北京市第二十四中學(xué)教案 課題：橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì) 教材分析： 解析幾何是17世紀(jì)數(shù)學(xué)發(fā)展的重大成果之一，其本質(zhì)是用代數(shù)方法研究圖形的幾何性質(zhì)，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的重要數(shù)學(xué)思想。如果說(shuō)根據(jù)曲線的條件求出方程是解析幾何的手段，那么根據(jù)曲線的方程研究它的幾何性質(zhì)、畫(huà)圖就是解析幾何的目的。 本節(jié)課通過(guò)對(duì)橢圓方程的討論，使學(xué)生了解如何用代數(shù)方法研究曲線的性質(zhì)。正如引言中提出的，圓錐曲線的性質(zhì)可以從純幾何的角度討論，但需要較多的知識(shí)準(zhǔn)備，而且要有較強(qiáng)的邏輯推理能力。用坐標(biāo)法研究圓錐曲線的性質(zhì)，將復(fù)雜的幾何關(guān)系的研究轉(zhuǎn)化為對(duì)曲線方程特點(diǎn)的考察。代數(shù)方法可以程序化的進(jìn)行運(yùn)算，用坐標(biāo)法研究曲線的性質(zhì)有較強(qiáng)的規(guī)律性。 本節(jié)內(nèi)容為系統(tǒng)地按照方程來(lái)研究曲線的幾何性質(zhì)提供了一個(gè)范例，這也對(duì)將來(lái)研究雙曲線、拋物線的幾何性質(zhì)有著重要的指導(dǎo)作用。 學(xué)情分析： 學(xué)生在高一必修階段，學(xué)習(xí)了必修2中的直線與方程，圓與方程，已接觸過(guò)研究解析幾何問(wèn)題的主要方法——坐標(biāo)法，本節(jié)課是在學(xué)習(xí)了橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的基礎(chǔ)上，探究橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)的第一節(jié)課。 教 學(xué) 目 標(biāo) 知識(shí)與技能： ① 掌握橢圓的范圍、對(duì)稱性、頂點(diǎn)、離心率等簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)； ②掌握標(biāo)準(zhǔn)方程中a,b,c,e的幾何意義，以及a,b,c,e之間的相互關(guān)系 ③初步學(xué)習(xí)利用方程研究曲線性質(zhì)的方法。 過(guò)程與方法： ①通過(guò)利用曲線的方程來(lái)研究曲線性質(zhì)的方法的初步嘗試，使學(xué)生經(jīng)歷知識(shí)產(chǎn)生與形成的過(guò)程，不僅注意對(duì)研究結(jié)果的掌握和應(yīng)用，更要重視對(duì)研究方法的思想滲透及分析問(wèn)題和解決問(wèn)題能力的培養(yǎng)； ②以自主探究為主，通過(guò)體驗(yàn)數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的歷程，培養(yǎng)學(xué)生觀察、分析、邏輯推理、理性思維的能力。 情感態(tài)度與價(jià)值觀： ①通過(guò)多媒體展示，讓學(xué)生體會(huì)橢圓方程結(jié)構(gòu)的和諧美和橢圓曲線的對(duì)稱美，培養(yǎng)學(xué)生的審美習(xí)慣； ②通過(guò)自主探究、交流合作使學(xué)生親身體驗(yàn)研究的艱辛，從中體味合作與成功的快樂(lè)，由此激發(fā)其更加積極主動(dòng)的學(xué)習(xí)精神和探索勇氣； ③使學(xué)生充分認(rèn)識(shí)到數(shù)與形的聯(lián)系，體會(huì)數(shù)與形的辨證統(tǒng)一。 教學(xué)重點(diǎn)：探究并初步掌握橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)； 教學(xué)難點(diǎn)：探究并初步掌握橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)； 教學(xué)方法： (1)教學(xué)策略：本節(jié)課依據(jù)“觀察，歸納，猜想，證明”及“從特殊到一般”的思想方法，先由學(xué)生畫(huà)圖、折紙，觀察去發(fā)現(xiàn)橢圓的幾何性質(zhì)，接著引導(dǎo)學(xué)生用代數(shù)方法進(jìn)行推證。本設(shè)計(jì)力求更好地符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，加強(qiáng)知識(shí)發(fā)生過(guò)程的教學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生的直覺(jué)思維能力與邏輯思維能力. (2)學(xué)法指導(dǎo)：通過(guò)創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情景、學(xué)生自主探究、展示學(xué)生的研究過(guò)程來(lái)激勵(lì)學(xué)生的探索勇氣。根據(jù)學(xué)生的認(rèn)知情況和學(xué)生的情感發(fā)展來(lái)調(diào)整整個(gè)學(xué)習(xí)活動(dòng)的梯度與層次，逐步形成敢于發(fā)現(xiàn)、敢于質(zhì)疑的科學(xué)態(tài)度。 教學(xué)過(guò)程： 教學(xué)環(huán)節(jié) 教師活動(dòng) 學(xué)生活動(dòng) 設(shè)計(jì)意圖 引入 創(chuàng)設(shè)情境、導(dǎo)入課題： （多媒體展示圖片——國(guó)家大劇院） 為什么設(shè)計(jì)師選擇這種橢圓形設(shè)計(jì)呢？ 橢圓到底美在何處？它具有哪些特質(zhì)？ 這就是我們今天要研究的課題 ——橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì) 觀察思考 激起探究欲望 創(chuàng)設(shè)情境，導(dǎo)入課題，明確學(xué)習(xí)目標(biāo) 通過(guò)多媒體展示，讓學(xué)生體會(huì)橢圓曲線的對(duì)稱美，培養(yǎng)學(xué)生的審美習(xí)慣。 開(kāi)門(mén)見(jiàn)山，激起學(xué)生對(duì)橢圓性質(zhì)探究的欲望。 提出問(wèn)題 探究活動(dòng)： 請(qǐng)同學(xué)們拿出課前剪好的橢圓紙片，在小組內(nèi)交流橢圓紙片的制作過(guò)程，從中發(fā)現(xiàn)橢圓有哪些性質(zhì)？ 問(wèn)1.你能找到橢圓紙片的中心嗎？ 問(wèn)2.給你一張矩形紙能不能剪出比矩形紙大的橢圓？ 問(wèn)3.有誰(shuí)剪的橢圓紙板是不對(duì)稱的？ 問(wèn)4. 同學(xué)們彼此看看各自的橢圓紙片的扁平程度一樣嗎? 問(wèn)5. 能不能說(shuō)任意橢圓都有上述性質(zhì)呢 用什么表示任意一個(gè)橢圓？ 組內(nèi)交流、發(fā)現(xiàn) 探究活動(dòng)，提出問(wèn)題，明確學(xué)習(xí)方向 引導(dǎo)學(xué)生觀察橢圓（幾何直觀），讓學(xué)生先從整體上把握幾何圖形，這就是范圍、對(duì)稱性、扁平程度等 新課程強(qiáng)調(diào)以學(xué)生為主體，創(chuàng)造機(jī)會(huì)讓學(xué)生自己去發(fā)現(xiàn)、去歸納，讓學(xué)生體驗(yàn)知識(shí)的發(fā)生、發(fā)展過(guò)程，體現(xiàn)學(xué)生學(xué)習(xí)知識(shí)過(guò)程中的主體地位。 解決問(wèn)題 下面我們就利用橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 研究橢圓的幾何性質(zhì)。 1． 范圍：橢圓位于直線和所圍成的矩形框里．-a≤x≤a, -b≤y≤b 2．對(duì)稱性：橢圓關(guān)于 x軸、y軸和原點(diǎn)都對(duì)稱.坐標(biāo)軸是橢圓的對(duì)稱軸，原點(diǎn)是橢圓對(duì)稱中心，橢圓的對(duì)稱中心叫橢圓的中心。 3.頂點(diǎn)： 橢圓和它的對(duì)稱軸有四個(gè)交點(diǎn)，這四個(gè)交點(diǎn)叫橢圓的頂點(diǎn)． 其中A1（-a,0）,A2(a,0)是橢圓與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)；B1（0,-b）,B2(0,b)　是橢圓與y軸的兩個(gè)交點(diǎn)． 線段A1 A2和B1 B2分別叫橢圓的長(zhǎng)軸和短軸，它們的長(zhǎng)分別為2a和2b，a和b分別叫橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)和短半軸長(zhǎng)． 4．離心率：橢圓的焦距與長(zhǎng)軸長(zhǎng)的比，叫做橢圓的離心率． 說(shuō)明①因?yàn)樗裕? ②e越接近１，則c越接近a，從而越小，因此橢圓越扁；反之，e越接近于０，c越接近于０，從而b越接近于a，這時(shí)橢圓就接近于圓； ③當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，c=0，這時(shí)兩焦點(diǎn)重合，圖形變?yōu)閳A．x2+y2=a2（看來(lái)橢圓的扁平程度是由離心率的大小決定的） 研究曲線的幾何性質(zhì)能從整體上把握曲線的形狀、大小和位置。 觀察、思考、交流 組內(nèi)交流 代表發(fā)言 新課題的問(wèn)題解決 在探究活動(dòng)中，由觀察、猜想、歸納出的橢圓的一些簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，利用方程的各種特征研究橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)， 本節(jié)課的難點(diǎn)是從橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的結(jié)構(gòu)特征中抽象出橢圓的幾何性質(zhì)。把從具體實(shí)物中的發(fā)現(xiàn)上升到理論證明，由感性認(rèn)識(shí)到理性思考，這是進(jìn)行科學(xué)研究的必經(jīng)之路，同時(shí)也體現(xiàn)了解析幾何的本質(zhì)——利用代數(shù)方法解決幾何問(wèn)題。 應(yīng)用反饋 創(chuàng)設(shè)情境 能力提升 應(yīng)用反饋 例１　求橢圓的長(zhǎng)軸和短軸的長(zhǎng)、離心率、焦點(diǎn)和頂點(diǎn)的坐標(biāo)。 例2 求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程： (1) （1）經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(－3, 0)、Q(0,－ 2); (2) （2）長(zhǎng)軸長(zhǎng)是20，離心率是 （請(qǐng)同桌的同學(xué)互相出題評(píng)判:一名同學(xué)寫(xiě)一個(gè)焦點(diǎn)在y軸上的橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程，另一名同學(xué)寫(xiě)出它的焦點(diǎn)、頂點(diǎn)坐標(biāo)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)、短軸長(zhǎng)和焦距） （類比得出焦點(diǎn)在y軸上的橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì) ） 再思考：前面提到的國(guó)家大劇院，舞臺(tái)安在橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)處，貴賓席安在另一個(gè)焦點(diǎn)處，這是為什么？ 課堂練習(xí)；見(jiàn)學(xué)案 師生互動(dòng) 聯(lián)系后實(shí)物投影展示 深入理解，鞏固應(yīng)用 知識(shí)只有在應(yīng)用中才能得到升華，才能加深對(duì)知識(shí)的理解，才能達(dá)到熟練掌握的程度。例1是為鞏固橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)設(shè)置；例2是由橢圓曲線的幾何性質(zhì)特征，定位定量得出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，由例1、例2的設(shè)置進(jìn)一步明確解析幾何研究的主要問(wèn)題（1）據(jù)已知條件，求出表示曲線的方程；（2）通過(guò)曲線方程，研究曲線的性質(zhì)。 互助學(xué)習(xí)、協(xié)同研究，制作焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上的橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)的表格，使學(xué)生親身體驗(yàn)研究的艱辛，從中體味合作與成功的快樂(lè)，由此激發(fā)其更加積極主動(dòng)的學(xué)習(xí)精神和探索勇氣，培養(yǎng)了學(xué)生的團(tuán)隊(duì)精神。 鞏固應(yīng)用 板書(shū)設(shè)計(jì) 練習(xí): 學(xué)案 課堂小結(jié) 1.通過(guò)這節(jié)課的學(xué)習(xí)，你學(xué)到了那些知識(shí)？ 2.感受最深的是什么？ 家庭作業(yè) 教材P49 A組5、3、4（寫(xiě)本上） 課后反思