數(shù)形結(jié)合思想在三角函數(shù)中的運用例析那金秋 數(shù)形結(jié)合思想是數(shù)學(xué)解題中常用的思想方法，數(shù)形結(jié)合思想可以使某些抽象的數(shù)學(xué)問題直觀化、生動化，能夠變抽象思維為形象思維，有助于把握數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)；另外，由于使用了數(shù)形結(jié)合的方法，很多問題便迎刃而解，且解法簡捷。 近幾年高考加強了對三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)的考查，因為函數(shù)的性質(zhì)是研究函數(shù)的一個重要內(nèi)容，是學(xué)習(xí)高考數(shù)學(xué)和應(yīng)用技術(shù)學(xué)科的基礎(chǔ)，又是解決生產(chǎn)實際問題的工具。在復(fù)習(xí)時要充分運用數(shù)形結(jié)合的的思想，把圖像與性質(zhì)結(jié)合起來，即利用圖像的直觀性得出函數(shù)的性質(zhì)，或由單位圓上線段表示的三角函數(shù)值來獲得函數(shù)的性質(zhì)，同時也要能利用函數(shù)的性質(zhì)來描繪函數(shù)的圖像，這樣既有利于掌握函數(shù)的圖像與性質(zhì)，又能熟練地運用數(shù)形結(jié)合的思想方法。 例題分析： 例1. 如果，那么函數(shù)的最小值是多少？ 分析： 從三角函數(shù)的角度來看，求的最小值是一個較難的問題，是一個比較陌生的問題。但是，如果把數(shù)和形結(jié)合起來，畫出相應(yīng)的圖像，從幾何的直觀性入手，則可立刻看出結(jié)論。圖1 令 因為 所以 則 圖像為圖中實線部分。 所以當(dāng)即時，有最小值，且最小值為。 例2. （2002年全國文5，理4）在（）內(nèi)，使成立的x取值范圍為（ ） A. B. C. D. 分析1：作出在區(qū)間上正弦和余弦函數(shù)的圖像，解出兩交點的橫坐標(biāo)，由圖2可得（C）答案。圖2圖3 分析2：在單位圓上作出二、三象限的對角線，由正弦線、余弦線知應(yīng)選（C）。 例3. （2002年春北京、安徽，5）若角滿足條件，則在（ ） A. 第一象限B. 第二象限 C. 第三象限D(zhuǎn). 第四象限 分析： 所以 即 即與異號 所以在二、四象限 又 所以 由圖4，滿足題意的角在第二象限。圖4 例4. 如圖5所示是周期為2的三角函數(shù)的圖像，那么可以寫成（ ） A. B. C. D. 圖5 分析1：由圖可以看出，的圖像是由的圖像向左平移個單位而得到的，所以，在中，把x換成就得到，即： 應(yīng)選（D）。 分析2：的圖像也可以看成是由的圖像向右平移個單位而得到的，即在中，把x換成就得到，所以。 選（D）。 例5. 函數(shù)的圖像的一條對稱軸是（ ） A. B. C. D. 分析：這是一道考查正弦函數(shù)的幾何特征的試題，而求解的方法是檢驗自變量的值與對應(yīng)的函數(shù)值的數(shù)量特征簡捷合理，方便有效。借助于對數(shù)量關(guān)系的推理論證，對圖形的幾何特征加以精確的刻劃，是數(shù)形結(jié)合的思想方法的體現(xiàn)，對分析和解決高中數(shù)學(xué)的有關(guān)問題的作用是很大的，本題的設(shè)計正是這一思想的反映，考查的功能十分明顯。 當(dāng)時， 當(dāng)時， 當(dāng)時， 當(dāng)時， 其中是函數(shù)的最小值。 是圖像的一條對稱軸 故選（A）。4