八年級(jí)數(shù)學(xué) 寒假教材二次根式第一課 二次根式定義級(jí)性質(zhì)定義：一般地，我們把形如（a0）的式子叫做二次根式，“”稱為二次根號(hào) 例1下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：、（x>0）、-、（x0，y0）例2(1)當(dāng)x是多少時(shí)，在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義？(2)當(dāng)x是多少時(shí)，+在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義？例3.(1)已知,求的值; (2)若，求的值 例4.做一做：根據(jù)算術(shù)平方根的意義填空：=_；=_；=_；=_；=_；=_；= ;= ；= ； = 例5.在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解下列因式: （1）x2-3 （2）x4-4 (3) 2x2-3例6.若-3x2時(shí)，試化簡(jiǎn)。例7.（1）已知：,求，x+2y的平方根。 （2）若,求：x2+y2的值。 例8.已知：，求代數(shù)式的值。課堂練習(xí)：1.下列式子中，不是二次根式的是（ ） A. B. C. D.2.在式子中，二次根式有（ ）A.2個(gè) B.3個(gè) C.4個(gè) D.5個(gè)3.下列各式一定是二次根式的是（ ） A. B. C. D.4.下列二次根式中，的取值范圍是2的是( )A. B. C. D.5.已知一個(gè)正方形的面積是5，那么它的邊長(zhǎng)是（ ） A.5 B. C. D.以上皆不對(duì)6.下列各式中、,二次根式的個(gè)數(shù)是（ ） A.4 B.3 C.2 D.17.數(shù)a沒有算術(shù)平方根，則a的取值范圍是（ ） A.a>0 B.a0 C.a<0 D.a=08.的值是（ ） A.0 B. C.4 D.以上都不對(duì)9.a0時(shí)，、-，比較它們的結(jié)果，下面四個(gè)選項(xiàng)中正確的是（ ） A. B. C. D.10.若式子-1有意義，則x的取值范圍是（ ） A.x B.x C.x= D.以上都不對(duì)11.下面的推導(dǎo)中開始出錯(cuò)的步驟是（ ）A.(1) B.(2) C.(3) D.(4) 12.下列各式1），其中是二次根式的是_（填序號(hào)）13.面積為a的正方形的邊長(zhǎng)為_14.若+有意義，則=_15.已知有意義，那么x 16.=_17.若是一個(gè)正整數(shù)，則正整數(shù)m的最小值是_18.先化簡(jiǎn)再求值：當(dāng)a=9時(shí)，求的值，甲乙兩人的解答如下： 甲的解答為：原式=a+（1-a）=1；乙的解答為：原式=a+（a-1）=2a-1=17兩種解答中，_的解答是錯(cuò)誤的，錯(cuò)誤的原因是_19.當(dāng)x為何值時(shí)，下列各式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)才有意義： （1）；（2）；3）；（4）；（5）；（6） 20.填空： =_；=_；=_；=_；=_；=_ = ；= ；= ；= ；= 21.填空：當(dāng)a0時(shí)，=_；當(dāng)a<0時(shí)，=_，并根據(jù)這一性質(zhì)回答下列問題（1）若=a，則a可以是什么數(shù)？（2）若=-a，則a可以是什么數(shù)？（3）>a，則a可以是什么數(shù)？22.當(dāng)x是多少時(shí)，在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義？23.在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解下列因式: （1）x2-2 （2）x4-9 3x2-524.某工廠要制作一批體積為1m3的產(chǎn)品包裝盒，其高為0.2m，按設(shè)計(jì)需要，底面應(yīng)做成正方形，試問底面邊長(zhǎng)應(yīng)是多少？25.若，求的值。 26.當(dāng)a取什么值時(shí)，代數(shù)式取值最小，并求出這個(gè)最小值。27.已知a、b為實(shí)數(shù)，且，求a、b的值課后練習(xí)：1.當(dāng)a0時(shí)，化簡(jiǎn)的結(jié)果是（ ） A.aB.-aC.3aD.-3a2.如果是整數(shù)，那么（ ） A.a0，且a是完全平方數(shù) B.a0，且-a是完全平方數(shù) C.a0，且a是完全平方數(shù) D.a0，且-a是完全平方數(shù)3.使等式成立的x值（ ） A.是正數(shù) B.是負(fù)數(shù) C.是0 D.不能確定4.設(shè)實(shí)數(shù)x滿足，則等于（ ） A.x-3 B.3-x C. D.35.把根號(hào)外面的因式移到根號(hào)內(nèi)，則原式等于（ ）A. B. C. D.6.若，則等于（ ）A. B. C. D.7.若,則=（ ）A. B. C. D.8.若，則化簡(jiǎn)后為（ ）A. B. C. D.9.能使等式成立的x的取值范圍是（ ）A. B. C. D.10.計(jì)算：的值是（ ）A.0 B. C. D.或11.等式成立的條件是_12.當(dāng)x_時(shí)，二次根式有意義使式子有意義的條件是 。13.當(dāng)時(shí)，有意義。14.若有意義，則的取值范圍是 。15. 當(dāng)x 時(shí)，是二次根式。16.在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解因式：。17.若，則的取值范圍是 。18.已知，則的取值范圍是 。19.化簡(jiǎn)：的結(jié)果是 20.當(dāng)時(shí)，。21.把的根號(hào)外的因式移到根號(hào)內(nèi)等于 。22.使等式成立的條件是 23.計(jì)算：=_ 24.實(shí)數(shù)a、b在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置如圖所示：則=_25.當(dāng)x1時(shí)，-=_26.若0a1，化簡(jiǎn)后的結(jié)果是 27.已知實(shí)數(shù)a滿足，那么 28.若與互為相反數(shù)，則= 29.計(jì)算：（1）； （2）； （3）； （4）； (5) 30.求下列分式x的取值范圍。(1) (2) 31.在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)因式分解： (1)2x24； (2)x42x2332.已知+=0，求xy的值能力提高：1.若x1，則等于（ ） A.3-2x B.2x-3 C.3 D.12.已知實(shí)數(shù)a、b、c滿足，那么代數(shù)式化簡(jiǎn)后的結(jié)果為（ ） A.2c-b B.2c-2a C.-b D.b3.已知a、b、c在數(shù)軸上的位置如圖所示. 化簡(jiǎn)的值等于（ ） A.-a B.2a-2b C.2c-2b D.c4.使式子有意義的未知數(shù)x有（ ）個(gè) A.0 B.1 C.2 D.無(wú)數(shù)5.若a、b、c是ABC的三邊,化簡(jiǎn)= 6.若x、y為實(shí)數(shù)，且，求的值。7.已知為實(shí)數(shù)，且，求的值。 8.已知，求的值。9.若，求的值第02課 二次根式的乘除乘法公式：，反之類型：（i）單項(xiàng)二次根式乘以單項(xiàng)二次根式； （ii）單項(xiàng)二次根式乘以多項(xiàng)二次根式； （iii）多項(xiàng)二次根式乘以多項(xiàng)二次根式 除法公式：，反過來類型：（i）單項(xiàng)二次根式除以單項(xiàng)二次根式（應(yīng)用運(yùn)算法則計(jì)算） （ii）多項(xiàng)二次根式除以單項(xiàng)二次根式（轉(zhuǎn)化為單項(xiàng)二次根式除以單項(xiàng)二次根式） （iii）除數(shù)是二個(gè)二次根式的和或是一個(gè)二次根式與一個(gè)有理數(shù)的和（把分母有理化進(jìn)行運(yùn)算，或與分式的運(yùn)算類比思考，約去分子，分母中的公因式）。 最簡(jiǎn)二次根式：滿足下列兩個(gè)條件的二次根式，叫做最簡(jiǎn)二次根式； （1）被開方數(shù)的因數(shù)是整數(shù)，因式是整式； （2）被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式。因式的外移和內(nèi)移：如果被開方數(shù)中有的因式能夠開得盡方，那么，就可以用它的算術(shù)根代替而移到根號(hào)外面；如果被開方數(shù)是代數(shù)和的形式，那么先解因式，變形為積的形式，再移因式到根號(hào)外面，反之也可以將根號(hào)外面的正因式平方后移到根號(hào)里面有理數(shù)的加法交換律、結(jié)合律，乘法交換律及結(jié)合律，乘法對(duì)加法的分配律以及多項(xiàng)式的乘法公式，都適用于二次根式的運(yùn)算例1.完成下列各題填空：（1）=_，=_；（2）=_，=_ （3）=_，=_參考上面的結(jié)果，用“>、<或”填空 (1)_(2)_(3)_（4）_，（5）_，（6）_，（7）_，（8）_例2.計(jì)算：（1） （2） （3） （4）例3.化簡(jiǎn)：（1） （2） （3） （4） （5）例4.填空：（1）=_，=_；（2）=_，=_；（3）=_，=_；（4）=_，=_規(guī)律：_；_；_；_計(jì)算填空:（1）=_，（2）=_，（3）=_，（4）=_ 規(guī)律：_；_；_；_。例5計(jì)算：（1） （2） （3） （4）例6化簡(jiǎn)：（1） （2） （3） （4）例7(1) ; (2) ; (3) 例8已知，且x為偶數(shù)，求的值例9.若和都是最簡(jiǎn)二次根式，則。例10觀察下列各式，通過分母有理數(shù)，把不是最簡(jiǎn)二次根式的化成最簡(jiǎn)二次根式：=-1，=-，同理可得：=-， 從中找出規(guī)律，計(jì)算：的值課堂練習(xí)：1.等式成立的條件是（ ） A.x1 B.x-1 C.-1x1 D.x1或x-12.下列各等式成立的是（ ）A B C D3.計(jì)算的結(jié)果是（ ） A. B. C. D.4.閱讀下列運(yùn)算過程：，,數(shù)學(xué)上將這種把分母的根號(hào)去掉的過程稱作“分母有理化”，那么，化簡(jiǎn)的結(jié)果是（ ） A.2 B.6 C. D.5.如果（y>0）是二次根式，那么，化為最簡(jiǎn)二次根式是（ ） A.（y>0） B.（y>0） C.（y>0） D.以上都不對(duì)6.下列各式不是最簡(jiǎn)二次根式的是（ ） A. B. C. D.7.已知，化簡(jiǎn)二次根式的正確結(jié)果為（ ）A. B. C. D.8.把二次根式化簡(jiǎn)，得（ ） A.x2xy B. C. D. 9.把中根號(hào)外的（a-1）移入根號(hào)內(nèi)得（ ） A. B. C.- D.-10.在下列各式中，化簡(jiǎn)正確的是（ ） A.=3 B.= C.=a2 D.=x11.化簡(jiǎn)的結(jié)果是（ ） A.- B.- C.- D.-12.下列各式中，一定成立的是（ ）A. B. C. D. 13.化簡(jiǎn)：（1）_；（2）_；（3）_；（4）_； =_ ；=_14.當(dāng)，時(shí)，。15.計(jì)算：；。16.長(zhǎng)方形的寬為，面積為，則長(zhǎng)方形的長(zhǎng)約為 （精確到0.01）。17.自由落體的公式為S=gt2（g為重力加速度，它的值為10m/s2），若物體下落的高度為720m，則下落的時(shí)間是_18.分母有理化:(1) =_;(2) =_;(3) =_.19.已知x=3，y=4，z=5，那么的最后結(jié)果是_20.化簡(jiǎn)=_（x0）；a化簡(jiǎn)二次根式號(hào)后的結(jié)果是_21.如果xy=5,xy=1,那么 = 22.（1）計(jì)算： 32 (2) 化簡(jiǎn): ; ; ; ; 23判斷下列各式是否正確，不正確的請(qǐng)予以改正： （1）；（2）=4=4=4=824.計(jì)算下列各題：（1） （2） （3） （4） （5） （6）25.一個(gè)底面為30cm30cm長(zhǎng)方體玻璃容器中裝滿水，現(xiàn)將一部分水例入一個(gè)底面為正方形、高為10cm鐵桶中，當(dāng)鐵桶裝滿水時(shí)，容器中的水面下降了20cm，鐵桶的底面邊長(zhǎng)是多少厘米？26.有一種房梁的截面積是一個(gè)矩形，且矩形的長(zhǎng)與寬之比為，現(xiàn)用直徑為cm的一種圓木做原料加工這種房梁，那么加工后的房染的最大截面積是多少？27.已知a為實(shí)數(shù)，化簡(jiǎn)：-a，閱讀下面的解答過程，請(qǐng)判斷是否正確？若不正確，請(qǐng)寫出正確的解答過程： 解：-a=a-a=（a-1）課后練習(xí)：1.當(dāng)a0，b0時(shí)，把化為最簡(jiǎn)二次根式，得（ ） A. B.- C.- D.2.對(duì)于所有實(shí)數(shù)，下列等式總能成立的是（ ） A. B. C. D.3.和的大小關(guān)系是（ ） A. B. C. D.不能確定4.對(duì)于二次根式，以下說法中不正確的是（ ） A.它是一個(gè)非負(fù)數(shù) B.它是一個(gè)無(wú)理數(shù) C.它是最簡(jiǎn)二次根式 D.它的最小值為35.計(jì)算: （6） （7） （8）(9) (10) (11) (12) (13) 6.把根號(hào)外的因式移到根號(hào)內(nèi)：探究過程：觀察下列各式及其驗(yàn)證過程 （1）2= 驗(yàn)證：2= （2）3=驗(yàn)證：3=同理可得：4, 5， 通過上述探究你能猜測(cè)出： =_（a>0）,并驗(yàn)證你的結(jié)論能力提高：1.化簡(jiǎn)的結(jié)果是（ ） A. B. C.- D.-2.若x、y為實(shí)數(shù)，且y=，求的值第3課 二次根式的加減同類二次根式：幾個(gè)二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式后，它們的被開方數(shù)相同,這些二次根式就稱為同類二次根式二次根式加減時(shí)，可以先將二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式，再將被開方數(shù)相同的二次根式進(jìn)行合并互為有理化因式：互為有理化因式是指兩個(gè)二次根式的乘積可以運(yùn)用平方差公式（a+b）（a-b）=a2-b2，同時(shí)它們的積是有理數(shù)，不含有二次根式.例1.計(jì)算下列各式（1）; （2）; （3）; （4）例2計(jì)算:(1) (2) (3) (4)例3化簡(jiǎn)下列各式：(1) (2) (3)(4) (5) (6)例4.已知，求的值 例5.若最簡(jiǎn)根式與根式是同類二次根式，求a、b的值例6計(jì)算:（1）（+6）（3-） （2）（+）（-）例7.的有理化因式是_；的有理化因式是_ 的有理化因式是_例8.把下列各式的分母有理化： （1） （2） （3） （4）例9.(1)比較與的大小。 (2)比較與的大小。例10.先化簡(jiǎn)，再求值：，其中。例11.試解答下列問題：(1)若a是x的整數(shù)部分，b是x的小數(shù)部分，求：a2-ab+b2的值。(2)已知，求a的值。 （3）若，求x的值。課堂練習(xí)：1.以下二次根式：；中，與是同類二次根式的是（ ） A.和 B.和 C.和 D.和2.下列各組二次根式中是同類二次根式的是( )A. B. C. D.3.下列根式中，與是同類二次根式的是（ ） A. B. C. D.4.下面說法正確的是（ ） A.被開方數(shù)相同的二次根式一定是同類二次根式 B.與是同類二次根式 C.與不是同類二次根式 D.同類二次根式是根指數(shù)為2的根式5.下列各式：3+3=6；=1；+=2；=2，其中錯(cuò)誤的有（ ） A.3個(gè) B.2個(gè) C.1個(gè) D.0個(gè)6.（-3+2）的值是（ ） A.-3 B.3- C.2- D.-7.計(jì)算（+）（-）的值是（ ） A.2 B.3 C.4 D.18.與不是同類二次根式的是（ ） A. B. C. D. 9.下列根式中，是最簡(jiǎn)二次根式的是（ ） A. B. C. D.10.若，則化簡(jiǎn)的結(jié)果是（ ） A. B. C.3 D.-311.若，則的值等于（ ）A. 4 B. C. 2 D. 12.若的整數(shù)部分為，小數(shù)部分為，則的值是（ ） A. B. C.1 D.313.下列式子中正確的是（ ） A. B. C. D.14.、3、-2中，與是同類二次根式的有_15.在中，與是同類二次根式的是 。16.若最簡(jiǎn)二次根式與是同類二次根式，則。17.一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)分別為，則它的周長(zhǎng)是 cm。18.若最簡(jiǎn)二次根式與是同類二次根式，則。19.計(jì)算二次根式5-3-7+9的最后結(jié)果是_20.某地有一長(zhǎng)方形魚塘，已知魚塘的長(zhǎng)是寬的2倍，它的面積是1600m2，魚塘的寬是_m（結(jié)果用最簡(jiǎn)二次根式）21.的計(jì)算結(jié)果（用最簡(jiǎn)根式表示）是_22.的計(jì)算結(jié)果（用最簡(jiǎn)二次根式表示）是_23.若，則x2+2x+1=_24.已知a=3+2，b=3-2，則a2b-ab2=_25.若最簡(jiǎn)二次根式與是同類二次根式，則a_， b_26.已知，則27.已知，則28.計(jì)算：= 29.已知，則a_。30.計(jì)算：（1） （2）（3） （4）（5） （6） 31.化簡(jiǎn)：（1） （2） （3） （4）（5） （6）32.先化簡(jiǎn)，再求值，其中。33.若最簡(jiǎn)二次根式與是同類二次根式，求m、n的值34.如果n是任意正整數(shù)，那么=n 理由：=n 練習(xí)：填空=_；=_；=_課后練習(xí)：1.下列各組二次根式中，是同類二次根式的是（ ） A.與 B.與 C.與 D.與2.甲、乙兩個(gè)同學(xué)化簡(jiǎn)時(shí)，分別作了如下變形：甲：=；乙：=。 其中（ ）。 A.甲、乙都正確 B. 甲、乙都不正確 C.只有甲正確 D.只有乙正確3.已知a>b>0，則的值為（ ）A. B.2 C. D.4.如圖，數(shù)軸上A,B兩點(diǎn)表示的數(shù)分別為1和，點(diǎn)B關(guān)于點(diǎn)A的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)C，則點(diǎn)C所表示的數(shù)是( ) A. B. C. D.5.已知與的小數(shù)部分分別是a和b，則的值是 6.化簡(jiǎn) 。7.的整數(shù)部分 ，小數(shù)部分是 8.計(jì)算及化簡(jiǎn)： (1) （2）（3） （4）9.已知，求的值。10.已知，求的值。11.已知0，求(xy)x的值12.已知：，求的值。13.已知a=，b=，求-的值14.已知x=，求x2x的值15.比較與的大小。16.已知：為實(shí)數(shù)，且，化簡(jiǎn)：。能力提高：1.滿足不等式x的整數(shù)x的個(gè)數(shù)是（ ）。 A.4 B.5 C.6 D.72.設(shè)的整數(shù)部分為m，小數(shù)部分為n，則的值為（ ）。 A. B. C.128 D.-1283.化簡(jiǎn)4.已知：，求的值。5.同學(xué)們，我們以前學(xué)過完全平方公式a22ab+b2=（ab）2，你一定熟練掌握了吧!現(xiàn)在，我們又學(xué)習(xí)了二次根式，那么所有的正數(shù)（包括0）都可以看作是一個(gè)數(shù)的平方，如3=（）2，5=（）2，你知道是誰(shuí)的二次根式呢？下面我們觀察： （-1）2=（）2-21+12=2-2+1=3-2 反之，3-2=2-2+1=（-1）2 3-2=（-1）2 =-1求：（1）； （2）； （3）你會(huì)算嗎？ （4）若=，則m、n與a、b的關(guān)系是什么？并說明理由6.已知=2-，其中a、b是實(shí)數(shù)，且a+b0，7.當(dāng)x=時(shí)，求+的值（結(jié)果用最簡(jiǎn)二次根式表示）8.已知|1-x|-=2x-5，求x的取值范圍二次根式測(cè)試題 011. 當(dāng)，時(shí)，。2. 若和都是最簡(jiǎn)二次根式，則。3. 計(jì)算：。4. 計(jì)算：。5. 長(zhǎng)方形的寬為，面積為，則長(zhǎng)方形的長(zhǎng)約為 （精確到0.01）。6. 下列各式不是最簡(jiǎn)二次根式的是（ ） A. B. C. D.7. 已知，化簡(jiǎn)二次根式的正確結(jié)果為（ ） A. B. C. D.8. 對(duì)于所有實(shí)數(shù)a,b，下列等式總能成立的是（ ） A. B. C. D.9. 和的大小關(guān)系是（ ） A. B. C. D.不能確定10. 對(duì)于二次根式，以下說法中不正確的是（ ）A.它是一個(gè)非負(fù)數(shù) B.它是一個(gè)無(wú)理數(shù) C.它是最簡(jiǎn)二次根式 D.它的最小值為311. 計(jì)算： 12. 化簡(jiǎn)： 13. 把根號(hào)外的因式移到根號(hào)內(nèi)： 二次根式測(cè)試題021.若一個(gè)正數(shù)的算術(shù)平方根是a，則比這個(gè)數(shù)大3的正數(shù)的平方根是（ ） A. B.- C. D.2.若式子+|x-2|化簡(jiǎn)的結(jié)果為2x-3,則x的取值范圍是（ ） A.x1 B.x2 C.1x2 D.x>03.下列說法錯(cuò)誤的是（ ） A.是最簡(jiǎn)二次根式 B.是二次根式 C.是非負(fù)數(shù) D.的最小值是44.式子m+6m-5m2的值是（ ） A.正數(shù) B.負(fù)數(shù) C.非負(fù)數(shù) D.可為正數(shù)也可為負(fù)數(shù)5.等式=成立的條件是（ ） A.0x1 B.x<1 C.x0 D.0x16.下列各組代數(shù)式中，互為有理化因式的是（ ） A.+1與1- B.+y與-y C.2-與-2 D.與x7.下列判斷中正確的是（ ） A.的有理化因式是 B.3-2的倒數(shù)是2-3 C.-的絕對(duì)值是- D.不是方程=2的解8.下列計(jì)算正確的是（ ） A.+= B.2+=2 C.+=5 D.=+9.已知a<0，那么的值是（ ） A.a B.-a C.3a D.-3a10.在，中，是最簡(jiǎn)二次根式的有（ ） A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè)11.不等式(2-)x<1的解集為（ ） A.x<-2- B.x>-2- C.x<2- D.x>-2+12.已知-=,那么的值為（ ） A. B. C. D.二、填空題1. 分?jǐn)?shù)（填“是”或“不是”）2.最簡(jiǎn)二次根式與是同類二次根式，則a= 。3.將a根號(hào)外的因式移入根號(hào)內(nèi)的結(jié)果是 。4.代數(shù)式+的最小值是 。5.代數(shù)式2-的最 值是 。6.適合不等式x的整數(shù)x的值是 .7.化簡(jiǎn)： (a>b)= 。8.化簡(jiǎn)：（+）（+1）= .9.分解因式x2(x-)-3(x-)= .10.當(dāng)a 時(shí)，是二次根式。11.若()2=2a，則a= 。12.已知x+=4，則x-= .三、計(jì)算與化簡(jiǎn)1.(+) 2.(2+4-3)3.-(-2)0+ 4.-+(+1)25.- 6.(-) 7. 8.四、化簡(jiǎn)求值1.已知x=+1,，求的值。2.已知a=,y=+2，求x2+2xy+y2+(x-y)的值。五.解答題1.解不等式：x-1<x 2.解方程組：3.已知x>0，y>0，且有(+2)=(6+5)，求的值。4.若a+b=2(a>0,b>0),求的值。5.已知實(shí)數(shù)a滿足|2003a|+=a，則a20032的值是多少？ 量變引起質(zhì)變，知識(shí)重在積累 27 志不強(qiáng)者智不達(dá)