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2015年東北三省四市教研聯(lián)合體高考模擬試卷（三）文科數(shù)學(xué)試卷 第Ⅰ卷（選擇題 共60分） 一、 選擇題：本大題共12小題，每小題5分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。 1、已知全集 ? 2、若復(fù)數(shù)是純虛數(shù)（是虛數(shù)單位，是實數(shù)），則 3、執(zhí)行下面的程序框圖，那么輸出的等于 42 56 72 90 4、在區(qū)間上隨機取一個實數(shù)，則使函數(shù)無零點的概率是 5、設(shè)，，，則 　　 6、已知為等差數(shù)列且公差，其首項，且成等比數(shù)列，為的前項和，，則的值為(　　) 7、某拋物線的通徑與圓的半徑相等，則該拋物線的焦點到其準(zhǔn)線的距離為 2 4 6 8 8、棱長均為4的三棱錐的頂點都在同一個球面上，則該球的表面積為 9、函數(shù)的一個最高點坐標(biāo)為（2,2），相鄰的對稱軸與對稱中心之間的距離為2，則= 1 -1 10.偶函數(shù)在上單調(diào)遞減，則的大小關(guān)系是 不能確定 11、為雙曲線的右焦點，點在雙曲線右支上， （）是面積為的等邊三角形，則雙曲線的離心率為 2 12. 定義在R上的函數(shù)，時，，令,則 函 數(shù)的零點個數(shù)為（ ） 6 7 8 9 二填空題：本大題共4小題，每小題5分 13、邊長為2的正方形，對角線的交點為，則= . 14．如右圖是一個空間幾何體的三視圖（俯視圖外框為正方形），則這個幾何體的體積為 . 15、設(shè)，其中實數(shù)滿足若的最小值為-3，則的最大值為 . 16、棱長為1的正方體中，點分別為的中點，給出下列結(jié)論： ①異面直線所成的角為 ② ∥ ③ 四面體的體積為 ④ ⊥ 則正確結(jié)論的序號為 . 17. （本小題滿分12分） 已知，的三邊對應(yīng)的角分別為，其中. (1) 求角的大??； （2）當(dāng)時，求面積的最大值. 18.（本小題滿分12分） 某地區(qū)有小學(xué)18所，中學(xué)12所，大學(xué)6所，現(xiàn)采用分層抽樣的方法從這些學(xué)校中抽取6所學(xué)校對學(xué)生進行視力調(diào)查． (1) 若從抽取的6所學(xué)校中隨機抽取2所學(xué)校做進一步數(shù)據(jù)分析，求抽取的2所學(xué)校均為小學(xué)的概率； （2）若某小學(xué)被抽取，該小學(xué)五個年級近視眼率y的數(shù)據(jù)如下表： 年級號 1 2 3 4 5 近視眼率 0.1 0.15 0.2 0.3 0.39 根據(jù)前四個年級的數(shù)據(jù)，利用最小二乘法求關(guān)于的線性回歸直線方程，并計算五年級近視眼率的估計值與實際值之間的差的絕對值. (附：回歸直線的斜率和截距的最小二乘法估計公式分別為: ) 19. （本小題滿分12分） 如圖：四棱錐中，底面是邊長為2的正方形，平面⊥底面，且. (1) 求證：⊥； （2）當(dāng)?shù)闹禐槎嗌贂r滿足⊥？并求出此時該四棱錐的體積. P A B C D 20. （本小題滿分12分） 已知橢圓的左、右焦點分別為，是短軸的一個頂點，是頂角為且面積為的等腰三角形. （1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程； （2）過點斜率為的直線交橢圓于點.直線交橢圓于另一點.若，求的面積的最大值. 21. （本小題滿分12分） 已知函數(shù). （1）當(dāng)時，求在處的切線方程； （2）當(dāng)時，，求實數(shù)的取值范圍； （3）證明：（）. 請考生在22，23，24三題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分．做答時，用2B鉛筆在答題卡上把所選題目對應(yīng)的標(biāo)號涂黑． 請考生在第22、23、24題中任選一題做答，如果多做，則按所做的第一題記分. 22. （本小題滿分10分） 如圖，是的高，是的外接圓的直徑，過點作圓的切線交的延長線于點 （1） 求證：∽； （2） 若，求的外接圓的半徑. 23. （本小題滿分10分） 直角坐標(biāo)系中曲線的參數(shù)方程為. （1）求曲線的直角坐標(biāo)方程； （2）經(jīng)過點作直線交曲線于兩點，若恰好為線段的三等分點，求直線的斜率. 24. （本小題滿分10分） 已知且. (1) 求的最大值； （2）求證：. 2015年東北三省四市教研聯(lián)合體高考模擬試卷（三） 文科數(shù)學(xué)答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 B A C B B D A D D A D C 13、 4 14、 15、 16、①②④ 17.（1）……………（1分） ，……………（3分） 又……………（4分） ，……………（5分） ……………（6分） （2） ……………（8分） 又（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號）……………（9分） 面積……………（10分） 所以面積的最大值為……………（12分） 18. 解：（1）18:12:6=3:2:1，故抽取的6所學(xué)校中有3所小學(xué)、2所中學(xué)、1所大學(xué)，分別 為，……………（1分） 6所學(xué)校抽取2所所有基本事件為 共15種，……………（2分） 設(shè)事件A為抽取的2所學(xué)校均為小學(xué)，則A事件有共3種， ……………（4分） 故. 答：抽取的2所學(xué)校均為小學(xué)的概率為.……………（5分） （2），……………（8分） ……………（10分） 時，.……………（12分） 19.（1）⊥，=， 且，⊥ 所以 ⊥， ……………（3分） ⊥……………（5分） （2）取的中點為，連接 ⊥，，=， 且，⊥ 所以⊥……………（8分） 由題意可得⊥，……………（10分） 此時該四棱錐的體積為……………（12分） 20.(1) 由題意可得……………（1分） 的面積，……………（2分） 得……………（3分） 所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為……………（4分） （2）設(shè)直線的方程為，代入橢圓方程得 得……………（5分） ，……………（6分） 的面積……………（8分） 令， ……………（9分） ，在[1,2]上單調(diào)遞減，……………（10分） 所以當(dāng)時求的面積的最大值為……………（12分） 21. （1）解：當(dāng)時，，……………（1分） ……………（3分） 所以在處的切線方程為?！?分） （2）解：，……………（5分） 依題知，故?！?分） 令， ……………（7分） 故，則，即在單調(diào)遞增，……………（8分） 又，所以?！?分） （3）證明：當(dāng)時，令，則，……………（10分） 累加不等式，所以?！?2分） 22. （1）是直徑，……………（1分） 又……………（2分） ∽……………（4分） （2） ，……………（5分） ……………（7分） ……………（8分） ，……………（9分） 由（1）得 x.k.b.1 所以的外接圓的半徑為……………（10分） 23.（1）由 曲線的參數(shù)方程為， 得……………（2分） 所以曲線的直角坐標(biāo)方程為……………（4分） （2）設(shè)直線的傾斜角為 直線的參數(shù)方程為，……………（5分） 代入曲線的直角坐標(biāo)方程得 ……………（6分） ……………（7分） 由題意可知，……………（8分） 代入上式得 即……………（9分） 所以直線的斜率為……………（10分） 24.（1）由題意可知，……………（1分） 即……………（2分） （當(dāng)且僅當(dāng)） 的最大值為……………（4分） (2) 要證： 即證：……………（5分） 由于則 即證：……………（7分） 已知，則 即證：……………（9分） 由（1）知成立 ，所以原不等式成立 ……………（10分）