)時是復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)4 分析：這是復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，但有兩層復(fù)合。 解：說明：（1）若題目改為求dy，則只要在求出即可。 （2）若題目改為求，則只要在求出導(dǎo)數(shù)后如： 二）求積分1原函數(shù)定義 2積分的定義 3積分公式 4積分方法（1）直接法 直接利用公式計(jì)算 （而且用到公式）（2）湊微分法 ，如常用到： （3）分部積分法 （主要掌握以下幾個題型即可） 5定積分 （1）即（要見求定積分實(shí)際上是先求不定積分再補(bǔ)是最后一步即可）如： (2)分部積分法 如：典型例題：1求 解：2計(jì)算 解：3計(jì)算 解：= 上面三題是湊微分法。3計(jì)算 4求 解： 5 解：以上三題是積分的分部積分法。復(fù)習(xí)課資料9（共9頁）