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正確理解儲蓄及利息的計算方法． 了解并掌握購房貸款中的相關(guān)知識． 明確現(xiàn)行銀行的還款方式．,4 數(shù)列在日常經(jīng)濟生活中的應用,【課標要求】,【核心掃描】,能夠利用等差數(shù)列、等比數(shù)列解決一些實際問題．(重點、難點) 了解“零存整取”，“定期自動轉(zhuǎn)存”及“分期付款”等日常經(jīng)濟行為的含義．(重點),1．,2．,3．,1．,2．,自學導引,試一試：什么情況下建立數(shù)列模型？ 提示 根據(jù)解題經(jīng)驗，當應用問題中的變量的取值范圍是正整數(shù)時，該問題通常是數(shù)列問題，這時常常建立數(shù)列模型來解決．例如存款、貸款、購物(房、車)分期付款、保險、資產(chǎn)折舊等問題都屬于數(shù)列問題模型． 有關(guān)儲蓄的計算 儲蓄與人們的日常生活密切相關(guān)，計算儲蓄所得利息的基本公式是：利息＝本金存期利率． 根據(jù)國家規(guī)定，個人取得儲蓄存款利息，應依法納稅，計算公式為：應納稅額＝利息全額稅率． (1)整存整取定期儲蓄 一次存入本金金額為A，存期為n，每期利率為p，稅率為q，則到期時，所得利息為：_____，應納稅為______，實際取出金額為：_____________.,2．,nAp,nApq,nAp(1－q)＋A,想一想：單利和復利分別與等差數(shù)列和等比數(shù)列中的哪一種數(shù)列對應？ 提示 單利和復利分別以等差數(shù)列和等比數(shù)列為模型，即單利的實質(zhì)是等差數(shù)列，復利的實質(zhì)是等比數(shù)列．,解答數(shù)列應用題的基本步驟 (1)審題——仔細閱讀材料，認真理解題意． (2)建?！獙⒁阎獥l件翻譯成數(shù)學(數(shù)列)語言，將實際問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學問題，弄清該數(shù)列的特征，要求什么． (3)求解——求出該問題的數(shù)學解． (4)還原——將所求結(jié)果還原到原實際問題中． 具體解題步驟為下框圖：,名師點睛,1．,數(shù)列應用問題的常見模型 (1)等差模型：一般地，如果增加(或減少)的量是一個固定的具體量時，該模型是等差模型，增加(或減少)的量就是公差，其一般形式是：an＋1－an＝d(常數(shù))． 例如：銀行儲蓄單利公式 利息按單利計算，本金為a元，每期利率為r，存期為x，則本利和y＝a(1＋xr)．,2．,例如：①銀行儲蓄復利公式 按復利計算利息的一種儲蓄，本金為a元，每期利率為r，存期為x，則本利和y＝a(1＋r)x. ②產(chǎn)值模型 原來產(chǎn)值的基礎數(shù)為N，平均增長率為p，對于時間x的總產(chǎn)值y＝N(1＋p)x. (3)混合模型：在一個問題中，同時涉及到等差數(shù)列和等比數(shù)列的模型． (4)生長模型：如果某一個量，每一期以一個固定的百分數(shù)增加(或減少)，同時又以一個固定的具體量增加(或減少)，稱該模型為生長模型，如分期付款問題，樹木的生長與砍伐問題等．,題型一 等差數(shù)列模型(單利問題),用分期付款購買價格為25萬元的住房一套，如果購買時先付5萬元，以后每年付2萬元加上欠款利息．簽訂購房合同后1年付款一次，再過1年又付款一次，直到還完后為止．商定年利率為10%，則第5年該付多少元？購房款全部付清后實際共付多少元？ [思路探索] 先將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題，這是一個等差數(shù)列問題，用等差數(shù)列來解決．,【例1】,解 購買時先付5萬元，余款20萬元按題意分10次分期還清，每次付款數(shù)組成數(shù)列{an}， 則a1＝2＋(25－5)10%＝4(萬元)； a2＝2＋(25－5－2)10%＝3.8(萬元)； a3＝2＋(25－5－22)10%＝3.6(萬元)； …；,31＋5＝36(萬元)，因此第5年該付3.2萬元，購房款全部付清后實際共付36萬元． 規(guī)律方法 按單利分期付款的數(shù)學模型是等差數(shù)列，解決該類問題的關(guān)鍵是弄清楚： (1)規(guī)定多少時間內(nèi)付清全部款額； (2)在規(guī)定的時間內(nèi)分幾期付款，并且規(guī)定每期所付款額相同； (3)規(guī)定多長時間段結(jié)算一次利息，并且在規(guī)定時間段內(nèi)利息的計算公式．,一個水池有若干出水量相同的水龍頭，如果所有水龍頭同時放水，那么24 min可注滿水池．如果開始時全部放開，以后每隔相等的時間關(guān)閉一個水龍頭，到最后一個水龍頭關(guān)閉時，恰好注滿水池，而且最后一個水龍頭放水的時間恰好是第一個水龍頭放水時間的5倍，問最后關(guān)閉的這個水龍頭放水多少時間？ 解 設共有n個水龍頭，每個水龍頭放水時間從小到大依次為x1，x2，…，xn. 由已知可知x2－x1＝x3－x2＝…＝xn－xn－1， ∴數(shù)列{xn}成等差數(shù)列，,【訓練1】,陳老師購買工程集資房92 m2，單價為1 000元/m2，一次性國家財政補貼28 800元，學校補貼14 400元，余款由個人負擔．房地產(chǎn)開發(fā)公司對教師實行分期付款(注①)，經(jīng)過一年付款一次，……共付10次，10年后付清，如果按年利率7.5%，每年按復利計算(注②)，那么每年應付款多少元？(注③) 注 ①分期付款，各期所付的款以及最后一次付款時所生的利息合計，應等于個人負擔的購房余額的現(xiàn)價及這個房款現(xiàn)價到最后一次付款時所生的利息之和． ②每年按復利計算，即本年利息計入次年的本金生息． ③必要時參考下列數(shù)據(jù)：1.0759≈1.971,1.07510≈2.061,1.07511≈2.216.,【例2】,題型二 等比數(shù)列模型(復利問題),[思路探索] 按復利分期付款，各期所付的款以及最后一次付款時所生的利息合計，應等于個人負擔的購房余額的現(xiàn)價及這個款現(xiàn)價到最后一次付款時所生的利息之和． 解 設每年應付款x元，那么到最后一次付款時(即購房十年后)，第一年付款及所生利息之和為x1.0759元，第二年付款及所生利息之和為x1.0758元，…，第九年付款及其所生利息之和為x1.075元，第十年付款為x元，而所購房余款的現(xiàn)價及其利息之和為[1 00092－(28 800＋14 400)]1.07510＝48 8001.07510(元)．因此有x(1＋1.075＋1.0752＋…＋1.0759)＝48 8001.07510(元)，,規(guī)律方法 求解此類問題應先把實際問題轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列問題，在建立等比數(shù)列模型后，運算中往往要運用指數(shù)運算等，要注意運算的準確性，對于近似計算問題，答案要符合題設中實際問題的需要．,某家庭打算以一年定期的方式存款，計劃從2012年起，每年年初到銀行新存入a元，年利率p保持不變，并按復利計算，到2022年年初將所有存款和利息全部取出，共取回多少元？,【訓練2】,解 從2012年年初到2013年年初有存款b1＝a(1＋p)元，設第n年年初本息有bn元，第n＋1年年初有bn＋1元，則有bn＋1＝(bn＋a)(1＋p)．將之變形為,(本題滿分12分)假設某市2012年新建住房400萬 m2，其中有250萬 m2是中、低價房．預計在今后的若干年內(nèi)，該市每年新建住房面積平均比上年增長8%.另外，每年新建住房中，中、低價房的面積均比上一年增加50萬 m2.那么，到哪一年底， (1)該市歷年所建中、低價房的累計面積(以2012年為累計的第一年)將首次不少于4 750萬 m2? (2)到哪年，當年建造的中、低價房的面積占該年建造住房面積的比例首次大于85%? 審題指導 第(1)問是等差數(shù)列求和問題；第(2)問由等比數(shù)列通項公式求出bn表達式，解不等式an0.85bn，求得n的最小正整數(shù)解．,【例3】,題型三 等差、等比數(shù)列的綜合應用,【解題流程】 [規(guī)范解答] (1)設中、低價房面積形成數(shù)列{an}，由題意可知{an}是等差數(shù)列，,令25n2＋225n≥4 750，即n2＋9n－190≥0，而n是正整數(shù)，∴n≥10.(4分) ∴到2021年底，該市歷年所建中、低價房的累計面積將首次不少于4 750萬 m2.(5分),(2)設新建住房面積形成數(shù)列{bn}，由題意可知{bn}是等比數(shù)列， 其中b1＝400，q＝1.08，則bn＝400(1.08)n－1，(8分) 由題意可知an0.85bn，有250＋(n－1)50400(1.08)n－10.85.(10分) 由計算器解得滿足上述不等式的最小正整數(shù)n＝6， ∴到2015年底，當年建造的中、低價房的面積占該年建造住房面積的比例首次大于85%.(12分) 【題后反思】 解答等差、等比數(shù)列綜合應用問題的關(guān)系是通過審題，將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)列模型，運用等差數(shù)列和等比數(shù)列的知識解決問題，因此在做題過程中必須明確建立的是等差數(shù)列模型還是等比數(shù)列模型，明確是求n，還是求an，或是求Sn.,據(jù)美國學者詹姆斯馬丁的測算，在近十年，人類知識總量已達到每三年翻一番，2020年甚至會達到每73天翻一番的空前速度．因此，基礎教育的任務已不是教會一個人一切知識，而是讓一個人學會學習．已知2000年底，人類知識總量為a，假如從2000年底到2009年底是每三年翻一番，從2009年底到2019年底是每一年翻一番，2020年是每73天翻一番．試回答： (1)2009年底人類知識總量是多少？ (2)2019年底人類知識總量是多少？ (3)2020年按365天計算，2020年底人類知識總量是多少？,【訓練3】,解 由于翻一番是在原來的基礎上乘以2，翻兩番是在原來的基礎上乘以22，…，翻n番是在原來的基礎上乘以2n.于是 (1)從2000年底到2009年底是每三年翻一番，共翻三番，在a的基礎上，2009年底人類知識總量為23a＝8a. (2)從2009年底到2019年底是每一年翻一番，共翻十番，所以2019年底人類知識總量為8a210＝8 192a. (3)2020年是每73天翻一番，而2020年按365天計算，共翻五番，所以2020年底人類知識總量為8 192a25＝262 144a.,要在一段公路上每隔100米豎一塊路程牌，共需豎60塊路程牌，并依次將它們編號為1,2,3，…，60，為完成豎牌的任務，要求先用一輛汽車把60塊路程牌全部集中到n(1≤n≤60， n∈N＋)號牌處，再由一個工人從n號牌處出發(fā)，用自行車每次運一塊路程牌到規(guī)定地點豎牌，n應取多少時，才能使工人豎牌時所行的路程最少？最少路程是多少？ [錯解] 找不到解決問題的思路．,誤區(qū)警示 找不到應用題對應的數(shù)列模型而致錯,【示例】,樹立解應用題的自信心，應用所學知識進行解決．本例運用數(shù)列的知識求出從n號到每一號所行路程，它們分別組成兩個等差數(shù)列，之后運用等差數(shù)列前n項和公式求出所行的路程，再用二次函數(shù)的有關(guān)知識計算出最少路程．,[正解] 路程牌集中到n號牌處時，該工人所行路程為Sn＝2100(n－1)＋2100(n－2)＋…＋21001＋21001＋21002＋…＋2100(60－n) ＝200[1＋2＋…＋(n－1)＋1＋2＋…＋(60－n)],因為n∈N＋，所以當n＝30或n＝31時，(Sn)最小＝200(302－6130＋1 830)＝180 000(米)． 即n取30或31時，才能使工人豎牌時所行的路程最少，最少路程是180 000米．,一般地，解決數(shù)列的實際應用問題首先要讀懂題意，分析題中條件，理順其中的數(shù)量關(guān)系；其次要將文字語言轉(zhuǎn)化為數(shù)字語言，建立數(shù)列模型(建立模型時注意運用推理、歸納等方法)；然后求解數(shù)列模型，得出相關(guān)結(jié)論；最后將結(jié)論還原到實際問題中．,