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偏微分方程的數(shù)值方法,劉 銘,偏微分方程定解問(wèn)題，是表述自然與工程技術(shù)領(lǐng)域中各種現(xiàn)象最重要的數(shù)學(xué)工具之一，應(yīng)用十分廣泛。 遺憾的是，絕大多數(shù)偏微分方程的解不能以實(shí)用的解析形式來(lái)表示，因而其數(shù)值解就顯得尤為重要。,雖然常微分方程數(shù)值方法的歷史可以追溯到18世紀(jì)，一些偏微分方程的數(shù)值方法也在20世紀(jì)初得到研究，但是，它們發(fā)展成為一門理論上嚴(yán)謹(jǐn)，實(shí)用上有效的學(xué)科，還是20世紀(jì)50年代以來(lái)的事，這主要得益于電子計(jì)算機(jī)的誕生。,偏微分方程的分類,（1）橢圓型方程 （2）拋物型方程（如熱傳導(dǎo)方程） （3）雙曲型方程（如波動(dòng)方程）,三種類型的邊界條件： （1）狄里赫利型邊界條件（第一類邊界條件）：邊界上的函數(shù)值已知； （2）紐曼型邊界條件（第二類邊界條件）：邊界上函數(shù)的法向?qū)?shù)值已知或是一種連續(xù)函數(shù)。 （3）混合邊界條件：邊界條件為第一類邊界條件和第二類邊界條件的線性組合。,,,邊界條件,數(shù)值求解偏微分方程定解問(wèn)題的主要方法,1.差分方法 2.有限元方法,共同點(diǎn)：都是將連續(xù)的偏微分方程進(jìn)行離散，采取適當(dāng)形式將其化為線性代數(shù)方程組，通過(guò)求解代數(shù)方程組給出其數(shù)值解。,差分方法,無(wú)論是常微分方程還是偏微分方程，初值問(wèn)題或邊值問(wèn)題，橢圓型、雙曲型或拋物型二階線性方程，以及高階方程或非線性方程，通常均可利用此法將它們轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程組，再借助計(jì)算機(jī)求其數(shù)值解。,,目前，對(duì)于線性偏微分方程定解問(wèn)題，差分方法已經(jīng)形成了較成熟的算法格式，對(duì)于非線性問(wèn)題，有效的算法正在迅速發(fā)展之中。,差分方法的準(zhǔn)備工作,（1）把求解的區(qū)域劃分成網(wǎng)格； （2）把求解區(qū)域內(nèi)連續(xù)的函數(shù)用網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)上的離散的數(shù)值代替。 網(wǎng)格的劃分有不同的方法，有正方形和三角形網(wǎng)格等劃分方法。,差分方法的基礎(chǔ)，即泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)：,差分方法的基本概念 ---用差商代替導(dǎo)數(shù),一階導(dǎo)數(shù)的差分表達(dá)式： 二階導(dǎo)數(shù)的差分表達(dá)式：,,,隨著精度的不斷提高，可以推導(dǎo)出無(wú)窮無(wú)盡的差分表達(dá)式。對(duì)于高階精度公式，其優(yōu)點(diǎn)、缺點(diǎn)： （1）缺點(diǎn)：高階精度的差分需要更多的網(wǎng)格點(diǎn)，所以計(jì)算中的每一步都需要更多的計(jì)算時(shí)間。 （2）優(yōu)點(diǎn)：要得到相同精度的解，如果使用高階差分格式，網(wǎng)格點(diǎn)的總數(shù)可以更少一些；高階差分格式可以給出質(zhì)量更高的解。,例如，方程 有兩個(gè)自變量x和t，設(shè)t是用于推進(jìn)求解的變量 。i是x方向的標(biāo)號(hào)，n是t方向的標(biāo)號(hào)。設(shè)第n層上的數(shù)值已知，求第n+1層上的數(shù)值。,,差分方程的顯式方法與隱式方法,顯式方法,時(shí)間導(dǎo)數(shù) x方向?qū)?shù) 差分方程：,,,,隱式方法,,整理隱式格式，將未知量放在等式左邊，已知量放到右邊，得 隱式格式可化成三對(duì)角形式的方程組。,,顯式方法：每一個(gè)差分方程只包含一個(gè)第n+1層的未知數(shù)，從而這個(gè)未知數(shù)可以用直接計(jì)算的方式顯式地求解。顯式方法是最簡(jiǎn)單的方法。,隱式方法：包含第n+1層上的多個(gè)未知量，必須形成一個(gè)代數(shù)方程組。由于需要求解聯(lián)立的代數(shù)方程組，隱式方法通常涉及大型矩陣的運(yùn)算。比顯式方法需要更多、更復(fù)雜的計(jì)算。,顯示方法和隱式方法的優(yōu)缺點(diǎn),1）顯式方法 優(yōu)點(diǎn)：方法的建立及編程相對(duì)簡(jiǎn)單。 缺點(diǎn)：對(duì)取定的△x，△t必須小于穩(wěn)定性條件對(duì)它提出的限制。在某些情形，△t必須很小，才能保持穩(wěn)定性。要將時(shí)間推進(jìn)計(jì)算到時(shí)間變量的給定值，就需要很長(zhǎng)的計(jì)算機(jī)運(yùn)行時(shí)間 。,2）隱式方法 優(yōu)點(diǎn)：用大得多的△t值也能保持穩(wěn)定性。要將時(shí)間推進(jìn)計(jì)算到時(shí)間變量的給定值，需要少得多的時(shí)間步，這將使計(jì)算機(jī)運(yùn)行時(shí)間更短。 缺點(diǎn)：方法的建立和編程更復(fù)雜。而且，由于每一時(shí)間步的計(jì)算通常需要大量的矩陣運(yùn)算，每一時(shí)間步的計(jì)算機(jī)運(yùn)行時(shí)間要比顯式方法長(zhǎng)得多。,求解偏微分方程的一些差分方法,,有限元方法,有限元方法屬于變分法的范疇，是古典的變分法和分片多項(xiàng)式插值相結(jié)合的產(chǎn)物。 由于差分法通常采用方形網(wǎng)格，很難適應(yīng)區(qū)域形狀的任意性，而有限元方法可以用多種多樣的網(wǎng)格對(duì)區(qū)域作剖分，可以適應(yīng)各種形狀的區(qū)域。,MATLAB的偏微分方程工具箱（PDE Toolbox）提供了空間二維問(wèn)題高速、準(zhǔn)確的求解過(guò)程。用戶只要使用界面或M文件，畫(huà)出所需要的區(qū)域，輸入方程類型和有關(guān)系數(shù)，就可顯示解的圖形和輸出解得數(shù)值。,謝 謝！,