線 性 代 數(shù) 1.內(nèi) 容 簡(jiǎn) 介 行 列 式 、 矩 陣 、 n維 向 量 、 線 性 方 程 組 、 標(biāo)準(zhǔn) 形 與 二 次 型 ， 其 中 行 列 式 與 矩 陣 是 其 基 本理 論 基 礎(chǔ) 。Leibniz在 十 七 世 紀(jì) 就有 了 行 列 式 的 概 念 。Vandermonde是 第 一 個(gè) 對(duì)行 列 式 理 論 做 出 連 貫 的 邏輯 闡 述 的 人 。 Cayley被 公認(rèn) 為 矩 陣 論的 創(chuàng) 立 者 。線 性 代 數(shù) 前 言 矩 陣 論 在 二 十 世 紀(jì) 得 到 飛 速發(fā) 展 ， 成 為 在 物 理 學(xué) 、 生 物學(xué) 、 經(jīng) 濟(jì) 學(xué) 中 有 大 量 應(yīng) 用 的數(shù) 學(xué) 分 支 。 矩 陣 比 行 列 式 在 數(shù) 學(xué) 中 占有 更 重 要 的 位 置 。 2.課 程 特 點(diǎn) 抽 象 性 強(qiáng) ， 應(yīng) 用 性 強(qiáng) 。 以 離 散 變 量 為 研 究 對(duì) 象 。3.教 學(xué) 組 織 以 課 堂 教 學(xué) 為 主 。 注 重 講 解 。 抓 緊 課 下 的 學(xué) 習(xí) 、 答 疑 與 練 習(xí) 。 4.學(xué) 習(xí) 要 求 在 基 本 概 念 上 下 功 夫 。 勤 于 思 考 ， 勇 于 探 索 。 培 養(yǎng) 能 力 。 認(rèn) 真 聽 講 ， 獨(dú) 立 完 成 作 業(yè) 。5.教 學(xué) 參 考 書 大 學(xué) 數(shù) 學(xué) 學(xué) 習(xí) 指 南 線 性 代 數(shù) 山 東 大 學(xué) 出 版 社 出 版 多做練習(xí)??！ 矩 陣 的 概 念 1.矩 陣 的 定 義 方 程 組 mnmnmm nn nn bxaxaxa bxaxaxa bxaxaxa 2211 22222121 11212111系 數(shù) 排 成 一 個(gè) 矩 形 數(shù) 表 mnmm nnaaa aaa aaa 21 22221 11211 這 就 是矩 陣由 mn個(gè) 數(shù) 按 一 定 的次 序 排 成 的 m行 n列 的矩 形 數(shù) 表 稱 為 mn矩陣 ,簡(jiǎn) 稱 矩 陣 .橫 的 各 排 稱 為 矩 陣 的 行 ,豎 的 各 排 稱 為 矩 陣 的 列 ija 稱 為 矩 陣 的 第 i行 j列 的 元 素 .元 素 為 實(shí) 數(shù) 的 稱 為 實(shí) 矩陣 ,我 們 只 討 論 實(shí) 矩 陣 . 矩 陣 通 常 用 大 寫 字 母 A、 B、 C等 表 示 ， 例 如 mnmm n naaa aaa aaaA 21 22221 11211簡(jiǎn) 記 為 nmijaA )( )( 11211 naaa 12111maaa行 矩 陣 列 矩 陣腳 標(biāo) nnnn nnnn aaa aaa aaaA 21 22221 11211當(dāng) m=n時(shí) ， 即 矩 陣的 行 數(shù) 與 列 數(shù) 相 同時(shí) ,稱 矩 陣 為 方 陣 。 主 對(duì) 角 線 幾 種 特 殊 形 式 的 矩 陣 00 00.1 nmO nnaa 11.2 kk .3 11.4 nE nnnnaaa aaa 222 11211.5 nnnn aaa aaa 21 2221116.梯 形 陣 設(shè) nmijaA )( (若 零 行 全 在 非 零 行 的 下 面 )且 各 行 中 第 一 個(gè) （ 最 后 一 個(gè) )非 零 元 素 前 (后 )面 零 元 素 的 個(gè) 數(shù) 隨 行 數(shù) 增 大 而 增 多 (減 少 ),則 稱 為上 (下 )梯 形 矩 陣 .簡(jiǎn) 稱 為 上 (下 )梯 形 陣 .它 們 統(tǒng) 稱 為 梯 形 陣 73325 00321 00069 00001 0022 0001 0000 00000 08700 54321 10000 98000 12210 312075 00000 00432 00605 00001 00001 00321 12344它 們 是 梯 形 陣 嗎 ? 不 是 !請(qǐng) 你 記 住 梯 形 陣 的 特 點(diǎn) ,尊 重 梯 形 陣 的 定 義 .梯 形 陣 是 最 常 用 的 矩 陣 ! 矩 陣 的 運(yùn) 算一 、 線 性 運(yùn) 算1.相 等 :兩 個(gè) 矩 陣 相 等 是 指 這 兩 個(gè) 矩 陣 有 相 同 的 行 數(shù) 與 列 數(shù) , 且 對(duì) 應(yīng) 元 素 相 等 .即 nmijaA nmijbB =型 號(hào) 相 同 ijij ba 對(duì) 應(yīng) 元 素 相 等 2.加 、 減 法 nmijaA nmijbB 設(shè) 矩 陣與 定 義 nmijij baBA )( nmijij baBA )(顯 然 A+B=B+A (A+B)+C=A+(B+C) A+O=O+A=A A-A=O負(fù) 矩 陣 nmijaA 的 負(fù) 矩 陣 為 nmijaA nmija A記 作 ,即A 3.數(shù) 乘 mnmm n nkakaka kakaka kakaka 21 22221 11211稱 為 數(shù) 與 矩 陣 的 乘 法 ， 簡(jiǎn) 稱 為 數(shù) 乘 。 記 作 ： kAkA1k A 1k A AA1 OoA kBkABAk lAkAAlkAkllAk )( ,)(,)()( 矩 陣 的 乘 法 3132121111 xaxaxay 3232221212 xaxaxay 2321313 2221212 2121111 tbtbx tbtbx tbtbx與 2321322121211 13113211211111 )( )( tbababa tbababay 2322322221221 13123212211212 )( )( tbababa tbababay 232221 131211 aaa aaaA 3231 2221 1211 bb bb bb B 322322221221312321221121 321322121211311321121111 babababababa babababababa 232221 131211 aaa aaa 3231 2221 1211 bb bb bbsmijaA )( nsijbB )(一 般 地 ， 有 nmijc )( sjisjijiij bababac 2211 =ABC )( 21 isii aaa sjjjbbb21ijc nssmnm BAC 11 11,11 111 BA：例 AB 000 0 = O 22 22BA BAAB 顯 然 這 正 是矩 陣 與數(shù) 的 不 同 11 01,12 41,63 422 CBA：例 69 46,69 46 ACAB ACAB CB 但 是這 又 是矩 陣 與數(shù) 的 不 同 請(qǐng) 記 住 ：1.矩 陣 乘 法 不 滿 足 交 換 率 ；2.不 滿 足 消 去 率 ；3.有 非 零 的 零 因 子 。 nnmnmm EAAAE kBABkAABk CABAACB ACABCBA BCACAB .4 )()()(.3 )( )(.2 )().(1 方 陣 的 正 整 數(shù) 冪AAAAk EA 0 lklk AAA kkk BAAB )( 問 題 kkk BAAB )( 成 立 的條 件 ?矩 陣 的 轉(zhuǎn) 置 nmijaA mnjia TA A或 TT TTTTT kAkA BABA AA )( )( )( TAB)( TT AB請(qǐng) 記 牢 ! AB=BA smijaA nsijbB nmijcABC mnijTT dAB )( msjiT aA snjiT bB sijsijijji bababac 2211 jssijijiij abababd 2211 jic ijd=也 就 是 TTT ABAB )( TTTT ABCABC )( ?11 TnnT aa jic ijd= 對(duì) 稱 陣 與 反 對(duì) 稱 陣AAT :對(duì) 稱 陣 AAT :反 對(duì) 稱 陣 TTT AAAAAA , TAA22 TT AAAAA 任 一 方 陣 都 可 以 分 解 成對(duì) 稱 陣 與 反 對(duì) 稱 陣 的 和 .jiij aa 0 iijiij aaa 且 例 1:設(shè) 矩 陣 A與 B為 同 階 對(duì) 稱 陣 ， 證 明 AB是 對(duì) 稱 陣 的 充 要 條 件 為 AB=BA.證 ： : TAB)( ABTTT ABAB )(又 BA BAAB : BAAB TTT ABAB )( BA AB為 對(duì) 稱 陣 。AB例 2： 求 矩 陣 的 冪 cossin sincosA?nA 2222 sincoscossin2 cossin2sincos 2cos2sin 2sin2cos cossin sincoscossin sincos2A )1cos()1sin( )1sin()1cos(1 nn nnAn設(shè) cossin sincos)1cos()1sin( )1sin()1cos( 1 nn nn AAA nn則 nn nn cossin sincos nn nnAn cossin sincos