2019-2020年高三數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí) 回扣五 立體幾何與空間向量 理 陷阱盤點(diǎn)1　畫幾何體的三視圖，一定注意觀察方向，并且要注意到“長(zhǎng)對(duì)正，高平齊，寬相等” [回扣問(wèn)題1](xx湖北高考)在如圖所示的空間直角坐標(biāo)系O－xyz中，一個(gè)四面體的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是(0，0，2)，(2，2，0)，(1，2，1)，(2，2，2)．給出編號(hào)為①，②，③，④的四個(gè)圖，則該四面體的正視圖和俯視圖分別為(　　) A．①和② B．③和① C．④和③ D．④和② 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 陷阱盤點(diǎn)2　斜二測(cè)畫法中，忽視有關(guān)線段性質(zhì)致誤 在斜二測(cè)畫法中，要確定關(guān)鍵點(diǎn)及關(guān)鍵線段．“平行于x軸的線段平行性不變，長(zhǎng)度不變；平行于y軸的線段平行性不變，長(zhǎng)度減半．” [回扣問(wèn)題2]利用斜二側(cè)畫法得到的①三角形的直觀圖是三角形；②平行四邊形的直觀圖是平行四邊形；③正方形的直觀圖是正方形；④菱形的直觀圖是菱形．以上結(jié)論正確的是(　　) A．①② B．① C．②③ D．①②③④ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 陷阱盤點(diǎn)3　混淆幾何體的表面積與側(cè)面積，記錯(cuò)體積或面積的計(jì)算公式致錯(cuò) 易混淆幾何體的表面積與側(cè)面積的區(qū)別，幾何體的表面積是幾何體的側(cè)面積與所有底面面積之和，不能漏掉幾何體的底面積；求錐體體積時(shí)，易漏掉體積公式中的系數(shù). [回扣問(wèn)題3](xx北京東城區(qū)模擬)某幾何體的三視圖如圖所示，其中側(cè)視圖為半圓，則該幾何體的體積V＝________. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 陷阱盤點(diǎn)4　不清楚空間線面平行與垂直關(guān)系中的判定定理和性質(zhì)定理，忽視判定定理和性質(zhì)定理中的條件，導(dǎo)致判斷出錯(cuò) 如由α⊥β，α∩β＝l，m⊥l，易誤得出m⊥β的結(jié)論，就是因?yàn)楹鲆暶婷娲怪钡男再|(zhì)定理中m?α的限制條件． [回扣問(wèn)題4]已知m、n是不同的直線，α、β、γ是不同的平面．給出下列命題： ①若α⊥β，α∩β＝m，n⊥m，則n⊥α，或n⊥β； ②若α∥β，α∩γ＝m，β∩γ＝n，則m∥n； ③若m不垂直于α，則m不可能垂直于α內(nèi)的無(wú)數(shù)條直線； ④若α∩β＝m，n∥m，且n?α，n?β，則n∥α，且n∥β； ⑤若m、n為異面直線，則存在平面α過(guò)m且使n⊥α. 其中正確的命題序號(hào)是________． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 陷阱盤點(diǎn)5　忽視三視圖的實(shí)、虛線，導(dǎo)致幾何體的形狀結(jié)構(gòu)理解失誤 [回扣問(wèn)題5]如圖，一個(gè)簡(jiǎn)單凸多面體的三視圖的外輪廓是三個(gè)邊長(zhǎng)為1的正方形，則此多面體的體積為_(kāi)_______． 陷阱盤點(diǎn)6　圖形翻折前后，有關(guān)元素的特性掌握不清致誤 注意圖形的翻折與展開(kāi)前后變與不變的量以及位置關(guān)系，對(duì)照前后圖形，弄清楚變與不變的元素后，再立足于不變的元素的位置關(guān)系與數(shù)量關(guān)系去探求變化后的元素在空間中的位置與數(shù)量關(guān)系． [回扣問(wèn)題6]如圖甲，在平面四邊形ABCD中，已知∠A＝45，∠C＝90，∠ADC＝105，AB＝BD，現(xiàn)將四邊形ABCD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BDC(如圖乙)，設(shè)點(diǎn)E，F(xiàn)分別為棱AC，AD的中點(diǎn)． (1)求證：DC⊥平面ABC； (2)設(shè)CD＝a，求三棱錐A－BFE的體積． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 陷阱盤點(diǎn)7　忽視二面角的范圍致誤 空間向量求角時(shí)易忽視向量的夾角與所求角之間的關(guān)系，如求解二面角時(shí)，不能根據(jù)幾何體判斷二面角的范圍，忽視法向量的方向，誤以為兩個(gè)法向量的夾角就是所求的二面角，導(dǎo)致出錯(cuò)． [回扣問(wèn)題7]如圖，四面體ABCD中，AB＝1，AD＝2，BC＝3，CD＝2，∠ABC＝∠DCB＝，則二面角A－BC－D的大小為_(kāi)_______． 回扣五　立體幾何與空間向量 1．D　[在坐標(biāo)系中標(biāo)出已知的四個(gè)點(diǎn)，根據(jù)三視圖的畫圖規(guī)則判斷三棱錐的正視圖為④，俯視圖為②，選項(xiàng)D正確．] 2．A 3.　[由三視圖知，該幾何體為半個(gè)圓錐．∵S底＝π12＝， 半圓錐的高h(yuǎn)＝＝2， 因此幾何體的體積V＝2＝.] 4．②④⑤　[①是錯(cuò)誤的．如正方體中面ABB′A′⊥面ADD′A′，交線為AA′.直線AC⊥AA′，但AC不垂直面ABB′A′，同時(shí)AC也不垂直面ADD′A′. ②正確．實(shí)質(zhì)上是兩平面平行的性質(zhì)定理． ③是錯(cuò)誤的．在如圖的正方體中，A′C不垂直于平面A′B′C′D′，但與B′D′垂直．這樣A′C就垂直于平面A′B′C′D′內(nèi)與直線B′D′平行的無(wú)數(shù)條直線． ④正確．利用線面平行的判定定理即可． ⑤正確，當(dāng)m與n異面且垂直時(shí)存在過(guò)m且與n垂直的平面α，當(dāng)m與n不垂直時(shí)，過(guò)m的任何平面與n都不垂直．] 5.　[由三視圖可知，幾何體為正方體截去兩個(gè)三棱錐后的部分，因?yàn)閂正方體＝1，V三棱錐＝13＝，因此，該多面體的體積V＝ 1－2＝.] 6．(1)證明　在題圖甲中，因AB＝BD，且∠A＝45. 所以∠ADB＝45，∠ABD＝90，則AB⊥BD. 在圖乙中，因?yàn)槠矫鍭BD⊥平面BDC，且平面ABD∩平面BDC＝BD，所以AB⊥底面BDC，所以AB⊥CD. 又∠DCB＝90，所以DC⊥BC，且AB∩BC＝B，所以DC⊥平面ABC. (2)解　因?yàn)镋，F(xiàn)分別為AC，AD的中點(diǎn)，所以EF∥CD， 又由(1)知，DC⊥平面ABC，所以EF⊥平面ABC， 所以VA－BFE＝VF－AEB＝S△AEBFE. 在圖甲中，因?yàn)椤螦DC＝105，所以∠BDC＝60，∠DBC＝30， 由CD＝a得，BD＝2a，BC＝a，EF＝CD＝a， 又由(1)知AB⊥BC， 所以S△ABC＝ABBC＝2aa＝a2，所以S△AEB＝a2. 所以VA－BFE＝a2a＝a3. 7.　[由∠ABC＝∠DCB＝知， 與的夾角θ就是二面角A－BC－D的平面角． 又＝＋＋，∴2＝(＋＋)2 ＝2＋2＋2＋2. 因此2＝(2)2－12－32－22＝－2， ∴cos(π－θ)＝－，且0＜π－θ＜π， 則π－θ＝π，故θ＝.]