2019-2020年高考數(shù)學(xué) 破解命題陷阱 專題08 含參數(shù)的導(dǎo)數(shù)問(wèn)題解題方法一、陷阱類型1.導(dǎo)數(shù)與不等式證明2.極值點(diǎn)偏移問(wèn)題3.導(dǎo)函數(shù)為0的替換作用4.導(dǎo)數(shù)與數(shù)列不等式的證明5.變形后求導(dǎo)6.討論參數(shù)求參數(shù)7.與三角函數(shù)有關(guān)的含參數(shù)的求導(dǎo)問(wèn)題8.構(gòu)造函數(shù)問(wèn)題9.恒成立求參數(shù)二、陷阱類型分析及練習(xí)1.導(dǎo)數(shù)與不等式證明例1. 已知函數(shù)=lnx+ax2+(2a+1)x（1）討論的單調(diào)性；（2）當(dāng)a0時(shí)，證明（2）由（1）知，當(dāng)a0時(shí)，f（x）在取得最大值，最大值為.所以等價(jià)于，即.設(shè)g（x）=lnx-x+1，則.當(dāng)x（0,1）時(shí)， ；當(dāng)x（1，+）時(shí)， .所以g（x）在（0,1）單調(diào)遞增，在（1，+）單調(diào)遞減.故當(dāng)x=1時(shí)，g（x）取得最大值，最大值為g（1）=0.所以當(dāng)x0時(shí)，g（x）0.從而當(dāng)a0時(shí)， ，即.【放陷阱措施】利用導(dǎo)數(shù)證明不等式的常見(jiàn)類型及解題策略：（1）構(gòu)造差函數(shù).根據(jù)差函數(shù)導(dǎo)函數(shù)符號(hào)，確定差函數(shù)單調(diào)性，利用單調(diào)性得不等量關(guān)系，進(jìn)而證明不等式.（2）根據(jù)條件，尋找目標(biāo)函數(shù).一般思路為利用條件將求和問(wèn)題轉(zhuǎn)化為對(duì)應(yīng)項(xiàng)之間大小關(guān)系，或利用放縮、等量代換將多元函數(shù)轉(zhuǎn)化為一元函數(shù).練習(xí)1設(shè)函數(shù),曲線y=f(x)在點(diǎn)(1, f(1)處的切線方程為y=e(x-1)+2.(1)求 (2)證明: 【答案】（I）；（II）詳見(jiàn)解析.試題解析：（1）函數(shù)的定義域?yàn)椋?由題意可得， .故， .（2）證明：由（1）知， ，從而等價(jià)于.設(shè)函數(shù)，則.所以當(dāng)， ；當(dāng)時(shí)， .故在上單調(diào)遞減， 上單調(diào)遞增，從而在上的最小值為.設(shè)函數(shù)，則.所以當(dāng)時(shí)， ；當(dāng)時(shí)， .故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，從而在上的最大值為.綜上，當(dāng)時(shí)， ，即.2.極值點(diǎn)偏移問(wèn)題例2. 函數(shù) .（1）當(dāng)時(shí)，討論的單調(diào)性；（2）若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，且，證明： .【答案】(1)答案見(jiàn)解析；(2)證明見(jiàn)解析.【解析】試題分析： (2)由題意結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)可知： 是方程的兩根，結(jié)合所給的不等式構(gòu)造對(duì)稱差函數(shù) ，結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)和自變量的范圍即可證得題中的不等式.試題解析：函數(shù)的定義域?yàn)?，?）令，開(kāi)口向上， 為對(duì)稱軸的拋物線，當(dāng)時(shí)，即時(shí)， ，即在上恒成立，當(dāng)時(shí)，由，得，因?yàn)椋裕?dāng)時(shí)， ，即， （2）若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)且，則必有，且，且在上遞減，在和上遞增，則，因?yàn)槭欠匠痰膬筛?，所以，即，要證 又，即證對(duì)恒成立，設(shè) 則當(dāng)時(shí)， ，故，所以在上遞增，故，所以，所以.【防陷阱措施】：導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)的單調(diào)性、極值(最值)最有效的工具，而函數(shù)是高中數(shù)學(xué)中重要的知識(shí)點(diǎn)，所以在歷屆高考中，對(duì)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用的考查都非常突出 ，本專題在高考中的命題方向及命題角度 從高考來(lái)看，對(duì)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用的考查主要從以下幾個(gè)角度進(jìn)行： (1)考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，往往與解析幾何、微積分相聯(lián)系 (2)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，判斷單調(diào)性；已知單調(diào)性，求參數(shù) (3)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值(極值)，解決生活中的優(yōu)化問(wèn)題 (4)考查數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用練習(xí)1. 已知函數(shù)（其中）在點(diǎn)處的切線斜率為1.（1）用表示；（2）設(shè)，若對(duì)定義域內(nèi)的恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）在（2）的前提下，如果，證明： .【答案】（1）；（2）；（III）證明見(jiàn)解析.【解析】試題分析：（1）由題意即得；（2）在定義域上恒成立，即，由恒成立，得，再證當(dāng)時(shí)， 即可；（3）由（2）知，且在單調(diào)遞減；在單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，不妨設(shè)，要證明，等價(jià)于，需要證明，令，可證得在上單調(diào)遞增， 即可證得.試題解析：（1），由題意 （2）在定義域上恒成立，即。解法二：（分離變量）恒成立，分離變量可得對(duì)恒成立，令，則。這里先證明，記，則，易得在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減， ，所以。因此， ，且時(shí)，所以，實(shí)數(shù)的取值范圍是。（3）由（2）知，且在單調(diào)遞減；在單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，不妨設(shè)，要證明，等價(jià)于，只需要證明，這里，令，求導(dǎo)得.注意當(dāng)時(shí)， ， ，（可由基本不等式推出）又因此可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立。所以在上單調(diào)遞增， ，也即， 因此，此時(shí)都在單調(diào)遞增區(qū)間上，所以，得練習(xí)2已知常數(shù),函數(shù).(1)討論在區(qū)間上的單調(diào)性;(2)若存在兩個(gè)極值點(diǎn),且,求的取值范圍.【答案】(1)詳見(jiàn)解析 (2) (2)利用第(1)可得到當(dāng)時(shí),導(dǎo)數(shù)等于0有兩個(gè)根,根據(jù)題意即為兩個(gè)極值點(diǎn),首先導(dǎo)函數(shù)等于0的兩個(gè)根必須在原函數(shù)的可行域內(nèi),把關(guān)于的表達(dá)式帶入,得到關(guān)于的不等式,然后利用導(dǎo)函數(shù)討論的取值范圍使得成立.即可解決該問(wèn)題.(1)對(duì)函數(shù)求導(dǎo)可得 ,因?yàn)?所以當(dāng)時(shí),即時(shí), 恒成立,則函數(shù)在單調(diào)遞增,當(dāng)時(shí), ,則函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增的. (2)函數(shù)的定義域?yàn)?由(1)可得當(dāng)時(shí), ,則 ,即,則為函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn),代入可得 = 令,令,由知: 當(dāng)時(shí), , 當(dāng)時(shí), ,當(dāng)時(shí), ,對(duì)求導(dǎo)可得,所以函數(shù)在上單調(diào)遞減,則,即不符合題意.當(dāng)時(shí), ,對(duì)求導(dǎo)可得,所以函數(shù)在上單調(diào)遞減,則,即恒成立,綜上的取值范圍為.3.導(dǎo)函數(shù)為0的替換作用例3. （本小題滿分12分）設(shè)函數(shù).（）討論的導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)；（）證明：當(dāng)時(shí).【答案】（）當(dāng)時(shí)，沒(méi)有零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，存在唯一零點(diǎn).（）見(jiàn)解析【解析】試題解析：（）的定義域?yàn)椋?當(dāng)時(shí),，沒(méi)有零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，因?yàn)閱握{(diào)遞增，單調(diào)遞增，所以在單調(diào)遞增.又,當(dāng)b滿足且時(shí)，,故當(dāng)時(shí)，存在唯一零點(diǎn).（）由（），可設(shè)在的唯一零點(diǎn)為，當(dāng)時(shí)，;當(dāng)時(shí)，.故在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值，最小值為.由于，所以.故當(dāng)時(shí)，.【防陷阱措施】：證明不等式時(shí)注意使用導(dǎo)函數(shù)為0的式子作為已知條件證明不等式.練習(xí)1已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求在區(qū)間上的最值；（2）討論函數(shù)的單調(diào)性；（3）當(dāng)時(shí)，有恒成立，求的取值范圍.【答案】（1）， （2）當(dāng)時(shí)， 在單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)， 在單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)， 在上單調(diào)遞減（3） 【解析】試題分析：（1）先求導(dǎo)數(shù)，再求導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)，列表分析導(dǎo)數(shù)在區(qū)間上符號(hào)變化規(guī)律，確定函數(shù)最值（2）先求導(dǎo)數(shù)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)符號(hào)是否變化進(jìn)行分類討論： 時(shí)， ， 時(shí)， ， 時(shí)，先負(fù)后正，最后根據(jù)導(dǎo)數(shù)符號(hào)對(duì)應(yīng)確定單調(diào)性（3）將不等式恒成立轉(zhuǎn)化為對(duì)應(yīng)函數(shù)最值，由（2）得，即，整理化簡(jiǎn)得，解得的取值范圍.試題解析：解：（）當(dāng)時(shí)， ，.的定義域?yàn)椋傻?在區(qū)間上的最值只可能在， ， 取到，而， ， ， （）， .當(dāng)，即時(shí)， ，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)， ，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，由得，或（舍去）在單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；綜上，當(dāng)， 在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)， 在單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)， 在上單調(diào)遞減；4.導(dǎo)數(shù)與數(shù)列不等式的證明例4. 已知函數(shù)（）.（1）若在處取到極值，求的值；（2）若在上恒成立，求的取值范圍；（3）求證：當(dāng)時(shí)， .【答案】(1) ；(2) ；(3)證明見(jiàn)解析.【解析】：試題分析：（1）根據(jù)極值的概念得到，可得到參數(shù)值；（2）轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問(wèn)題，研究函數(shù)的單調(diào)性，分時(shí)， 時(shí)， ，三種情況討論單調(diào)性，使得最小值大于等于0即可。（3）由（1）知令，當(dāng)時(shí)， ，當(dāng)時(shí)， ，給x賦值：2，3，4，5等，最終證得結(jié)果。解析：（1），在處取到極值，即，經(jīng)檢驗(yàn)， 時(shí)， 在處取到極小值.（2），令（），1當(dāng)時(shí)， ， 在上單調(diào)遞減，又，時(shí)， ，不滿足在上恒成立.2當(dāng)時(shí)，二次函數(shù)開(kāi)口向上，對(duì)稱軸為，過(guò). 當(dāng)，即時(shí)， 在上恒成立，從而在上單調(diào)遞增，又，時(shí)， 成立，滿足在上恒成立；當(dāng)，即時(shí)，存在，使時(shí)， ， 單調(diào)遞減， 時(shí)， ， 單調(diào)遞增，又，故不滿足題意.3當(dāng)時(shí)，二次函數(shù)開(kāi)口向下，對(duì)稱軸為， 在單調(diào)遞減， ， 在上單調(diào)遞減，又，時(shí)， ，故不滿足題意.綜上所述， .（3）證明：由（1）知令，當(dāng)時(shí)， （當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“”），當(dāng)時(shí)， .即當(dāng)2,3,4， ，有 . 【防陷阱措施】：最后證明數(shù)列不等式時(shí)，把數(shù)列放縮成前后抵消或等比數(shù)列練習(xí)1函數(shù).（1）討論的單調(diào)性；（2）設(shè)，證明：.【答案】（1）（1）當(dāng)時(shí)，在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)；（2）當(dāng)時(shí),在上是增函數(shù)；（iii）當(dāng)時(shí)，在是上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)；（2）詳見(jiàn)試題分析【解析】試題分析：（1）首先求函數(shù)的定義域，的導(dǎo)數(shù)：，再分，三種情況，討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）先在（1）的基礎(chǔ)上，當(dāng)時(shí)，由的單調(diào)性得同理當(dāng)時(shí)，由的單調(diào)性得下面再用數(shù)學(xué)歸納法證明（1）的定義域?yàn)椋?）當(dāng)時(shí)，若，則在上是增函數(shù)；若則在上是減函數(shù)；若則在上是增函數(shù)（2）當(dāng)時(shí),成立當(dāng)且僅當(dāng)在上是增函數(shù)（iii）當(dāng)時(shí)，若，則在是上是增函數(shù)；若，則在上是減函數(shù)；若，則在上是增函數(shù)（2）由（1）知，當(dāng)時(shí)，在是增函數(shù)當(dāng)時(shí)，即又由（1）知，當(dāng)時(shí)，在上是減函數(shù)；當(dāng)時(shí)，即下面用數(shù)學(xué)歸納法證明（1）當(dāng)時(shí)，由已知，故結(jié)論成立；（2）假設(shè)當(dāng)時(shí)結(jié)論成立，即當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)有，結(jié)論成立根據(jù)（1）、（2）知對(duì)任何結(jié)論都成立考點(diǎn)：1利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；2利用數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)列不等式5.變形后求導(dǎo)例5. 已知函數(shù)，曲線在點(diǎn)處的切線方程為，（1）求的值（2）證明：當(dāng)時(shí)，【答案】分析：（1）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義列式求待定系數(shù)的值；（2）構(gòu)造新函數(shù)求其導(dǎo)數(shù)，利利用單調(diào)性和極值證明。解：（），由題意知：即（）由（）知，所以，設(shè)則，當(dāng)時(shí)， ，而故，當(dāng)?shù)茫簭亩?dāng)時(shí)，即【防陷阱措施】：對(duì)于復(fù)雜的函數(shù)導(dǎo)數(shù)問(wèn)題，需要兼顧左右兩端，以能夠持續(xù)化簡(jiǎn)為準(zhǔn)6.討論參數(shù)求參數(shù)例6設(shè)函數(shù)，其中為實(shí)數(shù).（1）若在上是單調(diào)減函數(shù)，且在上有最小值，求的取值范圍；（2）若在上是單調(diào)增函數(shù)，試求的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，并證明你的結(jié)論.【答案】（1）（2）當(dāng)或時(shí)，的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為1；當(dāng)時(shí)，的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為2.【解析】（1），考慮到函數(shù)的定義域?yàn)椋?，進(jìn)而解得，即在上是單調(diào)減函數(shù). 同理，在上是單調(diào)增函數(shù).由于在是單調(diào)減函數(shù)，故，從而，即.令，得，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)， 又在上有最小值，所以，即，綜上所述，.（2）當(dāng)時(shí)，必是單調(diào)增函數(shù)；當(dāng)時(shí)，令，解得，即，在上是單調(diào)函數(shù)，類似（1）有，即，綜合上述兩種情況，有.當(dāng)時(shí)，由以及，得存在唯一的零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，由于，且函數(shù)在上的圖象不間斷，在是單調(diào)增函數(shù)，在上存在零點(diǎn). 另外，當(dāng)時(shí)，則在上是單調(diào)增函數(shù)，只有一個(gè)零點(diǎn).當(dāng)時(shí)，令，解得.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，. 是的最大值點(diǎn)，且最大值為.1)當(dāng)，即時(shí)，有一個(gè)零點(diǎn).2)當(dāng)，即時(shí)，有兩個(gè)零點(diǎn). 實(shí)際上，對(duì)于，由于，且函數(shù)在上的圖象不間斷，在上存在零點(diǎn). 另外，當(dāng)時(shí)，故在上是單調(diào)增函數(shù)，在上有一個(gè)零點(diǎn).下面需要考慮在上的情況，先證，為此，我們要證明：當(dāng)時(shí)，設(shè)，則，再設(shè)，則.當(dāng)時(shí)，在上是單調(diào)增函數(shù)，故當(dāng)時(shí)，從而在上是單調(diào)增函數(shù)，進(jìn)而當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，.當(dāng)，即時(shí)，又，且函數(shù)在的圖象不間斷，在上存在零點(diǎn).又當(dāng)時(shí)，故在是單調(diào)減函數(shù)，所以，在上只有一個(gè)零點(diǎn).綜上所述，當(dāng)或時(shí)，的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為1；當(dāng)時(shí)，的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為2.【防陷阱措施】：討論參數(shù)的分界點(diǎn)問(wèn)題，一般是在不得不討論時(shí)再討論.練習(xí)1已知函數(shù)，其中.（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）對(duì)任意，都有，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.（2）的取值范圍是【解析】試題分析：（1）求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用函數(shù)單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系，即可求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）對(duì)于任意，都有，轉(zhuǎn)化為，多次構(gòu)造函數(shù)，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值可求函數(shù)求實(shí)數(shù)的取值范圍.試題解析：（1）函數(shù)的定義域?yàn)?，函?shù)的導(dǎo)數(shù)，因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)， ，此時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)， ，此時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.（2）當(dāng)時(shí)，由（1）知在上單調(diào)遞減， 在上單調(diào)遞減，所以對(duì)任意的，都有，因?yàn)閷?duì)任意的，都有，所以，即，得，所以當(dāng)時(shí)，對(duì)于任意的，都有，當(dāng)時(shí)， ，由（1）得在上單調(diào)遞增，所以對(duì)于任意，有，因?yàn)閷?duì)于任意，都有，所以，即，設(shè)，則，設(shè)，則，所以在上單調(diào)遞減，則當(dāng)時(shí)， ，此時(shí)不等式不成立，綜上，所求的取值范圍是.7.與三角函數(shù)有關(guān)的含參數(shù)的求導(dǎo)問(wèn)題例7. 已知函數(shù).(1)求證： ；(2)若對(duì)恒成立，求的最大值與的最小值.【答案】（1）詳見(jiàn)解析；（2）的最大值為，的最小值為1.【解析】試題分析：（1）求，由，判斷出，得出函數(shù)在上單調(diào)遞減，從而；（2）由于，“”等價(jià)于“”，“”等價(jià)于“”，令，則，對(duì)分；進(jìn)行討論，用導(dǎo)數(shù)法判斷函數(shù)的單調(diào)性，從而確定當(dāng)對(duì)恒成立時(shí)的最大值與的最小值.（1）由得，因?yàn)樵趨^(qū)間上，所以，在區(qū)間上單調(diào)遞減，從而.（2）當(dāng)時(shí)，“”等價(jià)于“”，“”等價(jià)于“”，令，則，當(dāng)時(shí)，對(duì)任意恒成立，當(dāng)時(shí)，因?yàn)閷?duì)任意，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，從而對(duì)任意恒成立.當(dāng)時(shí) ，存在唯一的使得，、在區(qū)間上的情況如下表： 因?yàn)樵趨^(qū)間上是增函數(shù)，所以，進(jìn)一步“對(duì)任意恒成立”，當(dāng)且僅當(dāng)，即.綜上所述，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，對(duì)任意恒成立.當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，對(duì)任意恒成立.所以，若對(duì)恒成立，則的最大值為與的最小值1.【防陷阱措施】：三角函數(shù)的求導(dǎo)注意符號(hào)問(wèn)題練習(xí)1. （I）證明當(dāng)（II）若不等式取值范圍.【答案】（I）見(jiàn)解析（II）【解析】（I）令， 即為增函數(shù)， 即為減函數(shù)，故， 為減函數(shù)， （II）下面證明， 綜上直接移項(xiàng)構(gòu)造函數(shù)，比較容易想到，但是求出導(dǎo)函數(shù)后又變得無(wú)從下手，這時(shí)候需要二次求導(dǎo)分析來(lái)解決。兩種解法各有特點(diǎn)。第二問(wèn)主要是在第一問(wèn)的基礎(chǔ)上利用不等式進(jìn)行適當(dāng)?shù)姆趴s，轉(zhuǎn)化為另一個(gè)函數(shù)進(jìn)行分析解答。練習(xí)2設(shè)函數(shù)。（）求的單調(diào)區(qū)間；（）如果對(duì)任何，都有，求的取值范圍?！敬鸢浮浚ǎ┰诿恳粋€(gè)區(qū)間（）是增函數(shù)，在每一個(gè)區(qū)間（）是減函數(shù)。（）（）令，則。故當(dāng)時(shí)， 。又，所以當(dāng)時(shí)， ，即。 9分當(dāng)時(shí)，令，則。故當(dāng)時(shí)， 。因此在上單調(diào)增加。故當(dāng)時(shí)， ，即。于是，當(dāng)時(shí)， 。當(dāng)時(shí)，有。因此， 的取值范圍是。 12分8.構(gòu)造函數(shù)問(wèn)題例8. 設(shè), 已知函數(shù)() 證明在區(qū)間(1,1)內(nèi)單調(diào)遞減, 在區(qū)間(1, + )內(nèi)單調(diào)遞增;() 設(shè)曲線在點(diǎn)處的切線相互平行, 且證明.【答案】見(jiàn)解析，因?yàn)椋援?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)， ，即函數(shù)在區(qū)間（0，1）內(nèi)單調(diào)遞減，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增.綜合及，可知函數(shù)在區(qū)間(1,1)內(nèi)單調(diào)遞減, 在區(qū)間(1, + )內(nèi)單調(diào)遞增.()證明：由()知， 在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增.因?yàn)榍€在點(diǎn)處的切線相互平行，從而互不相等，且.不妨設(shè)，由= = ，可得 ，解得，從而，設(shè)，則，由= ，解得，所以 ，設(shè)，則，因?yàn)?，所以，?= ，即 .【防陷阱措施】：本題第（）問(wèn)，可以分兩段來(lái)證明,都是通過(guò)導(dǎo)數(shù)的正負(fù)來(lái)判斷單調(diào)性；第()問(wèn)，由切線平行知，切線的斜率相等，然后構(gòu)造函數(shù)解決.判斷分段函數(shù)的單調(diào)性時(shí),要分段判斷;證明不等式時(shí),一般構(gòu)造函數(shù)解決.練習(xí)1設(shè)函數(shù)（1）證明： 在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增；（2）若對(duì)于任意，都有，求的取值范圍【答案】（）詳見(jiàn)解析；（） 【解析】（）若，則當(dāng)時(shí)， ， ；當(dāng)時(shí)， ， 若，則當(dāng)時(shí)， ， ；當(dāng)時(shí)， ， 所以， 在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增（）由（）知，對(duì)任意的， 在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，故在處取得最小值所以對(duì)于任意， 的充要條件是： 即，設(shè)函數(shù)，則當(dāng)時(shí)， ；當(dāng)時(shí)， 故在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增又， ，故當(dāng)時(shí)， 當(dāng)時(shí)， ， ，即式成立當(dāng)時(shí)，由的單調(diào)性， ，即；當(dāng)時(shí)， ，即綜上， 的取值范圍是練習(xí)2設(shè)，函數(shù).（1）若，求曲線在處的切線方程；（2）若無(wú)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）若有兩個(gè)相異零點(diǎn)， ，求證： 【答案】（1）（2）（3）見(jiàn)解析【解析】試題分析：（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)幾何意義得切線斜率為，再根據(jù)點(diǎn)斜式求切線方程（2）由于無(wú)零點(diǎn)，且函數(shù)恒有負(fù)值，所以函數(shù)最大值必小于零，根據(jù)導(dǎo)數(shù)可得函數(shù)最值，即得實(shí)數(shù)的取值范圍；也可先變量分離，根據(jù)兩函數(shù)交點(diǎn)情況求實(shí)數(shù)的取值范圍（3）利用分析法證不等式，要證，只要證，根據(jù)零點(diǎn)條件可得，令，構(gòu)造函數(shù)， ，利用導(dǎo)數(shù)可得單調(diào)性，即得，逆推可得結(jié)論試題解析：（1）函數(shù)的定義域?yàn)椋?，當(dāng)時(shí)， ，則切線方程為，即.（2）若時(shí)，則， 是區(qū)間上的增函數(shù)， ，函數(shù)在區(qū)間有唯一零點(diǎn)；若， 有唯一零點(diǎn)；若，令，得，在區(qū)間上， ，函數(shù)是增函數(shù)；在區(qū)間上， ，函數(shù)是減函數(shù)；故在區(qū)間上， 的極大值為，由于無(wú)零點(diǎn)，須使，解得，故所求實(shí)數(shù)的取值范圍是.（3）要證，兩邊同時(shí)取自然對(duì)數(shù)得.由得，得.所以原命題等價(jià)于證明.因?yàn)?，故只需證，即.令，則，設(shè)（），只需證.而，故在單調(diào)遞增，所以.綜上得.練習(xí)3. 已知函數(shù).（1）討論的單調(diào)性；（2）若方程存在兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根， ，證明： .【答案】(1)答案見(jiàn)解析；(2)證明見(jiàn)解析.【解析】試題分析：（1）先求得函數(shù)的定義域?yàn)?，由及?duì)取值的討論可得當(dāng)時(shí)， 在區(qū)間上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)， 在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減.（2）設(shè)， ，可得， 。故原不等式可化為證，等價(jià)于。在此基礎(chǔ)上，令，轉(zhuǎn)化為證成立，構(gòu)造函數(shù)，通過(guò)單調(diào)性可得不等式成立。試題解析：（1）函數(shù)的定義域?yàn)椋?當(dāng)時(shí)， ，故在區(qū)間上單調(diào)遞增.當(dāng)時(shí)，則當(dāng)時(shí)， ， 上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)， ， 上單調(diào)遞減。綜上，當(dāng)時(shí)， 在區(qū)間上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)， 在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減.（2）由方程存在兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根， ，可設(shè)， ，.要證，只需證，等價(jià)于，設(shè)，則上式轉(zhuǎn)化為，9.恒成立求參數(shù)例9. 已知函數(shù)（I）當(dāng)時(shí)，討論的單調(diào)性；（II）若時(shí)，求的取值范圍.【答案】（I）當(dāng)時(shí)，在是增函數(shù)；當(dāng)時(shí)，在是減函數(shù)；當(dāng)時(shí)，在是增函數(shù)；（II）【解析】（）當(dāng)時(shí)，.令，得，.當(dāng)時(shí)，在是增函數(shù)；當(dāng)時(shí)，在是減函數(shù)；當(dāng)時(shí)，在是增函數(shù)；（1）直接利用求導(dǎo)的方法，通過(guò)導(dǎo)函數(shù)大于0和小于0求解函數(shù)單調(diào)區(qū)間；（2）解題關(guān)鍵是利用求導(dǎo)的方法和不等式的放縮進(jìn)行證明.【防陷阱措施】：恒成立問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值問(wèn)題三、高考真題演練1.【xx課標(biāo)3，理11】已知函數(shù)有唯一零點(diǎn)，則a=ABCD1【答案】C【解析】試題分析：函數(shù)的零點(diǎn)滿足，設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，函數(shù) 單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，函數(shù) 單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值，設(shè) ，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值 ，若，函數(shù)與函數(shù)沒(méi)有交點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，時(shí)，此時(shí)函數(shù)和有一個(gè)交點(diǎn)，即，解得 .故選C.【考點(diǎn)】 函數(shù)的零點(diǎn)；導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，分類討論的數(shù)學(xué)思想【名師點(diǎn)睛】函數(shù)零點(diǎn)的應(yīng)用主要表現(xiàn)在利用零點(diǎn)求參數(shù)范圍，若方程可解，通過(guò)解方程即可得出參數(shù)的范圍，若方程不易解或不可解，則將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為構(gòu)造兩個(gè)函數(shù)，利用兩個(gè)函數(shù)圖象的關(guān)系求解，這樣會(huì)使得問(wèn)題變得直觀、簡(jiǎn)單，這也體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.2.【xx課標(biāo)1，理21】已知函數(shù).（1）討論的單調(diào)性；（2）若有兩個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍.【解析】試題分析：（1）討論單調(diào)性，首先進(jìn)行求導(dǎo)，發(fā)現(xiàn)式子特點(diǎn)后要及時(shí)進(jìn)行因式分解，在對(duì)按，進(jìn)行討論，寫出單調(diào)區(qū)間；（2）根據(jù)第（1）題，若，至多有一個(gè)零點(diǎn).若，當(dāng)時(shí)，取得最小值，求出最小值，根據(jù)，進(jìn)行討論，可知當(dāng)有2個(gè)零點(diǎn)，設(shè)正整數(shù)滿足，則.由于，因此在有一個(gè)零點(diǎn).所以的取值范圍為.試題解析：（1）的定義域?yàn)椋ǎ┤?，則，所以在單調(diào)遞減.（）若，則由得.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.（2）（）若，由（1）知，至多有一個(gè)零點(diǎn).（）若，由（1）知，當(dāng)時(shí)，取得最小值，最小值為.當(dāng)時(shí)，由于，故只有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，由于，即，故沒(méi)有零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，即.又，故在有一個(gè)零點(diǎn).設(shè)正整數(shù)滿足，則.由于，因此在有一個(gè)零點(diǎn).綜上，的取值范圍為.【考點(diǎn)】含參函數(shù)的單調(diào)性，利用函數(shù)零點(diǎn)求參數(shù)取值范圍.【名師點(diǎn)睛】研究函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題常常與研究對(duì)應(yīng)方程的實(shí)根問(wèn)題相互轉(zhuǎn)化.已知函數(shù)有2個(gè)零點(diǎn)求參數(shù)取值范圍，第一種方法是分離參數(shù)，構(gòu)造不含參數(shù)的函數(shù)，研究其單調(diào)性、極值、最值，判斷與其交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，從而求出a的范圍；第二種方法是直接對(duì)含參函數(shù)進(jìn)行研究，研究其單調(diào)性、極值、最值，注意點(diǎn)是若有2個(gè)零點(diǎn)，且函數(shù)先減后增，則只需其最小值小于0，且后面還需驗(yàn)證有最小值兩邊存在大于0的點(diǎn).3.【xx課標(biāo)II，理】已知函數(shù)，且。(1)求；(2)證明：存在唯一的極大值點(diǎn)，且?！敬鸢浮?1)；(2)證明略。【解析】試題分析：(1)利用題意結(jié)合導(dǎo)函數(shù)與原函數(shù)的關(guān)系可求得，注意驗(yàn)證結(jié)果的正確性；(2)結(jié)合(1)的結(jié)論構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合的單調(diào)性和的解析式即可證得題中的不等式。試題解析：（1）的定義域?yàn)?。設(shè)，則，等價(jià)于。因?yàn)?，因，而，得。若，則。當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增。所以是的極小值點(diǎn)，故綜上，。所以 在 有唯一零點(diǎn)，在 有唯一零點(diǎn)1，且當(dāng) 時(shí)， ；當(dāng) 時(shí)， ，當(dāng) 時(shí)， 。因?yàn)?，所以是的唯一極大值點(diǎn)。由得，故。 由 得 。因?yàn)槭窃冢?,1）的最大值點(diǎn)，由， 得。 所以?！究键c(diǎn)】 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值【名師點(diǎn)睛】導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)的單調(diào)性、極值(最值)最有效的工具，而函數(shù)是高中數(shù)學(xué)中重要的知識(shí)點(diǎn)，所以在歷屆高考中，對(duì)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用的考查都非常突出 ，本專題在高考中的命題方向及命題角度 從高考來(lái)看，對(duì)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用的考查主要從以下幾個(gè)角度進(jìn)行： (1)考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，往往與解析幾何、微積分相聯(lián)系。 (2)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，判斷單調(diào)性；已知單調(diào)性，求參數(shù)。 (3)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值(極值)，解決生活中的優(yōu)化問(wèn)題。 (4)考查數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用。4.【xx天津，理20】設(shè)，已知定義在R上的函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有一個(gè)零點(diǎn)，為的導(dǎo)函數(shù).（）求的單調(diào)區(qū)間；（）設(shè)，函數(shù)，求證：；（）求證：存在大于0的常數(shù)，使得對(duì)于任意的正整數(shù)，且 滿足.【答案】 （1）增區(qū)間是，減區(qū)間是.（2）（3）證明見(jiàn)解析【解析】試題分析：由于為，所以判斷的單調(diào)性，需要對(duì)二次求導(dǎo)，根據(jù)的導(dǎo)數(shù)的符號(hào)判斷函數(shù)的單調(diào)性，給出單調(diào)區(qū)間;由，得 ，.令函數(shù)，分別求導(dǎo)證明.有關(guān)零點(diǎn)問(wèn)題，利用函數(shù)的單調(diào)性了解函數(shù)的圖像情況，對(duì)極值作出相應(yīng)的要求可控制零點(diǎn)的個(gè)數(shù).試題解析：（）由，可得，進(jìn)而可得.令，解得，或.當(dāng)x變化時(shí)，的變化情況如下表：x+-+所以，的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是.（）證明：由，得，.令函數(shù)，則.由（）知，當(dāng)時(shí)，故當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增.因此，當(dāng)時(shí)，可得.令函數(shù)，則.由（）知，在上單調(diào)遞增，故當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減.因此，當(dāng)時(shí)，可得.所以，.（III）證明：對(duì)于任意的正整數(shù)，且，令，函數(shù).由（II）知，當(dāng)時(shí)，在區(qū)間內(nèi)有零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，在區(qū)間內(nèi)有零點(diǎn).所以在內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn)，不妨設(shè)為，則.由（I）知在上單調(diào)遞增，故，于是.因?yàn)楫?dāng)時(shí)，故在上單調(diào)遞增，所以在區(qū)間上除外沒(méi)有其他的零點(diǎn)，而，故.又因?yàn)?，均為整?shù)，所以是正整數(shù)，從而.所以.所以，只要取，就有.【考點(diǎn)】導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用【名師點(diǎn)睛】判斷的單調(diào)性，只需對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)的導(dǎo)數(shù)的符號(hào)判斷函數(shù)的單調(diào)性，求出單調(diào)區(qū)間，有關(guān)函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題，先利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，了解函數(shù)的圖象的增減情況，再對(duì)極值點(diǎn)作出相應(yīng)的要求，可控制零點(diǎn)的個(gè)數(shù).【xx年】1【xx高考新課標(biāo)1卷】已知函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn).(I)求a的取值范圍；(II)設(shè)x1,x2是的兩個(gè)零點(diǎn),證明：.【答案】【解析】試題解析;（）（i）設(shè),則,只有一個(gè)零點(diǎn)（ii）設(shè),則當(dāng)時(shí),；當(dāng)時(shí),所以在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增又,取滿足且,則,故存在兩個(gè)零點(diǎn)（iii）設(shè),由得或若,則,故當(dāng)時(shí),因此在上單調(diào)遞增又當(dāng)時(shí),所以不存在兩個(gè)零點(diǎn)若,則,故當(dāng)時(shí),；當(dāng)時(shí),因此在單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增又當(dāng)時(shí),所以不存在兩個(gè)零點(diǎn)綜上,的取值范圍為（）不妨設(shè),由（）知,在上單調(diào)遞減,所以等價(jià)于,即由于,而,所以設(shè),則所以當(dāng)時(shí),而,故當(dāng)時(shí),從而,故考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用【名師點(diǎn)睛】,對(duì)于含有參數(shù)的函數(shù)單調(diào)性、極值、零點(diǎn)問(wèn)題,通常要根據(jù)參數(shù)進(jìn)行分類討論,要注意分類討論的原則：互斥、無(wú)漏、最簡(jiǎn)；,解決函數(shù)不等式的證明問(wèn)題的思路是構(gòu)造適當(dāng)?shù)暮瘮?shù),利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性或極值破解.2. 【xx高考山東理數(shù)】(本小題滿分13分)已知.（I）討論的單調(diào)性；（II）當(dāng)時(shí)，證明對(duì)于任意的成立.【答案】（）見(jiàn)解析；（）見(jiàn)解析【解析】試題分析：（）求的導(dǎo)函數(shù)，對(duì)a進(jìn)行分類討論，求的單調(diào)性；（）要證對(duì)于任意的成立，即證，根據(jù)單調(diào)性求解.試題解析：（）的定義域?yàn)椋?當(dāng)， 時(shí)，單調(diào)遞增；，單調(diào)遞減.當(dāng)時(shí)，.（1），當(dāng)或時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；（2）時(shí)，在內(nèi)，單調(diào)遞增；（3）時(shí)，當(dāng)或時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減.綜上所述，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在內(nèi)單調(diào)遞增；當(dāng)，在內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增.（）由（）知，時(shí)，令，.則，由可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得等號(hào).又，設(shè)，則在單調(diào)遞減，因?yàn)?，所以在上存在使?時(shí)，時(shí)，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減，由于，因此，當(dāng)且僅當(dāng)取得等號(hào)，所以，即對(duì)于任意的恒成立。考點(diǎn)：1.應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值；2.分類討論思想.【名師點(diǎn)睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的計(jì)算、應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值、分類討論思想.本題覆蓋面廣，對(duì)考生計(jì)算能力要求較高，是一道難題.解答本題，準(zhǔn)確求導(dǎo)數(shù)是基礎(chǔ)，恰當(dāng)分類討論是關(guān)鍵，易錯(cuò)點(diǎn)是分類討論不全面、不徹底、不恰當(dāng)，或因復(fù)雜式子變形能力差，而錯(cuò)漏百出.本題能較好的考查考生的邏輯思維能力、基本計(jì)算能力、分類討論思想等.3.【xx高考江蘇卷】（本小題滿分16分）已知函數(shù).設(shè).（1）求方程的根;（2）若對(duì)任意,不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的最大值；（3）若，函數(shù)有且只有1個(gè)零點(diǎn)，求的值?！敬鸢浮浚?）0 4（2）1【解析】試題分析：（1）根據(jù)指數(shù)間倒數(shù)關(guān)系轉(zhuǎn)化為一元二次方程，求方程根根據(jù)指數(shù)間平方關(guān)系，將不等式轉(zhuǎn)化為一元不等式，再利用變量分離轉(zhuǎn)化為對(duì)應(yīng)函數(shù)最值，即的最小值，最后根據(jù)基本不等式求最值（2）先分析導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)情況：唯一零點(diǎn)，再確定原函數(shù)單調(diào)變化趨勢(shì)：先減后增，從而結(jié)合圖像確定唯一零點(diǎn)必在極值點(diǎn)取得，而，因此極值點(diǎn)必等于零，進(jìn)而求出的值.本題難點(diǎn)在證明，這可利用反證法：若，則可尋找出一個(gè)區(qū)間，由結(jié)合零點(diǎn)存在定理可得函數(shù)存在另一零點(diǎn)，與題意矛盾，其中可取；若，同理可得.試題解析：（1）因?yàn)?，所?方程，即，亦即，所以，于是，解得.由條件知.因?yàn)閷?duì)于恒成立，且，所以對(duì)于恒成立.而，且，所以，故實(shí)數(shù)的最大值為4.（2）因?yàn)楹瘮?shù)只有1個(gè)零點(diǎn)，而，所以0是函數(shù)的唯一零點(diǎn).因?yàn)椋钟芍?，所以有唯一?若，則，于是，又，且函數(shù)在以和為端點(diǎn)的閉區(qū)間上的圖象不間斷，所以在和之間存在的零點(diǎn)，記為. 因?yàn)椋?，又，所以與“0是函數(shù)的唯一零點(diǎn)”矛盾.若，同理可得，在和之間存在的非0的零點(diǎn)，矛盾.因此，.于是，故，所以.考點(diǎn)：指數(shù)函數(shù)、基本不等式、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性及零點(diǎn)【名師點(diǎn)睛】對(duì)于函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題，可利用函數(shù)的值域或最值，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性、草圖確定其中參數(shù)范圍從圖象的最高點(diǎn)、最低點(diǎn)，分析函數(shù)的最值、極值；從圖象的對(duì)稱性，分析函數(shù)的奇偶性；從圖象的走向趨勢(shì)，分析函數(shù)的單調(diào)性、周期性等但需注意探求與論證之間區(qū)別，論證是充要關(guān)系，要充分利用零點(diǎn)存在定理及函數(shù)單調(diào)性嚴(yán)格說(shuō)明函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù).4.【xx高考新課標(biāo)3理數(shù)】設(shè)函數(shù)，其中，記的最大值為（）求；（）求；（）證明：【答案】（）；（）；（）見(jiàn)解析【解析】試題分析：（）直接可求；（）分兩種情況，結(jié)合三角函數(shù)的有界性求出，但須注意當(dāng)時(shí)還須進(jìn)一步分為兩種情況求解；（）首先由（）得到，然后分，三種情況證明試題解析：（）（）當(dāng)時(shí)，因此， 4分當(dāng)時(shí)，將變形為令，則是在上的最大值，且當(dāng)時(shí)，取得極小值，極小值為令，解得（舍去），（）當(dāng)時(shí)，在內(nèi)無(wú)極值點(diǎn)，所以（）當(dāng)時(shí)，由，知又，所以綜上，（）由（）得.當(dāng)時(shí)，.當(dāng)時(shí)，所以.當(dāng)時(shí)，所以.考點(diǎn)：1、三角恒等變換；2、導(dǎo)數(shù)的計(jì)算；3、三角函數(shù)的有界性【歸納總結(jié)】求三角函數(shù)的最值通常分為兩步：（1）利用兩角和與差的三角公式、二倍角公式、誘導(dǎo)公式將解析式化為形如的形式；（2）結(jié)合自變量的取值范圍，結(jié)合正弦曲線與余弦曲線進(jìn)行求解【xx年】1.【xx福建理10】若定義在上的函數(shù) 滿足 ，其導(dǎo)函數(shù) 滿足 ，則下列結(jié)論中一定錯(cuò)誤的是（ ）A B C D 【答案】C【考點(diǎn)定位】函數(shù)與導(dǎo)數(shù)【名師點(diǎn)睛】聯(lián)系已知條件和結(jié)論，構(gòu)造輔助函數(shù)是高中數(shù)學(xué)中一種常用的方法，解題中若遇到有關(guān)不等式、方程及最值之類問(wèn)題，設(shè)法建立起目標(biāo)函數(shù)，并確定變量的限制條件，通過(guò)研究函數(shù)的單調(diào)性、最值等問(wèn)題，?？墒箚?wèn)題變得明了，屬于難題2.【xx高考福建，理20】已知函數(shù)，()證明：當(dāng)；()證明：當(dāng)時(shí)，存在,使得對(duì)()確定k的所以可能取值，使得存在，對(duì)任意的恒有【答案】()詳見(jiàn)解析；()詳見(jiàn)解析；() 【解析】解法一：(1)令則有當(dāng) ,所以在上單調(diào)遞減；故當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，(2)令則有當(dāng) ,所以在上單調(diào)遞增, 故對(duì)任意正實(shí)數(shù)均滿足題意.當(dāng)時(shí)，令得取對(duì)任意恒有,所以在上單調(diào)遞增, ,即.綜上，當(dāng)時(shí)，總存在,使得對(duì)任意的恒有(3)當(dāng)時(shí)，由（1）知，對(duì)于故，令，則有故當(dāng)時(shí)，,在上單調(diào)遞增，故,即,所以滿足題意的t不存在.當(dāng)時(shí)，由（2）知存在,使得對(duì)任意的任意的恒有此時(shí),令，則有故當(dāng)時(shí)，,在上單調(diào)遞增，故,即,記與中較小的為，則當(dāng)，故滿足題意的t不存在.當(dāng)，由（1）知，令，則有當(dāng)時(shí)，,所以在上單調(diào)遞減，故,故當(dāng)時(shí)，恒有,此時(shí)，任意實(shí)數(shù)t滿足題意.綜上，.解法二：（1）（2）同解法一.（3）當(dāng)時(shí)，由（1）知，對(duì)于，故，令，從而得到當(dāng)時(shí)，恒有,所以滿足題意的t不存在.當(dāng)時(shí)，取由（2）知存在,使得.此時(shí),令，此時(shí) ,記與中較小的為，則當(dāng)，故滿足題意的t不存在.當(dāng)，由（1）知，令，則有當(dāng)時(shí)，,所以在上單調(diào)遞減，故,故當(dāng)時(shí)，恒有,此時(shí)，任意實(shí)數(shù)t滿足題意綜上，.【考點(diǎn)定位】導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用【名師點(diǎn)睛】在解函數(shù)的綜合應(yīng)用問(wèn)題時(shí),我們常常借助導(dǎo)數(shù),將題中千變?nèi)f化的隱藏信息進(jìn)行轉(zhuǎn)化，探究這類問(wèn)題的根本，從本質(zhì)入手,進(jìn)而求解，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，再用單調(diào)性來(lái)證明不等式是函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、不等式綜合中的一個(gè)難點(diǎn)，解題技巧是構(gòu)造輔助函數(shù)，把不等式的證明轉(zhuǎn)化為利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性或最值，從而證得不等式，注意與不等價(jià)，只是的特例，但是也可以利用它來(lái)證明，在xx年全國(guó)卷理科高考21題中，就是使用該種方法證明不等式；導(dǎo)數(shù)的強(qiáng)大功能就是通過(guò)研究函數(shù)極值、最值、單調(diào)區(qū)間來(lái)判斷函數(shù)大致圖象，這是利用研究基本初等函數(shù)方法所不具備的，而是其延續(xù)3.【xx高考天津，理20】已知函數(shù)，其中.(I)討論的單調(diào)性；(II)設(shè)曲線與軸正半軸的交點(diǎn)為P，曲線在點(diǎn)P處的切線方程為,求證：對(duì)于任意的正實(shí)數(shù)，都有；(III)若關(guān)于的方程有兩個(gè)正實(shí)根，求證： 【解析】(I)由，可得，其中且，下面分兩種情況討論：（1）當(dāng)為奇數(shù)時(shí)：令，解得或，當(dāng)變化時(shí)，的變化情況如下表：所以，在，上單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增.(2)當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減.所以，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.類似的，設(shè)曲線在原點(diǎn)處的切線方程為，可得，當(dāng)，即對(duì)任意，設(shè)方程的根為，可得，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，且，因此.由此可得.因?yàn)椋?，故，所?【考點(diǎn)定位】1.導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算；2.導(dǎo)數(shù)的幾何意義；3.利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)、證明不等式.【名師點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)的性質(zhì)與導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系以及利用函數(shù)證明不等式.第(I)小題求導(dǎo)后分為奇偶數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)分類討論的重要思想；第(II)(III)中都利用了構(gòu)造函數(shù)證明不等式這一重要思想方法，體現(xiàn)數(shù)學(xué)中的構(gòu)造法在解題中的重要作用，是撥高題.