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2019-2020年高考數學 中等生百日捷進提升系列 專題06 數列的通項公式（含解析） 【背一背重點知識】 1.求數列的通項公式，要注意多觀察、多試驗，大膽猜想，小心論證. 2.已知求的問題，要特別注意的情況. 3.求數列的通項公式，常見的有六種類型： （1）已知數列的前項，求其通項公式.常用方法：觀察分析法、逐差法、待定系數法等，根據數列前幾項，觀察規(guī)律，歸納出數列通項公式是一項重要能力. （2）已知數列前項和，或前項和與的關系，求通項可利用. （3）已知遞推式求通項，這類問題要求不高，主要掌握“先猜后證”“化歸法”“累加法”等. （4）型，求問題，其關鍵是確定待定系數，使. （5）型，求問題，可用方法. （6）型，求問題，可用方法. 【講一講提高技能】 1. 必備技能：由和遞推關系求通項公式，可觀察其特點，一般常用“化歸法”、“累加法”、“累乘法”等.對于形如“”型的遞推關系式求通項公式，只要可求和，便可利用累加法；對于形如“”型的遞推關系式求通項公式，只要可求積，便可利用累積或迭代法；對于形如“”型遞推關系求通項公式，可用迭代或構造等比數列法. 2. 典型例題： 例1若數列{}的前n項和為,則數列{}的通項公式是=______. 分析：此題難度不大，符合求數列通項公式中的第（2）種類型，要注意檢驗時是否也成立，否則就只能用分段函數來表示. 當時，，所以，即；當時，，所以，因此數列是以首項為1，公差為的等比數列，故所求數列的通項公式為. 【解析】 例2在數列中，若前n項和滿足，則該數列的通項公式 【答案】 【解析】 試題分析：時，當時，所以數列為等比數列，公比 【練一練提升能力】 1. 已知等比數列滿足：公比，數列的前項和為，且（）． （1）求數列和數列的通項和； （2）設，證明：． 【答案】（1），（2）詳見解析 【解析】 2. 已知數列的前項和為，且滿足 （1）求數列的通項公式 （2）設數列的前項和為，求證： 【答案】（1）；（2）詳見解析 【解析】 試題分析：（1）利用，即可求出結果；（2）因為，再利用不等式放縮，可得，再采用裂項相消即可求出結果． 等差數列的性質 【背一背重點知識】 1.若、、、，且，為等差數列，則. 2.在等差數列中，仍為等數列，公差為. 3.若為等差數列，則仍為等數列，公差為. 4.等差數列的增減性：時為遞增數列，且當時前項和有最小值；時為遞減數列，且當時前項和有最大值. 5.若等數列的前項之和可以寫成，則，，當時它表示二次函數，數列的前項和是成等差數列的充要條件. 6.設分別是等數列中所有奇數項的和與所有偶數項的和，則有當數列項數為時，有；當數列項數為時，有， ，，. 【講一講提高技能】 1.必備技能：等差數列的性質是等差數列的定義、通項公式以及前項和公式等基礎知識的推廣與變形，熟練掌握和靈活應用這些性質可以有效、方便、快捷地解決許多等差數列問題。應用等差數列的性質解答問題的關鍵是尋找項數之間的關系. 2.典型例題： 例1在等差數列中，，公差為，前項和為，當且僅當時取最大值，則的取值范圍_________. 分析：此題主要考查的是等差數列的性質及等差數列前項和公式，難度不大．可由題意確定得到，從而得到公差的不等式組，求出的范圍. 【解析】由題意得：，所以，即 例2設等差數列的前項和為，若，，則＝（ ） A．63 B．45 C．43 D．27 【答案】B 【解析】 試題分析：由題意，得，解得，，則＝＝＝45，故選B． 【練一練提升能力】 1. 已知，，是、的等差中項，正數是、的等比中項，那么、、、從小到大的順序關系是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 2. 已知，若，則的表達式為________. 【答案】 【解析】 試題分析： ，，，，即，當且僅當時取等號 當時， 當時 ，，即 數列是以為首項，以1為公差的等差數列 當時， 等比數列的性質 【背一背重點知識】 1.通項公式的推廣：. 2.對于任意正整數，只要滿足，則有. 3.若（項數相同），是等比數列，則仍是等比數列. 4.三個數成等比數列且積一定，通常設這三個數為比較方便. 5.為等比數列的前和，則滿足，但不一定成等比數列. 【講一講提高技能】 1必備技能：等比數列與等差數列在定義上只有“一字之差”，它們的通項公式和性質有許多相似之處，其中等差數列中的“和”“倍數”可以與等比數列中的“積”“冪”相類比．關注它們之間的異同有助于我們從整體上把握它們，同時也有利于類比思想的推廣．對于等差數列項的和或等比數列項的積的運算，若能關注通項公式的下標的大小關系，可以簡化題目的運算． 2典型例題： 例1在各項均為正數的等比數列中，，則等于（ ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【解析】 例2已知數列滿足=1，. （Ⅰ）證明是等比數列，并求的通項公式； （Ⅱ）證明：. 分析：本題第（Ⅰ）問，證明等比數列，可利用等比數列的定義來證明，之后利用等比數列，求出其通項公式；對第（Ⅱ）問，可先由第（Ⅰ）問求出，然后轉化為等比數列求和，放縮法證明不等式. 【解析】（Ⅰ）證明：由得，所以，所以是等比數列，首項為，公比為3，所以，解得. （Ⅱ）由（Ⅰ）知：，所以， 因為當時，，所以，于是=， 所以. 【練一練提升能力】 1. 項數為奇數的等比數列，所有奇數項的和為255，所有偶數項的和為-126，末項是192，則首項（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解析】 2.設是公比為q的等比數列. (Ⅰ) 求的前n項和公式; (Ⅱ) 設q≠1, 證明數列不是等比數列. 【答案】(Ⅰ) 分兩種情況討論. ①當時，數列是首項為的常數列，所以. ②當時， 上面兩式錯位相減: . 綜上,得 (Ⅱ) 使用反證法. 設是公比q≠1的等比數列, 假設數列是等比數列.則 ①當，使得成立,則不是等比數列. ②當，使得成立,則恒為常數 當時，.這與題目條件q≠1矛盾. 綜上兩種情況,假設數列是等比數列均不成立,所以當q≠1時, 數列不是等比數列. 【解析】 數列求和 【背一背重點知識】 非等差、等比數列求和的常用方法： 1.倒序相加法：如果一個數列，首末兩端等“距離”的兩項的和相等或等于同一常數，那么求這個數列的前項和即可用倒序相加法，如等差數列的前前項和即是用此類法推導的． 2.分組轉化求和法：若一個數列的通項公式是由若干個等差數列或等比數列或可求和的數列組成，則求和時可用分組轉化法，分別求和而后相加減． 3.錯位相減法：如果一個數列的各項是由一個等差數列和一個等比數列的對應項之積構成的，那么這個數列的前項和即可用此法來求，如等比數列的前項和就是用此法推導的． 4.裂項相消法：把數列的通項拆成兩項之差，在求和時中間的一些項可以相互抵消，從而求得其和． 【講一講提高技能】 1必備技能：數列求和的方法：（1）一般的數列求和，應從通項入手，若無通項，先求通項，然后通過對通項變形，轉化為與特殊數列有關或具備某種方法適用特點的形式，從而選擇合適的方法求和；（2）解決非等差、等比數列的求和，主要有兩種思路：①轉化的思想，即將一般數列設法轉化為等差或等比數列，這一思想方法往往通過通項分解或錯位相減來完成．②不能轉化為等差或等比數列的數列，往往通過裂項相消法、錯位相減法、倒序相加法等來求和． 2典型例題： 例1已知數列是首項為的等比數列，其前項和為，且，則數列的前5項和為 A．或 B．或 C． D． 【答案】D 【解析】 試題分析：由可知公比 ，數列是等比數列，公比為，首項為1，所以 例2若等差數列滿足，則當 時，的前項和最大. 分析：此題主要考查等差數列的性質、前項和公式的應用，難度不大．由已知，可得，進一步得到，，得出結論. 【解析】由等差數列的性質，，，又因為，所以 所以，所以，，故數列的前8項最大. 【練一練提升能力】 1.已知等比數列是遞增數列,是的前項和,若是方程的兩個根,則____________. 【答案】63 【解析】 2. 已知公差不為零的等差數列中，，且成等比數列． （Ⅰ）求數列的通項公式； （Ⅱ）令（），求數列的前項和． 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）． 【解析】 （一） 選擇題（12*5=60分） 1.設是等差數列的前項和，若，則（ ） A．5 B．7 C．9 D．11 【答案】A 【解析】 試題分析：因為是等差數列，所以，，，故選A． 2.設首項為,公比為的等比數列的前項和為,則（　　） A． B． C． D． 【答案】D 3.等差數列中，則的前8項和為（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 試題分析：設等差數列的等差中項為，又所以得，所以，所以，故選B． 4.設是公差為d（d≠0）的無窮等差數列﹛an﹜的前n項和，則下列命題錯誤的是（　　） A.若d＜0，則數列﹛Sn﹜有最大項 B.若數列﹛Sn﹜有最大項，則d＜0 C.若數列﹛Sn﹜是遞增數列，則對任意，均有 D.若對任意，均有，則數列﹛Sn﹜是遞增數列 【答案】C 【解析】選項C顯然是錯的，舉出反例：—1，0，1，2，3，…．滿足數列{S n}是遞增數列，但是S n＞0不成立．故選C 5. 在等差數列中,，則（ ） 【答案】B 【解析】設等差數列的公差為，由題設知，，所以， 所以，.故選B. 6.設等差數列滿足，；則數列的前項和中使得取的最大值的序號為（ ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【解析】 7.在等差數列中，，則數列的前11項和（ ） A．24 B．48 C．66 D．132 【答案】D 【解析】 試題分析：由已知得，化簡得：，即，所以．故選D． 8.設函數，是公差為的等差數列，，則（ ） A、 B、 C、 D、 【答案】D 【解析】 ，即 ，而是公差為的等差數列，代入，即 ，不是的倍數，. ，故選D. 9.定義在上的函數，如果對于任意給定的等比數列， 仍是等比數列，則稱為“保等比數列函數”. 現有定義在上的如下函數： ①； ②； ③； ④. 則其中是“保等比數列函數”的的序號為 （　?。? A① ② B．③ ④ C．① ③ D．② ④ 【答案】C 【解析】 10.等差數列{an}中，,則數列{an}的公差為（　?。? A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】B 【解析】由等差中項的性質知，又.故選B. 11.已知等比數列中，公比，若，則有（ ） A．最小值-4 B．最大值-4 C．最小值12 D．最大值12 【答案】B 【解析】 試題分析：由題意，因為，所以（時取等號），所以，最大值為－4．故選B． 12.已知等差數列中，，公差；是數列的前n項和，則（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 試題分析：因為在等差數列中，，公差，所以，則，所以；故選D． （二） 填空題（4*5=20分） 13.數列中，，，（，），則 ． 【答案】 【解析】 14. 若等比數列的各項均為正數，且，則 . 【答案】. 【解析】由題意知，所以， 因此， 因此. 15. 設函數是公差為的等差數列，，則________． 【答案】 【解析】 16. 如圖，在等腰直角三角形中，斜邊，過點作的垂線，垂足為；過點作的垂線，垂足為；過點作的垂線，垂足為；…，以此類推，設，，，…，，則________. 【答案】 【解析】 試題分析：由題意，，，所以是以首項，公比的等比數列，則.