2019年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí) 正方形與四邊形 附解析第28講正方形與四邊形綜合1. (2013，河北) 一個(gè)正方形和兩個(gè)等邊三角形的位置如圖所示若350，則12的度數(shù)為(B)第1題圖A. 90 B. 100 C. 130 D. 180【解析】 如答圖BAC180901901，ABC1806031203，ACB1806021202.在ABC中，BACABCACB180，90112031202180.121503.350，1215050100.第1題答圖2. (2015，河北，導(dǎo)學(xué)號(hào)5892921)如圖所示的是甲、乙兩張不同的矩形紙片，將它們分別沿著虛線剪開后，各自要拼一個(gè)與原來面積相等的正方形，則(A)第2題圖A. 甲、乙都可以 B. 甲、乙都不可以C. 甲不可以，乙可以 D. 甲可以，乙不可以【解析】 甲、乙都可以拼一個(gè)與原來面積相等的正方形，所拼圖形如答圖所示第2題答圖3. (2016，河北)關(guān)于ABCD的敘述，正確的是(C)A. 若ABBC，則ABCD是菱形 B. 若ACBD，則ABCD是正方形C. 若ACBD，則ABCD是矩形 D. 若ABAD，則ABCD是正方形【解析】 在ABCD中，ABBC，四邊形ABCD是矩形，不一定是菱形故選項(xiàng)A錯(cuò)誤在ABCD中，ACBD，四邊形ABCD是菱形，不一定是正方形故選項(xiàng)B錯(cuò)誤在ABCD中，ACBD，四邊形ABCD是矩形故選項(xiàng)C正確在ABCD中，ABAD，四邊形ABCD是菱形，不一定是正方形故選項(xiàng)D錯(cuò)誤4. (2017，河北)如圖所示的是邊長(zhǎng)為10 cm的正方形鐵片，過兩個(gè)頂點(diǎn)剪掉一個(gè)三角形，以下四種剪法中，裁剪線長(zhǎng)度所標(biāo)的數(shù)據(jù)(單位：cm)不正確的是(A)第4題圖A B C D【解析】 該正方形的對(duì)角線的長(zhǎng)是102 cm14.14 cm，所以正方形內(nèi)部的每一個(gè)點(diǎn)，到正方形的頂點(diǎn)的距離都要小于14.14 cm.正方形的性質(zhì)例1 (2018，深圳二模)如圖，P為正方形ABCD的對(duì)角線BD上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)P作PEBC于點(diǎn)E，PFCD于點(diǎn)F，連接EF.給出以下4個(gè)結(jié)論：FPD是等腰直角三角形；APEF；ADPD；PFEBAP.其中正確的結(jié)論是(C)例1題圖A. B. C. D. 【解析】 如答圖，連接PC.P為正方形ABCD的對(duì)角線BD上任意一點(diǎn)，PAPC，BCD90.PEBC，PFCD，PECDFPPFCBCD90.四邊形PECF是矩形PCEF.PAEF.故正確BD是正方形ABCD的對(duì)角線，ABDBDCDBC45.PFDBCD90，PFBC.DPFDBC45.FPD是等腰直角三角形故正確在PAB和PCB中，ABCB，ABPCBP，BPBP，PABPCB.BAPBCP.易證PFEBCP，PFEBAP.故正確P是正方形對(duì)角線BD上任意一點(diǎn)，AD不一定等于PD.故錯(cuò)誤例1答圖針對(duì)訓(xùn)練1 (2018，唐山豐南區(qū)二模)如圖，在正方形ABCD外側(cè)，作等邊三角形ADE，AC，BE相交于點(diǎn)F，則BFC的度數(shù)為(B)訓(xùn)練1題圖A. 75 B. 60 C. 55 D. 45【解析】 四邊形ABCD是正方形，BAD90，ABAD，BAF45.ADE是等邊三角形，DAE60，ADAE.BAE9060150，ABAE.ABEAEB12(180150)15.BFCBAFABE451560.正方形的判定例2 (2018，桂林灌陽縣模擬)如圖，在ABC中，O是AC上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)O作直線MNBC.設(shè)MN交BCA的平分線于點(diǎn)E，交ACD的平分線于點(diǎn)F.若點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到AC的中點(diǎn)，要使四邊形AECF是正方形，則ACB的度數(shù)是(D)例2題圖A. 30 B. 45C. 60 D. 90【解析】 CE，CF分別為ACB，ACD的平分線，ECF90.MNBC，F(xiàn)ECECB.ECBECO，F(xiàn)ECECO.OEOC.同理OCOF.OEOF.點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到AC的中點(diǎn)，OAOC.四邊形AECF為矩形若ACB90，則ACEF.四邊形AECF為正方形.針對(duì)訓(xùn)練2 如圖，在菱形ABCD中，對(duì)角線AC，BD交于點(diǎn)O.添加一個(gè)條件，能使菱形ABCD成為正方形的是(C)訓(xùn)練2題圖A. BDAB B. ACADC. ABC90 D. ODAC【解析】 要使菱形成為正方形，只要菱形滿足以下條件之一即可：有一個(gè)內(nèi)角是直角；對(duì)角線相等.平行四邊形、矩形、菱形、正方形的關(guān)系例3 (2018，臨沂)如圖，E，F(xiàn)，G，H分別是四邊形ABCD的邊AB，BC，CD，DA的中點(diǎn)下列說法：若ACBD，則四邊形EFGH為矩形；若ACBD，則四邊形EFGH為菱形；若四邊形EFGH是平行四邊形，則AC與BD互相平分；若四邊形EFGH是正方形，則AC與BD互相垂直且相等其中正確的個(gè)數(shù)是(A)例3題圖A. 1 B. 2 C. 3 D. 4【解析】 由三角形中位線定理可知四邊形的四邊中點(diǎn)組成的四邊形是平行四邊形本題中，當(dāng)ACBD時(shí)，四邊形EFGH是菱形；當(dāng)ACBD時(shí)，四邊形EFGH是矩形；當(dāng)ACBD且ACBD時(shí)，四邊形EFGH是正方形反之，四邊形EFGH是正方形時(shí)，AC與BD互相垂直且相等只有說法正確.針對(duì)訓(xùn)練3 (2018，鹽城鹽都區(qū)模擬)如圖，在四邊形ABCD中，ABCD，E，F(xiàn)，G，H分別為AD，BC，BD，AC的中點(diǎn)，順次連接E，G，F(xiàn)，H.(1)求證：四邊形EGFH是菱形；(2)當(dāng)ABC與DCB滿足什么關(guān)系時(shí)，四邊形EGFH為正方形，并說明理由；(3)猜想：GFH，ABC，DCB三個(gè)角之間的關(guān)系(直接寫出結(jié)果)訓(xùn)練3題圖【思路分析】 (1)根據(jù)三角形中位線的性質(zhì)得到EG12AB，EH12CD，HF12AB，GF12CD.根據(jù)菱形的判定定理即可得到結(jié)論(2)根據(jù)平行線的性質(zhì)得到ABCHFC，DCBGFB.根據(jù)平角的定義得到GFH90，于是得到結(jié)論(3)由平行線的性質(zhì)得到ABCHFC，DCBGFB.根據(jù)平角的定義即可得到結(jié)論(1)證明：E，F(xiàn)，G，H分別為AD，BC，BD，AC的中點(diǎn)，EG12AB，EH12CD，HF12AB，GF12CD.ABCD，EGEHHFGF.四邊形EGFH是菱形(2)解：當(dāng)ABCDCB90時(shí)，四邊形EGFH為正方形理由：E，F(xiàn)，G，H分別為AD，BC，BD，AC的中點(diǎn)，HFAB，GFCD.ABCHFC，DCBGFB.ABCDCB90，HFCGFB90.GFH90.菱形EGFH是正方形(3)解：GFHABCDCB180.一、選擇題1. (2018，石家莊二模)如圖，從正方形紙片的頂點(diǎn)沿虛線剪開，則1的度數(shù)可能是(A)第1題圖A. 44 B. 45 C. 46 D. 47【解析】 如答圖四邊形為正方形，245.12，145.第1題答圖2. (2018，宜昌)如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，E，F(xiàn)分別是對(duì)角線AC上的兩點(diǎn)，EGAB，EIAD，F(xiàn)HAB，F(xiàn)JAD，垂足分別為G，I，H，J，則圖中陰影部分的面積為(B)第2題圖A. 1 B. 12 C. 13 D. 14【解析】 根據(jù)對(duì)稱性，可知四邊形EFHG的面積與四邊形EFJI的面積相等S陰影12S正方形ABCD12.3. (2018，梧州)如圖，在正方形ABCD中，A，B，C三點(diǎn)的坐標(biāo)分別是(1，2)，(1，0)，(3，0)將正方形ABCD向右平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，則平移后點(diǎn)D的坐標(biāo)是(B)第3題圖A. (6，2) B. (0，2) C. (2，0) D. (2，2)【解析】 在正方形ABCD中，A，B，C三點(diǎn)的坐標(biāo)分別是(1，2)，(1，0)，(3，0)，點(diǎn)D的坐標(biāo)為(3，2)將正方形ABCD向右平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，平移后點(diǎn)D的坐標(biāo)是(0，2)4. (2018，湘西州)下列說法中，正確的有(B)對(duì)頂角相等；兩直線平行，同旁內(nèi)角相等；對(duì)角線互相垂直的四邊形為菱形；對(duì)角線互相垂直平分且相等的四邊形為正方形A. 1個(gè) B. 2個(gè) C. 3個(gè) D. 4個(gè)【解析】 對(duì)頂角相等，故正確兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)，故錯(cuò)誤對(duì)角線互相垂直平分的四邊形為菱形，故錯(cuò)誤對(duì)角線互相垂直平分且相等的四邊形為正方形，故正確5. (2018，湘潭)如圖，已知E，F(xiàn)，G，H分別是菱形ABCD各邊的中點(diǎn)，則四邊形EFGH是(B)第5題圖A. 正方形 B. 矩形 C. 菱形 D. 平行四邊形【解析】 由菱形對(duì)角線的性質(zhì)和三角形中位線定理可得四邊形EFGH是矩形6. 如圖，已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，連接AC，BD，CE平分ACD交BD于點(diǎn)E，則DE的長(zhǎng)為(A)第6題圖A. 21 B. 22 C. 1 D. 122【解析】 如答圖，過點(diǎn)E作EFDC于點(diǎn)F.四邊形ABCD是正方形，ACBD.CE平分ACD，EOEF.正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，AC2.CO12AC22.CFCO22.EFDFDCCF122.DE2DF21.第6題答圖7. 如圖，正方形OABC的兩邊OA，OC分別在x軸、y軸上，點(diǎn)D(5，3)在邊AB上以點(diǎn)C為中心，把CDB旋轉(zhuǎn)90，則旋轉(zhuǎn)后點(diǎn)D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)D的坐標(biāo)是(C)第7題圖A. (2，0) B. (2，10) C. (2，10)或(2，0) D. (10，2)或(2，10)【解析】 因?yàn)辄c(diǎn)D(5，3)在邊AB上，所以ABBC5，BD532.若把CDB順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90，則點(diǎn)D在x軸上，OD2，所以D(2，0)若把CDB逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90，則點(diǎn)D到x軸的距離為10，到y(tǒng)軸的距離為2，所以D(2，10)綜上，旋轉(zhuǎn)后點(diǎn)D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)D的坐標(biāo)為(2，0)或(2，10)8. 如圖，邊長(zhǎng)為1的兩個(gè)正方形互相重合，按住其中一個(gè)不動(dòng)，將另一個(gè)繞頂點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45，則這兩個(gè)正方形重疊部分的面積是(D)第8題圖A. 12 B. 33 C. 133 D. 21【解析】 繞頂點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45，DCE45，CDE90.CDDE.AC12122，CD21.正方形重疊部分的面積是121112(21)(21)21.二、填空題9. 如圖，在正方形ABCD中，E為AD的中點(diǎn)，連接EC，過點(diǎn)E作EFEC，交AB于點(diǎn)F，則tanECF（ 12） .第9題圖【解析】 四邊形ABCD是正方形，ADDC，AD90.AEED，CDAD2AE.FEC90，AEFDEC90.DECDCE90，AEFDCE.AD，AEFDCE.EFECAEDC12.tanECFEFEC12.10. 如圖，E為正方形ABCD外一點(diǎn)，AEAD，ADE75，則AEB 30 .第10題圖【解析】 AEAD，ADE75，DAE1802ADE18027530.BAEBADDAE9030120.ABAD，ABAE.AEB12(180BAE)12(180120)30.11. (2018，武漢)以正方形ABCD的邊AD為邊作等邊三角形ADE，則BEC的度數(shù)是30或150.【解析】 如答圖.四邊形ABCD為正方形，ADE為等邊三角形，ABBCCDADAEDE，BADABCBCDADC90，AEDADEDAE60.BAECDE150.AEBCED15.BECAEDAEBCED30.如答圖.同理CDEADCADE906030.CEDECD12(18030)75.BEC36075260150.第11題答圖12. (2018，咸寧)如圖，將正方形OEFG放在平面直角坐標(biāo)系中，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)E的坐標(biāo)為(2，3)，則點(diǎn)F的坐標(biāo)為 (1，5) 第12題圖【解析】 如答圖，過點(diǎn)E作x軸的垂線EH，垂足為H，過點(diǎn)G作x軸的垂線GM，垂足為M，連接GE，F(xiàn)O相交于點(diǎn)O.四邊形OEFG是正方形，OGEO.易證GOMOEH，OGMEOH.OGMEOH(ASA)GMOH2，OMEH3.G(3，2)O12，52.點(diǎn)F與點(diǎn)O關(guān)于點(diǎn)O對(duì)稱，點(diǎn)F的坐標(biāo)為(1，5)第12題答圖三、 解答題13. (2018，寧夏)如圖，已知E為正方形ABCD的邊AD上一點(diǎn)，連接BE，過點(diǎn)C作CNBE，垂足為M，交AB于點(diǎn)N.(1)求證：ABEBCN；(2)若N為AB的中點(diǎn)，求tanABE.第13題圖【思路分析】 (1)根據(jù)正方形的性質(zhì)和全等三角形的判定定理證明即可(2)根據(jù)全等三角形的性質(zhì)和三角函數(shù)解答即可(1)證明：如答圖四邊形ABCD為正方形，ABBC，ACBN90，1290.CMBE，2390.13.在ABE和BCN中，ACBN，ABBC，13，ABEBCN(ASA)(2)解：N為AB的中點(diǎn)，BN12AB.ABEBCN，AEBN12AB.在RtABE中，tanABEAEAB12ABAB12.第13題答圖14. (2018，鹽城)如圖，在正方形ABCD中，對(duì)角線BD所在的直線上有兩點(diǎn)E，F(xiàn)滿足BEDF，連接AE，AF，CE，CF.(1)求證：ABEADF；(2)試判斷四邊形AECF的形狀，并說明理由第14題圖【思路分析】 (1)根據(jù)正方形的性質(zhì)和全等三角形的判定定理證明即可(2)四邊形AECF是菱形，根據(jù)對(duì)角線垂直且互相平分的四邊形是菱形即可判斷(1)證明：四邊形ABCD是正方形，ABAD.ABDADB.ABEADF.在ABE和ADF中，ABAD，ABEADF，BEDF，ABEADF(SAS)(2)解：四邊形AECF是菱形理由：如答圖，連接AC.四邊形ABCD是正方形，OAOC，OBOD，ACEF.OBBEODDF.OEOF.四邊形AECF是菱形第14題答圖15. (2018，白銀)如圖，在矩形ABCD中，E是AD邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)，G，H分別是BC，BE，CE的中點(diǎn)(1)求證：BGFFHC；(2)設(shè)ADa，當(dāng)四邊形EGFH是正方形時(shí)，求矩形ABCD的面積第15題圖【思路分析】 (1)根據(jù)三角形中位線定理和全等三角形的判定證明即可(2)利用正方形的性質(zhì)和矩形的面積公式解答即可(1)證明：F，G，H分別是BC，BE，CE的中點(diǎn)，F(xiàn)HBE，F(xiàn)H12BE，GEBG12BE，BFFC.CFHCBG，F(xiàn)HBG.BGFFHC.(2)解：如答圖，連接EF，GH.當(dāng)四邊形EGFH是正方形時(shí)，得EFGH且EFGH.在BEC中，G，H分別是BE，CE的中點(diǎn)，GH12BC12AD12a，且GHBC.EFBC.四邊形ABCD為矩形，ABEFGH12a.矩形ABCD的面積為ABAD12aa12a2.第15題答圖16. (2018，遵義)如圖，正方形ABCD的對(duì)角線交于點(diǎn)O，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在AB，BC上(AEBE)，且EOF90，OE，DA的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)M，OF，AB的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)N，連接MN.(1)求證：OMON；(2)若正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，E為OM的中點(diǎn)，求MN的長(zhǎng)(結(jié)果保留根號(hào))第16題圖【思路分析】 (1)證OAMOBN即可得(2)作OHAD，由正方形的邊長(zhǎng)為4且E為OM的中點(diǎn)知OHHA2，HM4，再根據(jù)勾股定理得OM25.由等腰直角三角形的性質(zhì)知MN2OM.(1)證明：四邊形ABCD是正方形，OAOB，DAOOBA45.OAMOBN135.EOF90，AOB90，AOMBON.OAMOBN(ASA)OMON.(2)解：如答圖，過點(diǎn)O作OHAD于點(diǎn)H.正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，OHHA2.E為OM的中點(diǎn)，HM4.OM224225.MN2OM210.第16題答圖1. (2018，無錫)如圖，已知E是矩形ABCD的對(duì)角線AC上的一動(dòng)點(diǎn)，正方形EFGH的頂點(diǎn)G，H都在邊AD上若AB3，BC4，則tanAFE的值為(A)第1題圖A. 37 B. 33 C. 34 D. 隨點(diǎn)E位置的變化而變化【解析】 EFAD，AFEFAG.HECD.AEHACD.EHAHCDAD34.設(shè)EH3x，AH4x，HGGF3x.tanAFEtanFAGGFAG3x3x4x37.2. (2018，青島)如圖，已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為5，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在AD，DC上，AEDF2，BE與AF相交于點(diǎn)G，H為BF的中點(diǎn)，連接GH，則GH的長(zhǎng)為 （342）.(結(jié)果保留根號(hào))第2題圖【解析】 四邊形ABCD為正方形，BAED90，ABAD.AEDF，ABEDAF(SAS)ABEDAF.ABEBEA90，DAFBEA90.BGFAGE90.H為BF的中點(diǎn)，GH12BF.BC5，CFCDDF523，BFBC2CF234.GH12BF342.3. (2018，臺(tái)州，導(dǎo)學(xué)號(hào)5892921)如圖，在正方形ABCD中，AB3，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在CD，AD上，CEDF，BE，CF相交于點(diǎn)G.若圖中陰影部分的面積與正方形ABCD的面積之比為23，則BCG的周長(zhǎng)為153.(結(jié)果保留根號(hào))第3題圖【解析】 陰影部分的面積與正方形ABCD的面積之比為23，陰影部分的面積為2396.空白部分的面積為963.由CEDF，BCCD，BCECDF90，可得BCECDF，BCG的面積與四邊形DEGF的面積相等，均為12332.易證BGC90.設(shè)BGa，CGb，則12ab32.又a2b232，a22abb29615，即(ab)215.ab15，即BGCG15.BCG的周長(zhǎng)為153.4. (2018，北京，導(dǎo)學(xué)號(hào)5892921)如圖，在正方形ABCD中，E是邊AB上的一動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)A，B重合)，連接DE，點(diǎn)A關(guān)于直線DE的對(duì)稱點(diǎn)為F，連接EF并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)G，連接DG，過點(diǎn)E作EHDE交DG的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，連接BH.(1)求證：GFGC；(2)用等式表示線段BH與AE的數(shù)量關(guān)系，并證明第4題圖【思路分析】 (1)連接DF，根據(jù)對(duì)稱的性質(zhì)，得ADEFDE，再由HL證明RtDFGRtDCG，可得結(jié)論(2)作輔助線，構(gòu)建AMAE，先證明EDG45，得DEEH，證明DMEEBH，則EMBH，根據(jù)勾股定理得EM2AE，得結(jié)論(1)證明：如答圖，連接DF.四邊形ABCD是正方形，DADC，AC90.點(diǎn)A關(guān)于直線DE的對(duì)稱點(diǎn)為F，ADEFDE.DADF，DFEA90.DFDC，DFG90.在RtDFG和RtDCG中，DGDG，DFDC，RtDFGRtDCG(HL)GFGC.(2)解：BH2AE.證明：如答圖，在線段AD上截取AM，使AMAE.ADAB，DMBE.由(1)知12，34.ADC90，123490.2345，即EDG45.EHDE，DEH90.AEDBEHAED190，DEH是等腰直角三角形1BEH，DEEH.DMEEBH.EMBH.在RtAEM中，A90，AMAE，EM2AE.BH2AE.第4題答圖