2019-2020年高考數(shù)學(xué) 中等生百日捷進(jìn)提升系列 專題06 數(shù)列的通項(xiàng)公式(含解析).doc
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2019-2020年高考數(shù)學(xué) 中等生百日捷進(jìn)提升系列 專題06 數(shù)列的通項(xiàng)公式(含解析).doc
2019-2020年高考數(shù)學(xué) 中等生百日捷進(jìn)提升系列 專題06 數(shù)列的通項(xiàng)公式(含解析)
【背一背重點(diǎn)知識(shí)】
1.求數(shù)列的通項(xiàng)公式,要注意多觀察、多試驗(yàn),大膽猜想,小心論證.
2.已知求的問題,要特別注意的情況.
3.求數(shù)列的通項(xiàng)公式,常見的有六種類型:
(1)已知數(shù)列的前項(xiàng),求其通項(xiàng)公式.常用方法:觀察分析法、逐差法、待定系數(shù)法等,根據(jù)數(shù)列前幾項(xiàng),觀察規(guī)律,歸納出數(shù)列通項(xiàng)公式是一項(xiàng)重要能力.
(2)已知數(shù)列前項(xiàng)和,或前項(xiàng)和與的關(guān)系,求通項(xiàng)可利用.
(3)已知遞推式求通項(xiàng),這類問題要求不高,主要掌握“先猜后證”“化歸法”“累加法”等.
(4)型,求問題,其關(guān)鍵是確定待定系數(shù),使.
(5)型,求問題,可用方法.
(6)型,求問題,可用方法.
【講一講提高技能】
1. 必備技能:由和遞推關(guān)系求通項(xiàng)公式,可觀察其特點(diǎn),一般常用“化歸法”、“累加法”、“累乘法”等.對(duì)于形如“”型的遞推關(guān)系式求通項(xiàng)公式,只要可求和,便可利用累加法;對(duì)于形如“”型的遞推關(guān)系式求通項(xiàng)公式,只要可求積,便可利用累積或迭代法;對(duì)于形如“”型遞推關(guān)系求通項(xiàng)公式,可用迭代或構(gòu)造等比數(shù)列法.
2. 典型例題:
例1若數(shù)列{}的前n項(xiàng)和為,則數(shù)列{}的通項(xiàng)公式是=______.
分析:此題難度不大,符合求數(shù)列通項(xiàng)公式中的第(2)種類型,要注意檢驗(yàn)時(shí)是否也成立,否則就只能用分段函數(shù)來表示.
當(dāng)時(shí),,所以,即;當(dāng)時(shí),,所以,因此數(shù)列是以首項(xiàng)為1,公差為的等比數(shù)列,故所求數(shù)列的通項(xiàng)公式為.
【解析】
例2在數(shù)列中,若前n項(xiàng)和滿足,則該數(shù)列的通項(xiàng)公式
【答案】
【解析】
試題分析:時(shí),當(dāng)時(shí),所以數(shù)列為等比數(shù)列,公比
【練一練提升能力】
1. 已知等比數(shù)列滿足:公比,數(shù)列的前項(xiàng)和為,且().
(1)求數(shù)列和數(shù)列的通項(xiàng)和;
(2)設(shè),證明:.
【答案】(1),(2)詳見解析
【解析】
2. 已知數(shù)列的前項(xiàng)和為,且滿足
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式
(2)設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為,求證:
【答案】(1);(2)詳見解析
【解析】
試題分析:(1)利用,即可求出結(jié)果;(2)因?yàn)?,再利用不等式放縮,可得,再采用裂項(xiàng)相消即可求出結(jié)果.
等差數(shù)列的性質(zhì)
【背一背重點(diǎn)知識(shí)】
1.若、、、,且,為等差數(shù)列,則.
2.在等差數(shù)列中,仍為等數(shù)列,公差為.
3.若為等差數(shù)列,則仍為等數(shù)列,公差為.
4.等差數(shù)列的增減性:時(shí)為遞增數(shù)列,且當(dāng)時(shí)前項(xiàng)和有最小值;時(shí)為遞減數(shù)列,且當(dāng)時(shí)前項(xiàng)和有最大值.
5.若等數(shù)列的前項(xiàng)之和可以寫成,則,,當(dāng)時(shí)它表示二次函數(shù),數(shù)列的前項(xiàng)和是成等差數(shù)列的充要條件.
6.設(shè)分別是等數(shù)列中所有奇數(shù)項(xiàng)的和與所有偶數(shù)項(xiàng)的和,則有當(dāng)數(shù)列項(xiàng)數(shù)為時(shí),有;當(dāng)數(shù)列項(xiàng)數(shù)為時(shí),有,
,,.
【講一講提高技能】
1.必備技能:等差數(shù)列的性質(zhì)是等差數(shù)列的定義、通項(xiàng)公式以及前項(xiàng)和公式等基礎(chǔ)知識(shí)的推廣與變形,熟練掌握和靈活應(yīng)用這些性質(zhì)可以有效、方便、快捷地解決許多等差數(shù)列問題。應(yīng)用等差數(shù)列的性質(zhì)解答問題的關(guān)鍵是尋找項(xiàng)數(shù)之間的關(guān)系.
2.典型例題:
例1在等差數(shù)列中,,公差為,前項(xiàng)和為,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取最大值,則的取值范圍_________.
分析:此題主要考查的是等差數(shù)列的性質(zhì)及等差數(shù)列前項(xiàng)和公式,難度不大.可由題意確定得到,從而得到公差的不等式組,求出的范圍.
【解析】由題意得:,所以,即
例2設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為,若,,則=( )
A.63 B.45 C.43 D.27
【答案】B
【解析】
試題分析:由題意,得,解得,,則===45,故選B.
【練一練提升能力】
1. 已知,,是、的等差中項(xiàng),正數(shù)是、的等比中項(xiàng),那么、、、從小到大的順序關(guān)系是( )
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
2. 已知,若,則的表達(dá)式為________.
【答案】
【解析】
試題分析:
,,,,即,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)
當(dāng)時(shí),
當(dāng)時(shí)
,,即
數(shù)列是以為首項(xiàng),以1為公差的等差數(shù)列
當(dāng)時(shí),
等比數(shù)列的性質(zhì)
【背一背重點(diǎn)知識(shí)】
1.通項(xiàng)公式的推廣:.
2.對(duì)于任意正整數(shù),只要滿足,則有.
3.若(項(xiàng)數(shù)相同),是等比數(shù)列,則仍是等比數(shù)列.
4.三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列且積一定,通常設(shè)這三個(gè)數(shù)為比較方便.
5.為等比數(shù)列的前和,則滿足,但不一定成等比數(shù)列.
【講一講提高技能】
1必備技能:等比數(shù)列與等差數(shù)列在定義上只有“一字之差”,它們的通項(xiàng)公式和性質(zhì)有許多相似之處,其中等差數(shù)列中的“和”“倍數(shù)”可以與等比數(shù)列中的“積”“冪”相類比.關(guān)注它們之間的異同有助于我們從整體上把握它們,同時(shí)也有利于類比思想的推廣.對(duì)于等差數(shù)列項(xiàng)的和或等比數(shù)列項(xiàng)的積的運(yùn)算,若能關(guān)注通項(xiàng)公式的下標(biāo)的大小關(guān)系,可以簡化題目的運(yùn)算.
2典型例題:
例1在各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列中,,則等于( )
A.5 B.6 C.7 D.8
【答案】C
【解析】
例2已知數(shù)列滿足=1,.
(Ⅰ)證明是等比數(shù)列,并求的通項(xiàng)公式;
(Ⅱ)證明:.
分析:本題第(Ⅰ)問,證明等比數(shù)列,可利用等比數(shù)列的定義來證明,之后利用等比數(shù)列,求出其通項(xiàng)公式;對(duì)第(Ⅱ)問,可先由第(Ⅰ)問求出,然后轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求和,放縮法證明不等式.
【解析】(Ⅰ)證明:由得,所以,所以是等比數(shù)列,首項(xiàng)為,公比為3,所以,解得.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知:,所以,
因?yàn)楫?dāng)時(shí),,所以,于是=,
所以.
【練一練提升能力】
1. 項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)的等比數(shù)列,所有奇數(shù)項(xiàng)的和為255,所有偶數(shù)項(xiàng)的和為-126,末項(xiàng)是192,則首項(xiàng)( )
A.1 B.2 C.3 D.4
【答案】C
【解析】
2.設(shè)是公比為q的等比數(shù)列.
(Ⅰ) 求的前n項(xiàng)和公式; (Ⅱ) 設(shè)q≠1, 證明數(shù)列不是等比數(shù)列.
【答案】(Ⅰ) 分兩種情況討論.
①當(dāng)時(shí),數(shù)列是首項(xiàng)為的常數(shù)列,所以.
②當(dāng)時(shí),
上面兩式錯(cuò)位相減:
.
綜上,得
(Ⅱ) 使用反證法.
設(shè)是公比q≠1的等比數(shù)列, 假設(shè)數(shù)列是等比數(shù)列.則
①當(dāng),使得成立,則不是等比數(shù)列.
②當(dāng),使得成立,則恒為常數(shù)
當(dāng)時(shí),.這與題目條件q≠1矛盾.
綜上兩種情況,假設(shè)數(shù)列是等比數(shù)列均不成立,所以當(dāng)q≠1時(shí), 數(shù)列不是等比數(shù)列.
【解析】
數(shù)列求和
【背一背重點(diǎn)知識(shí)】
非等差、等比數(shù)列求和的常用方法:
1.倒序相加法:如果一個(gè)數(shù)列,首末兩端等“距離”的兩項(xiàng)的和相等或等于同一常數(shù),那么求這個(gè)數(shù)列的前項(xiàng)和即可用倒序相加法,如等差數(shù)列的前前項(xiàng)和即是用此類法推導(dǎo)的.
2.分組轉(zhuǎn)化求和法:若一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式是由若干個(gè)等差數(shù)列或等比數(shù)列或可求和的數(shù)列組成,則求和時(shí)可用分組轉(zhuǎn)化法,分別求和而后相加減.
3.錯(cuò)位相減法:如果一個(gè)數(shù)列的各項(xiàng)是由一個(gè)等差數(shù)列和一個(gè)等比數(shù)列的對(duì)應(yīng)項(xiàng)之積構(gòu)成的,那么這個(gè)數(shù)列的前項(xiàng)和即可用此法來求,如等比數(shù)列的前項(xiàng)和就是用此法推導(dǎo)的.
4.裂項(xiàng)相消法:把數(shù)列的通項(xiàng)拆成兩項(xiàng)之差,在求和時(shí)中間的一些項(xiàng)可以相互抵消,從而求得其和.
【講一講提高技能】
1必備技能:數(shù)列求和的方法:(1)一般的數(shù)列求和,應(yīng)從通項(xiàng)入手,若無通項(xiàng),先求通項(xiàng),然后通過對(duì)通項(xiàng)變形,轉(zhuǎn)化為與特殊數(shù)列有關(guān)或具備某種方法適用特點(diǎn)的形式,從而選擇合適的方法求和;(2)解決非等差、等比數(shù)列的求和,主要有兩種思路:①轉(zhuǎn)化的思想,即將一般數(shù)列設(shè)法轉(zhuǎn)化為等差或等比數(shù)列,這一思想方法往往通過通項(xiàng)分解或錯(cuò)位相減來完成.②不能轉(zhuǎn)化為等差或等比數(shù)列的數(shù)列,往往通過裂項(xiàng)相消法、錯(cuò)位相減法、倒序相加法等來求和.
2典型例題:
例1已知數(shù)列是首項(xiàng)為的等比數(shù)列,其前項(xiàng)和為,且,則數(shù)列的前5項(xiàng)和為
A.或 B.或 C. D.
【答案】D
【解析】
試題分析:由可知公比 ,數(shù)列是等比數(shù)列,公比為,首項(xiàng)為1,所以
例2若等差數(shù)列滿足,則當(dāng) 時(shí),的前項(xiàng)和最大.
分析:此題主要考查等差數(shù)列的性質(zhì)、前項(xiàng)和公式的應(yīng)用,難度不大.由已知,可得,進(jìn)一步得到,,得出結(jié)論.
【解析】由等差數(shù)列的性質(zhì),,,又因?yàn)椋?
所以,所以,,故數(shù)列的前8項(xiàng)最大.
【練一練提升能力】
1.已知等比數(shù)列是遞增數(shù)列,是的前項(xiàng)和,若是方程的兩個(gè)根,則____________.
【答案】63
【解析】
2. 已知公差不為零的等差數(shù)列中,,且成等比數(shù)列.
(Ⅰ)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;
(Ⅱ)令(),求數(shù)列的前項(xiàng)和.
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ).
【解析】
(一) 選擇題(12*5=60分)
1.設(shè)是等差數(shù)列的前項(xiàng)和,若,則( )
A.5 B.7 C.9 D.11
【答案】A
【解析】
試題分析:因?yàn)槭堑炔顢?shù)列,所以,,,故選A.
2.設(shè)首項(xiàng)為,公比為的等比數(shù)列的前項(xiàng)和為,則( ?。?
A. B. C. D.
【答案】D
3.等差數(shù)列中,則的前8項(xiàng)和為( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
試題分析:設(shè)等差數(shù)列的等差中項(xiàng)為,又所以得,所以,所以,故選B.
4.設(shè)是公差為d(d≠0)的無窮等差數(shù)列﹛an﹜的前n項(xiàng)和,則下列命題錯(cuò)誤的是( ?。?
A.若d<0,則數(shù)列﹛Sn﹜有最大項(xiàng)
B.若數(shù)列﹛Sn﹜有最大項(xiàng),則d<0
C.若數(shù)列﹛Sn﹜是遞增數(shù)列,則對(duì)任意,均有
D.若對(duì)任意,均有,則數(shù)列﹛Sn﹜是遞增數(shù)列
【答案】C
【解析】選項(xiàng)C顯然是錯(cuò)的,舉出反例:—1,0,1,2,3,….滿足數(shù)列{S n}是遞增數(shù)列,但是S n>0不成立.故選C
5. 在等差數(shù)列中,,則( )
【答案】B
【解析】設(shè)等差數(shù)列的公差為,由題設(shè)知,,所以,
所以,.故選B.
6.設(shè)等差數(shù)列滿足,;則數(shù)列的前項(xiàng)和中使得取的最大值的序號(hào)為( )
A.4 B.5 C.6 D.7
【答案】B
【解析】
7.在等差數(shù)列中,,則數(shù)列的前11項(xiàng)和( )
A.24 B.48 C.66 D.132
【答案】D
【解析】
試題分析:由已知得,化簡得:,即,所以.故選D.
8.設(shè)函數(shù),是公差為的等差數(shù)列,,則( )
A、 B、 C、 D、
【答案】D
【解析】
,即
,而是公差為的等差數(shù)列,代入,即
,不是的倍數(shù),.
,故選D.
9.定義在上的函數(shù),如果對(duì)于任意給定的等比數(shù)列, 仍是等比數(shù)列,則稱為“保等比數(shù)列函數(shù)”. 現(xiàn)有定義在上的如下函數(shù):
①; ②; ③; ④.
則其中是“保等比數(shù)列函數(shù)”的的序號(hào)為 ( )
A① ② B.③ ④ C.① ③ D.② ④
【答案】C
【解析】
10.等差數(shù)列{an}中,,則數(shù)列{an}的公差為( ?。?
A.1 B.2 C.3 D.4
【答案】B
【解析】由等差中項(xiàng)的性質(zhì)知,又.故選B.
11.已知等比數(shù)列中,公比,若,則有( )
A.最小值-4 B.最大值-4 C.最小值12 D.最大值12
【答案】B
【解析】
試題分析:由題意,因?yàn)?,所以(時(shí)取等號(hào)),所以,最大值為-4.故選B.
12.已知等差數(shù)列中,,公差;是數(shù)列的前n項(xiàng)和,則( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
試題分析:因?yàn)樵诘炔顢?shù)列中,,公差,所以,則,所以;故選D.
(二) 填空題(4*5=20分)
13.數(shù)列中,,,(,),則 .
【答案】
【解析】
14. 若等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù),且,則 .
【答案】.
【解析】由題意知,所以,
因此,
因此.
15. 設(shè)函數(shù)是公差為的等差數(shù)列,,則________.
【答案】
【解析】
16. 如圖,在等腰直角三角形中,斜邊,過點(diǎn)作的垂線,垂足為;過點(diǎn)作的垂線,垂足為;過點(diǎn)作的垂線,垂足為;…,以此類推,設(shè),,,…,,則________.
【答案】
【解析】
試題分析:由題意,,,所以是以首項(xiàng),公比的等比數(shù)列,則.