遼寧省新賓滿族自治縣高級中學高中數(shù)學 3.3 幾何概型學案 新人教A版必修3教學目標：1.通過師生共同探究,體會數(shù)學知識的形成,正確理解幾何概型的概念；掌握幾何概型的概率公式：P（A）=,學會應用數(shù)學知識來解決問題,體會數(shù)學知識與現(xiàn)實世界的聯(lián)系,培養(yǎng)邏輯推理能力.2.本節(jié)課學習時養(yǎng)成勤學嚴謹?shù)膶W習習慣,會根據(jù)古典概型與幾何概型的區(qū)別與聯(lián)系來判別某種概型是古典概型還是幾何概型,會進行簡單的幾何概率計算,培養(yǎng)學生從有限向無限探究的意識.教學重點：理解幾何概型的定義、特點,會用公式計算幾何概率.教學難點：等可能性的判斷與幾何概型和古典概型的區(qū)別.一、導入新課： 1、復習古典概型的兩個基本特點：（1）所有的基本事件只有有限個；（2）每個基本事件發(fā)生都是等可能的.那么對于有無限多個試驗結果的情況相應的概率應如何求呢? 2、在概率論發(fā)展的早期,人們就已經(jīng)注意到只考慮那種僅有有限個等可能結果的隨機試驗是不夠的,還必須考慮有無限多個試驗結果的情況.例如一個人到單位的時間可能是8：00至9：00之間的任何一個時刻；往一個方格中投一個石子,石子可能落在方格中的任何一點這些試驗可能出現(xiàn)的結果都是無限多個.這就是我們要學習的幾何概型.二、新課講授：提出問題(1)隨意拋擲一枚均勻硬幣兩次,求兩次出現(xiàn)相同面的概率？(2)試驗1.取一根長度為3 m的繩子,拉直后在任意位置剪斷.問剪得兩段的長都不小于1 m的概率有多大？試驗2.射箭比賽的箭靶涂有五個彩色得分環(huán).從外向內(nèi)為白色,黑色,藍色,紅色,靶心是金色.金色靶心叫“黃心”.奧運會的比賽靶面直徑為122 cm,靶心直徑為12.2 cm.運動員在70 m外射箭.假設射箭都能射中靶面內(nèi)任何一點都是等可能的.問射中黃心的概率為多少？(3)問題(1)(2)中的基本事件有什么特點?兩事件的本質區(qū)別是什么?(4)什么是幾何概型?它有什么特點?(5)如何計算幾何概型的概率?有什么樣的公式?(6)古典概型和幾何概型有什么區(qū)別和聯(lián)系? 撰稿教師：趙志巖結果：(1)硬幣落地后會出現(xiàn)四種結果：分別記作（正,正）、（正,反）、（反,正）、（反,反）.每種結果出現(xiàn)的概率相等,P（正,正）=P（正,反）=P（反,正）=P（反,反）=1/4.兩次出現(xiàn)相同面的概率為.(2)經(jīng)分析,第一個試驗,從每一個位置剪斷都是一個基本事件,剪斷位置可以是長度為3 m的繩子上的任意一點. 第二個試驗中,射中靶面上每一點都是一個基本事件,這一點可以是靶面直徑為122 cm的大圓內(nèi)的任意一點. 在這兩個問題中,基本事件有無限多個,雖然類似于古典概型的“等可能性”,但是顯然不能用古典概型的方法求解. 考慮第一個問題,如右圖,記“剪得兩段的長都不小于1 m”為事件A.把繩子三等分,于是當剪斷位置處在中間一段上時,事件A發(fā)生.由于中間一段的長度等于繩長的, 于是事件A發(fā)生的概率P(A)=. 第二個問題,如右圖,記“射中黃心”為事件B,由于中靶心隨機地落在面積為1222 cm2的大圓內(nèi),而當中靶點落在面積為12.22 cm2的黃心內(nèi)時,事件B發(fā)生,于是事件B發(fā)生的概率P(B)=0.01.(3)硬幣落地后會出現(xiàn)四種結果（正,正）、（正,反）、（反,正）、（反,反）是等可能的,繩子從每一個位置剪斷都是一個基本事件,剪斷位置可以是長度為3 m的繩子上的任意一點,也是等可能的,射中靶面內(nèi)任何一點都是等可能的,但是硬幣落地后只出現(xiàn)四種結果,是有限的;而剪斷繩子的點和射中靶面的點是無限的;即一個基本事件是有限的,而另一個基本事件是無限的.(4)幾何概型. 對于一個隨機試驗,我們將每個基本事件理解為從某個特定的幾何區(qū)域內(nèi)隨機地取一點,該區(qū)域中的每一個點被取到的機會都一樣,而一個隨機事件的發(fā)生則理解為恰好取到上述區(qū)域內(nèi)的某個指定區(qū)域中的點.這里的區(qū)域可以是線段、平面圖形、立體圖形等.用這種方法處理隨機試驗,稱為幾何概型. 如果每個事件發(fā)生的概率只與構成該事件區(qū)域的長度(面積或體積)成比例,則稱這樣的概率模型為幾何概率模型,簡稱幾何概型. 幾何概型的基本特點：a.試驗中所有可能出現(xiàn)的結果(基本事件)有無限多個；b.每個基本事件出現(xiàn)的可能性相等.(5)幾何概型的概率公式： P（A）=.(6)古典概型和幾何概型的聯(lián)系是每個基本事件的發(fā)生都是等可能的;區(qū)別是古典概型的基本事件是有限的,而幾何概型的基本事件是無限的,另外兩種概型的概率計算公式的含義也不同.三、知能訓練：1.與長度有關的幾何概型例1 有一段長為10米的木棍,現(xiàn)要將其截成兩段,要求每一段都不小于3米,則符合要求的截法的概率是多大？2.與面積有關的幾何概型例2 郭靖、瀟湘子與金輪法王等武林高手進行一種比賽,比賽規(guī)則如下：在很遠的地方有一頂帳篷,可以看到里面有一張小方幾,要將一枚銅板扔到這張方幾上.已知銅板的直徑是方幾邊長的,誰能將銅板整個地落到方幾上就可以進行下一輪比賽.郭靖一扔,銅板落到小方幾上,且沒有掉下,問他能進入下一輪比賽的概率有多大？ 3.與體積有關的幾何概型例4 在5升水中有一個病毒,現(xiàn)從中隨機地取出1升水,含有病毒的概率是多大？4.與角度有關的幾何概型例6 在圓心角為90的扇形中,以圓心為起點作射線OC,求使得AOC和BOC都不小于30的概率.注意：在高中數(shù)學階段,我們對于與面積有關的幾何概型和與體積有關的幾何概型要求重點掌握.這里只是列出了幾道與幾何概型有關的題目,可以說,在高中數(shù)學學習階段,這四種幾何概率模型基本上包括了我們所要學習的幾何概型,希望能對大家有一點幫助.3.3.2 隨機數(shù)的含義與應用-閱讀教材110-114.4