2019-2020年高考數(shù)學 專題46 用正難則反思想求互斥事件的概率黃金解題模板【高考地位】互斥事件有一個發(fā)生的概率是高考重點考查內(nèi)容，求對立事件的概率是“正難則反”思想的具體應用，在高考中時有考查。在高考中多以選擇題、填空題的形式考查，有時也出現(xiàn)在解答題中，屬容易題?！痉椒c評】方法 用正難則反思想求互斥事件的概率使用情景：求互斥事件的概率解題模板：第一步 首先要準確理解題意，善于從圖表信息中提煉數(shù)據(jù)關(guān)系，明確數(shù)字特征含義；第二步 然后正確判定事件間的關(guān)系，善于將A轉(zhuǎn)化為互斥事件的和或?qū)α⑹录?，切忌盲目代入概率加法公式；第三?得出結(jié)論.例1. 袋中有形狀、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只紅球，2只黃球從中一次隨機摸出2只球，則這2只球顏色不同的概率為_【答案】【解析】所求概率為1.例2、黃種人人群中各種血型的人數(shù)所占的比例見下表：血型ABABO該血型的人數(shù)所占的比例28%29%8%35%已知同種血型的人可以互相輸血，O型血的人可以給任一種血型的人輸血，任何人的血都可以輸給AB型血的人，其他不同血型的人不能互相輸血小明是B型血，若他因病需要輸血，問：(1)任找一個人，其血可以輸給小明的概率是多少？(2)任找一個人，其血不能輸給小明的概率是多少？解法二：“任找一個人，其血不能輸給小明”的對立事件是“任找一個人，其血可以輸給小明”，由對立事件概率公式結(jié)合(1)知所求概率為10.640.36. 例3、一個袋中裝有1紅、2白和2黑共5個小球，這5個球除顏色外其它都相同，現(xiàn)從袋中任取2個球，則至少取到1個白球的概率為_【答案】【解析】“至少一個白球”的對立事件為“沒有白球”，所以【變式演練1】甲、乙二人玩數(shù)字游戲，先由甲任想一數(shù)字，記為a，再由乙猜甲剛才想的數(shù)字，把乙猜出的數(shù)字記為b，且a，b1,2,3，若|ab|1，則稱甲、乙“心有靈犀”現(xiàn)任意找兩個人玩這個游戲，則他們“心有靈犀”的概率為( )A. B. C. D.【答案】D考點：互斥事件.【變式演練2】甲、乙兩名射擊運動員分別對一個目標射擊1次，甲射中的概率為，乙射中的概率為，求：（1）2人中恰有1人射中目標的概率；（2）2人至少有1人射中目標的概率.【解析】記“甲射擊1次，擊中目標”為事件A，“乙射擊1次，擊中目標”為事件B，則A與B，與B，A與，與為相互獨立事件， (1)“2人各射擊1次，恰有1人射中目標”包括兩種情況：一種是甲擊中、乙未擊中(事件發(fā)生)，另一種是甲未擊中、乙擊中(事件發(fā)生)根據(jù)題意，事件與互斥，根據(jù)互斥事件的概率加法公式和相互獨立事件的概率乘法公式，所求的概率為：. 2人中恰有1人射中目標的概率是0.26 6分(2)(法1)：2人至少有1人射中包括“2人都中”和“2人有1人不中”2種情況，其概率為.(法2)：“2人至少有一個擊中”與“2人都未擊中”為對立事件，2個都未擊中目標的概率是，“兩人至少有1人擊中目標”的概率為 【變式演練3】有5張大小相同的卡片分別寫著數(shù)字1、2、3、4、5，甲，乙二人依次從中各抽取一張卡片（不放回），試求：（1）甲抽到寫有奇數(shù)數(shù)字卡片，且乙抽到寫有偶數(shù)數(shù)字卡片的概率；（2）甲、乙二人至少抽到一張偶數(shù)數(shù)字卡片的概率。【答案】（1）甲抽到奇數(shù)，乙抽到偶數(shù)的抽法共有6種，所求概率為（2）甲、乙二人至少抽到一張奇數(shù)數(shù)字卡片的概率【高考再現(xiàn)】1. 【xx年高考北京理數(shù)】袋中裝有偶數(shù)個球，其中紅球、黑球各占一半.甲、乙、丙是三個空盒.每次從袋中任意取出兩個球，將其中一個球放入甲盒，如果這個球是紅球，就將另一個球放入乙盒，否則就放入丙盒.重復上述過程，直到袋中所有球都被放入盒中，則（）A.乙盒中黑球不多于丙盒中黑球 B.乙盒中紅球與丙盒中黑球一樣多 C.乙盒中紅球不多于丙盒中紅球 D.乙盒中黑球與丙盒中紅球一樣多【答案】C考點：概率統(tǒng)計分析.【名師點睛】本題將小球與概率知識結(jié)合，創(chuàng)新味十足，是能力立意的好題.如果所求事件對應的基本事件有多種可能，那么一般我們通過逐一列舉計數(shù)，再求概率，此題即是如此.列舉的關(guān)鍵是要有序(有規(guī)律)，從而確保不重不漏.另外注意對立事件概率公式的應用.2. 【xx年高考北京理數(shù)】（本小題13分）A、B、C三個班共有100名學生，為調(diào)查他們的體育鍛煉情況，通過分層抽樣獲得了部分學生一周的鍛煉時間，數(shù)據(jù)如下表（單位：小時）；A班6 6.5 7 7.5 8B班6 7 8 9 10 11 12C班3 4.5 6 7.5 9 10.5 12 13.5（1）試估計C班的學生人數(shù)；（2）從A班和C班抽出的學生中，各隨機選取一人，A班選出的人記為甲，C班選出的人記為乙，假設(shè)所有學生的鍛煉時間相對獨立，求該周甲的鍛煉時間比乙的鍛煉時間長的概率；（3）再從A、B、C三個班中各隨機抽取一名學生，他們該周的鍛煉時間分別是7，9，8.25（單位：小時），這3個新數(shù)據(jù)與表格中的數(shù)據(jù)構(gòu)成的新樣本的平均數(shù)記 ，表格中數(shù)據(jù)的平均數(shù)記為 ，試判斷和的大小，（結(jié)論不要求證明）【答案】（1）40；（2）；（3）.【解析】試題分析：（）根據(jù)圖表判斷C班人數(shù)，由分層抽樣的抽樣比計算C班的學生人數(shù)；（）根據(jù)題意列出“該周甲的鍛煉時間比乙的鍛煉時間長”的所有事件，由獨立事件概率公式求概率.（）根據(jù)平均數(shù)公式進行判斷即可.試題解析：（1）由題意知，抽出的名學生中，來自班的學生有名，根據(jù)分層抽樣方法，班的學生人數(shù)估計為；（2）設(shè)事件為“甲是現(xiàn)有樣本中班的第個人”，事件為“乙是現(xiàn)有樣本中班的第個人”，由題意可知，；，,.設(shè)事件為“該周甲的鍛煉時間比乙的鍛煉時間長”，由題意知，因此（3）根據(jù)平均數(shù)計算公式即可知，.考點：1.分層抽樣；2.獨立事件的概率；3.平均數(shù) 3. 【xx高考山東理數(shù)】（本小題滿分12分）甲、乙兩人組成“星隊”參加猜成語活動，每輪活動由甲、乙各猜一個成語，在一輪活動中，如果兩人都猜對，則“星隊”得3分；如果只有一個人猜對，則“星隊”得1分；如果兩人都沒猜對，則“星隊”得0分.已知甲每輪猜對的概率是，乙每輪猜對的概率是；每輪活動中甲、乙猜對與否互不影響，各輪結(jié)果亦互不影響.假設(shè)“星隊”參加兩輪活動，求：（I）“星隊”至少猜對3個成語的概率；（）“星隊”兩輪得分之和為X的分布列和數(shù)學期望EX.【答案】（）（）分布列見解析，【解析】試題分析：（）找出“星隊”至少猜對3個成語所包含的基本事件，由獨立事件的概率公式和互斥事件的概率加法公式求解；（）由題意，隨機變量X的可能取值為0,1,2,3,4,6.由事件的獨立性與互斥性，得到X的分布列，根據(jù)期望公式求解. ()由題意，隨機變量X的可能取值為0,1,2,3,4,6.由事件的獨立性與互斥性，得 , , , ,.可得隨機變量X的分布列為X012346P所以數(shù)學期望.考點：1.獨立事件的概率公式和互斥事件的概率加法公式；2.隨機變量的分布列和數(shù)學期望.【名師點睛】本題主要考查獨立事件的概率公式和互斥事件的概率加法公式、隨機變量的分布列和數(shù)學期望.解答本題，首先要準確確定所研究對象的基本事件空間、基本事件個數(shù)，利用獨立事件的概率公式和互斥事件的概率加法公式求解.本題較難，能很好的考查考生數(shù)學應用意識、基本運算求解能力等.【反饋練習】1. 口袋內(nèi)裝有紅色、綠色和藍色卡片各2張，一次取出2張卡片，則與事件“2張卡片都為紅色”互斥而非對立的事件是以下事件“2張卡片都不是紅色；2張卡片恰有一張紅色；2張卡片至少有一張紅色；2張卡片恰有兩張綠色”中的哪幾個？（ ）A. B. C. D. 【答案】A 2. 袋中有形狀、大小都相同的4個球，其中2個紅球、2個白球.從中隨機一次摸出2個球，則這2個球中至少有1個白球的概率為（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】袋中有形狀、大小都相同的4個球，其中2個紅球，2個白球。從中隨機一次摸出2個球，基本事件總數(shù)，這2個球中至少有1個白球的對立事件是這2個球中都是紅球，這2個球中至少有1個白球的概率.故選：D.3. 甲、乙兩人下象棋，甲獲勝的概率為30%，兩人下成和棋的概率為50%，則乙獲勝的概率為_，甲不輸?shù)母怕蕿開.【答案】 20% 80% 4. 口袋中有若干紅球、黃球與藍球，摸出紅球的概率為0.45，摸出紅球或黃球的概率為0.65，則摸出紅球或藍球的概率為_【答案】0.8【解析】由題意，摸出紅球的概率為，摸出紅球或黃球的概率為，故摸出藍色球的概率為，故摸出紅球或藍球的概率為，故答案為.5.甲、乙兩人玩一種游戲：在裝有質(zhì)地、大小完全相同，編號分別為1，2，3，4，5五個球的口袋中，甲先摸出一個球，記下編號，放回后乙再摸一個球，記下編號，如果兩個編號的和為偶數(shù)算甲贏，否則算乙贏.（1）求甲贏且編號和為6的事件發(fā)生的概率；（2）這種游戲規(guī)則公平嗎？試說明理由.【答案】（1）；（2）不公平.理由參考解析【解析】試題分析：（1）因為游戲規(guī)則是編號分別為1，2，3，4，5五個球的口袋中，甲先摸出一個球，記下編號，放回后乙再摸一個球，記下編號如果兩個編號的和為偶數(shù)算甲贏，否則算乙贏.該游戲是有放回的，所以總共的基本事件有25種，再列出符合條件的基本事件數(shù)即可得到結(jié)論.（2）由于題意可知甲獲勝的基本事件共有13個，所以甲獲勝的概率大于乙獲勝的概率所以這個游戲不公平.試題解析：（1）設(shè)“兩個編號和為6”為事件A,則事件A包含的基本事件為（1，5），（2，4），（3，3），（4，2），（5，1）共5個，又甲、乙兩人取出的數(shù)字共有5525（個）等可能的結(jié)果，故.（2）設(shè)甲勝為事件B,乙勝為事件C，則甲勝即兩編號和為偶數(shù)所包含的基本事件數(shù)有13個：(1,1),(1,3),(1,5),(2,2),(2,4),(3,1),(3,3),(3,5), (4,2),(4,4),(5,1),(5,3),(5,5)。所以甲勝的概率, 乙勝的概率 (可省略)所以這種游戲規(guī)則是不公平的.考點：1.概率的問題.2.列舉分類的思想.3.事件的互斥的概念.6. 某超市為了了解顧客的購物量及結(jié)算時間等信息，安排一名員工隨機收集了在該超市購物的100位顧客的相關(guān)數(shù)據(jù)，如下表所示.一次購物量1至4件5至8件9至12件13至16件17件及以上顧客數(shù)(人)x3025y10結(jié)算時間(分鐘/人)11.522.53已知這100位顧客中一次購物量超過8件的顧客占55%.(1)確定x，y的值，并估計顧客一次購物的結(jié)算時間的平均值；(2)求一位顧客一次購物的結(jié)算時間不超過2分鐘的概率(將頻率視為概率)【答案】詳見解析故一位顧客一次購物的結(jié)算時間不超過2分鐘的概率為.