河北省“五個一名校聯(lián)盟”2015屆高三教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測（二）理科數(shù)學(xué)第I卷（選擇題，共60分）一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的，請將答案涂在答題卡上1設(shè)集合，則（）ABCD2 已知是虛數(shù)單位，和都是實數(shù)，且，則（ ）ABCD3設(shè)若，則的值為ABCD 4設(shè)為兩個非零向量，則“”是“與共線”的A充分而不必要條件 B必要而不充要條件C充要條件 D既不充分也不必要條件5右圖中，為某次考試三個評閱人對同一道題的獨立評分，為該題的最終得分，當時，等于A BC D6已知 ，且 ，則 A B C D7已知,點在內(nèi)，且，設(shè)，則等于（ ）A B3 C D8等差數(shù)列的前項和為，且，則過點和 ()的直線的一個方向向量是()A B C D9函數(shù)的圖象恒過定點，若點在直線上，其中，則的最小值為( )A B4 C D10在區(qū)間和上分別取一個數(shù),記為, 則方程表示焦點在軸上且離心率小于的橢圓的概率為 （ ）A B C D 11多面體的三視圖如圖所示，則該多面體表面積為（單位）A B CD12若曲線與曲線存在公共切線，則的取值范圍為 A B C D第II卷（非選擇題，共90分）二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分把正確答案填在答題卡上13的展開式中的系數(shù)為 14若雙曲線的一個焦點到一條漸近線的距離等于焦距的，則該雙曲線的離心率為 15設(shè)點滿足條件，點滿足恒成立，其中是坐標原點，則點的軌跡所圍成圖形的面積是 16在中，若，則的最大值 三、解答題：解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程和演算步驟17已知數(shù)列的各項均為正數(shù)，前項和為，且（）求證數(shù)列是等差數(shù)列；（）設(shè)求18市一中隨機抽取部分高一學(xué)生調(diào)查其上學(xué)路上所需時間（單位：分鐘），并將所得數(shù)據(jù)繪制成頻率分布直方圖（如圖），其中上學(xué)路上所需時間的范圍是，樣本數(shù)據(jù)分組為，（）求直方圖中的值；（）如果上學(xué)路上所需時間不少于小時的學(xué)生可申請在學(xué)校住宿，若招生名，請估計新生中有多少名學(xué)生可以申請住宿；（）從學(xué)校的高一學(xué)生中任選名學(xué)生，這名學(xué)生中上學(xué)路上所需時間少于分鐘的人數(shù)記為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望（以直方圖中的頻率作為概率）19已知四棱錐中，平面，底面是邊長為的菱形，（）求證：平面平面；（）設(shè)與交于點，為中點，若二面角的正切值為，求的值20已知拋物線，直線與拋物線交于兩點（）若軸與以為直徑的圓相切，求該圓的方程；（）若直線與軸負半軸相交，求面積的最大值21已知函數(shù)（）當時，判斷函數(shù)的單調(diào)區(qū)間并給予證明；（）若有兩個極值點，證明：請考生在第22、23、24題中任選一道作答，如果多做，則按所做的第1題計分作答時請寫清題號22（本小題滿分10分）選修4-1幾何證明選講已知外接圓劣弧上的點（不與點、重合），延長至,延長交的延長線于（）求證：；（）求證：23（本小題滿分10分）選修4-4：極坐標與參數(shù)方程選講已知曲線的極坐標方程是，直線的參數(shù)方程是（為參數(shù)）（）將曲線的極坐標方程化為直角坐標方程；（）設(shè)直線與軸的交點是，是曲線上一動點，求的最大值24（本小題滿分10分）選修45：不等式選講已知，對，恒成立，求的取值范圍河北省“五個一名校聯(lián)盟”2015屆高三教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測（二）理科數(shù)學(xué)(答案)第I卷（選擇題，共60分）一、選擇題：BDADC CBADB AC 二、填空題： 13 -200 14 15 16 三、解答題：解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程和演算步驟17已知數(shù)列的各項均為正數(shù)，前項和為，且（）求證數(shù)列是等差數(shù)列； （）設(shè)求解：（） -得：整理得：數(shù)列的各項均為正數(shù)，時，數(shù)列是首項為公差為的等差數(shù)列 6分（）由第一問得 12分18市一中隨機抽取部分高一學(xué)生調(diào)查其上學(xué)所需時間（單位：分鐘），并將所得數(shù)據(jù)繪制成頻率分布直方圖（如圖），其中上學(xué)所需時間的范圍是，樣本數(shù)據(jù)分組為，（）求直方圖中的值；（）如果上學(xué)所需時間不少于小時的學(xué)生可申請在學(xué)校住宿，若招生名，請估計新生中有多少名學(xué)生可以申請住宿；（）從學(xué)校的高一學(xué)生中任選名學(xué)生，這名學(xué)生中上學(xué)所需時間少于分鐘的人數(shù)記為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望（以直方圖中高一學(xué)生上學(xué)所需時間少于分鐘的頻率作為每名學(xué)生上學(xué)所需時間少于分鐘的概率）解：（）由直方圖可得：所以 3分 （）新生上學(xué)所需時間不少于小時的頻率為：， 因為，所以1200名新生中有名學(xué)生可以申請住宿 6分 （）的可能取值為 由直方圖可知，每位學(xué)生上學(xué)所需時間少于分鐘的概率為，, , 10分 所以的分布列為：01234（或）所以的數(shù)學(xué)期望為 12分 19已知四棱錐中，底面是邊長為的菱形，（）求證：；（）設(shè)與交于點，為中點，若二面角的正切值為，求的值19解：（） 因為PA平面ABCD，所以PABD2分又ABCD為菱形，所以ACBD,所以BD平面PAC4分從而平面PBD平面PAC 6分（）方法1 過O作OHPM交PM于H，連HD因為DO平面PAC，可以推出DHPM,所以O(shè)HD為O-PM-D的平面角8分又，且10分從而11分所以，即 12分法二：如圖,以為原點,所在直線為軸,軸建立空間直角坐標系，則, 8分從而9分因為BD平面PAC,所以平面PMO的一個法向量為10分 設(shè)平面PMD的法向量為,由得取，即 11分設(shè)與的夾角為，則二面角大小與相等從而，得從而，即 12分20已知拋物線，直線與拋物線交于兩點（）若軸與以為直徑的圓相切，求該圓的方程；（）若直線與軸負半軸相交，求面積的最大值解：（）聯(lián)立，消并化簡整理得 依題意應(yīng)有，解得設(shè)，則，設(shè)圓心，則應(yīng)有因為以為直徑的圓與軸相切，得到圓半徑為，又 所以 ，解得 所以，所以圓心為故所求圓的方程為（）因為直線與軸負半軸相交，所以，又與拋物線交于兩點，由（）知，所以，直線：整理得，點到直線的距離 ， 所以 令，0極大由上表可得的最大值為 所以當時，的面積取得最大值21已知函數(shù)（）當時，判斷函數(shù)的單調(diào)區(qū)間并給予證明；（）若有兩個極值點，證明：解：（）時，易知從而為單調(diào)減函數(shù)分（）有兩個極值點，即有兩個實根，所以，得，得6分又，所以8分，得10分， 12分另解：由兩個實根，當時，所以單調(diào)遞減且，不能滿足條件當時，所以單調(diào)遞減且當時，所以單調(diào)遞增且，故當時，當時，當時，所以由兩個實根需要即即，從而可以構(gòu)造函數(shù)解決不等式的證明有兩個實根，不是根，所以由兩個實根，當時，所以單調(diào)遞減且，不能滿足條件當時，所以單調(diào)遞減且當時，所以單調(diào)遞增且，故當時，當時，當時，所以由兩個實根需要即即，從而可以構(gòu)造函數(shù)解決不等式的證明請考生在第22、23、24題中任選一道作答，如果多做，則按所做的第1題計分作答時請寫清題號22（本小題滿分10分）選修4-1幾何證明選講已知外接圓劣弧上的點（不與點重合）,延長至,延長交的延長線于（）求證：；（）求證：解：()證明：、四點共圓2分且, ,4分5分()由()得,又,所以與相似,，7分又,，根據(jù)割線定理得，9分10分23（本小題滿分10分）選修4-4：極坐標與參數(shù)方程選講已知曲線的極坐標方程是，直線的參數(shù)方程是（為參數(shù)）（）將曲線的極坐標方程化為直角坐標方程；（）設(shè)直線與軸的交點是，是曲線上一動點，求的最大值解：（）曲線的極坐標方程可化為 2分又，所以曲線的直角坐標方程為4分 （）將直線l的參數(shù)方程化為直角坐標方程，得 6分 令，得，即點的坐標為(2，0) 又曲線為圓，圓的圓心坐標為(1，0)，半徑，則 8分所以10分24（本小題滿分10分）選修45：不等式選講已知，對，恒成立，求的取值范圍解： a0，b0 且a+b=1 +=(a+b)( +)=5+9，故+的最小值為9，5分因為對a，b(0，+)，使+2x-1-x+1恒成立，所以，2x-1-x+19， 7分當 x-1時，2-x9， -7x-1，當 -1x時，-3x9， -1x，當 x時，x-29， x11， -7x11 10分- 17 -