2019-2020年高中數(shù)學(xué) 第二章 數(shù)列 第十一課時(shí) 數(shù)列應(yīng)用題教案 蘇教版必修5教學(xué)目標(biāo)：將等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)求和公式應(yīng)用到應(yīng)用題的有關(guān)計(jì)算中去；增強(qiáng)學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)，提高學(xué)生的實(shí)際應(yīng)用能力.教學(xué)重點(diǎn)：等比數(shù)列通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式的應(yīng)用.教學(xué)難點(diǎn)：利用等比數(shù)列有關(guān)知識(shí)解決一些實(shí)際問題.教學(xué)過程：例1某人年初向銀行貸款10萬元用于購房.（）如果他向建設(shè)銀行貸款，年利率為5%，且這筆款分10次等額歸還（不計(jì)復(fù)利），每年一次，并從借后次年年初開始?xì)w還，問每年應(yīng)付多少元？（）如果他向工商銀行貸款，年利率為4%，要按復(fù)利計(jì)算（即本年的利息計(jì)入次年的本金生息），仍分10次等額歸還，每年一次，每年應(yīng)還多少元？解：（）若向建設(shè)銀行貸款，設(shè)每年還款x元，則105(1105%)x(195%)x(185%)x(175%)x即：1051.510x450.05元，解得x12245(元)（）若向工商銀行貸款，每年需還y元，則：105(14%)10y(14%)9y(14%)8y(14%)y即1051.0410y其中：1.04101100.04450.0421200.0432100.0441.4802.y12330(元)答：向建設(shè)銀行貸款，每年應(yīng)付12245元；若向工商銀行貸款，每年應(yīng)付12330元.例2用分期付款的方式購買家電一件，價(jià)為1150元，購買當(dāng)天先付150元，以后每月這一天都交付50元，并加付欠款利息，月利率為1%，若交付150元后的每一個(gè)月開始算分期付款的第一個(gè)月，問分期付款的第10個(gè)月該交付多少錢？全部貸款付清后，買這件家用電器實(shí)際花費(fèi)多少錢？解：購買時(shí)付出150元后，余欠款1000元，按題意應(yīng)分20次付清，由于每次都必須交50元，外加上所欠余款的利息，這樣每次交付欠款的數(shù)額順月次構(gòu)成一數(shù)列設(shè)每次交款數(shù)額依次為a1，a2，a20則：a15010001%60元，a250(100050)1%59.5元a1050(1000950)1%55.5元即第10個(gè)月應(yīng)付款55.5元.由于an是以60為首項(xiàng)，以0.5為公差的等差數(shù)列，所以有：S20201105(元)即全部付清后實(shí)際付款（1105150）1255（元）.例3某職工年初向銀行貸款2萬元用于購房，銀行為了推動(dòng)住房制度改革，貸款的優(yōu)惠年利率為10%，按復(fù)利計(jì)算（即將本年的本金與利潤的總和計(jì)為次年的本金），若這筆貸款要求10次等額還清，每年一次，10年還清，并且從貸款后次年年初開始?xì)w還，問每年應(yīng)還多少元？分析：逐年分析，尋找規(guī)律，建立恰當(dāng)數(shù)學(xué)模型.解：設(shè)貸款額為a0元，貸款年利率為，次年等額歸還x元，第n年還清，則一年后的欠款數(shù)為：a1(1)a0x二年后的欠款數(shù)為：a2(1)a1x(1)2a0x（1）1三年后的欠款數(shù)為：a3(1)a2x(1)3a0x（1）2(1)1n年后的欠款數(shù)為：an(1)an1x(1)na0x(1)n1(1)n2(1)1由于an0，貸款還清，(1)na0x， x將0.1，a0xx0，n10代入，得x3255元.例4某人于1997年7月1日在銀行按一年定期儲(chǔ)蓄的方式存入a元，xx年7月1日，他將到期存款的本息取出后添上a元再按一年定期儲(chǔ)蓄存入銀行，此后他每年7月1日按照同樣同樣的方法在銀行取款和存款，設(shè)銀行定期儲(chǔ)蓄的年利率r不變，問到xx年7月1日他的本息共有多少？分析：逐年分析，尋找規(guī)律，建立數(shù)學(xué)模型.解：由題意得：xx年本息總數(shù)為a(1r)，xx年本息總數(shù)為a(1r)2a(1r),xx年本息總數(shù)為：a(1r)5a(1r)4a(1r)3a(1r)2a(1r)即 (1r)6(1r)評(píng)述：解決等比數(shù)列應(yīng)用題的關(guān)鍵是認(rèn)真審題抓特點(diǎn)，仔細(xì)觀察找規(guī)律，一般地，等比數(shù)列的特點(diǎn)是增加或減少的百分?jǐn)?shù)相同，為了分析數(shù)列的規(guī)律，一般需先寫出數(shù)列的一些項(xiàng)加以考查.例5某地區(qū)荒山2200畝，從1995年開始每年春季在荒山植樹造林，第一年植樹100畝，以后每一年比上一年多植樹50畝.（1）若所植樹全部都成活，則到哪一年可將荒山全部綠化?（2）若每畝所植樹苗、木材量為2立方米，每年樹木木材量的自然增長率為20%，那么全部綠化后的那一年年底，該山木材總量為S，求S的表達(dá)式.（3）若1.284.3，計(jì)算S (精確到1立方米).分析：由題意可知，各年植樹畝數(shù)為：100，150，200，成等差數(shù)列解：(1)設(shè)植樹n年可將荒山全部綠化，則：100n502200解之得n8或n11(舍去)(2)1995年所植樹，春季木材量為200 m3，到xx年底木材量則增為2001.28 m3.1996年所植樹到xx年底木材量為3001.27 m3.xx年所植樹到年底木材量為9001.2 m3，則：到xx年底木材總量為：S2001.283001.274001.269001.2 (m3)(3)S9001.28001.227001.232001.281.2S9001.228001.233001.282001.29，兩式相減得：0.2S2001.29100(1.221.231.28)9001.22001.291009001.21812S9060( m3)數(shù)列應(yīng)用題例1某人年初向銀行貸款10萬元用于購房.（）如果他向建設(shè)銀行貸款，年利率為5%，且這筆款分10次等額歸還（不計(jì)復(fù)利），每年一次，并從借后次年年初開始?xì)w還，問每年應(yīng)付多少元？（）如果他向工商銀行貸款，年利率為4%，要按復(fù)利計(jì)算（即本年的利息計(jì)入次年的本金生息），仍分10次等額歸還，每年一次，每年應(yīng)還多少元？例2用分期付款的方式購買家電一件，價(jià)為1150元，購買當(dāng)天先付150元，以后每月這一天都交付50元，并加付欠款利息，月利率為1%，若交付150元后的每一個(gè)月開始算分期付款的第一個(gè)月，問分期付款的第10個(gè)月該交付多少錢？全部貸款付清后，買這件家用電器實(shí)際花費(fèi)多少錢？例3某職工年初向銀行貸款2萬元用于購房，銀行為了推動(dòng)住房制度改革，貸款的優(yōu)惠年利率為10%，按復(fù)利計(jì)算（即將本年的本金與利潤的總和計(jì)為次年的本金），若這筆貸款要求10次等額還清，每年一次，10年還清，并且從貸款后次年年初開始?xì)w還，問每年應(yīng)還多少元？例4某人于1997年7月1日在銀行按一年定期儲(chǔ)蓄的方式存入a元，xx年7月1日，他將到期存款的本息取出后添上a元再按一年定期儲(chǔ)蓄存入銀行，此后他每年7月1日按照同樣同樣的方法在銀行取款和存款，設(shè)銀行定期儲(chǔ)蓄的年利率r不變，問到xx年7月1日他的本息共有多少？ 例5某地區(qū)荒山2200畝，從1995年開始每年春季在荒山植樹造林，第一年植樹100畝，以后每一年比上一年多植樹50畝.（1）若所植樹全部都成活，則到哪一年可將荒山全部綠化?（2）若每畝所植樹苗、木材量為2立方米，每年樹木木材量的自然增長率為20%，那么全部綠化后的那一年年底，該山木材總量為S，求S的表達(dá)式.（3）若1.284.3，計(jì)算S (精確到1立方米).