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2019-2020年高中數(shù)學(xué) 《函數(shù)的應(yīng)用》說課稿1 新人教A版必修1 從容說課 函數(shù)的零點(diǎn)與用二分法求方程的近似解是新課標(biāo)新增內(nèi)容，在學(xué)習(xí)了函數(shù)的概念及其性質(zhì)和研究了具體函數(shù)的基礎(chǔ)上，引入函數(shù)的零點(diǎn)及解，一方面使函數(shù)與方程得到了完美的統(tǒng)一，另一方面使函數(shù)的應(yīng)用問題的求解思路更廣闊以及函數(shù)與方程思想更具活力. 學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識的目的，就是運(yùn)用數(shù)學(xué)知識處理、解決實際問題，運(yùn)用數(shù)學(xué)知識解決實際問題是每年高考必考內(nèi)容之一，因此，函數(shù)模型及其應(yīng)用是本章的重點(diǎn)，也是高考考查的熱點(diǎn)，它給出的思想方法，在其他數(shù)學(xué)章節(jié)中都能應(yīng)用. 將所學(xué)的知識用于實際是個很復(fù)雜的過程，不但要求理解、掌握知識和思維方法，而且要求具備較強(qiáng)的分析、綜合能力，還需要運(yùn)用自己的生活經(jīng)驗和體會，這樣才能理解實際問題中的數(shù)量關(guān)系并確定它們間的數(shù)學(xué)聯(lián)系（函數(shù)關(guān)系），將實際問題抽象、概括為典型的數(shù)學(xué)問題.應(yīng)用數(shù)學(xué)知識解決了數(shù)學(xué)問題后，還要分析理論的解適應(yīng)實際問題的狀況等等，這實際是對一個人的素質(zhì)水平高低的考查，因此本單元知識是高中數(shù)學(xué)的一大難點(diǎn). 三維目標(biāo) 一、知識與技能 1.了解方程的根與函數(shù)零點(diǎn)的關(guān)系，理解函數(shù)零點(diǎn)的性質(zhì). 2.掌握二分法，會用二分法求方程的近似解. 3.了解直線上升、指數(shù)爆炸、對數(shù)增長，會進(jìn)行指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)增長速度的比較. 4.能熟練進(jìn)行數(shù)學(xué)建模，解決有關(guān)函數(shù)實際應(yīng)用問題. 二、過程與方法 1.培養(yǎng)學(xué)生分析、探究、思考的能力，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生綜合運(yùn)用基本知識解決問題的能力. 2.能恰當(dāng)?shù)厥褂眯畔⒓夹g(shù)工具，解決有關(guān)數(shù)學(xué)問題. 三、情感態(tài)度與價值觀 激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，培養(yǎng)他們合作、交流、創(chuàng)新意識以及分類討論、抽象理解能力. 教學(xué)重點(diǎn) 應(yīng)用函數(shù)模型解決有關(guān)實際問題. 教學(xué)難點(diǎn) 二分法求方程的近似解，指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)增長速度的比較. 教具準(zhǔn)備 多媒體、課時講義. 課時安排 1課時 教學(xué)過程 一、知識回顧 （一）第三章知識點(diǎn) 1.函數(shù)的零點(diǎn)，方程的根與函數(shù)的零點(diǎn)，零點(diǎn)的性質(zhì). 2.二分法，用二分法求函數(shù)零點(diǎn)的步驟. 3.幾類不同增長的函數(shù)模型（直線上升、指數(shù)爆炸、對數(shù)增長），指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)增長速度的比較. 4.函數(shù)模型，解決實際問題的基本過程. （二）方法總結(jié) 1.函數(shù)y=f（x）的零點(diǎn)就是方程f（x）=0的根，因此，求函數(shù)的零點(diǎn)問題通?？赊D(zhuǎn)化為求相應(yīng)的方程的根的問題. 2.一元二次方程根的討論在高中數(shù)學(xué)中應(yīng)用廣泛，求解此類問題常有三種途徑： （1）利用求根公式； （2）利用二次函數(shù)的圖象； （3）利用根與系數(shù)的關(guān)系. 無論利用哪種方法，根的判別式都不容忽視，只是由于二次函數(shù)圖象的不間斷性，有些問題中的判別式已隱含在問題的處理之中. 3.用二分法求函數(shù)零點(diǎn)的一般步驟： 已知函數(shù)y=f（x）定義在區(qū)間D上，求它在D上的一個變號零點(diǎn)x0的近似值x，使它與零點(diǎn)的誤差不超過正數(shù)ε，即使得|x－x0|≤ε. （1）在D內(nèi)取一個閉區(qū)間［a，b］D，使f（a）與f（b）異號，即f（a）f（b）＜0. 令a0=a，b0=b. （2）取區(qū)間［a0，b0］的中點(diǎn)，則此中點(diǎn)對應(yīng)的橫坐標(biāo)為 x0=a0+（b0－a0）=（a0+b0）. 計算f（x0）和f（a0）. 判斷：①如果f（x0）=0，則x0就是f（x）的零點(diǎn)，計算終止； ②如果f（a0）f（x0）＜0，則零點(diǎn)位于區(qū)間［a0，x0］內(nèi)，令a1=a0，b1=x0； ③如果f（a0）f（x0）＞0，則零點(diǎn)位于區(qū)間［x0，b0］內(nèi)，令a1=x0，b1=b. （3）取區(qū)間［a1，b1］的中點(diǎn)，則此中點(diǎn)對應(yīng)的橫坐標(biāo)為 x1=a1+（b1－a1）=（a1+b1）. 計算f（x1）和f（a1）. 判斷：①如果f（x1）=0，則x1就是f（x）的零點(diǎn)，計算終止； ②如果f（a1）f（x1）＜0，則零點(diǎn)位于區(qū)間［a1，x1］上，令a2=a1，b2=x1. ③如果f（a1）f（x1）＞0，則零點(diǎn)位于區(qū)間［x1，b1］上，令a2=x1，b2=b1. …… 實施上述步驟，函數(shù)的零點(diǎn)總位于區(qū)間［an，bn］上，當(dāng)|an－bn|＜2ε時，區(qū)間［an，bn］的中點(diǎn)xn=（an+bn）. 就是函數(shù)y=f（x）的近似零點(diǎn)，計算終止.這時函數(shù)y=f（x）的近似零點(diǎn)與真正零點(diǎn)的誤差不超過ε. 4.對于直線y=kx+b（k≥0），指數(shù)函數(shù)y=max（m＞0，a＞1），對數(shù)函數(shù)y=logbx（b＞1）， （1）通過實例結(jié)合圖象初步發(fā)現(xiàn)：當(dāng)自變量變得很大時，指數(shù)函數(shù)比一次函數(shù)增長得快，一次函數(shù)比對數(shù)函數(shù)增長得快. （2）通過計算器或計算機(jī)得出多組數(shù)據(jù)結(jié)合函數(shù)圖象（圖象可借助于現(xiàn)代信息技術(shù)手段畫出）進(jìn)一步體會： 直線上升，其增長量固定不變； 指數(shù)增長，其增長量成倍增加，增長速度是直線上升所無法企及的.隨著自變量的不斷增大，直線上升與指數(shù)增長的差距越來越大，當(dāng)自變量很大時，這種差距大得驚人，所以“指數(shù)增長”可以用“指數(shù)爆炸”來形容. 對數(shù)增長，其增長速度平緩，當(dāng)自變量不斷增大時，其增長速度小于直線上升. 5.在區(qū)間（0，+∞）上，盡管函數(shù)y=ax（a＞1），y=logax（a＞1），y=xn（n＞0）都是增函數(shù)，但是它們的增長速度不同，而且不在同一個‘檔次’上，隨著x的增大，y=ax（a＞1）的增長速度越來越快，會遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過y=xn（n＞0）的增長速度，而y=logax（a＞1）的增長速度則會越來越慢.因此，總會存在一個x0，當(dāng)x＞x0時，ax＞xn＞logax. 6.實際問題的建模方法. （1）認(rèn)真審題，準(zhǔn)確理解題意. （2）從問題出發(fā)，抓準(zhǔn)數(shù)量關(guān)系，恰當(dāng)引入變量或建立直角坐標(biāo)系.運(yùn)用已有的數(shù)學(xué)知識和方法，將數(shù)量關(guān)系用數(shù)學(xué)符號表示出來，建立函數(shù)關(guān)系式. （3）研究函數(shù)關(guān)系式的定義域，并結(jié)合問題的實際意義作出解答. 必須說明的是： （1）通過建立函數(shù)模型解決實際問題，目的是通過例題培養(yǎng)同學(xué)們應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識和分析問題的能力. （2）把實際問題用數(shù)學(xué)語言抽象概括，從數(shù)學(xué)角度來反映或近似地反映實際問題所得出的關(guān)于實際問題的數(shù)學(xué)描述，即為數(shù)學(xué)模型. 7.建立函數(shù)模型，解決實際問題的基本過程： 二、例題講解 【例1】 作出函數(shù)y=x3與y=3x－1的圖象，并寫出方程x3=3x－1的近似解.（精確到0.1） 解：函數(shù)y=x3與y=3x－1的圖象如下圖所示.在兩個函數(shù)圖象的交點(diǎn)處，函數(shù)值相等. 因此，這三個交點(diǎn)的橫坐標(biāo)就是方程x3=3x－1的解. 由圖象可以知道，方程x3=3x－1的解分別在區(qū)間（－2，－1）、（0，1）和（1，2）內(nèi)，那么，對于區(qū)間（－2，－1）、（0，1）和（1，2）分別利用二分法就可以求得它精確到0.1的近似解為x1≈－1.8，x2≈0.4，x3≈1.5. 【例2】 分別就a=2，a=和a=畫出函數(shù)y=ax，y=logax的圖象，并求方程ax=logax的解的個數(shù). 思路分析：可通過多種途徑展示畫函數(shù)圖象的方法. 解：利用Excel、圖形計算器或其他畫圖軟件，可以畫出函數(shù)的圖象，如下圖所示. 根據(jù)圖象，我們可以知道，當(dāng)a=2，a=和a=時，方程ax=logax解的個數(shù)分別為0，2，1. 【例3】 根據(jù)上海市人大十一屆三次會議上的政府工作報告，xx年上海完成GDP（國內(nèi)生產(chǎn)總值）4035億元，xx年上海市GDP預(yù)期增長9%，市委、市政府提出本市常住人口每年的自然增長率將控制在0.08%，若GDP與人口均按這樣的速度增長，則要使本市人均GDP達(dá)到或超過xx年的2倍，至少需________年.（按：xx年本市常住人口總數(shù)約為1300萬） 思路分析：抓住人均GDP這條線索，建立不等式. 解：設(shè)需n年，由題意得≥， 化簡得≥2，解得n＞8. 答：至少需9年. 【例4】 某地西紅柿從2月1日起開始上市.通過市場調(diào)查，得到西紅柿種植成本Q（單位：元/102kg）與上市時間t（單位：天）的數(shù)據(jù)如下表： 時間t 50 110 250 種植成本Q 150 108 150 （1）根據(jù)上表數(shù)據(jù)，從下列函數(shù)中選取一個函數(shù)描述西紅柿種植成本Q與上市時間t的變化關(guān)系. Q=at+b，Q=at2+bt+c，Q=abt，Q=alogbt. （2）利用你選取的函數(shù)，求西紅柿種植成本最低時的上市天數(shù)及最低種植成本. 思路分析：由四個函數(shù)的變化趨勢，直觀得出應(yīng)選擇哪個函數(shù)模擬，若不能斷定選擇哪個函數(shù)，則分別利用待定系數(shù)法探求，最后可通過圖象的增長特性進(jìn)行篩選. 解：由提供的數(shù)據(jù)知道，描述西紅柿種植成本Q與上市時間t的變化關(guān)系的函數(shù)不可能是常數(shù)函數(shù)，從而用函數(shù)Q=at+b，Q=abt，Q=alogbt中的任意一個進(jìn)行描述時都應(yīng)有a≠0，而此時上述三個函數(shù)均為單調(diào)函數(shù)，這與表格所提供的數(shù)據(jù)不吻合.所以，選取二次函數(shù)Q=at2+bt+c進(jìn)行描述. 以表格所提供的三組數(shù)據(jù)分別代入Q=at2+bt+c，得到 150=2500a+50b+c， 108=12100a+110b+c， 150=62500a+250b+c. 解得 所以描述西紅柿種植成本Q與上市時間t的變化關(guān)系的函數(shù)為Q=t2－t+. （2）當(dāng)t=－=150天時，西紅柿種植成本最低為Q=1502－150+=100（元/102kg）. 三、課堂練習(xí) 教科書P132復(fù)習(xí)參考題A組1～6題. 1.C 2.C 3.設(shè)列車從A地到B地運(yùn)行時間為T，經(jīng)過時間t后列車離C地的距離為y，則 ≤ ≤ ≤ y= 函數(shù)圖象為 4.（1）圓柱形； （2）上底小、下底大的圓臺形； （3）上底大、下底小的圓臺形； （4）呈下大上小的兩節(jié)圓柱形.（圖略） 5.（1）設(shè)無理根為x0，將D等分n次后的長度為dn.包含x0的區(qū)間為（a，b），于是 d1=1，d2=，d3=，d4=，…dn=. 所以|x0－a|≤dn=，即近似值可精確到. （2）由于隨n的增大而不斷地趨向于0，故對于事先給定的精確度ε，總有自然數(shù)n，使得≤ε.所以只需將區(qū)間D等分n次就可以達(dá)到事先給定的精確度ε.所以一般情況下，不需盡可能多地將區(qū)間D等分. 6.令f（x）=2x3－4x2－3x+1，函數(shù)圖象如下所示： 函數(shù)分別在區(qū)間（－1，0）、（0，1）和區(qū)間（2，3）內(nèi)各有一個零點(diǎn)，所以方程2x3－4x2－3x+1=0的最大的根應(yīng)在區(qū)間（2，3）內(nèi). 取區(qū)間（2，3）的中點(diǎn)x1=2.5，用計算器可算得f（2.5）=－0.25. 因為f（2.5）f（3）＜0，所以x0∈（2.5，3）. 再?。?.5，3）的中點(diǎn)x2=2.75，用計算器可算得f（2.75）≈4.09. 因為f（2.5）f（2.75）＜0，所以x0∈（2.5，2.75）. 同理，可得x0∈（2.5，2.625），x0∈（2.5，2.5625），x0∈（2.5，2.53125）， x0∈（2.515625，2.53125），x0∈（2.515625，2.5234375）. 由于|2.534375－2.515625|=0.0078125＜0.01， 此時區(qū)間（2.515625，2.5234375）的兩個端點(diǎn)精確到0.01的近似值都是2.52，所以方程2x3－4x2－3x+1=0精確到0.01的最大根約為2.52. 四、課堂小結(jié) 1.函數(shù)與方程的緊密聯(lián)系，體現(xiàn)在函數(shù)y=f（x）的零點(diǎn)與相應(yīng)方程f（x）=0的實數(shù)根的聯(lián)系上. 2.二分法是求方程近似解的常用方法，應(yīng)掌握用二分法求方程近似解的一般步驟. 3.不同函數(shù)模型能夠刻畫現(xiàn)實世界不同的變化規(guī)律.指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)以及冪函數(shù)就是常用的現(xiàn)實世界中不同增長規(guī)律的函數(shù)模型. 4.函數(shù)模型的應(yīng)用，一方面是利用已知函數(shù)模型解決問題；另一方面是建立恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型，并利用所得函數(shù)模型解釋有關(guān)現(xiàn)象，對某些發(fā)展趨勢進(jìn)行預(yù)測. 5.在函數(shù)應(yīng)用的學(xué)習(xí)中要注意充分發(fā)揮信息技術(shù)的作用. 五、作業(yè)布置 教科書P132復(fù)習(xí)參考題A組7，8，9，10. B組1，2，3. 板書設(shè)計 第三章單元復(fù)習(xí) 概念與方法 例題與解答 1. 2. 3. 4. 練習(xí)與小結(jié)