2019-2020年高考數(shù)學(xué) 中等生百日捷進(jìn)提升系列 專題06 數(shù)列的通項公式（含解析）【背一背重點知識】1.求數(shù)列的通項公式，要注意多觀察、多試驗，大膽猜想，小心論證.2.已知求的問題，要特別注意的情況.3.求數(shù)列的通項公式，常見的有六種類型：（1）已知數(shù)列的前項，求其通項公式.常用方法：觀察分析法、逐差法、待定系數(shù)法等，根據(jù)數(shù)列前幾項，觀察規(guī)律，歸納出數(shù)列通項公式是一項重要能力.（2）已知數(shù)列前項和，或前項和與的關(guān)系，求通項可利用.（3）已知遞推式求通項，這類問題要求不高，主要掌握“先猜后證”“化歸法”“累加法”等.（4）型，求問題，其關(guān)鍵是確定待定系數(shù)，使.（5）型，求問題，可用方法.（6）型，求問題，可用方法.【講一講提高技能】1. 必備技能：由和遞推關(guān)系求通項公式，可觀察其特點，一般常用“化歸法”、“累加法”、“累乘法”等.對于形如“”型的遞推關(guān)系式求通項公式，只要可求和，便可利用累加法；對于形如“”型的遞推關(guān)系式求通項公式，只要可求積，便可利用累積或迭代法；對于形如“”型遞推關(guān)系求通項公式，可用迭代或構(gòu)造等比數(shù)列法.2. 典型例題：例1若數(shù)列的前n項和為,則數(shù)列的通項公式是=_.分析：此題難度不大，符合求數(shù)列通項公式中的第（2）種類型，要注意檢驗時是否也成立，否則就只能用分段函數(shù)來表示. 當(dāng)時，所以，即；當(dāng)時，所以，因此數(shù)列是以首項為1，公差為的等比數(shù)列，故所求數(shù)列的通項公式為.【解析】例2在數(shù)列中，若前n項和滿足，則該數(shù)列的通項公式【答案】【解析】試題分析：時，當(dāng)時，所以數(shù)列為等比數(shù)列，公比【練一練提升能力】1. 已知等比數(shù)列滿足：公比，數(shù)列的前項和為，且（）（1）求數(shù)列和數(shù)列的通項和；（2）設(shè)，證明：【答案】（1），（2）詳見解析【解析】 2. 已知數(shù)列的前項和為，且滿足（1）求數(shù)列的通項公式（2）設(shè)數(shù)列的前項和為，求證：【答案】（1）；（2）詳見解析【解析】試題分析：（1）利用，即可求出結(jié)果；（2）因為，再利用不等式放縮，可得，再采用裂項相消即可求出結(jié)果等差數(shù)列的性質(zhì)【背一背重點知識】1.若、，且，為等差數(shù)列，則.2.在等差數(shù)列中，仍為等數(shù)列，公差為.3.若為等差數(shù)列，則仍為等數(shù)列，公差為.4.等差數(shù)列的增減性：時為遞增數(shù)列，且當(dāng)時前項和有最小值；時為遞減數(shù)列，且當(dāng)時前項和有最大值.5.若等數(shù)列的前項之和可以寫成，則，當(dāng)時它表示二次函數(shù)，數(shù)列的前項和是成等差數(shù)列的充要條件.6.設(shè)分別是等數(shù)列中所有奇數(shù)項的和與所有偶數(shù)項的和，則有當(dāng)數(shù)列項數(shù)為時，有；當(dāng)數(shù)列項數(shù)為時，有，.【講一講提高技能】1.必備技能：等差數(shù)列的性質(zhì)是等差數(shù)列的定義、通項公式以及前項和公式等基礎(chǔ)知識的推廣與變形，熟練掌握和靈活應(yīng)用這些性質(zhì)可以有效、方便、快捷地解決許多等差數(shù)列問題。應(yīng)用等差數(shù)列的性質(zhì)解答問題的關(guān)鍵是尋找項數(shù)之間的關(guān)系.2.典型例題：例1在等差數(shù)列中，公差為，前項和為，當(dāng)且僅當(dāng)時取最大值，則的取值范圍_.分析：此題主要考查的是等差數(shù)列的性質(zhì)及等差數(shù)列前項和公式，難度不大可由題意確定得到，從而得到公差的不等式組，求出的范圍.【解析】由題意得：，所以，即例2設(shè)等差數(shù)列的前項和為，若，則（ ）A63 B45 C43 D27【答案】B【解析】試題分析：由題意，得，解得，則45，故選B【練一練提升能力】1. 已知，是、的等差中項，正數(shù)是、的等比中項，那么、從小到大的順序關(guān)系是（ ）A B C D【答案】B【解析】 2. 已知，若，則的表達(dá)式為_.【答案】【解析】試題分析：，即，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號當(dāng)時，當(dāng)時，即數(shù)列是以為首項，以1為公差的等差數(shù)列當(dāng)時，等比數(shù)列的性質(zhì)【背一背重點知識】1.通項公式的推廣：.2.對于任意正整數(shù)，只要滿足，則有.3.若（項數(shù)相同），是等比數(shù)列，則仍是等比數(shù)列.4.三個數(shù)成等比數(shù)列且積一定，通常設(shè)這三個數(shù)為比較方便.5.為等比數(shù)列的前和，則滿足，但不一定成等比數(shù)列.【講一講提高技能】1必備技能：等比數(shù)列與等差數(shù)列在定義上只有“一字之差”，它們的通項公式和性質(zhì)有許多相似之處，其中等差數(shù)列中的“和”“倍數(shù)”可以與等比數(shù)列中的“積”“冪”相類比關(guān)注它們之間的異同有助于我們從整體上把握它們，同時也有利于類比思想的推廣對于等差數(shù)列項的和或等比數(shù)列項的積的運(yùn)算，若能關(guān)注通項公式的下標(biāo)的大小關(guān)系，可以簡化題目的運(yùn)算2典型例題：例1在各項均為正數(shù)的等比數(shù)列中，則等于（ ）A5 B6 C7 D8【答案】C【解析】例2已知數(shù)列滿足=1，.（）證明是等比數(shù)列，并求的通項公式；（）證明：.分析：本題第（）問，證明等比數(shù)列，可利用等比數(shù)列的定義來證明，之后利用等比數(shù)列，求出其通項公式；對第（）問，可先由第（）問求出，然后轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求和，放縮法證明不等式.【解析】（）證明：由得，所以，所以是等比數(shù)列，首項為，公比為3，所以，解得.（）由（）知：，所以，因為當(dāng)時，所以，于是=，所以.【練一練提升能力】1. 項數(shù)為奇數(shù)的等比數(shù)列，所有奇數(shù)項的和為255，所有偶數(shù)項的和為-126，末項是192，則首項（ ）A1 B2 C3 D4【答案】C【解析】 2.設(shè)是公比為q的等比數(shù)列. () 求的前n項和公式; () 設(shè)q1, 證明數(shù)列不是等比數(shù)列.【答案】() 分兩種情況討論. 當(dāng)時，數(shù)列是首項為的常數(shù)列，所以.當(dāng)時，上面兩式錯位相減: . 綜上,得 () 使用反證法. 設(shè)是公比q1的等比數(shù)列, 假設(shè)數(shù)列是等比數(shù)列.則 當(dāng)，使得成立,則不是等比數(shù)列. 當(dāng)，使得成立,則恒為常數(shù)當(dāng)時，.這與題目條件q1矛盾. 綜上兩種情況,假設(shè)數(shù)列是等比數(shù)列均不成立,所以當(dāng)q1時, 數(shù)列不是等比數(shù)列.【解析】數(shù)列求和【背一背重點知識】非等差、等比數(shù)列求和的常用方法：1.倒序相加法：如果一個數(shù)列，首末兩端等“距離”的兩項的和相等或等于同一常數(shù)，那么求這個數(shù)列的前項和即可用倒序相加法，如等差數(shù)列的前前項和即是用此類法推導(dǎo)的2.分組轉(zhuǎn)化求和法：若一個數(shù)列的通項公式是由若干個等差數(shù)列或等比數(shù)列或可求和的數(shù)列組成，則求和時可用分組轉(zhuǎn)化法，分別求和而后相加減3.錯位相減法：如果一個數(shù)列的各項是由一個等差數(shù)列和一個等比數(shù)列的對應(yīng)項之積構(gòu)成的，那么這個數(shù)列的前項和即可用此法來求，如等比數(shù)列的前項和就是用此法推導(dǎo)的4.裂項相消法：把數(shù)列的通項拆成兩項之差，在求和時中間的一些項可以相互抵消，從而求得其和【講一講提高技能】1必備技能：數(shù)列求和的方法：（1）一般的數(shù)列求和，應(yīng)從通項入手，若無通項，先求通項，然后通過對通項變形，轉(zhuǎn)化為與特殊數(shù)列有關(guān)或具備某種方法適用特點的形式，從而選擇合適的方法求和；（2）解決非等差、等比數(shù)列的求和，主要有兩種思路：轉(zhuǎn)化的思想，即將一般數(shù)列設(shè)法轉(zhuǎn)化為等差或等比數(shù)列，這一思想方法往往通過通項分解或錯位相減來完成不能轉(zhuǎn)化為等差或等比數(shù)列的數(shù)列，往往通過裂項相消法、錯位相減法、倒序相加法等來求和2典型例題：例1已知數(shù)列是首項為的等比數(shù)列，其前項和為，且，則數(shù)列的前5項和為 A或 B或 C D【答案】D【解析】試題分析：由可知公比 ，數(shù)列是等比數(shù)列，公比為，首項為1，所以例2若等差數(shù)列滿足，則當(dāng) 時，的前項和最大.分析：此題主要考查等差數(shù)列的性質(zhì)、前項和公式的應(yīng)用，難度不大由已知，可得，進(jìn)一步得到，得出結(jié)論.【解析】由等差數(shù)列的性質(zhì)，又因為，所以所以，所以，故數(shù)列的前8項最大.【練一練提升能力】1.已知等比數(shù)列是遞增數(shù)列,是的前項和,若是方程的兩個根,則_.【答案】63【解析】 2. 已知公差不為零的等差數(shù)列中，且成等比數(shù)列（）求數(shù)列的通項公式；（）令（），求數(shù)列的前項和【答案】（）；（）【解析】（一） 選擇題（12*5=60分）1.設(shè)是等差數(shù)列的前項和，若，則（ ）A5 B7 C9 D11【答案】A【解析】試題分析：因為是等差數(shù)列，所以，故選A2.設(shè)首項為,公比為的等比數(shù)列的前項和為,則（）ABCD【答案】D 3.等差數(shù)列中，則的前8項和為（ ）A B C D【答案】B【解析】試題分析：設(shè)等差數(shù)列的等差中項為，又所以得，所以，所以，故選B4.設(shè)是公差為d（d0）的無窮等差數(shù)列an的前n項和，則下列命題錯誤的是（）A.若d0，則數(shù)列Sn有最大項B.若數(shù)列Sn有最大項，則d0C.若數(shù)列Sn是遞增數(shù)列，則對任意，均有D.若對任意，均有，則數(shù)列Sn是遞增數(shù)列【答案】C【解析】選項C顯然是錯的，舉出反例：1，0，1，2，3，滿足數(shù)列S n是遞增數(shù)列，但是S n0不成立故選C5. 在等差數(shù)列中,，則（ ） 【答案】B【解析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，由題設(shè)知，所以，所以，.故選B. 6.設(shè)等差數(shù)列滿足，；則數(shù)列的前項和中使得取的最大值的序號為（ ）A4 B5 C6 D7【答案】B【解析】 7.在等差數(shù)列中，則數(shù)列的前11項和（ ）A24 B48 C66 D132【答案】D【解析】試題分析：由已知得，化簡得：，即，所以故選D8.設(shè)函數(shù)，是公差為的等差數(shù)列，則（ ）A、 B、 C、 D、【答案】D【解析】，即，而是公差為的等差數(shù)列，代入，即，不是的倍數(shù)，.，故選D.9.定義在上的函數(shù)，如果對于任意給定的等比數(shù)列， 仍是等比數(shù)列，則稱為“保等比數(shù)列函數(shù)”. 現(xiàn)有定義在上的如下函數(shù)：； ； ； .則其中是“保等比數(shù)列函數(shù)”的的序號為 （）A B C D 【答案】C【解析】 10.等差數(shù)列an中，,則數(shù)列an的公差為（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】由等差中項的性質(zhì)知，又.故選B.11.已知等比數(shù)列中，公比，若，則有（ ）A最小值-4 B最大值-4 C最小值12 D最大值12【答案】B【解析】試題分析：由題意，因為，所以（時取等號），所以，最大值為4故選B12.已知等差數(shù)列中，公差；是數(shù)列的前n項和，則（ ）A B C D【答案】D【解析】試題分析：因為在等差數(shù)列中，公差，所以，則，所以；故選D（二） 填空題（4*5=20分）13.數(shù)列中，（，），則 【答案】【解析】 14. 若等比數(shù)列的各項均為正數(shù)，且，則 .【答案】.【解析】由題意知，所以，因此，因此.15. 設(shè)函數(shù)是公差為的等差數(shù)列，則_【答案】【解析】 16. 如圖，在等腰直角三角形中，斜邊，過點作的垂線，垂足為；過點作的垂線，垂足為；過點作的垂線，垂足為；，以此類推，設(shè)，則_.【答案】【解析】試題分析：由題意，所以是以首項，公比的等比數(shù)列，則.