2020中考數(shù)學(xué) 銳角三角函數(shù)在實(shí)際問題中的應(yīng)用（含答案）1.如圖，小軍和小兵要去測量一座古塔的高度，他們在離古塔60米的A處用測角儀測得塔頂?shù)难鼋菫?0，已知測角儀AD=1.5米，則塔CB的高為多少米？參考答案:解：過A作AEDC交BC于點(diǎn)E則AE=CD=60米，則AEB=90，EC=AD=1.5在RtABE中， 即 所以，古塔高度為：米2.如圖，小強(qiáng)在家里的樓頂上的點(diǎn)A處，測量建在與小明家樓房同水平線上相鄰的電梯樓的高，在點(diǎn)A處看電梯樓頂點(diǎn)B處的仰角為60，看樓底點(diǎn)C的俯角為45，兩棟樓之間的距離為30米，則電梯樓的高BC為多少米？參考答案:解：過A作AD地面，交BC于D則在RtABD中，即，在RtACD中，即，樓高BC為： 3.小明在熱氣球A上看到正前方橫跨河流兩岸的大橋BC，并測得B，C兩點(diǎn)的俯角分別為45，35。已知大橋BC與地面在同一水平面上，其長度為100米，請求出熱氣球離地面的高度。（結(jié)果保留整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：，）參考答案:解：過A作ADBC于點(diǎn)D則AD即為熱氣球的高度，且1=2=45可設(shè)AD=BD=x則CD=x+100在RtADC中，即得： 即熱氣球的高度為米4.如圖，某建筑物BC頂部有一旗桿AB，且點(diǎn)A，B，C在同一直線上小紅在D處觀測旗桿頂部A的仰角為47，觀測旗桿底部B的仰角為42已知點(diǎn)D到地面的距離DE為1.56m，EC=21m，求旗桿AB的高度和建筑物BC的高度（結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位，參考數(shù)據(jù)：tan471.07，tan420.90）參考答案:解：根據(jù)題意，DE=1.56,EC=21,ACE=90,DEC=90過點(diǎn)D作DFAC,垂足為F則DFC=90,ADF=47,BFD=42可得四邊形DECF為矩形DF=EC=21,FC=DE=156在RtDFA中， AF=DFtan4721107=22.47在RtDFB中，BF=DFtan42210.90=18.90于是，AB=AF-BF=22.47-18.90=3.573.6,BC=BF+FC=18.90+1.56=20.4620.55.如圖所示，探測出某建筑物廢墟下方點(diǎn)C處有生命跡象在廢墟一側(cè)面上選兩探測點(diǎn)A、B，AB相距2米，探測線與該面的夾角分別是30和45（如圖）試確定生命所在點(diǎn)C與探測面的距離（參考數(shù)據(jù),）參考答案:解：過C作CDAB于點(diǎn)D，則DBC=45=BCD可設(shè)BD=CD=x在RtACD中可得：即：得即，點(diǎn)C與探測面的 距離大約為2.73米。6.如圖所示，如圖所示，我市某中學(xué)課外活動(dòng)小組的同學(xué)利用所學(xué)知識去測量釜溪河沙灣段的寬度。小宇同學(xué)在A處觀測對岸C點(diǎn)，測得CAD45，小英同學(xué)在距A處50米遠(yuǎn)的B處測得CBD30，請你根據(jù)這些數(shù)據(jù)算出河寬。（精確到0.01米，參考數(shù)據(jù)， ，）參考答案:解：在RtACE中，CAE=45可設(shè)CE=EA=x在RtBCE中，即，得 即，河寬約為68.3米7.如圖，甲、乙為兩座建筑物，它們之間的水平距離BC為30m，在A點(diǎn)測得D點(diǎn)的仰角EAD為45，在B點(diǎn)測得D點(diǎn)的仰角CBD為60，求這兩座建筑物的高度（結(jié)果保留根號）參考答案:解：如圖，過A作AFCD于點(diǎn)F，在RtBCD中，DBC=60，BC=30m，CD=BCtan60=m，乙建筑物的高度為m；在RtAFD中，DAF=45，DF=AF=BC=30m，AB=CF=CDDF=m，甲建筑物的高度為m8.如圖所示，在某海域，一艘指揮船在C處收到漁船在B處發(fā)出的求救信號，經(jīng)確定，遇險(xiǎn)拋錨的漁船所在的B處位于C處的南偏西45方向上，且BC60海里；指揮船搜索發(fā)現(xiàn)，在C處的南偏西60方向上有一艘海監(jiān)船A，恰好位于B處的正西方向于是命令海監(jiān)船A前往搜救，已知海監(jiān)船A的航行速度為30海里/小時(shí)，問漁船在B處需要等待多長時(shí)間才能得到海監(jiān)船A的救援？(參考數(shù)據(jù)：，結(jié)果精確到0.1小時(shí))參考答案:解：因?yàn)锳在B的正西方，延長AB交南北軸于點(diǎn)D，則ABCD于點(diǎn)DBCD45，BDCDBDCD在RtBDC中，cosBCD，BC60海里即cos45，解得CD海里BDCD海里在RtADC中，tanACD即 tan60，解得AD海里ABADBDAB30()海里海監(jiān)船A的航行速度為30海里/小時(shí)則漁船在B處需要等待的時(shí)間為 2.451.411.041.0小時(shí)漁船在B處需要等待1.0小時(shí)9.隨著人們生活水平的不斷提高，旅游已成為人們的一種生活時(shí)尚為開發(fā)新的旅游項(xiàng)目，我市對某山區(qū)進(jìn)行調(diào)查，發(fā)現(xiàn)一瀑布為測量它的高度，測量人員在瀑布的對面山上D點(diǎn)處測得瀑布頂端A點(diǎn)的仰角是30，測得瀑布底端B點(diǎn)的俯角是10，AB與水平面垂直又在瀑布下的水平面測得CG27m，GF17.6m(注：C、G、F三點(diǎn)在同一直線上，CFAB于點(diǎn)F)斜坡CD20m，坡角ECD40求瀑布AB的高度(參考數(shù)據(jù)：1.73，sin400.64，cos400.77，tan400.84，sin100.17，cos100.98，tan100.18)參考答案:解：過點(diǎn)D作DMCE，交CE于點(diǎn)M，作DNAB，交AB于點(diǎn)N，如圖所示在RtCMD中，CD20m，DCM40，CMD90，CMCDcos4015.4m，DMCDsin4012.8m，DNMFCMCGGF60m在RtBDN中，BDN10，BND90，DN60m，BNDNtan1010.8m在RtADN中，ADN30，AND90，DN60m，ANDNtan3034.6mABANBN45.4m答：瀑布AB的高度約為45.4米10.如圖，斜坡BE，坡頂B到水平地面的距離AB為3米，坡底AE為18米，在B處，E處分別測得CD頂部點(diǎn)D的仰角為30，60，求CD的高度(結(jié)果保留根號)參考答案:解：作BFCD于點(diǎn)F，設(shè)DFx米，在RtDBF中，則，在直角DCE中，DCxCF3x(米)，在直角ABF中，則米BFCEAE，即解得：，則CD(米)答：CD的高度是米11.如圖，站在高出海平面100m的懸崖C處，俯視海平面上一搜捕魚船A，并測得其俯角為30，則船與觀察者之間的水平距離是多少？船向觀察者方向行進(jìn)了一段距離到達(dá)B處，此時(shí)測得船的俯角為60，求船航行了多少米？參考答案:解：由題可知CAD=30，CBD=60，CD=100在RtADC中，即， 在RtBDC中，即，船與觀察者之間的水平距離為：，船航行了 12.有一艘漁輪在海上C處作業(yè)時(shí)，發(fā)生故障，立即向搜救中心發(fā)出救援信號，此時(shí)搜救中心的兩艘救助輪救助一號和救助二號分別位于海上A處和B處，B在A的正東方向，且相距100里，測得地點(diǎn)C在A的南偏東60，在B的南偏東30方向上，如圖所示，若救助一號和救助二號的速度分別為40里/小時(shí)和30里/小時(shí)，問搜救中心應(yīng)派那艘救助輪才能盡早趕到C處救援？（1.7）參考答案:解：作CDAB交AB延長線于D，由已知得：EAC=60，F(xiàn)BC=30，1=30，2=90-30=60，1+3=2，3=30，1=3，AB=BC=100，在RtBDC中，AD=AB+BD=150，在RtACD中，搜救中心應(yīng)派2號艘救助輪才能盡早趕到C處救援13.一艘漁船位于港口A的北偏東60方向，距離港口20海里B處，它沿北偏西37方向航行至C處突然出現(xiàn)故障，在C處等待救援，B，C之間的距離為10海里，救援船從港口A出發(fā)20分鐘到達(dá)C處，求救援的艇的航行速度.（sin370.6，cos370.8，1.732，結(jié)果取整數(shù)）參考答案:解：輔助線如圖所示：BDAD，BECE，CFAF，有題意知，F(xiàn)AB=60，CBE=37，BAD=30，AB=20海里，BD=10海里，在RtABD中，在RtBCE中，CE=BCsin370.610=6海里，EB=BCcos370.810=8海里，EF=AD=17.32海里，F(xiàn)C=EFCE=11.32海里，AF=ED=EB+BD=18海里，在RtAFC中，21.26364海里/小時(shí).答：救援的艇的航行速度大約是64海里/小時(shí).14.今年，我國海關(guān)總署嚴(yán)厲打擊“洋垃圾”違法行動(dòng)，堅(jiān)決把“洋垃圾”拒于國門之外如圖，某天我國一艘海監(jiān)船巡航到港口正西方的處時(shí)，發(fā)現(xiàn)在的北偏東方向，相距150海里處的點(diǎn)有一可疑船只正沿方向行駛，點(diǎn)在港口的北偏東方向上，海監(jiān)船向港口發(fā)出指令，執(zhí)法船立即從港口沿方向駛出，在處成功攔截可疑船只，此時(shí)D點(diǎn)與點(diǎn)的距離為海里（1）求點(diǎn)到直線的距離；（2）執(zhí)法船從到航行了多少海里?（結(jié)果保留根號）參考答案:解：（1）過點(diǎn)B作交CA的延長線于點(diǎn)H，答：點(diǎn)到直線的距離為75海里。（2） BH=75在中，(海里)答：執(zhí)法船從到航行了海里。15.為了測量豎直旗桿AB的高度，某綜合實(shí)踐小組在地面D處豎直放置標(biāo)桿CD，并在地面上水平放置一個(gè)平面鏡E，使得B，E，D在同一水平線上，如圖所示.該小組在標(biāo)桿的F處通過平面鏡E恰好觀測到旗桿頂A（此時(shí)AEB=FED），在F處測得旗桿頂A的仰角為39.3，平面鏡E的俯角為45，F(xiàn)D=1.8米，問旗桿AB的高度約為多少米？（結(jié)果保留整數(shù)）（參考數(shù)據(jù)：tan39.30.82，tan84.310.02）參考答案:解：由題意，可得FED=45.在直角DEF中，F(xiàn)DE=90，F(xiàn)ED=45，DE=DF=1.8米，米.AEB=FED=45，AEF=180AEBFED=90.在直角AEF中，AEF=90，AFE=39.3+45=84.3，AE=EFtanAFE10.02=18.036（米）.在直角ABE中，ABE=90，AEB=45， 故旗桿AB的高度約為18米.16.如圖，某數(shù)學(xué)興趣小組在活動(dòng)課上測量學(xué)校旗桿的高度。已知小亮站著測量，眼睛與地面的距離（AB）是1.7米，看旗桿頂部E的仰角為30；小敏蹲著測量，眼睛與地面的距離（CD）是0.7米，看旗桿頂部E的演講為45；兩人相距5米且位于旗桿同側(cè)（點(diǎn)B、D、F在同一直線上）。（1）求小敏到旗桿的距離DF；（結(jié)果保留根號）（2）求旗桿EF的高度。參考答案: 解：過C作CPEF于點(diǎn)P，過A作AQEF于點(diǎn)Q，則QP=1.7-0.7=1則在RtECD中可設(shè)CD=ED=xEQ=x-1在RtAEQ中，AQ=BD+CD=5+x，即得，小敏到旗桿的距離為17.如圖，馬路的兩邊CF、DE互相平行，線段CD為人行橫道，馬路兩側(cè)的A、B兩點(diǎn)分別表示車站和超市，CD與AB所在直線互相平行，且都與馬路的兩邊垂直馬路寬20米，A，B相距62米，A67，B37（1）求CD與AB之間的距離；（2）某人從車站A出發(fā)，沿折線ADCB去超市B求他沿折線ADCB到達(dá)超市比直線橫穿馬路多走多少米（參考數(shù)據(jù)：，）參考答案:【解】（1）如圖（第20題圖）設(shè)CD與AB的距離為x米CDAB，CFDE，CDDE，四邊形CDEF是矩形，CFDEx（米），EFCD20（米），又ABCF，ABDE，AE，BF， ABAEEFBF2062，解得，x24（米）即CD與AB的距離約為24米（2）在RtADE中，AD ，同理，BC，（ADDCCB）AB2620406224（米）即沿折線ADCB去超市B比直線橫穿馬路多走約24米18.如圖，一艘游輪在A處測得北偏東45的方向上有一燈塔B游輪以海里/時(shí)的速度向正東方向航行2小時(shí)到達(dá)C處，此時(shí)測得燈塔B在C處北偏東15的方向上，求A處與燈塔B相距多少海里？(結(jié)果精確到1海里，參考數(shù)據(jù)：，)參考答案:解：過點(diǎn)C作CMAB，垂足為M，在RtACM中，MAC904545，則MCA45，AMMC，由勾股定理得：AM2MC2AC2(202)2，解得：AMCM40，ECB15，BCF901575，BBCFMAC754530，在RtBCM中，tanBtan30，即，BM40，ABAMBM404040401.73109(海里)，答：A處與燈塔B相距109海里19.如圖，輪船從點(diǎn)A處出發(fā)，先航行至位于點(diǎn)A的南偏西15且與點(diǎn)A相距100km的點(diǎn)B處，再航行至位于點(diǎn)B的北偏東75且與點(diǎn)B相距200km的點(diǎn)C處。（1）求點(diǎn)C與點(diǎn)A的距離。（保留根號）（2）確定點(diǎn)C相對于點(diǎn)A的方向。參考答案:解：過A作ADBC于點(diǎn)D，由圖可知：ABD=60在RtABD中，BD=50， 在RtADC中，由勾股定理可得：銳角DAC=60點(diǎn)C在點(diǎn)A的南偏西7520.如圖1，水壩的橫截面是梯形ABCD，ABC37，壩頂DC3m，背水坡AD的坡度i(即tanDAB)為1:0.5，壩底AB14m(1)求壩高；(2)如圖2，為了提高堤壩的防洪抗洪能力，防汛指揮部決定在背水坡將壩頂和壩底同時(shí)拓寬加固，使得AE2DF，EFBF，求DF的長(參考數(shù)據(jù)：，)參考答案:解：(1)作DMAB于M，CNAN于N由題意：tanDAB2，設(shè)AMx，則DM2x，四邊形DMNC是矩形，DMCN2x，在RtNBC中，tan37，BNx，x3x14，x3，DM6，答：壩高為6m(2)作FHAB于H設(shè)DFy，則AE2y，EH32yy3y，BH142y(3y)11y，由EFHFBH，可得，即，解得y72或72(舍棄)，DF27，答：DF的長為(27)m21.如圖，線段AB，CD分別表示甲、乙兩座建筑物的高。某九年級課外興趣活動(dòng)小組未來測量者兩座建筑物的高，用自制測角儀在A處測得D點(diǎn)的仰角為，在B處測得D點(diǎn)的仰角為。已知甲乙兩座建筑物之間的距離BC=m，請你通過計(jì)算，用含有、，m的式子分別表示甲乙兩座建筑物的高度參考答案:解：假設(shè)過A的水平線交CD于點(diǎn)E，則由題可知：AEDC，AE=BC=m在RtADE中，即 在RtBDC中，即所以，乙建筑物高甲建筑物高：