湖南省隆回縣萬和實(shí)驗(yàn)學(xué)校高中數(shù)學(xué)簡單的三角恒等變換學(xué)案 新人教A版必修4【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1、通過二倍角的變形公式推導(dǎo)半角的正弦、余弦、正切公式，體會(huì)化歸、換元、方程、逆向使用公式等數(shù)學(xué)思想，提高推理能力。2、理解并掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式，并會(huì)利用公式進(jìn)行簡單的恒等變形，體會(huì)三角恒等變形在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用。3、通過例題的解答，學(xué)會(huì)對(duì)變換對(duì)象目標(biāo)進(jìn)行對(duì)比、分析，形成對(duì)解題過程中如何選擇公式，如何根據(jù)問題的條件進(jìn)行公式變形，以及變換過程中體現(xiàn)的換元、逆向使用公式等數(shù)學(xué)思想方法的認(rèn)識(shí)，從而加深理解變換思想，提高自己的推理能力【學(xué)習(xí)重點(diǎn)】以已有的十一個(gè)公式為依據(jù)，以推導(dǎo)積化和差、和差化積、半角公式的推導(dǎo)為基本訓(xùn)練，學(xué)習(xí)三角變換的內(nèi)容、思路和方法，在與代數(shù)變換相比較中，體會(huì)三角變換的特點(diǎn)，提高推理、運(yùn)算能力【學(xué)習(xí)難點(diǎn)】認(rèn)識(shí)三角變換的特點(diǎn)，并能運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法指導(dǎo)變換過程的設(shè)計(jì)，不斷提高從整體上把握變換過程的能力【自主學(xué)習(xí)】(一)課前回顧三角函數(shù)的和角公式：sin(+)= Cos(+) = tan(+)= 三角函數(shù)的差角公式：sin(-)= Cos(-) = tan(-)= 三角函數(shù)的倍角公式：sin2= Cos2 = tan2= （二）新課引入 三角函數(shù)的化簡、求值、證明，都離不開三角恒等變換.學(xué)習(xí)了和角公式，差角公式，倍角公式以后，我們就有了進(jìn)行三角變換的新工具，從而使三角變換的內(nèi)容、思路和方法更加豐富和靈活，同時(shí)也為培養(yǎng)和提高我們的推理、運(yùn)算、實(shí)踐能力提供了廣闊的空間和發(fā)展的平臺(tái).對(duì)于三角變換,由于不同的三角函數(shù)式不僅會(huì)有結(jié)構(gòu)形式方面的差異,而且還會(huì)有所包含的角,以及這些角的三角函數(shù)種類方面的差異,因此三角恒等變換常常首先尋找式子所包含的各個(gè)角之間的聯(lián)系,并以此為依據(jù)選擇可以聯(lián)系它們的適當(dāng)公式,這是三角式恒等變換的重要特點(diǎn).本節(jié)課我們來探討一下簡單的三角恒等變換。（三）新課講授【自主質(zhì)疑和合作探究】 【目標(biāo)一】降次公式與半角公式的得出，體現(xiàn)三角變換的靈活性。1、思考：有什么樣的關(guān)系？ 2、試一試：以表示 。自我總結(jié)：通過變換發(fā)現(xiàn)兩組公式（不要求記憶）：A：降次公式： B，半角公式：自己完成如下：C，自我應(yīng)用：已知，且在第三象限，求的值探究1 ：公式成立的條件是什么？半角公式前的符號(hào)怎么確定？探究2：代數(shù)式變換與三角變換有什么不同？ 【目標(biāo)二】積化和差與和差化積公式（不要求記憶），體會(huì)三角變換的特點(diǎn)和方程思想。1、自己試一試：求證：（提示：先觀察兩邊的結(jié)構(gòu)及角的特點(diǎn)）（）、；（）、探究1（2）的證明還有其他方法嗎？探究2在以上證明中用到哪些數(shù)學(xué)思想？探究3（）式是積化和差的形式（）式是和差化積的形式，你還能得出類似的公式嗎？2、自我總結(jié)一下：（1）積化和差公式：（2）和差化積公式：（3）數(shù)學(xué)思想方法：【目標(biāo)三】函數(shù)y=asinx+bcosx的變形與應(yīng)用，學(xué)會(huì)把此類形式化為一個(gè)角的一個(gè)三角函數(shù)從而解決求一類三角函數(shù)的周期、最值、單調(diào)性等問題。1、 試一試：求函數(shù)周期、最大值和最小值。2、 探究1：能否把a(bǔ)sinx+bcosx化為一個(gè)角的一個(gè)三角函數(shù)的形式？3、 探究2：得到公式如下：asinx+bcosx=（sinxcos+cosxsin）=sin（x+）這個(gè)公式中的角怎么確定？說說你的看法？4，變式訓(xùn)練：1)、把下列各式化為一個(gè)角的一個(gè)三角函數(shù)：（1）sinx+cosx (2) 2),3),已知函數(shù)求的最小正周期，（2）當(dāng)時(shí)，求的最小值及取得最小值時(shí)的集合【目標(biāo)四】建立函數(shù)模型利用三角恒等變換解決實(shí)際問題，培養(yǎng)、觀察、分析、解決問題的能力。1、如圖，已知OPQ是半徑為1，圓心角為的扇形，C是扇形弧上的動(dòng)點(diǎn)，ABCD是扇形的內(nèi)接矩形.記COPa，求當(dāng)角a取何值時(shí)，矩形ABCD的面積最大？并求出這個(gè)最大面積.2、探究：結(jié)合本題，你能指出建立函數(shù)模型解決實(shí)際問題的步嗎？4、 變式訓(xùn)練1：把一段半徑為R的圓木鋸成橫截面為矩形的木料，怎樣鋸法能使橫截面的面積最大？（分別設(shè)邊與角為自變量）5、 變式訓(xùn)練2：已知半徑為1的半圓，PQRS是半圓的內(nèi)接矩形如圖，問P點(diǎn)在什么位置時(shí)，矩形的面積最大，并求最大面積時(shí)的值【課堂練習(xí)】第142頁練習(xí)1，2，3，4【知識(shí)梳理】1、要對(duì)變換過程中體現(xiàn)的換元、逆向使用公式等數(shù)學(xué)思想方法加深認(rèn)識(shí)，學(xué)會(huì)靈活運(yùn)用；、學(xué)會(huì)三角變形技巧和代數(shù)變形技巧，常見的三角變形技巧有切化弦； “1”的變用；統(tǒng)一角度，統(tǒng)一函數(shù)，統(tǒng)一形式等等；、建立函數(shù)模型利用三角恒等變換解決實(shí)際問題.【總結(jié)反思】 【鞏固拓展訓(xùn)練】1. 下列等式成立的是（ ） 2函數(shù)是（ ）A周期為的奇函數(shù) B周期為的偶函數(shù)C周期為的奇函數(shù) D周期為的偶函數(shù)3. 某物體受到恒力是，產(chǎn)生的位移為，則恒力物體所做的最大功是（ ） A B. C. D.4. 若-2<a<-，則等于( )AsinBcos C-sinD-cos5. = ( )A. B. C. D. 6的值是 ( )A B C D7. 化簡cos2a6sin2-8sin4的結(jié)果是_。8. 化簡=_。9. 函數(shù)f（x）=cos2x+sinx在區(qū)間，上的最小值是_。10函數(shù)的圖象中相鄰兩對(duì)稱軸的距離是_ 。11.已知函數(shù).（1）求函數(shù)的最小正周期; （2）求函數(shù)取得最大值的所有組成的集合.12化簡下列各式：（1），（2）13、 已知直線l1l2，A是l1，l2之間的一定點(diǎn)，并且A點(diǎn)到l1，l2的距離分別為h1，h2 . B是直線l2上一動(dòng)點(diǎn)，作ACAB，且使AC與直線l1交于點(diǎn)C，求ABC面積的最小值.5