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GCT數(shù)學(xué)真題(2003-2013年真題與答案解析)GCT數(shù)學(xué)2003-2013年真題與答案解析 Page 1 of 89GCT數(shù)學(xué)2003-2011年真題與答案解析2003年GCT入學(xué)資格考試數(shù)學(xué)基礎(chǔ)能力試題（25題，每題4分，滿分100分，考試時(shí)間45分鐘）1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11。 =（ ）1-2+3-4+5-6+7-8+9-10+11A10 B11 C12 D132記不超過10的素?cái)?shù)的算術(shù)平均數(shù)為M，則與M最接近的整數(shù)是（ ）A2 B3 C4 D531 000 m的大道兩側(cè)從起點(diǎn)開始每隔10 m各種一棵樹，相鄰兩棵樹之間放一盆花，這樣需要（ ）。A樹200棵，花200盆 B樹202棵，花200盆C樹202棵，花202盆 D樹200棵，花202盆2001200220034已知a=，b=，c=，則（ ）。 2003200420021Aa>b>c Bb>c>a Cc>a>b Dc>b>a5某工廠月產(chǎn)值3月份比2月份增加10%，4月份比3月份減少10%，那么（ ）。1A4月份與2月份產(chǎn)值相等 B4月份比2月份產(chǎn)值增加 9911C4月份比2月份產(chǎn)值減少 D4月份比2月份產(chǎn)值減少 991006函數(shù)y=ax2+bx+c（a0）在0，+）上單調(diào)增的充分必要條件是（ ）。Aa<0且b0 Ba<0且b0 Ca>0且b0 Da>0且b07函數(shù)y1=（a0）與y2=（的圖像關(guān)于（ ）。 fa+x）fa-x）A直線x-a=0對稱Cx軸對稱 B直線x+a=0對稱 Dy軸對稱99100（x+y）（x-y）8已知實(shí)數(shù)x和y滿足條件= -1和=1，則x101+y101的值是（ ）。A-1 B0 C1 D29一批產(chǎn)品的次品率為0.1，逐件檢測后放回，在連續(xù)三次檢測中至少有一件是次品的概率為（ ）。A0.271 B0.243 C0.1 D0.08110A、B、C、D、E五支籃球隊(duì)相互進(jìn)行循環(huán)賽，現(xiàn)已知A隊(duì)已賽過4場，B隊(duì)已賽 GCT數(shù)學(xué)2003-2011年真題與答案解析 第 2 頁 共 89 頁過3場，C隊(duì)已賽過2場，D隊(duì)已賽過1場，則此時(shí)E隊(duì)已賽過（ ）。A1場 B2場 C3場 D4場11過點(diǎn)P（0，2）作圓x2+y2=1的切線PA、PB，A、B是兩個(gè)切點(diǎn)，則AB所在直線的方程為（ ）。1111Ax=- By=- Cx= Dy= 222212如圖，正方形ABCD的面積為1，E和F分別是AB和BC的中心，則圖中陰影部分面積為（ ）。ADEBFC1323 B C D 243513已知兩平行平面a，b之間的距離為d（d>0），l是平面a ）。 A0條 B1條 C2條 D4條514正圓錐的全面積是側(cè)面積的倍，則該圓錐側(cè)面展開后的扇形所對的圓心角為4（ ）。pppAp B C D 236 A15設(shè)點(diǎn)（x0，y0）在圓C：x2+y2=1的 ）。A不相交B有一個(gè)交點(diǎn)C有兩個(gè)交點(diǎn)，且兩交點(diǎn)間的距離小于2D有兩個(gè)交點(diǎn)，且兩交點(diǎn)間的距離等于2216設(shè)（的極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)是（ ）。 fx）fx）=t（t-1）dt，則（0xD3D（fx0）-d（fx0）17如果函數(shù)（在x0處可導(dǎo)，D（=（-（，則極限limfx0+Dx）fx）fx0）fx0）Dx0Dx（ ）。A等于f （x0） B等于1 C等于0 D不存在18甲、乙兩人百米賽跑的成績一樣，那么（ ）。A0 B1 C2GCT數(shù)學(xué)2003-2013年真題與答案解析 Page 3 of 89A甲、乙兩人每時(shí)刻的瞬時(shí)速度必定一樣B甲、乙兩人每時(shí)刻的瞬時(shí)速度都不一樣C甲、乙兩人至少在某時(shí)刻的瞬時(shí)速度一樣D甲、乙兩人到達(dá)終點(diǎn)時(shí)的瞬時(shí)速度必定一樣19方程x2=xsinx+cosx的實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)是（ ）。A1個(gè) B2個(gè) C3個(gè)20設(shè)I=sin。 （cosx）dx，則（ ）0pD4個(gè)AI=021 x21行列式BI<0 C0<I<1 -1x2x1x-1展開式中x4的系數(shù)是（ ）。 x200-1-xB-2 C1 DI=0 A2 D-11-1，B=110，則必有（ ）2022設(shè)A=。 23131AAB=BA BAB=BTAT CBA= -8 DAB=023設(shè)A為4階非零方陣，其伴隨矩陣A*的秩r（A*）=0，則秩r（A）等于（ ）。A1或2 B1或3 C2或3 D3或424設(shè)A為mn的非零矩陣，方程組Ax=0只有零解的充分必要條件是（ ）。AA的列向量線性無關(guān) BA的列向量線性相關(guān)CA的行向量線性無關(guān) DA的行向量線性相關(guān)25已知三階矩陣M的特征值為l1= -1，l2=0，l3=1，它們所對應(yīng)的特征向量為a1=（1，TTT0，0），a2=（0，2，0），a3=（0，0，1），則矩陣M是（ ）。0-10 000A001-110 001B00100-1 000C100-100 000D001 GCT數(shù)學(xué)2003-2011年真題與答案解析 第 4 頁 共 89 頁2003年GCT入學(xué)資格考試數(shù)學(xué)基礎(chǔ)能力試題參考答案與解析1【答案】B（a+a）n【解析】等差數(shù)列求和公式Sn=1n 2（1+11）11分子=66 2分母=-5+11=666原式=11 62【答案】C【解析】不超過10的素?cái)?shù)為2，3，5，7；M=為4。3【答案】B【解析】 10 0 10 1 10 2 10 100 2+3+5+7=4.25，故與M最接近的整數(shù)4，則一側(cè)樹的棵數(shù)為100+1=101，花的盆數(shù)為100，故兩側(cè)乘以2，故選B。4【答案】D200120022003111【解析】a=，b=，c= =1-=1-=1-200220022003200320042004111由 >>200220032004111得1- <1-<1-200220032004故a<b<c5【答案】D【解析】設(shè)2月份產(chǎn)量為1，則3月份產(chǎn)量為1.1，4月份產(chǎn)量為0.99，故4月份比2月1份產(chǎn)量減少。 1006【答案】C【解析】根據(jù)二次函數(shù)圖像性質(zhì)知，函數(shù)y=ax2+bx+c在0，+）上是單調(diào)增函數(shù)的充分a>0a>0必要條件必須滿足b，故選C。 b0-02a7【答案】D GCT數(shù)學(xué)2003-2013年真題與答案解析 Page 5 of 89fxa+）=xa+f和x（a-+x=）a+-fx）=x，【解析】令（有（。得圖像如下：所以圖像關(guān)于y軸對稱。 故選D。 8【答案】Ax+y=-1x=0x=-1【解析】由已知可得： 或x-y=1y=-1y=0x 所以x101+y101=-19【答案】A 【解析】抽三次正品的概率為0.93=0.729，故至少有一件是次品的概率為1-0.729=0.271。 10【答案】B【解析】由于A隊(duì)賽4場，故A必須與其他四隊(duì)都賽； D隊(duì)已賽1場，D隊(duì)只與A隊(duì)賽；B隊(duì)已賽3場，B隊(duì)與A、C、E分別賽； C隊(duì)已賽2場，C隊(duì)與A、B分別賽。所以E隊(duì)已賽2場 11【答案】Dx【解析】如右圖所示，OA=1，OP=2，AOP=60，OF=11OA=。 2212所以AB所在直線的方程為y= 12【答案】C【解析】因E、F分別為AB、BC的中點(diǎn)，所以DE和DF交AC于M，N等分AC，故1SAMD=SDMN=SDNC（等底等高），SAMD+SDNC=311111= SBEF+S梯形MNEF=+22223112S陰影=+=33313【答案】C【解析】如右圖可知，滿足條件的有2條直線。 14【答案】B【解析】設(shè)正圓錐的底面半徑以R，母線長為L，則圓錐側(cè)面積=pRL圓錐全面積=pR2+pRL2dlddb GCT數(shù)學(xué)2003-2011年真題與答案解析 第 6 頁 共 89 頁因此RL4=L=4R RL+R25故所求圓心角=15【答案】A 2R2R=，選B。 l4R21（x0，y0）（=，）0在圓內(nèi)，【解析】令2x0x+y0y=1，可代為x=2，故選A。16【答案】B1111【解析】由f（x）=t（t-1）dt=t4-t3=x4-x3 043043x2xf (x)=x3- x2= x2(x-1)，令f (x)=0得x=0，x=1。顯然x=1是f (x)的極值點(diǎn)；在x=0的鄰域內(nèi)f (x)<0，不變號，則x=0不是f (x)的極值點(diǎn)，故選B。17【答案】C【解析】df（x0）=f（x0+Dx）-f（x0）D（fx0）-d（fx0）（fx0+Dx）-（fx0）-（fx0+Dx）-（fx0）=lim=0 Dx0Dx0DxDxlim18【答案】C【解析】甲、乙兩人每時(shí)刻的瞬時(shí)速度可能一樣，故A、B均錯(cuò)。甲、乙兩人每時(shí)刻的瞬時(shí)速度有可能一樣，有可能不一樣，故D錯(cuò)。故選C。19【答案】B 【解析】令y1=x21y2=xsinx+cosxx+arctan x由數(shù)形（如圖）結(jié)合可知交點(diǎn)個(gè)數(shù)為2個(gè)。20【答案】D pp【解析】令t=x-,則cosx=cos(+t)=sint。 22dx=dtI=sin(-sint)dt=-sin（sint)dtp2p-2p2p-2pp因?yàn)楸环e函數(shù)f (t)=-sin(sint)在-,上是奇函數(shù)。所以I=0，故選D。 2221【答案】A GCT數(shù)學(xué)2003-2013年真題與答案解析 Page 7 of 892-1xx2x-1【解析】要使行列式11展開式中含x4，則在行列式中，各不同的行、列都0x20x0-1-x有x，即（2x、x、x、x）=2x4（即對角線上都為x），故選A。22【答案】D【解析】1-1（-1）211+（-1）310+（-1）1AB=20110=11+21+0221+0231320+013131+1231+1330+11-1-2-1=220561BA=1101-1（-1）+10+0123120=11+12+0313-13121+32+132（-1）+30+11=11-1-1-2-1|AB|=220=-12-（-2）2+（-1）2=-4+4=0561|BA|=3-1-1=-3+11=812（-1）12+2013+21-12BTAT=13123=11+211+3（-1）1=-2212+3013+31-100101+1（-1）02+1003+11-1023【答案】An（rA）為滿秩【解析】r（A*）=1（rA）=n-10（rA）n-2因r（A*）=0，r（A）4-2=2，故選A。24【答案】A 56 1 GCT數(shù)學(xué)2003-2011年真題與答案解析 第 8 頁 共 89 頁a11a12a13La1nx1aa22a23La2nx221=0 解 由AX=0，得MMam1am2am3Lamnxn即a11x1+a12x2+a1nxn=0因此，A的列向量線性無關(guān)，即x1=x2=xn=025【答案】DM=l1a1故選D。 1-10l2a2 l3a3= 2000000 1【解析】 GCT數(shù)學(xué)2003-2013年真題與答案解析 Page 9 of 892004年GCT入學(xué)資格考試數(shù)學(xué)基礎(chǔ)能力試題（25題，每題4分，滿分100分，考試時(shí)間45分鐘）1在一條長3 600 m的公路一邊，從一端開始等距豎立電線桿，每隔40 m原已挖好一個(gè)坑。現(xiàn)改為每隔60 m立一根電線桿，則需要重新挖坑和填坑的個(gè)數(shù)分別是（ ）。A50和40 B40和50 C60和30 D30和602某校有若干女生住校，若每間房住4人，則還剩20人未住下，若每間住8人，則僅有一間未滿，那么該校有女生宿舍的房間數(shù)為（ ）。A4 B5 C6 D73甲、乙兩種茶葉以x:y（重量比）混合配制成一種成品茶，甲種茶每斤50元，乙種每斤40元，現(xiàn)甲種茶價(jià)格上漲10%，乙種茶價(jià)格下降10%后，成品茶的價(jià)格恰好仍保持不變，則x:y等于（ ）。A1:1 B5:4 C4:5 D5:6n-14設(shè)Sn=1-2+3-4+L+（ ）。 （-1）n，則S2004+S2005=A2 B1 C0 D-15在一條公路上，汽車A，B，C分別以80、70、50 km/h的速度勻速行駛，汽車A從甲站開向乙站，同時(shí)車B，車C從乙站出發(fā)與車A相向而行開往甲站，途中車A與車B相遇2h后再與車C相遇，那么甲、乙兩站相距（ ）。A2 010 km B2 005 km C1 690 km D1 950 km6已知ab1，且滿足2a2+2008a+3=0和3b2+2008b+2=0，則（ ）。A3a-2b=0 B2a-3b=0 C3a+2b=07實(shí)數(shù)a，b，c在數(shù)軸上的位置如下圖所示 D2a+3b=0 圖中O為原點(diǎn)，則代數(shù)式a+b-b-a+a-c+c=（ ）。B-a-ab-2c Ca-2b D3acab8設(shè)a，b，c均為正數(shù)，若，則（ ）。 <<a+bb+cc+aAc<a<b Bb<c<a Ca<b<c Dc<b<a9argz表示z的幅角，今有a=arg，b=arg，則sin=（ ）。 （-1+2i）（2+i）（a+b）4343A- B- C D 555510將5個(gè)相同的球放入位于一排的8個(gè)格子中，每格至多放一個(gè)球，則3個(gè)空格相連的概率是（ ）。3535A B C D 56562828A-3a+2cGCT數(shù)學(xué)2003-2011年真題與答案解析 第 10 頁 共 89 頁11如圖，直角ABC中，C為直角，點(diǎn)E和D，F(xiàn)分別在直角邊AC和斜邊AB上，且AF=FE=ED=DC=CB，則A=（ ）。BFAC B C D 89101112如圖，長方形ABCD由四個(gè)等腰直角三角形和一個(gè)正方形EFGH構(gòu)成，若長方形ABCD的面積為A，則正方形EFGH的面積為（ ）。 ADHCFGAAAAA B C D 101214813ABC中，AB=5，AC=3，A=x，該三角形BC邊上的中線長是x的函數(shù)y=（，fx）則當(dāng)x在（0，p）中變化時(shí)，函數(shù)（的取值的范圍是（ ）。 fx）A（0，5） B（1，4） C（3，4） D（2，5）14直線l與直線2x-y=1關(guān)于直線x+y=0對稱，則直線l的方程是（ ）。Ax-2y=1 Bx+2y=1 C2x+y=1 D2x-y=1 B A15在圓心為O，半徑為15的圓 ）。A14條 B24條 C12條 D11條1的值為16如圖，（、g是兩個(gè)逐段線性的連續(xù)函數(shù)，設(shè)（，ufx）（x）ux）=（fgx）（）（ ）。 GCT數(shù)學(xué)2003-2013年真題與答案解析 Page 11 of 89A3 4B-3 4C-1 12D1 1217過點(diǎn)作曲線y=sinx的切線，設(shè)該曲線與切線及y軸所圍成的面積為A1，（p,sinp）曲線與直線x=p及x軸所圍成的面積為A2，則（ ）。Alim+p0A21A21= Blim+=p0AA1+A2321+A2Clim+p0A22A2= Dlim+=1p0A1+A23A1+A218如下不等式成立的是（ ）。A在（-3，0）區(qū)間上，ln3-x<ln （3+x）C在0，區(qū)間上，ln3-x>ln +）（3+x）0B在（-3，0）區(qū)間上，ln3-x>ln （3+x）D在 0，區(qū)間上，ln3-x<ln +）（3+x）019設(shè)（為連續(xù)函數(shù)，且（。 fx）fxsinx）sinxdx=1，則（fxsinx）xcosxdx=（ ）A0B1C-1Dp1）x2把曲線y= x（b-x）20如圖，拋物線y=（b>0）與x軸所構(gòu)成的區(qū)域面積分為AA與AB兩部分，則（ ）。x AAA<AB CAA>ABa11a12a22a32a13a33 BAA=ABDAA與AB的大小關(guān)系與b的數(shù)值有關(guān) -2a11-2a31-2a12-2a22-2a32-2a13-2a23=（ ）。 -2a3321設(shè)a21a31a23=M0，則行列式-2a21A8M B2M C-2M D-8M22若向量a，b，l 線性無關(guān)，而向量a+2b，2b+kl，3l+a 線性相關(guān)，則k=（ ）。 A3 B2 C-2 D-3 100110，B=122，-1-1020C=AB23設(shè)A=，則矩陣中，第3行第2列的元素C003013是（ ）。131A B C1 D223 GCT數(shù)學(xué)2003-2011年真題與答案解析 第 12 頁 共 89 頁1-22，三階矩陣24設(shè)矩陣A=。 -26xB0，且滿足AB=0，則（ ）30-6Ax=-8，（rB）=1Cx=8，（rB）=1 Bx=-8，（rB）=2 Dx=8，（rB）=210025下列矩陣中，與對角矩陣010相似的矩陣是（00210110101A0211B021 C010001001002。 D110010002 ） GCT數(shù)學(xué)2003-2013年真題與答案解析 Page 13 of 892004年GCT入學(xué)資格考試數(shù)學(xué)基礎(chǔ)能力試題參考答案與解析1【答案】D【解析】每隔40 m挖坑的數(shù)為：3 600 40+1=91每隔60 m挖坑的數(shù)量為：3 600 60+1=61由于40與60的最小公倍數(shù)為120，可知挖重疊的坑的數(shù)量為：3 600 120+1=31 因此需要重新挖坑的數(shù)量為：61-31=30填坑的數(shù)量為：91-31=60故選D。2【答案】C【解析】設(shè)該校有女生宿舍x間，則有4x+20>8（x-1）5<x <7 x=6 4x+20<8x3【答案】C【解析】價(jià)格變化前成品價(jià)格為50x+40y元 x+y50（1+10%）x+40（1-10%）y價(jià)格變化時(shí)成品價(jià)格可表示為元 x+y50x+40y55x+36y浮動(dòng)前后成品價(jià)格保持不變 =x+yx+y解得5x=4y，得x:y=4:54【答案】Bn-（n為偶數(shù)） 2n-1 【解析】Sn=1-2+3-4+（-1）n=n-1n-1-+（-1）n（n為奇數(shù)） 2S2 004= -1 0022005-12004+（-1）2005=-1002+2005=1003 2因此S2004+S2005=-1002+1003=1 S2 005=-5【答案】D 【解析】設(shè)A，B相遇時(shí)所用時(shí)間為th，則A，C相遇所用時(shí)間（t+2）h， 有（70+80）t=（80+50）（t+2）t=13h，因此甲、乙兩站距離為（70+80）13=1 950 km 6【答案】B 【解析】 2a2+2 008a+3=04a2+2 0082a+6=0 GCT數(shù)學(xué)2003-2011年真題與答案解析 第 14 頁 共 89 頁3b2+2 008b+2=09b2+2 0083b+6=0式-得（2a-3b）（2a+3b）+2 008（2a-3b）=0（2a-3b）（2a+3b+2 008）=02a-3b=0或2a+3b+2 008=07【答案】A【解析】由圖可知b<a<0，c>0，因此a+b<0，b-a<0，a-c<0故有|a+b|-|b-a|+|a-c|+c= -a-b+b-a-（a-c）+c= -3a+2c8【答案】A cbcbaa【解析】<<+1<+1<+1 a+bb+cc+aa+bc+ab+ca+b+ca+b+ca+b+c<< a+ca+bb+c因a、b、c均為正數(shù)，故a+b>b+c>a+c，b>a>c9【答案】D【解析】依題意可知：sinb=sina=cosa=cosb= sin（a+b）=sinacosb+cosasinb=3= 510【答案】C5【解析】3個(gè)空格相連的放法有C56=6種，又總的放法有C8=56種（由于是相同的球，635故不是A8），故3個(gè)空格相連的概率為。 =562811【答案】C【解析】AF=FE=ED=CBA=FEA，EFB=EDA，DCE=DEC，B=CDB 由三角形性質(zhì)知：EFB=2A EFB+A=CEDCED=3A p-CED=p-2B p2pA= 又因C=2，知 10A+Bp 212【答案】C【解析】設(shè)AB=a，BC=b，則S=ab由ADE，AHB，EFC和BGC都是等腰直角三角形，知2HE=AE-AH=HG=HB-BG- |AH|=2AE=BG= GCT數(shù)學(xué)2003-2013年真題與答案解析 Page 15 of 893，即有a =b 2又因四邊形EFGH 13【答案】B【解析】如右圖可知AABC=32A=ab=b2b2=S 231112S22A正方形EFGH=HG=a-b）=b2=S= 288312115ABACsin（a+b）=sinx 2215AABD=ABADsina=ysina 2213AADC=ACADsinb=ysinb 22AbCDBAABC=AABD+AADC5ysin