2014年秋季南僑中學(xué)、永春三中、永春僑中、荷山中學(xué)、南安三中高中畢業(yè)班摸底統(tǒng)一考試第I卷（選擇題 共50分）一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出分四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1. 已知集合則為（ ）A B C D 2如果復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，那么實數(shù)的值為（ ）A2B1C2D1或 2 3. 在中，若,則的面積( )A 、 B、 C、 D、4下列命題中，真命題是（ ）A BC D5. 函數(shù)的大致圖像是（ ） A B C 1.99345.16.121.54.047.51218.016在某種新型材料的研制中，實驗人員獲得了右邊一組實驗數(shù)據(jù)：現(xiàn)準(zhǔn)備用下列四個函數(shù)中的一個近似地表示這些數(shù)據(jù)的規(guī)律，其中最接近的一個是（ ）A. B. C. D. 7若、是互不相同的空間直線，、是不重合的平面，則下列結(jié)論正確的是（ ）A B C D8. 如圖過拋物線y22px(p0)的焦點F的直線依次交拋物線及準(zhǔn)線于點A，B，C，若|BC|2|BF|，且|AF|3，則拋物線的方程為()AB C D9. 設(shè)為實系數(shù)三次多項式函數(shù)已知五個方程式的相異實根個數(shù)如下表所述方程式相異實根的個數(shù)13311關(guān)于的極小值試問下列哪一個選項是正確的（ ）A. B. C. D.10. 將一圓的六個等分點分成兩組相間的三點它們所構(gòu)成的兩個正三角形扣除內(nèi)部六條線段后可以形成一正六角星如圖所示的正六角星是以原點為中心其中分別為原點到兩個頂點的向量若將原點到正六角星12個頂點的向量都寫成為的形式則的最大值為（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 第卷（非選擇題共100分）2、 填空題：本大題共5小題，每小題4分，共20分，把答案填在答題卡的相應(yīng)位置。11 某三棱錐的三視圖如圖所示， 該三棱錐的 體積是 . 12. 已知兩個單位向量，的夾角為30，.若，則正實數(shù)=_13. 若變量x，y滿足約束條件且z5yx的最大值為a，最小值為b，則ab的值是_14、函數(shù)的圖象恒過定點，若點在直線mx+ny+2=0上，其中，則的最小值為 15、2008年高考福建省理科數(shù)學(xué)第11題是：“雙曲線（）的兩個焦點為、，若為其上一點，且，則雙曲線離心率的取值范圍為：A（1，3）；B（1，3；C（3，+）；D3，+）”其正確選項是B。若將其中的條件“”更換為“，且”，試經(jīng)過合情推理，得出雙曲線離心率的取值范圍是 三、解答題（本大題共6小題，共80分，解答題寫出必要的文字說明、推演步驟。）16.（本小題滿分13分）已知向量， ，設(shè)函數(shù)（1）求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間；（2）已知銳角的三個內(nèi)角分別為若，邊，求邊17.（本小題滿分13分）已知等差數(shù)列的各項均為正數(shù)，其前項和為，為等比數(shù)列, ，且()求與；（）證明.18. （本小題滿分13分）C1B1A1CBA如圖，在三棱柱中，是邊長為的正方形，平面平面，.（1）求證：平面；（2）求二面角的余弦值；（3）證明：在線段上存在點，使得， 并求的值。 19.（本小題滿分13分）設(shè)橢圓E: （a,b>0），短軸長為4，離心率為，O為坐標(biāo)原點，（I）求橢圓E的方程；（II）是否存在圓心在原點的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個交點A,B,且？若存在，求出該圓的方程，若不存在說明理由。20.（本小題滿分14分）已知函數(shù)()討論函數(shù)在定義域內(nèi)的極值點的個數(shù)；()若函數(shù)在處取得極值，且對,恒成立，求實數(shù)的取值范圍；()當(dāng)且時，試比較的大小21. 本題設(shè)有（1）、（2）、（3）三個選考題，每題7分，請考生任選2題做答，滿分14分，如果多做，則按所做的前兩題計分，做答時，先用2B鉛筆在答題卡上把所選題目對應(yīng)的題號涂黑，并將所選題號填入括號中。（1）（本小題滿分7分）選修4-2：矩陣與變換二階矩陣M對應(yīng)的變換T將點(2，2)與(4,2)分別變換成點(2，2)與(0，4)求矩陣M；設(shè)直線l在變換T作用下得到了直線m：xy6，求l的方程（2） （本小題滿分7分）選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程已知極坐標(biāo)系的極點與直角坐標(biāo)系的原點重合，極軸與軸的非負(fù)半軸重合若曲線的方程為，曲線的參數(shù)方程為（） 將的方程化為直角坐標(biāo)方程；（）若點為上的動點，為上的動點，求的最小值（3） （本小題滿分7分）選修4-5：不等式選講已知函數(shù)f(x)| x+3|x2|.求不等式f(x)3的解集；若f(x) |a4|有解，求a的取值范圍2014年秋季南僑中學(xué)、永春三中、永春僑中、荷山中學(xué)、南安三中高中畢業(yè)班摸底統(tǒng)一考試答題卡一、選擇題（本大題共10小題，共50分。）題號12345678910答案二、填空題（本大題共5小題，共20分。）11、 12、 13、 14、 15、 三、解答題（本大題共6小題，共80分，解答題寫出必要的文字說明、推演步驟。）16.17.C1B1A1CBA18.19.20.21.2014年秋季南僑中學(xué)、永春三中、永春僑中、荷山中學(xué)、南安三中高中畢業(yè)班摸底統(tǒng)一考試答案第I卷（選擇題 共50分）一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出分四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1. 已知集合則為（ ）A B C D 解析：=,選C.2如果復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，那么實數(shù)的值為（ ）A2B1C2D1或 2 解析： 即 ，故選擇答案A3. 在中，若,則的面積( )A 、 B、 C、 D、解析：改編自2014福建理科高考12題，考查三角形的解法和面積公式，答案C4下列命題中，真命題是（ ）A BC D解析：答案為D5. 函數(shù)的大致圖像是（ ） A B C 解析：該函數(shù)為偶函數(shù)，答案為B1.99345.16.121.54.047.51218.016在某種新型材料的研制中，實驗人員獲得了右邊一組實驗數(shù)據(jù)：現(xiàn)準(zhǔn)備用下列四個函數(shù)中的一個近似地表示這些數(shù)據(jù)的規(guī)律，其中最接近的一個是（ ）B. B. C. C. D. 解析：由該表提供的信息知，該模擬函數(shù)在應(yīng)為增函數(shù)，故排除D,將、4代入選項A、B、C易得B最接近，故答案應(yīng)選B.7若、是互不相同的空間直線，、是不重合的平面，則下列結(jié)論正確的是（ ）A B C D解析：對于A，或 異面，所以錯誤；對于B， 與 可能相交可能平行，所以錯誤；對于C， 與 還可能異面或相交，所以錯誤.故答案應(yīng)選D8. 如圖過拋物線y22px(p0)的焦點F的直線依次交拋物線及準(zhǔn)線于點A，B，C，若|BC|2|BF|，且|AF|3，則拋物線的方程為()AB C D【答案】B解析:如圖分別過點A，B作準(zhǔn)線的垂線，分別交準(zhǔn)線于點E，D，設(shè)|BF|=a，則由已知得：|BC|=2a，由定義得：|BD|=a，故BCD=30，在直角三角形ACE中，|AF|=3，|AC|=3+3a，2|AE|=|AC|3+3a=6，從而得a=1，BDFG，,求得p=，因此拋物線方程為y2=3x9. 設(shè)為實系數(shù)三次多項式函數(shù)已知五個方程式的相異實根個數(shù)如下表所述方程式相異實根的個數(shù)13311關(guān)于的極小值試問下列哪一個選項是正確的（ ）A. B. C. D.解析方程式的相異實根數(shù)等于函數(shù)與水平線兩圖形的交點數(shù)依題意可得兩圖形的略圖有以下兩種情形(1)當(dāng)?shù)淖罡叽雾椣禂?shù)為正時 (2) 當(dāng)?shù)淖罡叽雾椣禂?shù)為負(fù)時 因極小值點位于水平線與之間所以其坐標(biāo)（即極小值）的范圍為 故選(B)10. 將一圓的六個等分點分成兩組相間的三點它們所構(gòu)成的兩個正三角形扣除內(nèi)部六條線段后可以形成一正六角星如圖所示的正六角星是以原點為中心其中分別為原點到兩個頂點的向量若將原點到正六角星12個頂點的向量都寫成為的形式則的最大值為（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 解析因為想求的最大值所以考慮圖中的6個頂點之向量即可討論如下(1)因為所以(2)因為所以(3)因為所以(4)因為所以(5)因為所以(6)因為所以因此的最大值為故選D第卷（非選擇題共100分）3、 填空題：本大題共5小題，每小題4分，共20分，把答案填在答題卡的相應(yīng)位置。11某三棱錐的三視圖如圖所示， 該三棱錐的體積是 . 解析：由俯視圖與側(cè)視圖可知三棱錐的底面積為，由側(cè)視圖可知棱錐的高為2，所以棱錐的體積為，13. 已知兩個單位向量，的夾角為30，.若，則正實數(shù)=_解析：t=113. 若變量x，y滿足約束條件且z5yx的最大值為a，最小值為b，ab的值是_解析：本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，意在考查考生對基礎(chǔ)知識的掌握約束條件表示以(0,0)，(0,2)，(4,4)，(8,0)為頂點的四邊形區(qū)域，檢驗四個頂點的坐標(biāo)可知，當(dāng)x4，y4時，azmax54416；當(dāng)x8，y0時，bzmin5088，ab24.14、函數(shù)的圖象恒過定點，若點在直線mx+ny+2=0上，其中，則的最小值為 2007山東卷改編答案：415、2008年高考福建省理科數(shù)學(xué)第11題是：“雙曲線（）的兩個焦點為、，若為其上一點，且，則雙曲線離心率的取值范圍為：A（1，3）；B（1，3；C（3，+）；D3，+）”其正確選項是B。若將其中的條件“”更換為“，且”，試經(jīng)過合情推理，得出雙曲線離心率的取值范圍是 答案：三、解答題（本大題共6小題，共80分，解答題寫出必要的文字說明、推演步驟。）16.（本小題滿分13分）已知向量， ，設(shè)函數(shù)（1）求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間；（2）已知銳角的三個內(nèi)角分別為若，邊，求邊解：（1） 4分 R，由 得 6分函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為 7分 （2），即，角為銳角，得， 9分又， ，由正弦定理得 13分本題由練習(xí)改編，考查向量的坐標(biāo)運算，三角恒等變換，及正弦定理的應(yīng)用。17.（本小題滿分13分）已知等差數(shù)列的各項均為正數(shù)，其前項和為，為等比數(shù)列, ，且()求與；（）證明.解：（1）設(shè)的公差為，且的公比為7分（2） ，9分 13分19. （本小題滿分13分）如圖，在三棱柱中，是邊長為的正方形，平面平面，.C1B1A1CBA（1）求證：平面；（2）求二面角的余弦值；（3）證明：在線段上存在點，使得，并求的值。 解：（I）因為AA1C1C為正方形，所以AA1 AC.因為平面ABC平面AA1C1C,且AA1垂直于這兩個平面的交線AC,所以AA1平面ABC. 3分(II)由（I）知AA1 AC，AA1 AB. 由題知AB=3，BC=5，AC=4，所以ABAC. 如圖，以A為原點建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ),則B(0，3，0),A1(0，0，4),B1(0，3，4),C1(4，0，4)，設(shè)平面A1BC1的法向量為，則,即，令，則，所以. 6分同理可得，平面BB1C1的法向量為,所以. 由題知二面角A1BC1B1為銳角，所以二面角A1BC1B1的余弦值為. 8分(III)設(shè)D是直線BC1上一點，且. 所以.解得，.所以. 由，即.解得. 11分因為，所以在線段BC1上存在點D，使得ADA1B.此時，. 13分19.（本小題滿分13分）設(shè)橢圓E: （a,b>0），短軸長為4，離心率為，O為坐標(biāo)原點，（I）求橢圓E的方程；（II）是否存在圓心在原點的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個交點A,B,且？若存在，求出該圓的方程，若不存在說明理由。解:（1）因為橢圓E: （a,b>0）,b=2, e=所以解得所以橢圓E的方程為 5分（2）假設(shè)存在圓心在原點的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個交點A,B,且,設(shè)該圓的切線方程為解方程組得,即, 7分則=,即 ,要使,需使,即,所以,所以又,所以,所以,即或,因為直線為圓心在原點的圓的一條切線,所以圓的半徑為,所求的圓為, 11分此時圓的切線都滿足或,而當(dāng)切線的斜率不存在時切線為與橢圓的兩個交點為或滿足,綜上, 存在圓心在原點的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個交點A,B,且. 13分20.（本小題滿分14分）已知函數(shù)()討論函數(shù)在定義域內(nèi)的極值點的個數(shù)；()若函數(shù)在處取得極值，且對,恒成立，求實數(shù)的取值范圍；()當(dāng)且時，試比較的大小解：()，當(dāng)時，在上恒成立，函數(shù) 在單調(diào)遞減，在上沒有極值點；當(dāng)時，得，得，在上遞減，在上遞增，即在處有極小值當(dāng)時在上沒有極值點，當(dāng)時，在上有一個極值點 4分()函數(shù)在處取得極值，令，可得在上遞減，在上遞增，即 9分()解：令，由()可知在上單調(diào)遞減，則在上單調(diào)遞減當(dāng)時，>，即當(dāng)時，當(dāng)時， 14分21. 本題設(shè)有（1）、（2）、（3）三個選考題，每題7分，請考生任選2題做答，滿分14分，如果多做，則按所做的前兩題計分，做答時，先用2B鉛筆在答題卡上把所選題目對應(yīng)的題號涂黑，并將所選題號填入括號中。（1）（本小題滿分7分）選修4-2：矩陣與變換二階矩陣M對應(yīng)的變換T將點(2，2)與(4,2)分別變換成點(2，2)與(0，4)求矩陣M；設(shè)直線l在變換T作用下得到了直線m：xy6，求l的方程解(1)設(shè)M，所以，且，解得，所以M. 4分(2)因為且m：xy6，所以(x2y)(3x4y)6，即xy30，直線l的方程是xy30 7分（3） （本小題滿分7分）選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程已知極坐標(biāo)系的極點與直角坐標(biāo)系的原點重合，極軸與軸的非負(fù)半軸重合若曲線的方程為，曲線的參數(shù)方程為（） 將的方程化為直角坐標(biāo)方程；（）若點為上的動點，為上的動點，求的最小值解：（）由已知得，即3分（）由得，所以圓心為，半徑為1又圓心到直線的距離為,5分所以的最大值為7分（4） （本小題滿分7分）選修4-5：不等式選講已知函數(shù)f(x)| x+3|x2|.求不等式f(x)3的解集；若f(x) |a4|有解，求a的取值范圍解：(1) 1, + ) 3分(2) |a4|5 -1a9 7分